计量资料的统计指标

小结
z 同质的资料计算平均数才有意义 z 根据资料分布的特征选用适当的平均数
{ 均数：正态分布、单峰对称分布的资料 { 几何均数：等比资料、滴度资料、正偏态资料，呈对数正态分布 资料 { 中位数：理论上可用于任何分布资料，但当资料适合计算均数或 几何均数时，不宜用中位数。 （偏态分布、分布不明资料、有 不确定值的资料）
频数分布和频率分布性质
１１０名７岁男孩身高频数表
组段 106109112115118121124127130133-136 频数 2 6 13 21 24 17 15 9 2 1 累计频数 2 8 21 42 66 83 98 107 109 110 频率 1.82 5.45 11.82 19.09 21.82 15.45 13.64 8.18 1.82 0.91 累计频率 1.82 7.27 19.09 38.18 60 75.45 89.09 97.27 99.09 100
组
段 (1) 124 ～ 128 ～ 132 ～ 136 ～ 140 ～ 144 ～ 148 ～ 152 ～ 156 ～ 160 ～
频
数 (2) 1 2
累计频数 (3) 1 3 13 35 72 98 113 117 119 120
累计频率 (4) 0.83 2.50 10.83 29.17 60.00 81.67 94.17 97.50 99.17 100.00
频率密度图性质(n→∞)
•现(n≠110),假定在该地区随机抽了ｎ个７岁男孩并 且n→∞，则各个组段的频率→各自的概率 •身高为各个组段的概率＝各个组段的直方条面积 •各个组段的面积（概率）之和为１
频率密度图性质概率)为0.064 [118,121)的直方条面积(概率)为0.073 则身高在[115,121)的概率为 [115,121)的直方条面积= 0.064+0.073= 0.137
年龄组 1～2 月 5～6 月 3～3.5 岁 5～5.5 岁
人数 100 120 300 400
均数 56.3 66.5 96.1 107.8
n甲=5 n乙=5
24， 27， 30， 33， 36 X 乙 =30 kg
z 上述两组数据的特点：
{ 集中位置 相同：均为30kg { 离散程度不同：各观察值离均数的远近不同
二、描述离散程度的指标
全距(Range) 亦称极差，记为R，是一组变量值中最大值 与最小值之差。 优点：简单明了 缺点：不灵敏、不稳定
10 22 37 26 15 4 2 1 120
合
计
百分位数例
z 利用上表，求P50，P25，P75
P50 = 140 + 4 × (120 × 50% − 35) = 142.94(cm) 37
4 P25 = 136 + × (120 × 25% − 13) = 139.09(cm) 22 P75 = 144 + 4 × (120 × 70% − 72 ) = 146.78(cm) 26
CV =
s X
× 100%
变异系数的两个特点及相应的用途
z 没有单位
{ 反映标准差占均数的百分比或标准差是均数的几倍 { 可用来比较度量衡单位不同的资料的变异度
例3.6 身高和体重的变异
z 不受平均水平的影响
{ 反映的是以均数为基数的相对变异的大小 { 比较均数相差悬殊的资料的变异度
表 2.4 某地年龄儿童身高(cm)的变异
各个组段的频率之和（累计频率）＝１
频率密度图(纵坐标为频率/组距)
每个直方条的面积=纵坐标×组距=（频率/组距）×组距=频率 各个直方条的面积之和＝各个组段的频率之和＝１
频率密度图性质
•身高<112cm的频率=组段[106,109)和[109,112)的频率之和＝ [106,112)的直方条面积。 •112cm≤身高<118cm的频率=[112,118)的直方条面积
计量资料的统计指标
上海交通大学医学院 生物统计教研室 宋艳艳
定量资料指标描述
集中趋势（集中位置）：算术平均数 几何均数 中位数 百分位数 离散趋势（变异程度）：极差、四分位数间距、方差、标准差
扔“硬币”实验
实验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊 n 2048 4040 12000 24000 m正 1061 2048 6019 12012 f n（正） 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
百分位数是一种位置指标，第x百分位数用Px 表示。在该序列中，有x%的观察值小于 它，（100-x）%的观察值大于它。因此， 中位数实际上是一种特殊的百分位数。
X% PX 50％分位数就是中位数
(100-X)%
PX = L + i ( n ⋅ X % − ∑ f L ) / f
z 其中 L：P所在组下限 i：P所在组组距 f：P所在组频数 n：样本例数 ΣfL：小于P所在组的各组段累计频数
小结
z 计算几何均数时：
变量值中不能有0 同一组变量值不能同时存在正、负值 若变量值全为负值，可先将负号除去，算出结果后再冠 以负号
z 样本含量较少时不宜计算靠近两端的百分位数 z 平均数要与变异指标结合使用
z 有甲、乙两组同性别同年龄儿童体重(kg)：
甲组 乙组 26，28，30，32，34
X 甲 =30 kg
概率密度曲线
.08
probability density curve
.06
d e n s ity
.04
.02
0 80 100 120 x 140 160
当n→∞，直方条面积(频率)→各自的概率 然后组距→０时，直方条的宽度→０，直方条→垂直 线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线， 即：概率密度曲线，而曲线下(直方条)的总面积始终 为１，身高在区间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面 积(直方条面积) 。
lg G = (lg 7 + lg10 + " + lg 20) / 6 = 1.1045 G = 12.7(天)
z 适用条件： 成倍数关系的资料如抗体滴度、效价 经对数变换后呈正态分布的资料如某些传染 病的潜伏期。
