高考数学微专题12答案
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
2023年新高考数学创新题型微专题12 立体几何专题(新定义)(解析版)
专题12 立体几何专题（新定义）一、单选题1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长，在球中，D 表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ），球（直径为a ）的“立圆率”分别为1k ，2k ，3k ，则123::k k k =（ ） A ．:1:46ππB ．:2:46ππC ．3:2:2πD ．111::64π【答案】A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为231=2a V a k a π⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱，所以14k π=，因为332V a k a ==正方体，所以21k =，因为333432a V k a π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球，所以36k π=，所以123::k k k =:1:46ππ.故选：A.2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V =16h（S +4S 0+S'），其中S ，S'分别是上､下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（ ） （注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积188S =⨯，中截面积0199S =⨯，下底面积12010S =⨯，所以该建筑材料的体积为V =()1514114468420063⨯⨯++=立方米，所以建筑材料重约514325732⨯=（吨）， 需要的卡车次为257464.25÷=，所以至少需要运65车. 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例1 1.6182⎛⎫⎝≈ +⎪⎪⎭，胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若2h as =，则由勾股定理，22as s a =−，即210s sa a⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，因此可求得s a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形(2856)a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）．A ．611.6B ．481.4C ．692.5D ．512.4【答案】C【解析】由2856a =和PH s ==可得【详解】解：12PH s a ==，2856a =8566922.5PH s ==≈ 故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点， 因此，该正八面体的总曲率为62π8π4π⨯−=. 故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈−︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒【答案】D【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角()9039542745θδ'''=︒−︒−=︒可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角()9039542750533θδδ''''''=︒−︒−=︒+， 由华表的高和影长相等可知45θ=︒，所以45505335533δ''''''=︒−︒=−︒. 所以该天太阳直射纬度为南纬5533'''︒， 故选：D.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）A ．100πB ．600πC ．200πD ．300π【答案】A【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为20π5=100π⨯． 故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为()()1223111 1.2,3,32k i Q PQ Q PQ Q PQ Q i k π−∠+∠+⋯+∠=⋯≥其中，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，23Q PQ ，……，1k Q PQ 遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a ，b ，c ，d ，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a d c >>>D ．c d b a >>>【答案】B【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a 、b 、c 、d 的值即可比较大小. 【详解】对于正四面体，其离散曲率为111(3)232a ππ=−⨯=， 对于正八面体，其离散曲率为111(4)233b ππ=−⨯=， 对于正十二面体，其离散曲率为1311(3)2510c ππ=−⨯=， 对于正二十面体，其离散曲率为111(5)236d ππ=−⨯=， 则111123610>>>， 所以a b d c >>>. 故选：B.8．（重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题）如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为2πS RH =，球缺的体积公式为()21π33V R H H =−，其中R 为球的半径，H 为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2，则这两个球缺的体积之比为（ ）．A ．19B ．1120C ．720D ．310【答案】C【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，① 由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，② 所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=−⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 大球缺的体积2321480ππ333381R R V R ⎛⎫=−⨯=⎪⎝⎭， 所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳60（Co ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.A ．12B ．20C ．32D ．60【答案】B【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有x 个，正六边形有y 个，根据面数和棱数即可得关于,x y 的方程组，解得y 的值，即可求解.【详解】根据题意， 碳60（Co ）由60个顶点，有32个面， 由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为6032290+−=， 设正五边形有x 个，正六边形有y 个，则3256902x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩，解得：1220x y =⎧⎨=⎩，所以六元环的个数为20个，故选：B.10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设b a >，定义区间[,)a b 、(,]a b 、(,)a b 、[,]a b 的长度均为b a −.在三棱锥A BCD −中，2AB BC CA ===，AD BD ⊥，则CD 长的取值区间的长度为AB ．2C ．D ．4【答案】B【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A - BCD 存在时CD 的范围，则答案可求. 【详解】如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，取AB 中点O ,连接CO ，DO ,可得CO因为AD ⊥BD ,当AD =BD 时，OD 最长为1,则当等腰直角三角形ABD 在平面ABC 上时，CD1，则要使三棱锥A - BCD 存在，CD ∈所以CD 长的取值区间的长度为-1)=2. 故选：B【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.二、多选题11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）A B．侧面积为C ．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π D．底面积为 【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．【详解】不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形ABCD BFDE 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面， 由圆柱的性质知45ABF ∠=︒，则BF ，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，则22a b ，a =，2c ==，所以离心率为c e a ==A 正确； EG BF ⊥，垂足为G ，则EG 6=，易知45EBG ∠=︒，BE =4CE AF AB ===，所以斜圆柱侧面积为22(4224S ππ=⨯⨯+−⨯⨯=，B 正确；24b =，2b =，2a =，a =椭圆面积为ab π=，D 正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为24216ππ⨯=，C 错． 故选：ABD ．12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在每个顶点的曲率为233πππ−⨯=，故其总曲率为4π．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（ ）A ．正方体在每个顶点的曲率均为2π B ．任意四棱锥的总曲率均为4π；C ．若一个多面体满足顶点数V ＝6，棱数E ＝8，面数F ＝12，则该类多面体的总曲率是3π；D ．若某类多面体的顶点数V ，棱数E ，面数F 满足2V E F −+=，则该类多面体的总曲率是常数 【答案】ABD【分析】根据曲率的定义依次判断即可.【详解】对于A ，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为2322πππ−⨯=，故A 正确；对于B ，由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数−各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()254214ππππ⨯−⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有2V E F −+=，而选项C 中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C 不正确； 对于D ，设每个面记为[]()1,i n i F ∈边形，则所有的面角和为()()1122222FFi i i i n n F E F E F ππππππ==−=−=⋅−=−∑∑，根据定义可得该类多面体的总曲率()224V E F πππ−−=为常数，故D 正确. 故选：ABD.13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；③ sin a b a b a b ⨯=〈〉，．如图2，在长方体1111ABCD A B C D −中，124AB AD AA ===，，则下列结论正确的是（ ） A ．1AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ D ．11111()ABCD A B C D V AB AD CC −=⨯⋅ 【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =AD =2，14AA =，A ：1AA 同时与AB AD ，垂直，sin =22sin 904AB AD AB AD AB AD ︒⨯=⨯⨯=，， 又因为1=4AA ，所以AB AD ⨯=1AA ，且AB AD ，，1AA 构成右手系，故1=AB AD AA ⨯成立，故A 正确；B ：根据a b a b ⨯，，三个向量构成右手系，可知1=AB AD AA ⨯，1=-AD AB AA ⨯， 则AB AD ⨯≠AD AB ⨯，故B 错误；C ：11()224sin 90AB AD AA AC AA ︒+⨯=⨯==1AC AA ⨯与DB 同向共线，124sin 908AB AA ︒⨯=⨯=，且1AB AA ⨯与DA 同向共线，又124sin 908AD AA ︒⨯=⨯=，且1AD AA ⨯与AB 同向共线，即1AD AA ⨯与DC 同向共线，所以1182AB AA AD AA ⨯+⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯与DB 同向共线， 所以1()AB AD AA +⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯，故C 正确； D ：长方体1111ABCD A B C D −的体积22416V =创=，2111()416AB AD CC AA CC ⨯⋅=⋅==，所以1111ABCD A B C D V −=1()AB AD CC ⨯⋅，故D 正确.故选：ACD14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A ．长方体中含有两个相同的等腰四面体B ．“等腰四面体”C ．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D ．三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】ABC【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项． 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −有两个相同的等腰四面体：11ACB D 和11A C BD ，A 正确；如等腰四面体11A C BD 中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的， 如图，设11111,,A D A B AA 的长分别为,,x y z ，不妨设x y z ≥≥，则11B D =1AD =1AB =1BD 最大，其所对角的余弦值为222222211cos 0B AD ∠==>，最大角11B AD ∠为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B 正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体11ACB D ，沿11,,AB AD AC 剪开摊平，11,ND PD 共线，同理可得,CM DP 共线，11,B M B N 共线，MNP △11ACB D 的面相似），且1111,,B C B D CD 是这个三角形的中位线，因此C正确；如上等腰四面体11A C BD 中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外D 错。
函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
高考数学专题一 微专题12 隐零点问题
f(x)＝12x2－x＋asin x，则 f′(x)＝x－1＋acos x， ∴f′(π)＝π－1－a＝π－2，∴a＝1， 令φ(x)＝x－1＋cos x，则φ′(x)＝1－sin x≥0恒成立， ∴φ(x)是增函数，当x>0时，φ(x)>φ(0)＝0，即f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝0， ∵λ≤f(x)恒成立，∴λ≤f(x)min＝0， ∴λ的取值范围是(－∞，0].
当a＝1时，f(x)＋g(x)＝bx＋ln x－xex，
由题意 b≤ex－lnxx－1x在(0，＋∞)上恒成立，
令 h(x)＝ex－lnxx－1x，
则
1－ln h′(x)＝ex－ x2
x＋x12＝x2ex＋x2 ln
x ，
令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1x>0，所以 u(x)在(0，＋∞)
专题一 函数与导数
微专题12
隐零点问题
考情分析
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在 函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般 对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条 件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
当 x0∈e12，＋∞时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 综上，当x0∈(0，＋∞)时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 得b≥－e. 故b的取值范围是[－e，＋∞).
考点三 与三角函数有关的“隐零点”问题
典例3 (2023·东北师大附中模拟)已知f(x)＝12x2－x＋asin x. (1)若在x＝π处的切线的斜率是π－2，求当λ≤f(x)在[0，＋∞)恒成立时的λ
专题12 解析几何-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
则 C 的焦距为_________．
【答案】4
【分析】由渐近线方程
3x + my = 0 化简得 y = −
3 x ，即 b =
m
a
3 ，同时平方得 b2
m
a2
= 3 ，又双曲线中 m2
a2
=
m, b2
= 1，故
3 m2
=
1 m
，解得 m = 3, m = 0 （舍去）， c2
= a2
+ b2
= 3+1= 4 c
C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP ，若 FQ = 6 ，则 C 的准线方程为______.
