中考数学 第一章 数与式 二次根式及其运算复习1

6．二次根式的估值 二次根式的估算，一般是对根式平方，找出与平方后所得数字相邻 的两个开方开得尽方的整数对其进行开方，就可以确定这个根式在 哪两个整数之间．
1．“双重非负性” 算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，
即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数，即 a≥0.算术平方根的非 负性主要用于两方面：
数学
山西省
第一章 数与式 二次根式及其运算
1．二次根式的概念 一般地，我们把形如___a____的式子叫做二次根式，有意义的条件： ___a_≥_0____．
最简二次根式
（1）被开方数不含分母 必须满足两个条件（2）被开方数中不含有开得尽
方的因数或因式.
4．同类二次根式 几个二次根式化简为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么 这几个二次根式叫同类二次根式． 5．二次根式的运算 (1) 加 法 ： 可 以 先 将 二 次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 ， 再 将 __同__类__二__次__根__式______进行合并； (2)乘法： a· b＝__a_b_(_a≥__0_，__b_≥__0_)__； (3)除法： ba＝_____ba_(_a_≥__0_，__b_＞__0_)_____．
[对应训练] 1．(1)(2015·随州)若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值 范围是( D ) A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0 且 x≠1 (2)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B ) A．a＜12 B．a≤12 C．a＞12 D．a≥12 (3)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为___5___．
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于 挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．
2．求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
命题点 1：二次根式的性质
(2013·山西)下列计算错误的是( B )
【例 2】 (1)(2015·宁夏)下列计算正确的是( B ) A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1)2＝2 (2)(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ba＝ ba，② ba· ba＝1，③ ab÷ ba＝－b.其中正确的是( B ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
③( 10－3)2014·( 10＋3)2015. 解：原式＝( 10－3)2014×( 10＋3)2014×( 10＋3)＝[( 10－
3)( 10＋3)]2014×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
(3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10
【点评】 解决根式估值类问题有两种方法：(1)记住常见的无 理数的近似值，如 2≈1.414， 3≈1.732 等；(2)估计无理数在哪两 个整数之间，如 9＜ 10＜ 16，即 3＜ 10＜4，故 10是 3 到 4 之 间的数．通常所采用的方法为：一般先对根式平方，找出与平方后 所得数字相邻的两个开得尽方的整数，然后再对这两个整数进行开 方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．
[对应训练] 4．(1)(2015·南京)估计 52－1介于( C Leabharlann Baidu A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 (2)(2014·安徽)设 n 为正整数，且 n＜ 65＜n＋1，则 n 的值为
(D ) A．5 B．6 C．7 D．8
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16； 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6 (4)计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次 根式的乘除运算，然后合并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab ＝ a· b(a≥0，b≥0)， ba＝ ba(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解， 后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即 可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根 式；(4)二次根式乘除结果要化为最简二次根式．
(3)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2 ＋ （a－b－c）2 ＋ （b－c－a）2 ＋
（c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋
c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于 或等于 0；(2)注意二次根式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判 断出各式的正负性，再化简．
【点评】 (1)x2＋xy＋y2 是一个对称式，可先求出基本对称式 x＋y＝4，xy＝1，然后将 x2＋xy＋y2 转化为(x＋y)2－xy，整体代入 即可；(2)注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.
3．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的
[对应训练] 2．(1)(2015·聊城)计算：( 2＋ 3)2－ 24＝___5___． (2)计算： ① 24× 13－4× 18×(1－ 2)0； 解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2 ②(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8＋4 2－1＝8 ＋4 2
正解 解：∵a＝2－ 3＜1，∴a－1＜0. ∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a. ∴原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－1a－－1a＝a －1＋1＝a. ∴当 a＝2－ 3时，原式＝2－ 3
2016 年中考预测题 1. 16的算术平方根是( A ) A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．已知：y＝ x－2＋ 4－2x＋3，则 xy 的值为__8____．
A．x3＋x3＝2x3
B．a6÷a3＝a2
C. 12＝2 3 D．(13)－1＝3
命题点 2：二次根式的运算 1．(2012·山西)下列运算正确的是( D ) A. 4＝±2 B．2＋ 3＝2 3 C．a2·a4＝a8 D．(－a3)2＝a6
2．(2015·山西)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的 任务．
试题 已知 a＝2－ 3，求aa2＋－11－ a2a－－21a＋1的值． 错解 解：原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－ （aa－－11）2＝a－1－aa－ －11＝a－ 2. ∴当 a＝2－ 3时， 原式＝2－ 3－2＝－ 3.
剖析 (1)题目中的隐含条件 为 a＝2－ 3 ＜1，所以 a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一， 上题中的隐含条件 a＝2－ 3＜1 是进行二次根式化简的依据，应注 重分析能力的培养，提高解题的正确性．
值为( C )
A．9 B．±3 C．3 D．5
(2)(2015·孝感)已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋
3)x＋ 3的值是( C )
A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
(3)(2014·德州)若 y＝
x－4＋ 2
4－x－2，则(x＋y)y＝___14____．
【例 4】 (1)(2015·天津)估计 11的值在( C ) A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间 (2)(2015·苏州)若 m＝ 22×(－2)，则有( C ) A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0 C．－2＜m＜－1 D．－3＜m＜－2
斐波那契数列中的第
n
个数可以用
1 1＋ 5[( 2
5)n－(1－2
5)n]表示
(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．
请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第
2 个数．
解：第 1 个数：当 n＝1 时，15[(1＋2
5)n－(1－2
5)n]＝
1 1＋ 5( 2
5－
1－ 2
5)＝1
第
2
个数：当
n＝2
时，
1 1＋ 5[( 2
5)n－(1－2
5)n]＝
1 5
1＋ [( 2
5
)2
－
(
1－ 2
5 )2] ＝
1 5
(
1＋ 2
5
＋
1－ 2
5 1＋ )( 2
5
－
1－ 2
5)＝
1 5
×1× 5＝1
【例 1】 (1)下列各式中
2，3 5，－ 3， －7， x2＋1，一定是二次根式的有( B )个． A．2 B．3 C．4 D．5 (2)等式 2kk－－31＝ 2kk－－31成立，则实数 k 的范围是( D ) A．k＞3 或 k＜12 B．0＜k＜3 C．k≥12 D．k＞3
－3.∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
【例 3】 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值； (2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．
解：(1)原式＝(x＋y)2－xy＝16－1＝15 (2)(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝5，x－1x＝± 5
斐波那契(约1170－1250)是意大利数学家，他研究了一列数， 这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着一列数 称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结 果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数 恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在 实际生活中也有广泛的应用．