z 中位数(median)用M表示，它将总体或样本的全 部观察值分成两部分，、每部分各有50%个观察 值，其计算方法为：先将原始观察值按由小到大 顺序排列后，位次于中间的那个观察值为中位 数。观察值数为奇数时，处于中间的那个数为中 位数。偶数时处于中间的两个数的均数为中位 数。
方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)
σ
2
(X − μ) ∑ =
N
2
σ=
∑( X − μ)
N
2
s=
∑ (X − X )
n −1
2
标准差显示一组变量值与其均数的间距， 故标准差直接地、总结地、平均地描述了 变量值的离散程度。
z 变异系数(coefficient of variation) {亦称离散系数(coefficient of dispersion)，是 标准差s与均数之比，即：
x1 + x2 + " + xn x =∑ x= n n
例3.1 8名7岁男童的体重分别为17.5 18.0 20.2 21.2 22.3 22.5 23.1 24.0
z 2)加权法：
z 对于频数表资料，用组中值[（下限+上限）/2]代 替某一组段的实际取值。
fx ∑ x= ∑f
组段 3.9~ 4.1~ 4.3~ 4.5~ 4.7~ 4.9~ 5.1~ 5.3~ 5.5~ 5.7~5.9
正态分布的参数
z 如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称该变
2 量服从正态分布。记做 X ~ N ( μ , σ )
z 总体均数(位置参数) μ ：描述正态分布的集中趋势的 位置 z 总体标准差(变异度参数) σ ：描述正态分布离散趋 势， 越小，分布越集中，曲线形状越 “瘦高”；反之越“矮胖”。 z 正态曲线的形状由 μ , σ 两个参数决定
2 3 4 5 适用条件： 1 正态分布或单峰对称分布的资料
6
7
8
2、几何均数（geometric mean,G）
计算公式 G = n x1 x2 " xn = (∏ x)
1 n
对数计算
log G = ∑ log x / n
log G = ∑ f log x / ∑ f
z p39
G = 6 7 × 10 × 12 × 14 × 18 × 20 = 12.7(天)
⎧ X ( n +1) / 2 M =⎨ ⎩ ( X n / 2 + X n / 2 +1 ) / 2 当 n 为奇数 当 n 为偶数
z 例3.3
7，10，12，14，18，20
M = (12 + 14) / 2 = 13(天)
z 如再增加一个数据15，则n=7，为奇数，取 中间的那个数为中位数，有： z 7，10，12，14，15，18，20这组数据的 中位数M=14。
组中值 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8
频数（f） 4 5 8 12 19 21 31 8 9 3
∑ f = 120
特性：1. 2.
∑ (x − x ) = 0
2 2 ( x − x ) 〈 ( x − a ) ∑ ∑
几何意义： 均数代表每组观察值的平衡点，也就是重心。如:(1，4， 7，8)则均数为5。则图示如下：
频率具有波动性,但当n越来越大时，频率趋于某 个稳定的常数(概率)，所以只要观察单位数充分 多，可以将频率作为概率的估计值。
通过例子介绍概率密度曲线的意义
例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人， 测量他们的身高，并以身高观察值(cm)为数据，试 刻画７岁男孩身高分布。
112.6 128.7 124.1 117.1 117.2 107.7 122.1 114.2 118.5 114.6 120.9 122.0 122.3 115.5 116.4 114.6 122.1 120.4 119.4 120.0 115.3 121.5 114.2 117.6 123.2 117.1 112.6 113.4 119.7 124.6 126.6 123.0 114.4 116.5 123.4 118.6 115.8 116.6 129.0 110.8 125.3 114.8 123.9 111.6 115.7 120.7 122.8 119.1 118.4 128.4 124.0 117.8 112.0 118.2 125.6 124.7 130.6 124.1 121.2 119.2 107.4 119.4 125.2 119.3 127.6 128.7 128.3 121.6 117.8 115.1 116.1 124.4 119.1 124.1 115.3 123.1 113.0 109.4 121.7 124.0 124.3 111.9 120.9 122.1 115.8 118.0 118.8 119.3 109.8 118.1 110.6 132.8 117.1 126.8 128.1 133.3 120.1 119.1 113.7 122.3 114.5 116.8 129.9 115.6 125.5 123.8 117.0 128.2 119.0 119.9
正态分布的概率密度
z 正态曲线（normal curve）：高峰位于中 央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两段 永远不与横轴相交的钟型曲线。 z 正态曲线的函数表达式 度函数：
f (x) 称为正态分布密
( x − μ )2 2σ 2
− 1 f ( x) = e σ 2π
正态分布曲线的特点
z 始终位于横轴上方 z 关于 μ 左右对称，正态高峰位于中央 z 在 μ 处取得该概率密度函数的最大值，在 x = μ ± σ 处有拐点，表现为钟形 z 靠近 x = μ 处曲线下面积较为集中,两边减少,意 味着正态分布变量取值靠近 x = μ 处的概率较 大,两边逐渐减少 z 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
数据分布的特征
集中趋势 (位置) 离散趋势 (变异程度) 偏态和峰度 （形状）
集中位置的描述----平均数(average)
1、算术平均数（ arithmetic mean, mean）：简称均数 总体均数(population mean)--- μ 样本均数(sample mean)--- χ 1)直接法：