【答案】 x = − 3 2
【分析】抛物线 C ： y2 = 2 px
(
p
0
)的焦点
F
p 2
,
0
,
∵P 为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直，
所以 P 的横坐标为 p ，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为 p , 2
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的上顶点，若 C
上的任
意一点 P 都满足| PB | 2b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
A．
2 2
,1
【答案】C
B．
1 2
,1
C． 0,
2
2
D．
0,
1 2
【分析】设 P ( x0 ,
y0
)
，由
B
(
0,
b
)
，因为
x02 a2
+
y02 b2
所以 C 的准线方程为 x = − 3 2
考向29 数列求和(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向29 数列求和1．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S <<【答案】A 【分析】 显然可知，10012S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭112n na a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a ++局部放缩可得113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +11122n n n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】再由累加法可求得24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．2．（2011·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a =；（2）21nn -+. 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由a n ＝13n化简b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n，可得到bn 的通项公式，求出1n b 的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{a n }的公比为q , 由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19.由条件可知q ＞0,故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n. （2）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭. 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中.1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 【知识拓展】 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.1．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．40412．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，S 7＝35，将a 3，a 7，a 11，a 15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n }的前三项，则数列{a n b n }的前10项的和T 10＝（ ） A ．10⋅212B ．9⋅212C ．11⋅212D ．12⋅2123．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列{}n a 满足122a a +=，21cos n n a a n π+-=+，则数列{}n a 的前100项的和等于_______．4．（2022·全国高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[]1.52-=-在数列{}n a 中，[]lg ,n a n n N +=∈，记n T 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T = ___________.1．（2021·全国高三（文））已知数列{}n a 满足2110n n n a a a ++++=(*n N ∈)，且{}n a 中任何一项都不为1-，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若202220212022321a S a +=+，则1a 的值为（ ）A ．23B ．1C ．32D ．23-2．（2021·全国高三专题练习（文））我们把221nn F =+()0,1,2,n =⋅⋅⋅叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设()2log 1n n a F =-，1,2,3,n =⋅⋅⋅，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使不等式12320212n S S S S n +++⋅⋅⋅+>-成立的正整数n 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1163．（2022·全国高三专题练习）设数列{a n }满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{b n }的前n项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭4．（2021·江苏南京师大附中）已知i 为虚数单位，则复数22019202012i 3i 2020i 2021i z =+++++的虚部为（ ）A ．1011-B ．1010-C ．1010D ．10115．（2021·浙江高三开学考试）设()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=，数列{}n a 满足11a =-，且()1*121+⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭n n a a n n n N .则()22=f a （ ）A ．0B ．1-C ．21D ．226．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列{}n a 中，35a =，公差大于0，且41a +是21a +与73a +的等比中项，设()*11n n n b n N a a +=∈⋅，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．10102021C ．20204039D ．202040417．（2021·全国高三）已知数列{}n a 满足2222122n n a a a a +=，11a =，22a =，则下列表达式2222235674222224152637485a a a a a a a a a a a a a a a ++++的值为____________． 8．（2022·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.9．（2021·云南昆明市·高三（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，5712a a +=． （1）求n a 及n S ； （2）令12n nb S =，求数列{}2nn b +的前n 项和n T ． 10．（2021·吉林长春市·高三（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*11n n n a S S n N ++=-∈，11a=.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设2nn nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T .11．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，121n n a a +=+，且()()11112231N n n n n b n n n *+++=+++⨯⨯∈+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求满足()()2111n n n T a b ≥+--的正整数n 的值. 12．（2021·全国）已知数列{}n a 为等差数列，11a =，2810a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列112n a n n n c a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .1．（2012·四川高考真题（理））设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=A ．0B ．2116π C ．218πD ．21316π 2．（2012·上海高考真题（理））设，. 在中，正数的个数是（ ） A ．25.B ．50.C ．75.D ．100.3．（2011·安徽高考真题（文））若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1210a a a +++=（ ）A ．15B ．12C ．12-D ．15- 4．（2015·江苏高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．5．（2012·福建高考真题（理））数列{a n }的通项公式cos1,2n n a n π=+，前n 项和为S n ，则S 2012=___________ 6．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .7．（2015·天津高考真题（理））已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 8．（2012·江西高考真题（理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8.（1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列922n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 9．（2014·浙江高考真题（理））已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设．记数列的前项和为.（i ）求；（ii ）求正整数，使得对任意，均有． 10．（2013·安徽高考真题（文））设数列满足，,且对任意，函数满足(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.1．【答案】C 【分析】根据2n S n =联系到通项与前n 项和公式的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，求出 11111()22121n n a a n n +=--+，根据式子特点，求前n 项和用裂项相消法，即可求出T 20。
隐圆问题的十大类型：高考数学微专题
隐圆问题的十大类型：高考数学微专题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．1124．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB的中点M 的轨迹方程是__________.类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD 中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD =则CD 的最小值为（）B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．214已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.隐圆问题的十大类型（解析版）隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.解析：转化为4)3()2(22=--+-a y a x 与圆122=+y x 有两个交点，求a 的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：)0,56(-∈a .类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0解析：设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-，半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选B.例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．112解析：由动直线方程()30mx ny m n +-+=得()()130m x n y -+-=，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 为直径的圆上，5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最大值为5113+22=.故选：D.4．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．解析：圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r 依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 始终与圆C 相切，即圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最1r ==AB 的最小值是2⨯=.故选：A5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+解析：由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d =，所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.解析：由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+类型4.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(≠=⋅→→λλPB P A .分析：由于||AB 定值，设AB 中点为M ，根据平面向量部分极化恒等式可得：222||41||)0(41AB PM AB PM PB P A +=⇒≠=-=⋅→→→→λλλ，故动点P 是以AB 中点M为圆心，半径为2||41AB +λ的圆.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6解析：由上述分析可知，故动点P 是以EF 中点M 为圆心，半径为2||41EF +λ的圆.故此题中点P 以EF 中点M 为圆心，半径为10的圆，所以，共有4个点满足条件.故选：C类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .解析：由于→→→→⋅-+=+PB P A PB P A PB P A 2)(||||222，设AB 中点为M ，则由向量关系与极化恒等式可知：λ=--=⋅-+→→→→→→→)41(242)(2222AB PM PM PB P A PB P A ，整理可得：→→+=22412AB PM λ，显然动点P 以M 为圆心，→+2412AB λ为半径的圆.类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.解析：由2,AB AC ==，见系代入得22(3)8x y -+=．设圆心为M ，显然当CM x ⊥轴时，ABC 面积最大，此时||CM =．所以()122ABC mx S ∆=⋅⋅=．类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.解析：设点M 的坐标为(,)x y ，点00(,)A x y ，M 为AB 的中点，B 的坐标为(4,3)，004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，点00(,)A x y 满足2200(1)4x y ++=22(241)(23)4x y ∴-++-=，即2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点M 的轨迹是以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，点M 的轨迹方程为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD=则CD 的最小值为（）解析：如图，可设x AB =，则x BC x AC 3,2==，则由托勒密不等式可得：BD AC AB CD BC AD ⋅≥⋅+⋅，代值可得：362233≥⇒⋅≥⋅+⋅CD x x CD ，等号成立当且仅当D C B A ,,,四点共圆.B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.解析：依题→→b a ,夹角为43π，而向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，故由四点共圆结论可知，向量→c 的终点C 与B A O ,,四点共圆，则||→c 的最大值即为圆的直径，由于5||||=-=→→b a AB 则由正弦定理：1043sin||||max ==→πAB c .13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．2解析：设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴= ，由2430be b -⋅+= 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离2321，为1.-选A.14已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2解析：在平面内一点O ，作OA a = ，OB b = ，OC c = ，则0a b OA OB ⋅=⋅=，则OA OB ⊥，因为1a b ==，则1== OA OB ，故AOB为等腰直角三角形，则AB =uu u r取AB 的中点E ，则()()()11112222OE OA AE OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+，所以，()22222a ba b a b +=++⋅=，所以，2122a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()()212c a c b c c a b -⋅-=-⋅+= ，所以，()()()22222142a b a b c c a b c OC OE EC +⎛⎫+-⋅++=-=-== ⎝⎭，则1EC = ，所以，12c a OC OA AC AE EC AE EC -=-==+≤+=+.11当且仅当AE 、EC 同向时，等号成立，故c a -1.故选：B.类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.。
不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <． 另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >， 所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)， 则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C【解析】令e =x a x ，1xb x=-，ln(1)c x =--， ① ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ， ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈；1'1011x y x x-=-=<--， 所以0y ，所以ln ln 0-a b ，所以b a > ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ， 所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)， 故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。
