高考数学微专题12答案

微专题12

例题1

证法1如图1，在四棱锥PABCD中，

取线段PD的中点M，连接FM，AM.

因为F为PC的中点，所以FM∥CD，

且FM＝1

2CD.

因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

所以EA∥CD，且EA＝1

2CD.所以

FM∥EA，且FM＝EA.

所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.

又AM平面PAD，EF平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

证法2如图2，在四棱锥PABCD中，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.

因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.

所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，

所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.

又F为PC的中点，所以EF∥NP.

又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.

证法3如图3，在四棱锥PABCD中，取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD 中，E为AB的中点，

所以AE＝DQ，且AE∥DQ.

所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.

又AD平面PAD，EQ平面PAD,

所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，

所以FQ∥PD.

又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ∥平面PAD.

又FQ，EQ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，

所以平面EQF∥平面PAD.

因为EF平面EQF，所以EF∥平面PAD.

(2)在四棱锥PABCD中，设AC，DE相交于点G(如图4)．

在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E 为AB的中点．

所以

DA

AE＝

CD

DA＝2，

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，

所以∠ADE＝∠DCA.

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，

所以∠DCA＋∠CDE＝90°.

由△DGC的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.

即DE⊥AC.

因为点P在平面ABCD内的正投影O 在直线AC上，

所以PO⊥平面ABCD.

因为DE平面ABCD，所以PO⊥DE.

因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，

所以DE ⊥平面PAC ， 又DE 平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE.

变式联想

变式1

证明：(1)因为E ，F 分别是A 1D 1，B 1C 1

的中点，所以EF ∥A 1B 1，

在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ，

所以EF ∥AB.

又EF 平面ABHG ，AB

平面ABHG ，

所以EF ∥平面ABHG.

(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，

又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.① 设BH ∩CF ＝P ，△BCH ≌△CC 1F ，所以∠HBC ＝∠FCC 1，因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.

所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.② 由①②，又DC ∩CF ＝C ，DC ，

CF 平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED.

又BH 平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED. 变式2

证明：(1)如图，连接MN ，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，

AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，

所以MN ∥AA 1且MN ＝AA 1， 又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中AA 1∥BB 1

且AA 1＝BB 1，

所以MN ∥BB 1且MN ＝BB 1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，

所以B 1M ∥BN ，又B 1M 平面A 1BN ，

BN 平面A 1BN ，

所以B 1M ∥平面A 1BN.

(2)正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，

BN 平面ABC ，所以BN ⊥AA 1， 在正△ABC 中，N 是AB 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1，AC 平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，

所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD 平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，由题意得，AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63，所以AA 1AC

＝AN

CD

＝3

2，又∠A 1AN ＝∠ACD ＝π2

，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD ，

所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π

2，则AD ⊥A 1N ，又BN ∩A 1N

＝N ，BN ，A 1N

平面A 1BN ，所以AD ⊥

平面A 1BN.

说明：变式1和2都通过“计算”来证明垂直，复习时应注意长度，角度等量的“计算”的运用来实现位置关系的求证．

串讲激活

串讲1

解析：(1)因为BC

⊥平面PAB ，AD 平面PAB ，所以BC ⊥AD.因为PA ＝AB ，D 为PB 的中点，所以AD ⊥PB.因为PB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面PBC.

(2)连接DC ，交PE 于点G ，连接FG.因为AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ，所以AD ∥FG.因为D 为PB 的中点，E 为BC 的中点，连接DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG.所以DG GC ＝DE PC ＝12.所以AF FC ＝DG GC ＝1

2.

串讲2

解析：(1)在三棱台ABCDEF 中，AC ∥DF ，又AC 平面ACE ，DF 平面ACE ，所以DF ∥平面ACE ，又DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，所以

DF ∥a.