简单几何体的表面积与体积

第2节简单几何体的表面积与体积

最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识梳理

1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S

圆柱侧＝2πrl S

圆锥侧

＝πrl S

圆台侧

＝π(r1＋r2)l

3.简单几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

表面积体积

柱体(棱柱和圆柱)S

表面积＝S

侧

＋2S

底

V＝S

底

h

锥体(棱锥和圆锥)S

表面积＝S

侧

＋S

底V＝

1

3S底h

台体(棱台和圆台)S

表面积＝S

侧

＋S

上

＋S

下V＝

1

3(S上＋S下＋S上S下)h

球S＝4πR2V＝4

3πR

3

[常用结论与微点提醒]

1.正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()

(2)球的体积之比等于半径比的平方.()

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()

(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝

3

2a.()

解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()

A.1 cm

B.2 cm

C.3 cm

D.3

2cm

解析由题意，得S

表

＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).

答案 B

3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.12π

B.32

3π C.8π D.4π

解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.

答案 A

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()

A.π

B.3π

4 C.

π

2 D.

π

4

解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝1

2.

∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝3

2，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B

5.(2018·西安质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.

解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m ，高为1 m 的平行四边形，四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V ＝13×2×1×3＝2 (m 3). 答案 2

考点一 简单几何体的表面积

【例1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方

形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()

A.10

B.12

C.14

D.16

解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.

由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.

所以l＝22＋（23）2＝4.

故该几何体的表面积S

表

＝

πr2＋ch＋1

2cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝1 2

×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.

答案(1)C(2)B

规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.

2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【训练1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()