导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向14导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】1ey x = 1e y x =-【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-； 故答案为：1ey x =；1e y x =-【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2．过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．一、导数的概念和几何性质1．概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．二、导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为（ ） A ．34y x =+ B ．43y x =+ C ．34y x =- D ．43y x =-【答案】C【解析】()21e x y x -'=+，2|3x y ='=，曲线2x y xe -=在点（2，2）处的切线方程为()232y x -=-，即34y x =-．故选：C.2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310 B ．±310C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++ 所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y ，此时tan 3α=，∴2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.3．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln 3C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,0⎡⎣ B ．)22,0⎡⎣C ．(,23-∞D ．(,22-∞【答案】D【解析】因为)2ln 3y x x a x =++，所以123y x a x'=++， 因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan33y ≥'0x >恒成立，即1233x a x++-≥对任意0x >恒成立， 即12a x x≤+，又1222x x +≥，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立，故22a ≤， 所以a 的取值范围是(,22⎤-∞⎦． 故选：D ．4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①； 由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②； 对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③， 联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.1．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“连续不一定可导”知，“()f x 在0x x =处连续”不能推出“()f x 在0x x =处可导”, 比如函数()f x x =在0x =处连续，但是()f x x =在0x =处不可导；由“可导一定连续”知，“()f x 在0x x =处可导”可以推出“()f x 在0x x =处连续”. 因此()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的必要不充分条件 答案选：B2．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<- B ．3n m >- C ．0n < D ．30n m <=-【答案】A【解析】设切点为()3,t t -，由323y x y x '=-⇒=-，故切线方程为()323y t t x t +=--，因为()(),0m n m <在切线上，所以代入切线方程得32230t mt n --=， 则关于t 的方程有三个不同的实数根，令()3223g t t mt n =--，则()2660g t t mt t m '=-=⇒=或0=t ，所以当(),t m ∈-∞，()0,∞+时，()0g t '>，()g t 为增函数， 当(),0t m ∈-时，()0g t '<，()g t 为减函数， 且t →-∞时，()g t →-∞，t →+∞时，()g t →+∞，所以只需()()()()300g t g m m n g t g n ⎧==-->⎪⎨==-<⎪⎩极大值极小值，解得30n m <<-故选：A3．（2022·全国·模拟预测（理））过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点， 即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．13【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅， 当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．eC eD ．2e【答案】B【解析】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x 在e)上递增，在(e,)+∞上递减，∴max ()(e)e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B.6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是A ．ln y x x =+B ．3y x =C ．cos y x x =-D ．sin y x x =+【答案】D【解析】对于A ，C ，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B ，23y x '=，若斜率相同，则切点300()A x x ，，300()B x x --，，代入解得切线方程分别为230032y x x x =-，230032y x x x =+；若切线重合，则00x =，此时两切点A ，B 为同一点，不符合题意，故B 错误；对于D ，1cos y x '=+，令1cos 1y x '=+=，得π()2k x k =∈Z ，则取ππ5π5π112222A B ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，切线均为1y x =+，即存在不同的两点A ，B 使得切线重合，故D 正确. 故选：D ．7．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B【解析】由()e xf x x =，()()1e x f x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()xf x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B8．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．219ab+≥ B ．19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤【答案】ACD【解析】设切点为()00,x y ，因为1e x y -'=，所以0010010e 12e 1x x y x a y b --⎧=⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得01x =， 122a b +=-，即21a b +=，对于A ，2121(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2255249b a a b=++≥+=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当14a =，12b =时，等号成立，故B 不正确；对于C 2222(12)a b a a ++-2541a a -+2215555a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D ，由2222a b a b ++≥⎝⎭22a b ⇒≤D 正确. 故选：ACD9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ） A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值 B ．直线P 1P 2的斜率为定值 C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1] 【答案】ABC【解析】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1≥x 时，1y x'=， 不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <， 若1201x x <<≤时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意； 若211x x >≥时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意. 所以1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ， 若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对； 对于选项B ，易知点()111,ln P x x -，()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点10,1ln A x ， 直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --， 所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，选项C 对；对于选项D ，联立112211ln {1ln 1y x x x y x x x =-+-=+-可得1212121221P x x xx x x x ==++， 令()221xf x x =+，其中()0,1∈x ，则()()()2222101x f x x -'=>+，所以，函数()f x 在0,1上单调递增，则当()0,1∈x 时，()()0,1f x ∈， 所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，选项D 错. 故选：ABC.10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数()()()2e R xf x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，当a 变化时，记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ，点()()22,x f x 构成的曲线为2C ，则（ ）A ．曲线1C 恒在x 轴上方B ．曲线1C 与2C 有唯一公共点C ．对于任意的实数t ，直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D ．存在实数m ，使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为()()()2e R x f x x ax a a -=++∈，则()()22e x f x a x x -'⎡⎤=--⎣⎦，令()0f x '=可得0x =或2x a =-，因为函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，则20a -≠，即2a ≠. 当20a -<时，即当2a >时，10x =，则()12f x a =>，当20a ->时，即当2a <时，12x a =-，则()()()()121124e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，则曲线1C 为函数()()()2e0xg x x x -=+>的图象以及射线()02x y =>，且当0x >时，()()2e 0xg x x -=+>，所以，曲线1C 在x 轴上方，A 对；对于B 选项，当20a -<时，即当2a >时，22x a =-，则()()()()222224e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，当20a ->时，即当2a <时，20x =，则()22f x a =< 所以，曲线2C 为函数()()()2e0xh x x x -=+<的图象以及射线()02x y =<，由图可知，曲线1C 、2C 无公共点，B 错； 对于C 选项，对于函数()2e x x g x +=，()()1210e exx x x g x -++'==-<， 此时函数()g x 在()0,∞+上单调递减，且()0g x >，结合图象可知，当0m ≤时，直线y t =与曲线1C 没有公共点，C 错；对于D 选项，对于函数()2e x x x ϕ+=，()1ex x x ϕ+'=-，则()01ϕ'=-， 又因为()02ϕ=，所以，曲线()y x ϕ=在0x =处的切线方程为2y x -=-，即2y x =-+. 构造函数()()2222e e x xx x p x x x ++=--+=+-，则()00p =， ()1e 11e e x x xx x p x +--'=-=，令()e 1xm x x =--，则()e 1x m x '=-，当0x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当0x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，()()00m x m ≥=，所以，()e 10ex xx p x --'=≥且()p x '不恒为零， 所以，函数()p x 在R 上为增函数， 当0x <时，()()00p x p <=，即22e xx x +<-+， 当0x >时，()()00p x p >=，即22e xx x +>-+， 所以，曲线1C 、2C 分布在直线2y x =-+的两侧，D 对.故选：AD.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f xg x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1.12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________. 【答案】8【解析】设直线y x a =+与曲线121x y e b -=-+相切于点()00,x y 由函数121x y e b -=-+的导函数为1x y e -'=，则001|e 1x x x k y -='===解得01x =所以0122y a b =+=-，即21a b +=则()21214424428b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⨯ ⎪⎝⎭当且仅当4b aa b =，即11,24a b ==时取得等号. 故答案为：813．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线. 【答案】32()f x x x （答案不唯一）【解析】若()f x 同时满足所给的两个条件，则2()320f x x ax '=-+≤对[1,)x ∈+∞恒成立，解得：min32a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即32a ≤， 且2()321f x x ax '=-+=-在[)1,+∞上有解，即3122x a x=-在[)1,+∞上有解，由函数的单调性可解得：31122x a x=-≥. 所以312a ≤≤.则32()f x x x （答案不唯一，只要()f x 满足32()f x x ax =-+（312a ≤≤即可） 故答案为：32()f x x x14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知()e 1xf x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______． 【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设公切线与()f x 相切于点(),e 1mm -，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，()e x f x '=，()1g x x '=，∴公切线斜率1e mk n==； ∴公切线方程为：()e 1e m m y x m -+=-或()1ln 1y n x n n--=-， 整理可得：()e 1e 1m my x m =---或1ln y x n n=+， ()1e 1e 1ln m m n m n⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩，即()ln 1e 1ln mm n m n =-⎧⎨-+=-⎩， ()()()1e 11e 10m m m m m ∴-+-=--=，解得：1m =或0m =， ∴公切线方程为：e 1y x =-或y x =.故答案为：e 1y x =-或y x =.15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()2e ,xf xg x x a==，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围__________．【答案】2e (,0),4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】数形结合可得：当0a <，存在一条直线同时与两函数图象相切；当0a >，若存在一条直线同时与两函数图象相切， 则,()0x ∈+∞时，2e xx a=有解，所以21,(0,)ex x x a ∞=∈+，令2(),(0,)ex x h x x ∞=∈+，因为22(2)()e e x x x x x x h x --=='， 则当(0,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 为单调递增函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 为单调递减函数； 所以()h x 在2x =处取得极大值，也是最大值， 最大值为24(2)eh =，且()0h x >在,()0x ∈+∞上恒成立， 所以2140,e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭． 故答案为：2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩，函数在1x =处的切线方程为____________．若该切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是____________． 【答案】 210x y --=【解析】切点坐标为()1,0，()142f x x '=-，()112k f '==，所以切线l 方程为1122y x =-． 函数5124f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()f x 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当切线l 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，切线l 与函数()f x 的图象有三个公共点，将其代入切线l 方程得32a =-；当切线l 与()22f x x x a =++（12x ≤）相切时直线与函数()f x 的图象只有两个公共点， 设切线l ：1122y x =-与()22f x x x a =++（12x ≤）在0x x =处相切，()001222k f x x '==+=，034x =-，所以切点坐标为315,416a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入切线方程解得116a =，因此直线与曲线有三个交点时，31216a -<≤．故答案为：32-；31,216⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-， 令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线y x =(00x x ，则00x >，函数y x =2y x'=，则直线l 的斜率02k x ， 设直线l 的方程为)0002y x x x x =-，即0020x x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=00145x + 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >3x <， 令()0f x '<得33x <<， 所以()f x 在33(上单调递减，在3(,-∞，3()+∞上单调递增，所以3x =是极值点，故A 正确； 因323(10f =>，323(10f =>，()250f -=-<， 所以，函数()f x 在3,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点， 当3x ≥()30f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误. 