人教新课标版数学高一必修四教案 2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例

由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.

图1

在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.

用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

2

cos

2

|

|

|

|

|

|

2

1

2

cos

1

θ

θG

F

G

⇒

=

通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,

2

θ

由0°到90°

逐渐变大,cos

2

θ

的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.

点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例

活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.

变式训练

某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.

图2

解:如图2所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.

令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.

∵DA+AB=DB,

∴DB=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.

∵DA+AC=DC,

∴DC=v-2v1,

这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速.

由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,

∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.

∴DA=DC=2BC=202.

∴|v|=202km/h.

答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.

例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.

图3

解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量

守

恒

,

所

以

m|v |=(M+m)|v 0|.

① 由于

机

械

能

守

恒

,所

以

2

1(M+m)v 02=(M+m)gh.

②

联立①②解得|v |=

.2gh m

m

M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh m

M 2,

即子弹的速度大小约为gh m

M 2.

知能训练

1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )

A.215 km

B.6 km

C.84 km

D.8 km

图4

2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.

3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 解答: 1.B

点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)

图5

3.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.

因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=

30cos ||OA =2

3

3

5=10 km/h.

答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结

1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量;

②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量; ④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s. 作业

1.课本习题

2.5 A 组3、4,B 组1、2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.