大物上海交大课后答案第十二章

习题12

12-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。

解：（1）具有MeV 10动能的电子，可以试算一下它的速度：

212k mv E =

⇒v c ==>光速，所以要考虑相对论效应。 设电子的静能量为20m c ，总能量可写为：20k E E m c =+，用相对论公式：

222240E c p m c =+

，可得：p

= 131.210m -=⨯；

（2）对于具有MeV 10动能的质子，可以试算一下它的速度：

74.410/v m s ===⨯，所以不需要考虑相对论效应。 利用德布罗意波的计算公式即可得出：

34159.110h m p λ--====⨯。 12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：

34

127.7610h m p λ--====⨯； （2）用相对论公式：设电子的静能为20m c ，动能为：k E eU =，

由20222240E eU m c E c p m c

=+=+⎧⎪⎨⎪⎩

，有：127.6710m λ-==⨯。 12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm ，试求两者的动量只比以及动能之比。 解：动量为λh

p =因此电子与光子的动量之比为1=γ

p p e ； 电子与光子的动能之比为322

104222)(2-⨯====.c

m h m ch pc m p E E e e e k ke λλ

λγ 12-4．以速度3610/v m s =⨯运动的电子射入场强为5/E V cm =的匀强电场中加速，为使电子波长

A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：利用能量守恒，有：212E mv eU =+

，考虑到h p λ== 有：222211111[()][()]222h h U mv mv e m e m λλ

=-=- 19

172310(4.8210 3.2810)150.63.2V --↑=⨯-⨯=太小，舍去

， 利用匀强电场公式U E d =有：150.60.301500

U d m E ===。 12-5．用电子显微镜来分辨大小为1nm 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以eV 为单位） 解：由于需要分辨大小为1nm 的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm ，

由h

p λ=，有电子的动量为：342596.6310 6.6310/10

p kgm s ---⨯==⨯； 试算一下它的速度：25

5310 6.63107.2810/9.1110

p v m s c m --⨯===⨯<<⨯光速， 所以不考虑相对论效应，则利用2

02k p E m =，有电子动能的最小值： 252

1931(6.6310) 2.41029.1110

k E J ---⨯==⨯⨯⨯ 1.5eV =。 12-6．设电子的位置不确定度为

A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由不确定关系：x p h ∆⋅∆≈，有3423106.6310 6.6310kg m/s 0.110

h p x ---⨯∆≈==⨯⋅∆⨯， 由2k e E E m c =+，可推出：

223156.6310 1.2410J k p p E E p p --⎛⎫∆=∆=∆=∆= ⎪=⨯=⨯。 12-7．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 10

2-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ

==

，由于激发能级有一定的宽度E ∆，造成谱线也有一定宽度λ∆，两者之间的关系为：2hc E λλ∆=∆，由不确定关系，/2E t ∆⋅∆≥，平均寿命t τ=∆，则： 22

224t E h c c λλτλπλ=∆===∆∆∆10211812(4340.510)510s ---⨯==⨯。 12-8．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为91(10s)ns -，计算该信号的波长宽

度λ∆。

解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：x c t ∆=∆， 由不确定关系：2

x p x ∆⋅∆≥，有：2224x x p λλπλλ∆==≈∆∆∆ ∴722389(6.310) 1.3231031010

nm c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯。 12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r ，角动量为：L rmv r p ==，

则其不确定度P r L ∆=∆，而做圆周运动时：θ∆=∆r x ，

利用：P x h ∆⋅∆≥代入，可得到：h L ≥∆∆θ。

12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。设粒子的势能分布函数为：()00()0U x x L U x x x L

=<<=<⎧⎨∞>⎩，，和 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0x L <<之间运动时，其定态归一化的波函

数为：()0()00n n n x x x L l x x x L πψ=<<ψ=<>⎧⎪⎨⎪⎩，，和，

概率密度为：22()sin 0n n P x x x L l l

π=<<， 粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：23

02112()sin sin 323

l

n n n P x x l l n πππ=

=-⎰， 如果是基态，1n =，则202112()sin sin 0.19519.5%323

l n P x x l l πππ==-==⎰。 12-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m 1014-=L 。 （1）质子的零点能量有多大？

（2）由2=n 态跃迁到1=n 态时，质子放出多大能量的光子？

解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：2

22

8n h E n mL = 1n =时为零点能量：2342

131227142(6.6310) 3.291088 1.6710(10)

h E J m L ----⨯===⨯⨯⨯⨯。 （2）由2n =态跃迁到1n =态时，质子放出光子的能量为：

思考题12

12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。

证明：设电子轨道的半径为n r ，则电子轨道的周长为2n r π，需要证明2n r n πλ=。 玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：2

22

002n h r n r n me

επ==

而电子的德布罗意波长：2022h n me ελ==（∵220

4

281h me n E n ε=） 可见电子轨道：22

20022222n h h r n n n n me me εεππλπ==⋅=，是德布罗意波长的整数倍。 12-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？

答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

12-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，S 为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子

感光板A ，1S 、2S 分别为上、下方电子束的

虚电子源，21SS S S =，底板A 离源S 的距离

为D ，设a D >>，电子的动量为p ，试求：

（1）电子几率密度最大的位置；

（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。

答：（1）电子的德布罗意波长：p

h =

λ，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在2D D h d a p

λ±=±⋅之间； （2）相邻暗条纹的距离：2D D h x d a p

λ∆==。 12-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a 所示，对应的总能量为eV 4，若它处于另一个波函数（如图b 所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？ 答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：

20n E E n =。在a 图中，2n =，

知22024E E eV =⋅=，