故选：AC.5．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1e y x = 1ey x =- 【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-； 故答案为：1e y x =；1ey x =- 6．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++,切线方程为：()()()0000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()0000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞, 故答案为：()(),40,-∞-+∞7．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 【答案】0,1 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211x e A x M +，2221x e B x N =+，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11xxxxe e x x e AM e y M x -+=---+，所以()112221111x x x e x e x AM ++，同理2221x e B x N +, 所以()1111212222122221110,1111x x x x x x x e x e e e e e e Nx AM B -===+⋅++∈+++⋅=. 故答案为：0,1 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 8．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+= 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=．9．（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围． 【答案】(1)3 (2)[)1,-+∞ 【解析】 【分析】（1）先由()f x 上的切点求出切线方程，设出()g x 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. (1)由题意知，(1)1(1)0f -=---=，2()31x f x '=-，(1)312f '-=-=，则()y f x =在点()1,0-处的切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()22g x x '==，解得21x =，则(1)122g a =+=+，解得3a =；(2)2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y xx x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭， 令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >， 令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,11 ()1,+∞()h x '-+-0 +()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+， 导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上 单调递增，在113113,33a a ⎡⎤⎢⎥⎣-+-⎦-上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+， 则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 12．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)， 则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++， 所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()St 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()St 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t t =⋅，令a t 2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a +=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2)(2)2a a a a a a a -++==． 因为0a >，所以令()0g a '=，得2a =随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表： a()0,22()2,+∞()g a '-0 +()g a减 极小值增所以min [()](2)822g a g === 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a+=>的最小值． 令433412444444()482a g a a a a a a a a a a+==+++≥⋅⋅⋅= 当且仅当34a a=，即2a = 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41626416324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.。
函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． （2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）； 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像. 【详解】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A,D;利用特殊值可判断C;结合三角函数性质以及函数的奇偶性，可判断B. 【详解】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠，即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意； 对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意； 对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=， 故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意， 故选:B3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】直接由特殊点通过排除法求解即可. 【详解】 当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A.4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】根据,,0a b 的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确； 当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项． 故选：ABD ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx xf x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC 即可得解. 【详解】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >， 据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e xf x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C; 故选：D3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题可得()n n f a a >，进而可得函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，即得. 【详解】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD. 故选：A.4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域分析即可 【详解】由题意，2210x x x x x x +->-=-≥，故210x x +->，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a =故选：C5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 设()sin 22cos x x f x x =-，分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 设()sin 22cos x xf x x=-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ．故选：A ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()44f ππ=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】首先设()()2ln 1g x x x =+，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.【点睛】设()(2ln 1g x x x =+，定义域为R ，()()((()2222ln 1ln 1ln 10g x g x x x x x x x +-=++-+=+-=， 所以()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.当0ϕ=时，cos3y x =为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项B 可能. 当ϕπ=时，()cos 3cos3y x x π=+=-为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =-+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以选项A 可能. 当2ϕπ=时，cos 3sin 32y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为偶函数，(2()ln 1sin3f x x x x =-+⋅为偶函数.因为()20033f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，，所以选项C 可能. 故选：D9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值． 【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数 故选：A ．10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =【答案】A 【解析】 【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ．11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln 2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项. 【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <，对于函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-，因为()()()222cos 2cos ()lnln ()2cos 2cos x xf x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-为偶函数，A 错，对于函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-+=-+， 所以函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误， 对于函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-=-+， 所以函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误， 对于函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln()2cos x f x x f x x +-=-=--， 所以函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确， 故选：B.12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（ ） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线 D ．是一条S 形曲线【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可得1311y x -=++，()0x >，整理得341y x -=++，()0x >，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >， 即()31333 114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >， 由3y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >， 因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称， 所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解.【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =， 于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒ 而,,r H v 2323H v r π是常数， 所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+ 【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．（2020·天津·高考真题）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【详解】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<， 得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像。
十年(2012-2021)高考数学真题分类汇编专题12 解析几何(学生版+解析版)
专题12 解析几何【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．22．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．454．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C ．5D ．56．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 18．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2C ．12D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．25．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D 26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．(1D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B C D ．332．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅰ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 A ．8B ．6C ．4D ．236．（）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43- B ．34-C D ．238．（（2016新课标全国Ⅰ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为A B ．32C D ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．()33-D．(42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A B ．2C D43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为,是C 上一点，，则A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =A ．3B ．6C ．12D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．,22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C ．6332D ．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A ．B ．C ．D ．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋227x ＝1D ．218y ＋218x ＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y ，则C 的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅰ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅰ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅰ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅰ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅰ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅰ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；(Ⅰ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.专题12 解析几何【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．2【答案】A【分析】设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52． 故选：A ．2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A【分析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD【分析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB4==>，所以，点P 到直线AB的距离的最小值为425-<，最大值为4105+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】由已知，3c =，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】40my +=化简得y =，即b a =，同时平方得2223b a m=，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c = 故答案为：48．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【分析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⅠP 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为：32x =-.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13. 【分析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，。
2020届江苏高考数学(理)二轮复习微专题教师用书：微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解+析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解+析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解+析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解+析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解+析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解+析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解+析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解+析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解+析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。
考向01 集合(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向01 集合【2022年新高考全国Ⅰ卷】若集合{4},{31}M xx N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D【2022年新高考全国II 卷】已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后可求A B . 【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =， 故选：B.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn 图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.（1）集合运算的相关结论交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 A B A ⊇A B B ⊇A A A =A A ∅=A B BA =补集()UU A A =UU =∅UU ∅= ()U A A =∅()U A A U =（2）(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅易错题【01】对集合中元素的类型理解不到位集合问题是高考必考问题,一般作为容易题出现,求解集合问题的关键是理解集合中元素的类型,特别是用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是连续数集、离散数集、点集或其他类型的集合. 易错题【02】忽略集合中元素互异性利用元素与集合的关系或两集合之间的关系求参数的值,集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意,求出以后一定要代入检验,看看是否满足元素的互异性. 易错题【03】忽略空集空集是任何集合的子集,在涉及集合关系,如根据,A B ⊆求参数的值或范围要注意A 是否可以为∅,根据A B =∅求参数的值或范围必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解． 易错题【04】忽视集合转化的等价性把用描述法表示的集合转化为用列举法表述的集合或化简集合容易忽略等价性,如去分母忽略分母不为零,解含有对数式的不等式要保证对数式有意义,要注意集合中的限制条件等.1．（2022·全国·模拟预测）若集合{}24M xy x x ==-∣，{}222x N x -=>∣，则M N =（ ）A ．{}01xx ≤≤∣ B ．{01}x x ≤<∣ C ．{14}x x <<∣ D ．{1}∣<xx 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解. 【详解】由题意知{}04M xx =≤≤∣，{1}N x x =<∣，所以{01}M N x x ⋂=≤<∣． 故选:B ．2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合{}22(,)4A x y x y =+=，(){},34B x y y x =+，则A B中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】把34y x =+代入224x y +=，根据方程的根的个数分析即可 【详解】集合{}22(,)4A x y x y =+=，{}(,)34B x y y x ==+，把34y x =+代入224x y +=，得22330x x ++=，即3x =有唯一解，故集合A B 中元素的个数为1． 故选：B3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知集合{}2670A x x x =--<，{}3,1x B y y x ==<，则()R A B ⋂=（ ） A ．[)3,7 B ．(][)1,03,7-⋃C ．[)7,+∞D ．()[),17,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 【分析】先化简集合A 、B ，再去求R B ，进而求得()RA B【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}()3,10,3x B y y x ==<=，所以(][)R ,03,B =-∞⋃+∞，所以()(][)R 1,03,7A B ⋂=-⋃． 故选：B ．1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合{}{}220,1,1,2,3A x N x x B =∈--≤=-，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集运算求解. 【详解】{}{}{}220120,1,2A x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=，{}1,1,2,3B =-， {1,2}A B ∴=，故选：B2．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂B ．()I AC B ⋂⋂C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B 【解析】 【分析】找到每一个选项对应的区域即得解. 【详解】 解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4. 故选：B3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R （ ） A ．[2,2]- B ．(2,2]- C ．[0,2] D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解. 【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R2P x x =≤.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤，故选：B.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R （ ） A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ,即可根据集合的补集以及并集运算求得答案. 【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ， 故选：C.5．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则集合AB的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B 【解析】 【分析】 求出抛物线2y x 和曲线2||1y x =-的交点，确定集合A B 的元素个数，即可确定答案.【详解】由题意得21,02121,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，当0x ≥时，21y x =- 联立2yx ，解得11x y =⎧⎨=⎩ ；当0x <时，21y x =-- 联立2yx ，解得11x y =-⎧⎨=⎩；故抛物线2y x 与曲线2||1y x =-有两个公共点，分别为(11)-，，(11)，，则集合A B 有两个元素，所以A B 的子集个数为224=， 故选:B ．6．（2022·河北·沧县中学模拟预测）若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（ ） A ．(2,1)- B ．{1,0}- C ．(2,1]{2}-⋃ D ．{1,0,1,2}-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =， 所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=-．故选：D ．7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,22x y -≤≤-≤. 【详解】解：由椭圆的性质得22,22x y -≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D9．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由题知{}1,2A B ==，进而构造函数()21f x x mx =-+，再根据零点存在性定理得()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知{}0{|}13,2A x N x =∈<=<， 因为A B A B =，所以A B =，所以{}2{|10,}1,2B y N y my m R =∈-+<∈=，故令函数()21f x x mx =-+，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，即103052020m m m -≥⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，解得51023m <≤，所以，实数m 的取值范围为510,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A10．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合{}A x x a =>，{}2320B x x x =-+>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再由A B ⊆求出实数a 的范围. 【详解】{}{23202B x x x x x =-+>=>或}1x <. 因为集合{}A x x a =>，A B ⊆，所以2a ≥.故选：D11．（2022·安徽黄山·二模（文））若集合2{|60}A x x x =--+>，5{|1}3B x x =≤--，则A B 等于（ ） A ．()3,3- B ．[2,3)-C ．(2,2)-D ．[2,2)-【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义直接求解作答. 【详解】不等式260x x --+>化为：260x x +-<，解得：32x -<<，则(3,2)A =-， 不等式513x ≤--，即203x x +≤-，整理得：(2)(3)030x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得23x -≤<，则[2,3)B =-，所以[2,2)A B ⋂=-. 故选：D1．（2022·全国·高考真题（文））集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N =．故选：A.2．（2022·全国·高考真题（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =，则（ ） A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【答案】A【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A3．（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【解析】【分析】 解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】 由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-, 所以(){}U 2,0A B ⋃=-.故选：D.4．（2022·浙江·高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】 {}1,2,4,6A B =，故选：D.5．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A （ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--【答案】D【解析】【分析】 利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--，故选：D ．6．（2022·全国·高考真题（文））设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【解析】【分析】 根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B =． 故选：A.7．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U AB =（ ） A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3} 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=， 故选：B.8．（2021·全国·高考真题（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.9．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C.10．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.11．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.14．（2020·浙江·高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q == 故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.。
新教材高考数学临考题号押第12题立体几何含解析
押第12题 立体几何高考立体几何承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力的考查,是高中数学的传统及核心重点内容,也是高考命题创新的探索者.在每年的试题中,它在继承中求稳定,在创新中求发展. 为了准确地把握2021年高考立体几何小题命题思想与趋势,在最后的复习中做到有的放矢,提高复习效率,我们现一起分析研究2020-2017这4年的考题,以便发现规律,把握住高考命题的脉搏.方法总结1.找出需要我们做的事情,分析题干中的条件2.找准基础概念3.对于夹角问题可以用向量法解决。
1．2其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为（ ） A ．2 B ．2C ．4 D ．42【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则22l ππ=解得22l =.故选：B.2．（2021·新高考全国卷Ⅱ数学·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C 【详解】由题意可得,S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.故选：C.3．（2021·新高考全国卷Ⅱ数学·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（ ） A ．20123+ B ．282C ．563D ．2823【答案】D 【详解】作出图形,连接该正四棱台上下底面的中心,如图,因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2, 所以该棱台的高()2222222h --=下底面面积116S =,上底面面积24S =,所以该棱台的体积((121211282164642333V h S S S S =+=++=故选：D.4．（多选）（2021·新高考全国卷Ⅰ数学·高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中,11AB AA ==,点P 满足1BP BC BB λμ=+,其中[]0,1λ∈,[]0,1μ∈,则（ ） A ．当1λ=时,1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时,三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时,有且仅有一个点P ,使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时,有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【详解】易知,点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A,当1λ=时,11=BP BC BB BC CC μμ=++,即此时P ∈线段1CC ,1AB P △周长不是定值,故A 错误；对于B,当1μ=时,1111=BP BC BB BB BC λλ=++,故此时P 点轨迹为线段11B C ,而11//B C BC ,11//B C 平面1A BC ,则有P 到平面1A BC 的距离为定值,所以其体积为定值,故B 正确．对于C,当12λ=时,112BP BC BB μ=+,取BC ,11B C 中点分别为Q ,H ,则BP BQ QH μ=+,所以P 点轨迹为线段QH ,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,13A ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,0P μ,,10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,则131A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()110A P BP μμ⋅=-=,所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足,故C 错误； 对于D,当12μ=时,112BP BC BB λ=+,取1BB ,1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+,所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为30,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以031,2AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,131,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以00311104222y y +-=⇒=-,此时P 与N 重合,故D 正确． 故选：BD ．5．（多选）（2021·新高考全国卷Ⅱ数学·高考真题）如图,在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的中点,M ,N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC 【详解】设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示,连接AC ,则//MN AC , 故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角, 在直角三角形OPC ,2OC =,1CP =,故12tan 22POC ∠==, 故MN OP ⊥不成立,故A 错误.对于B,如图（2）所示,取NT 的中点为Q ,连接PQ ,OQ ,则OQ NT ⊥,PQ MN ⊥, 由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ,而OQ ⊂平面ANDT , 故SN OQ ⊥,而SNMN N =,故OQ ⊥平面SNTM ,又MN ⊂平面SNTM ,OQ MN ⊥,而OQ PQ Q =,所以MN ⊥平面OPQ ,而PO ⊂平面OPQ ,故MN OP ⊥,故B 正确.对于C,如图（3）,连接BD ,则//BD MN ,由B 的判断可得OP BD ⊥, 故OP MN ⊥,故C 正确.对于D,如图（4）,取AD 的中点Q ,AB 的中点K ,连接,,,,AC PQ OQ PK OK , 则//AC MN ,因为DP PC =,故//PQ AC ,故//PQ MN ,所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角,因为正方体的棱长为2,故122PQ AC ==,22123OQ AO AQ =+=+=, 22415PO PK OK =+=+=,222QO PQ OP <+,故QPO ∠不是直角,故,PO MN 不垂直,故D 错误. 故选：BC.1．（2022·山东淄博·一模）若圆锥的母线长为23侧面展开图的面积为6π,则该圆锥的体积是（ ） A 3π B ．3π C ．33π D ．9π【答案】B 【详解】设圆锥的高为h ,底面半径为r , 则122362r ππ⨯⨯=,解得3r =所以()()222333h =-=.则圆锥的体积13333V ππ=⨯⨯=.故选：B2．（2022·江苏南通·模拟预测）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体）,发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为12,则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【答案】B 【详解】如图,“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM ,设圆的半径为r,则2AM r =,2AB a =,22CD b r ==, ∵12c a =, ∴3b a =∴3AM AB =∴cos BAM ∠=∴6BAM π∠=,故选：B ．3．（多选）（2022·福建漳州·二模）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为1CC 的中点,P 为侧面11BCC B 上的动点,且满足//AM 平面1A BP ,则下列结论正确的是（ ） A ．1AM B M ⊥ B ．1//CD 平面1A BPC ．动点PD ．AM 与11A B【答案】BC 【详解】如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则()0,0,2A ,()10,2,2A ,()0,0,0B ,()2,1,0M ,(),,0P x y , 所以()10,2,2A B =--,(),,0BP x y =,()2,1,2AM =-, 由//AM 平面1A BP ,得1AM aA B bBP =+,即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩,化简可得320x y -=,所以动点P 在直线320x y -=上,A 选项：()2,1,2AM =-,()12,1,0B M =-,()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠,所以AM 与1B M 不垂直,所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ,1A B ⊂平面1A BP ,1CD ⊄平面1A BP ,所以1//CD 平面1A BP ,B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上,且P 为侧面11BCC B 上的动点,则P 在线段1P B上,14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以1PB 选项正确； D 选项：()110,0,2A B =-,112cos ,3AM A B ==,D 选项错误；故选：BC.4．（多选）（2022·湖北·一模）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,称作直角三棱锥.在直角三棱锥S −ABC 中,侧棱SA ､SB ､SC 两两垂直,设SA=a ,SB=b ,SC=c ,点S 在底面ABC 的射影为点D ,三条侧棱SA ､SB ､SC 与底面所成的角分别为α､β､γ,下列结论正确的有（ ） A ．D 为△ABC 的外心 B ．△ABC 为锐角三角形 C ．若a b c >>,则αβγ<< D ．222sin sin sin 1αβγ++=【答案】BCD 【详解】连接AD 并延长交BC 于E ,连接SE ,因为SD ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以SD BC ⊥,因为SA ､SB ､SC 两两垂直,所以SA ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC , 所以SA BC ⊥,因为SD SA S ⋂=,所以BC ⊥平面SAE ,因为AE ⊂平面SAE ,所以BC AE ⊥,即BC AD ⊥,同理可证得,BD AC CD AB ⊥⊥,故D 应为ABC 的垂心,故选项A 不正确；由勾股定理可得,222222222,,AB a b AC a c BC b c =+=+=+, 在ABC 中,由余弦定理得,222222222222222222cos 022AB AC BC BAC AB AC a b a c a b a c+-∠==>⋅++++,所以BAC ∠为锐角,同理可得,ABC ACB ∠∠都为锐角,所以ABC 为锐角三角形,故选项B 正确；设SD h =,则由题意得sin ,sin ,sin h h h a b cαβγ===, 若a b c >>,则sin sin sin αβγ<<,因为α､β､γ都为锐角,所以αβγ<<,选项C 正确；由选项A 可知,SA ⊥平面SBC ,因为SE ⊂平面SBC ,所以SA SE ⊥,由等面积法可得2222,bc a SESE h b c a SE ⋅==++,得22222222222221111a b a c b c h a b c a b c++==++,故2222222111sin sin sin 1h a b c αβγ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭.故选项D 正确.故选：BCD5．（多选）（2022·广东梅州·二模）在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,动点P 在体对角线1BD 上（含端点）,则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD 中点时,APC ∠为锐角B ．存在点P ,使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +的最小值25D ．顶点B 到平面APC 的最大距离为22【答案】ABD 【详解】解：如图,以点D 为原点建立空间直角坐标系, 设()101BP BD λλ=≤≤,则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D , 则()11,1,2BD =--,故()1,,2BP BD λλλλ==--, 则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--, ()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--,对于A,当P 为1BD 中点时,则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅, 所以APC ∠为锐角,故A 正确； 当1BD ⊥平面APC ,因为,AP CP ⊂平面APC ,所以11,BD AP BD CP ⊥⊥, 则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩,解得16λ=,故存在点P ,使得1BD ⊥平面APC ,故B 正确；对于C,当11,BD AP BD CP ⊥⊥时,AP PC +取得最小值, 由B 得,此时16λ=, 则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以306AP CP ==即AP PC +故C 错误； 对于D,()()0,1,0,1,1,0AB AC =-, 设平面APC 的法向量(),,n x y z =, 则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩,可取()2,2,21n λλλ-,则点B 到平面APC 的距离为cos ,12AB n AB AB n nλ⋅⋅==当0λ=时,点B 到平面APC 的距离为0, 当01λ<≤时,==≤,当且仅当12λ=时,取等号, 所以点B 到平面APC 故D 正确. 故选：ABD.（限时：30分钟）1．“阿基米德多面体”也称半正多面体,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为1,则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）A．43πB．523πC．4πD．8π【答案】A【详解】将该多面体放入正方体中, 如图所示.由于多面体的棱长为1, 22的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点,其外接球直径等于正方体的面对角线长,即222R =⨯ 所以1R =所以该多面体外接球的体积 34433V R ππ==.故选：A.2．如图,正四棱锥（底面为正方形,顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P -ABCD 中,4AB =,点E 为PB 中点,若CE 与PD 所成的角余弦值为33,则四棱锥P -ABCD 的体积为（ ）A ．3223B ．162C ．323D ．163【答案】A 【详解】解：如图,连接AC,BD,设交点为O,连接PO,OE,则//OE PD ,所以CEO ∠或其补角即为CE 与PD 所成的角, 设(22PD x x =,则OE x =,由题意,PO ⊥平面ABCD ,所以PO OC ⊥,又OC BD ⊥,BD PO O =,所以OC ⊥平面PBD , 所以OE OC ⊥,3cos CEO ∠=22228CE OE OC x =+=+,即28CE x =+所以23cos 8CEO x ∠==+,解得2x =, 所以2222PO PD OD -=所以13224423P ABCD V -=⨯⨯⨯=故选：A.3．已知三棱锥P ABC -,其中PA ⊥平面ABC ,120BAC ∠=︒,2PA AB AC ===,则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．20π D ．24π【答案】C 【详解】根据题意设底面ABC 的外心为G ,O 为球心,所以OG ⊥平面ABC ,因为PA ⊥平面ABC , 所以//OG PA ,设D 是PA 中点,因为OP OA =,所以DO PA ⊥, 因为PA ⊥平面ABC ,AG ⊂平面ABC ,所以AG PA ⊥,因此//OD AG , 因此四边形ODAG 是平行四边形,故112OG AD PA ===, 由余弦定理,得2212cos12044222()232BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-=,由正弦定理,得232232AG AG =⇒=, 所以该外接球的半径R 满足()()22225420R OG AG S R ππ=+=⇒==, 故选：C ．4．莆田妈祖城有一钟楼,其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体,如图,四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点（包含0点,不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【详解】由题设,在0、6点时相邻钟面上的时针都平行,即夹角为0度；在3、9点时相邻钟面上的时针垂直,即夹角为90度,所以相邻钟面上的时针,在0~3、3~6、6~9、9~12点之间各有一次成60°角的情况,故共有4次成60°角. 故选：B5．已知一个圆锥的体积为3π,其侧面积是底面积的2倍,则其底面半径为（ ） A ．23 B ．3C ．3D ．33【答案】C 【详解】设底面半径为r ,高为h ,母线为l ,如图所示：则圆锥的体积2133V r h ππ==,所以29r h =,即29h r=,21222S rl r ππ=⋅=侧,则2l r =,又223h l r r =-,339r =,故3r = 故选：C ．6．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面,2AB AC ==,90BAC ∠=︒,132AA =且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是 A ．24π B ．18πC ．26πD ．16π【答案】C 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O ',则外接圆的半径2BCr =,而2AB AC ==,90BAC ∠=︒,所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点,则O 为外接球的球心,由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以外接球的表面积2426S R ππ==,故选：C ．7．下图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是（ ）A ．72π24B ．73π24C ．72π12D ．73π12【答案】B 【详解】如图,设上底面的半径为r ,下底面的半径为R ,高为h ,母线长为l ,则21r ππ=⋅,22R ππ=⋅,解得1,12r R ==,211l =-=,()222213122h l R r ⎛⎫=--=-=⎪⎝⎭, 设上底面面积为2124S ππ⎛⎫'=⋅= ⎪⎝⎭,下底面面积为21S ππ=⋅=,则体积为()113733342224S S SS h ππππ⎛⎫''++=++⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B.8．（多选）如图,正三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是边长为2的等边三角形,13AA =,D 为BC 中点,则（ ）A ．直线1//AB 平面1ADCB ．点1B 到平面1ADCC ．异面直线11A B 与1C DD ．设P ,Q 分别在线段11A B ,1DC 上,且1111A P DQA B DC =,则PQ【答案】ABD 【详解】解：在正三棱柱111ABC A B C -中,D 为BC 的中点,所以AD BC ⊥, 如图建立空间直角坐标系,则)A,()0,1,0B ,()0,1,0C -,()0,0,0D,)1A ,()10,1,3B ,()10,1,3C -,所以()13,1,3A B =--,()3,0,0DA =,()10,1,3DC =-,设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =,则13030n DA x n DC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令1z =,则3y =,0x =,所以()0,3,1n =,因为()13013310n A B ⋅=-+⨯+-⨯=,即1n A B ⊥,又1A B ⊄平面1ADC ,所以1//A B 平面1ADC ,故A 正确；因为()1AB=-,所以13AB n n-⋅=,则点1B 到平面1ADC 的距故B 正确； 因为()11A B =-,()10,1,3C D =-,设直线11A B 与1C D 所成角为θ,则11111110cos 20A B C DA B C Dθ⋅==⋅,所以异面直线11A B 与1C D 故C 错误； 设1111A P DQA B DC λ==,则111A P A B λ=、1DQ DC λ=,因为()11A B =-,()10,1,3DC =-,所以()1,,0A P λ=-,()0,,3DQ λλ=-,则),,3Pλ,()0,,3Q λλ-,所以)()22222433162412PQ λλλλ=++-=-+,所以当34λ=时2PQ 有最小值,所以2min3PQ=,所以min PQ =故D 正确；故选：ABD9．（多选）已知同底面的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -均内接于球O ,且正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成角的大小为π4,则下列说法正确的是（ ）.A ．//PA 平面QBCB ．设三棱锥Q ABC -和P ABC -的体积分别为Q ABC V -和P ABC V -,则4Q ABC P ABC V V --= C ．平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍 D ．二面角P AB Q --的正切值为53-【答案】BCD 【详解】∵同底面的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -均内接于球O, ∴PQ 为球O 的直径,取AB 的中点M,连接PM 、QM,则PM⊥AB ,CM⊥AB ,QM⊥AB ,∴∠PMC 为侧面PAB 与底面ABC 所成二面角的平面角,∠QMC 为侧面QAB 与底面ABC 所成二面角的平面角,又正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成角的大小为π4,设底面的中心为N,P 到底面的距离为h,球的半径为R,则PN=h,OP=R,ON=R －h,MN=h,CN=2h, ∴()()2222R h R h =+-, ∴52R h =,QN=4h,PN=h,∴P、C 、Q 、M 四点共面,又CN=2MN,QN=4h,PN=h, ∴PA 与QM 不平行,故PA 与平面QBC 不平行,故A 错误； 由QN=4PN,可得4Q ABC P ABC V V --=,故B 正确； ∵平面ABC 截球O 所得的截面面积为()2224h h ππ=,球O 表面积为222544252h R h πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,∴平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍,故C 正确；∵,,5PM QM QP h ====,∴()cos 2225h PMQ +-∠==,sin PMQ ∠,∴tan 53PMQ ∠=-,即二面角P AB Q --的正切值为53-,故D 正确.故选：BCD.10．（多选）已知正四面体ABCD 的棱长为3,其外接球的球心为O ．点E 满足AE AB λ=(01)λ<<,过点E 作平面α平行于AC 和BD ,设α分别与该正四面体的棱BC ,CD ,DA 相交于点F ,G ,H ,则（ ）A ．四边形EFGH 的周长为定值B ．当12λ=时,四边形EFGH 为正方形C ．当13λ=时,α截球O 所得截面的周长为134πD ．四棱锥A EFGH -的体积的最大值【答案】ABD 【详解】//AC 平面α,平面α平面ABC EF =,平面α平面ADC GH =则 //AC EF ,//AC GH ,则//EF GH 又//BD 平面α,平面α平面ABD EH =,平面α平面BDC GF =则 //BD EH ,//BD GF ,则//EH GF 则四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=,可得:=AE AB λ,则:=HE DB λ,:=1EF AC λ- 又正四面体ABCD 的棱长为3, 则=3HE GF λ=, ()=31EF GH λ=-选项A ：四边形EFGH 的周长为()=23+316HE GF EF GH λλ⎡⎤+++-=⎣⎦.判断正确； 选项B ：当12λ=时,3=2HE GF =,3=2EF GH =,则平行四边形EFGH 为菱形又正四面体ABCD 中,对棱BD AC ⊥,则EF EH ⊥, 则菱形EFGH 为正方形. 判断正确；分别取BD 、BC 、AC 的中点M 、N 、Q,连接DN 、CM 、MQ , 设DN 、CM 交于K ,连接AK,则AK 为正四面体的高正四面体ABCD 的棱长为3,其外接球的球心为O ,则O 在AK 上,连接CO332AM CM ==,113333322KM CM ==⨯=,226AK AM KM =-= 设球O 半径为R,则222CO KC KO =+, 即()()22236R R =+-,解之得364R =由AM CM AQ QC ==，,可得MQ AC ⊥同理有MQ BD ⊥,则MQ 为异面直线BD AC 、之间的距离223=22MQ MC QC -则点K 到AC 2,球心O 到AC 324选项C ：当13λ=时,设α与MC 交于T,则133TC MC ==到AC 22球心O 到平面EFGH 2则平面α截球O 2222232136444R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则平面α截球O 13π.判断错误； 选项D ：由AE AB λ=,322MQ =可得点A 到平面EFGH 322λ,又平行四边形EFGH 为矩形, 则四棱锥A EFGH -的体积213933(1)22(1)322V λλλλλ=⨯⨯-- 令29()2(1)(01)2f x x x x -<<,则9()2(23)2f x x x '- 由()0f x '>得203x <<,由()0f x '<,得213x <<则()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在23x =时取最大值2292222()2()(1)32333f =⨯-=,即292(1)2λλ-的最大值为223故四棱锥A EFGH -的体积的最大值为223.判断正确. 故选：ABD11．（多选）如图,设E ,F 别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 的两个动点,点E 在F 的左边,且2CD =,1EF =,点P 在线段1BA 上运动,则下列说法正确的是（ ）A ．11B D ⊥平面1B EFB ．三棱锥11D B EF -的体积为定值C ．点P 到平面1ACD 23D ．直线1BA 与直线1BE 所成角的余弦值的最大值为16【答案】BC 【详解】易证11B D ⊥平面11ACC A ,而平面1B EF ,平面11A B CD 同一个平面,若11B D ⊥平面1B EF ,即11B D ⊥平面11A B CD ,则可推出平面11ACC A 与平面11A B CD 平行或重合,由图易知这两个平面显然是相交的,矛盾,故A 错误． 因为111111113D B EF B D EF D EFV V SB C --==⋅,而1D EFS定值,11B C 也为定值,所以11D B EF V -为定值,故B正确．因为11BA CD ∥,所以1BA ∥平面1ACD ．又因为点P 线段1BA 上运动,所以点P 平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离,其中123(22)3ACD S==12222ABCS =⨯⨯=．设点 B 平面1ACD 的距离为d,由11B ACD D ABC V V --=,得：11232233d ⨯=⨯⨯,解得：23d =,即点P到平面1ACD 的距离为233,故C 正确． 以D 原点,分别以1,,DA DC DD 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz,则()2,2,0B ,()12,0,2A ,()12,2,2B ,()0,,0E t （0≤t≤1）,()10,2,2BA =-,()12,2,2B E t =---．设直线1BA 与1B E 成的角为θ,则222cos 228(2)241211221263t t t t θ===⨯+-⨯-+⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭1223=⨯当且仅当t ＝1时,等号成立,故D 错误． 故选：BC12．（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等,下列结论正确的是（ ） A ．圆柱的侧面积为24R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．球的体积是圆锥体积的两倍【答案】ACD 【详解】解：对于A,圆柱的底面直径和高都等于2R ,∴圆柱的侧面积21224S R R R ππ=⋅=故 A 正确；对于B,圆锥的底面直径和高等于2R ,∴圆锥的侧面积为222245S R R R R ππ=+=,故B 错误；对于C,圆柱的侧面积为214S R π=,球的表面积234S R π=,即圆柱的侧面积与球的表面积相等,故C 正确；对于D,球的体积为3143V R π=,圆锥的体积为23212233V R R R ππ=⋅=,即球的体积是圆锥体积的两倍,故D 正确． 故选：ACD ．13．（多选）如图所示,三棱锥P ABC -中,AC BC ⊥,1AC BC PC ===,D 为线段AB 上的动点（D 不与,A B 重合）,且AD PD =,则（ ）A ．PA CD ⊥B ．45DPC ∠=︒C ．存在点D ,使得PA BC ⊥ D ．三棱锥P BCD -的体积有最大值224【答案】ABD 【详解】三棱锥P ABC -中,取PA 中点E,连接DE,CE,如图,因1AC BC PC ===,AD PD =,则,DE PA CE PA ⊥⊥,而DE CE E ⋂=,,DE CE ⊂平面CDE ,则有PA ⊥平面CDE ,又CD ⊂平面CDE ,所以PA CD ⊥,A 正确；因AC BC ⊥,1AC BC PC ===,则45CAB ∠=,又AD PD =,则PCD ACD ≅, 于是得45DPC CAB ∠=∠=,B 正确；假设存在点D ,使得PA BC ⊥,由选项A 知PA CD ⊥,又CD BC C ⋂=,,CD BC ⊂平面ABC , 则PA ⊥平面ABC ,而AC ⊂平面ABC ,于是得线段AC 是平面ABC 的斜线段PC 在平面ABC 上的射影,必有PC AC >,与1AC PC ==矛盾,所以假设是错的,C 不正确；令(02)PD AD x x ==<<,则2BD x =,令PD 与平面ABC 所成角为(0)2πθθ<≤,因此,点P 到平面ABC 的距离sin sin h PD x θθ==,而12sin (2)24CBDS CB DB x π=⋅, 则三棱锥P BCD -的体积212222(2)sin ()sin 3BCD x x V Sh x θθ+-=⋅=≤≤当且仅当22x =,且2πθ=时取“=”,所以当D 是AB 中点,且PD ⊥平面ABC 时三棱锥P BCD -的体积取最大值224,D 正确. 故选：ABD14．（多选）在圆锥SO 中,C 是母线SA 上靠近点S 的三等分点,SA l =,底面圆的半径为r ,圆锥SO 的侧面积为3π,则（ ）A ．当3l =时,从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为13B ．当32r =时,过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C ．当3l =时,圆锥SO 的外接球表面积为818πD ．当3l =时,棱长为233的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动 【答案】ACD 【详解】圆锥SO 的侧面积为3rl ππ=,则3rl =.对于A 选项,当3l =时,1r =,将圆锥SO 的侧面沿着母线SA 展开如下图所示：则圆锥SO 的底面周长为2π,23ASC π∠=, 在SAC 中,3SA =,1SC =,由余弦定理可得2222cos 133AC SA SC SA SC π=+-⋅=对； 对于B 选项,当32r =时,2l =,设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为α, 则222223cos 0222α+-=<⨯⨯,则α为钝角,在圆O 上任取两点M 、N ,则0MSN α<∠≤,212sin 22MSN S MSN =⨯∠≤△,当且仅当SM SN ⊥时,等号成立,故顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为2,B 错； 对于C 选项,当3l =时,1r =,圆锥SO 的高为2222h l r -设圆锥SO 的外接球的半径为R ,则222r h R R +-=,即9420R -=,可得942R =,故圆锥SO 的外接球的表面积为2818144328R πππ=⨯=,C 对； 对于D 选项,当3l =时,1r =,圆锥SO 的高为2222h l r =-=, 设圆锥SO 的内切球半径为r ',圆锥SO 的轴截面面积为12222r h ⨯⨯=,圆锥SO 的轴截面周长为228l r +=,由等面积法可得()122222r l r '+=,可得22242r '==, 将棱长为233的正四面体可放在一个正方体内,使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点,如下图所示,则该正方体的棱长为2236233⨯=,所以正四面体的外接球的半径为362232r '⨯==,因此,当3l =时,棱长为233的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动,D 对. 故选：ACD.15．（多选）如图,已知直四棱柱ABCD -EFGH 的底面是边长为4的正方形,CG m =,点M 为CG 的中点,点P 为底面EFGH 上的动点,则（ ）A ．当4m =时,存在点P 满足8PA PM +=B ．当4m =时,存在唯一的点P 满足2APM π∠=C ．当4m =时,满足BP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为22D ．当43m 时,满足2APM π∠=的点P 83【答案】BCD【详解】以D 为原点,,,DA DC DH 所在直线分别为,,x y z 轴,建系如图,对于选项A,当4m =时,()0,4,2M ,()4,0,0A ,设点A 关于平面EFGH 的对称点为A ',则()4,0,8A ',161636688A M '=++=>. 所以8PA PM PA PM A M ''+=+≥>.故A 不正确.对于选项B,设(),,4P x y ,则()()4,,4,,4,2AP x y MP x y =-=-,由0AP MP ⋅=得224480x x y y -+-+=,即()()22220x y -+-=,解得2x y ==, 所以存在唯一的点P 满足2APM π∠=,故B 正确.对于选项C,()4,4,0B ,设(),,4P x y ,则()()4,4,2,4,4,4AM BP x y =-=--, 由0AM BP ⋅=得20x y --=.在平面EFGH 中,建立平面直角坐标系,如图,则P 的轨迹方程20x y --=表示的轨迹就是线段NQ ,而22NQ =故C 正确. 对于选项D,当43m 时,230,M ⎛ ⎝⎭,设43,P x y ⎛ ⎝⎭, 则43234,,,,AP x y MP x y ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭, 由0AP MP ⋅=得2284403x x y y -+-+=,即()()2216223x y -+-=,在平面EFGH 中,建立平面直角坐标系,如图,记()()2216223x y -+-=的圆心为O ,与GF 交于,S T ； 令4y =,可得12232322x x =+=而1243x x -=,所以3SOT π∠=,其对应的圆弧长43π根据对称性可知点P 轨迹长度为43438324ππ-=；故D 正确. 故选：BCD.。
【高考数学】《函数切线问题》微专题
【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。
平面向量的概念及线性运算(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
考向17 平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =，则CB =A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n + 【答案】B【解析】因为3CB CA AB CA AD =+=+，又因为AD CD CA =-，所以23CB CA CD =-+，即23CB m n =-+．故选B ．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2020江苏第13题）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠，即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb （b ≠0），则a 与b 共线 （2）证明三点共线若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →.(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)2．向量的中线公式:若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12b B ．12a －12b C ．－12a －12b D ．－12a ＋12b2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD → B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC → D ．2AD →－2AC →4．如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 满足CF →＝2FB →，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD → C.12AB →－23AD → D ．14AB →＋12AD →5.在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝( )A.13 B ．12 C ．－12 D ．－136．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．(多选)如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是( )A.AP →＝13AB → B ．AQ →＝23AB → C ．BP ＝－23AB → D ．AQ →＝BP →8．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b9．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________．10．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)一、单选题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．123．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．4D ．25．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．26．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（ ） A ．AB AC + B ．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在ABC 中，P 、Q 分别是边AB 、AC 上的点，且13AP AB =，13BQ BC =，若AB a =，AC b =，则PQ =（ ） A ．1133a b +B ．1133a b -+C ．1133a b -D ．1133a b --9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．110．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()21PA PB O O +⋅=（ ） A ．4 B ．42C ．8D ．8211．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 355510BG -++ B 355510BG --+ C 515510BG --+ D 3555BG -+12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（ ）A ．AD DB OB OA +=- B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅二、多选题13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（ ）A ．AC AE BF -=B ．32AC AE AD +=C ．2||AD AB AB ⋅= D ．AD 在AB 上的投影向量为AB14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（ ） A ．若平面上四个点P ，A ，B ，C ，1344PA PB PC =+，则A ．B ，C 三点共线 B ．已知向量(1,1),(3,)a b x ==-，若3x <，则,a b 为钝角.C ．若G 为△ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．若sin2sin2A B =，△ABC 一定为等腰三角形三、填空题15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数2,3,5,的图形，设四边形ABCD 的对角线交于点O ，若CO OA λ=，则λ=___________________．16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA λ→→=，AT AC μ→→=，则λμ+的值为______．1.（2015）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =-2．（20181）在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( )A ．34AB → - 14AC → B ． 14AB → - 34AC → C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC → 3.ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =( )A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b+4.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）A ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC5.（20132）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ．6.（20173）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．27.在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足02=++AC AB OA ，1===AB OB OA ，则CB CA ⋅等于_______.8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ．9．(2015北京)在中，点，满足，，若，则；．1．【答案】D【解析】MD →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a)＝－12a ＋12b. 【解析】因为向量a |a|的方向与向量a 相同，向量b |b|的方向与向量b 相同，且a |a|＝b|b|，所以向量a 与向量b方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b |b|，故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件． 3.【答案】D【解析】连接CD ，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD.所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D. 4．【答案】C【解析】因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF →＝2FB →，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选C. 5.【答案】A【解析】由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →)＝－16AB →＋12AC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13，故选A. 6．【答案】B【解析】由CB →＝λPA →＋PB →得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →.则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在直线AC 上． 7．【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误． 8．【答案】AB【解析】对于A ，因为向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ，所以a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0，则非零向量a ，b 是共线向量， 故B 正确；对于C ，xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能保证a ，b 共线，故C 不正确；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB ＝a ，CD ＝b ，AB ，CD 不一定是梯形的上、下底，故D 错误．故选AB. 9【答案】-4【解析】因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4. 10．【答案】b －a －a －b【解析】如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .1．【答案】B 【解析】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 故选：B. 【解析】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠， 所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ． 【解析】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥ 所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=- 整理得：()()531x m n λλ-=+又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ． 【解析】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点）， 所以21x y +=，故()12122222214529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立， 故选：A 【解析】1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，由A ，B ，C 三点共线，则AB AC ∥，则()1212(21)a e e e b e λ-+=-则有121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，则有21a b +=()0,0a b >>则212144(2)4428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当11,24a b ==时等号成立）故选：A 6．【答案】D【解析】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点， 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D 7．【答案】C【解析】因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C. 8．【答案】A 【解析】如图所示：1233PQ BQ BP BC BA =-=-()1233AC AB AB =-+1133AB AC =+1133a b =+.故选：A.【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A. 10．【答案】C【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r 若圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形， 则：22h r ==，因为AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，所以在PAB △中，1O 为AB 中点 ()2112112112122cos ,PA PB O O PO O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅=⋅⋅<>又在12PO O 中，1222,1O O h PO r ====，且122O O PO ⊥，则15PO = 如图：为圆柱的一个轴截面所以12121121225cos ,cos 55O O PO O O PO O PO <>=∠=== ()21121121252cos ,25285PA PB O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅⋅<>=⨯⨯⨯=故选：C. 11．【答案】D【解析】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因512BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()222EO BE BO BO ---===， 于是得552BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有5510BO BG +=， 同理有512AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155210()AF BG BA -+=-55512BG BA =--， 从而有5135255255BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以35525BF BA BG -=+. 故选：D 12．【答案】C【解析】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确， 对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确， 对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误，对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确． 故选：C13．【答案】BCD【解析】因为ABCDEF 为正六边形，即每个内角都为120︒ 对于A ，AC AE EC FB BF -==≠,故A 错误.对于B ，连接,AE AC ,CE ，AD 则ACE 为等边三角形，设六边形边长为a ，CE 中点为M ，连接AM ，则3CE a =，2AD a =，32AM a =，所以322AM AD =即322AC AE AM AD +==，故B 正确. 对于C ，由B 选项可知，21cos6022AD AB AD AB a a a ⋅=︒=⋅⨯= 且22AB a =，故C 正确.对于D ，因为2AD AB =，所以AD 在AB 上的投影向量为cos60AB AD AB AB⋅︒⋅=故D ，正确. 故选:BCD. 14．【答案】AC 【解析】对于A ，由1344PA PB PC =+，所以1344PA PC PB PC PC -=+-，即14CA CB =，所以,CA CB 共线，因为,CA CB 有公共端点，所以A ．B ，C 三点共线，所以A 正确，对于B ，当3x =-时，(3,3)b =--，此时3b a =-，则,b a 的夹角为180︒，不是钝角，所以B 错误， 对于C ，延长AG ，交BC 于D ，因为G 为△ABC 的重心，所以D 为BC 的中点，2AG GD =， 所以2GB GC GD +=，所以AG GB GC =+，所以0GA GB GC ++=，所以C 正确，对于D ，因为sin2sin2A B =，(),0,A B π∈，所以22A B =或22180A B +=︒，所以A B =或90A B +=︒，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以D 错误， 故选：AC15．【答案】21-【解析】,ABC ACD 都为直角三角形，45ACB ∠=，∴135BCD ∠=，22.5α∠==CDB ，22tan tan 211tan ααα==-，解得tan 21α=-，∴21OC =-，2(21)1OA =--= ∴21OCOAλ==-．故答案为：21-. 16．【答案】1【解析】：设直线1B P 的直线方程为1y kx =+，联立椭圆方程化简得22(14)80k x kx ++=， 所以0x =或2814k x k -=+，当2814k x k -=+时，221414k y k -=+，所以222814(,)1414k k P k k--++.当2x =时，21y k =+，所以(2,21)T k +， 所以22221411148414B Pk k k k k k -++==--+，所以直线2B P 的方程为11,4y x k =-- 当0y =时，所以4x k =-. 所以(4,0)S k -， 因为OS OA λ→→=，AT AC μ→→=， 所以=λ4021=2,2121k k k u k ----=-=+， 所以1λμ+=. 故答案为：11.【答案】A【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB 1433=-+AB AC ．故选A2．【答案】B 【解析】11312444EB EA ABAD AB AB AC ABAB AC 故选A3.【答案】B【解析】()222,133b AD CD CA AD CA AB CA CB CA DB a 由题意：===+=+=+-21213333CB CA a b =+=+,故选B4.【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=,故选A5.【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+,BD BA AD AD DC =+=-, 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=6.【答案】3【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ， (2,1)D ，(,)P x y ，由等面积法可得圆的半径为25， 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，所以|2|21514z -+≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 7.【答案】3【解析】,0,02=+++=++AC OA AB OA AC AB OA ,,,OB OC O B C 三点共线又1==OB OA ，1,OA OB OC ABAC6,3,2,1π=∠==∴==ACB AC BC AB OA 故 cos36CA CB CA CB ，故答案为38．【答案】3 【解析】由可得，，由=+得，即，两式相加得，y PABCD，所以，所以．9．【答案】【解析】由=．所以，．。
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微专题12
例题1
证法1如图1，在四棱锥PABCD中，
取线段PD的中点M，连接FM，AM.
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，
且FM＝1
2CD.
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA＝1
2CD.所以
FM∥EA，且FM＝EA.
所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.
又AM平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
证法2如图2，在四棱锥PABCD中，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.
所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，
所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.
又F为PC的中点，所以EF∥NP.
又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.
证法3如图3，在四棱锥PABCD中，取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD 中，E为AB的中点，
所以AE＝DQ，且AE∥DQ.
所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.
又AD平面PAD，EQ平面PAD,
所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，
所以FQ∥PD.
又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ∥平面PAD.
又FQ，EQ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，
所以平面EQF∥平面PAD.
因为EF平面EQF，所以EF∥平面PAD.
(2)在四棱锥PABCD中，设AC，DE相交于点G(如图4)．
在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E 为AB的中点．
所以
DA
AE＝
CD
DA＝2，
又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE＝∠DCA.
又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，
所以∠DCA＋∠CDE＝90°.
由△DGC的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.
即DE⊥AC.
因为点P在平面ABCD内的正投影O 在直线AC上，
所以PO⊥平面ABCD.
因为DE平面ABCD，所以PO⊥DE.
因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，
所以DE ⊥平面PAC ， 又DE 平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE.
变式联想
变式1
证明：(1)因为E ，F 分别是A 1D 1，B 1C 1
的中点，所以EF ∥A 1B 1，
在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ，
所以EF ∥AB.
又EF 平面ABHG ，AB
平面ABHG ，
所以EF ∥平面ABHG.
(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，
又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.① 设BH ∩CF ＝P ，△BCH ≌△CC 1F ，所以∠HBC ＝∠FCC 1，因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.
所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.② 由①②，又DC ∩CF ＝C ，DC ，
CF 平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED.
又BH 平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED. 变式2
证明：(1)如图，连接MN ，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，
AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，
所以MN ∥AA 1且MN ＝AA 1， 又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中AA 1∥BB 1
且AA 1＝BB 1，
所以MN ∥BB 1且MN ＝BB 1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，
所以B 1M ∥BN ，又B 1M 平面A 1BN ，
BN 平面A 1BN ，
所以B 1M ∥平面A 1BN.
(2)正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，
BN 平面ABC ，所以BN ⊥AA 1， 在正△ABC 中，N 是AB 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1，AC 平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，
所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD 平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，由题意得，AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63，所以AA 1AC
＝AN
CD
＝3
2，又∠A 1AN ＝∠ACD ＝π2
，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD ，
所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π
2，则AD ⊥A 1N ，又BN ∩A 1N
＝N ，BN ，A 1N
平面A 1BN ，所以AD ⊥
平面A 1BN.
说明：变式1和2都通过“计算”来证明垂直，复习时应注意长度，角度等量的“计算”的运用来实现位置关系的求证．
串讲激活
串讲1
解析：(1)因为BC
⊥平面PAB ，AD 平面PAB ，所以BC ⊥AD.因为PA ＝AB ，D 为PB 的中点，所以AD ⊥PB.因为PB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面PBC.
(2)连接DC ，交PE 于点G ，连接FG.因为AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ，所以AD ∥FG.因为D 为PB 的中点，E 为BC 的中点，连接DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG.所以DG GC ＝DE PC ＝12.所以AF FC ＝DG GC ＝1
2.
串讲2
解析：(1)在三棱台ABCDEF 中，AC ∥DF ，又AC 平面ACE ，DF 平面ACE ，所以DF ∥平面ACE ，又DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，所以
DF ∥a.
(2)线段BE 上存在点G ，
且BG ＝1
3BE ，使得平面DFG ⊥平面
CDE.证明如下：如图所示，取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，连接GD ，
因为CF ＝EF ，所以GF ⊥CE. 在三棱台ABCDEF 中，因为AB ⊥BC ，所以DE ⊥EF ，因为CF ⊥平面DEF ，
DE 平面DEF ，所以CF ⊥DE ，又CF ∩EF ＝F ，所以DE ⊥平面CBEF ，GF 平面CBEF ，所以
DE ⊥GF.因为GF ⊥CE ，DE ⊥GF ，CE ∩DE ＝E ，CE 平面CDE ，DE 平面CDE ，所以GF ⊥平面CDE ，又GF 平面DFG ，所以平面DFG ⊥平面CDE ，此时，侧面BCFE 的平面图如图所示，延长FG ，
交CB 的延长线于点H ，因为O 是CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识可证得△HOC ≌△FOE ，所以HB ＝BC ＝12EF ，
由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝12，即BG ＝
1
3BE.
新题在线
(1)证法1取CE 中点F ，连接FB ，MF.
因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝1
2
CD.
又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点，
所以BN ∥CD 且BN ＝1
2CD ，
所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF.
又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，
所以MN ∥平面BEC.
证法2取AE 中点G ，连接MG ，GN. 因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD.
又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC.
又因为MG 平面BEC ，BC
平面
BEC ，
所以MG ∥平面BEC. 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE.
又因为GN 平面BEC ，BE
平面BEC ，
所以GN ∥平面BEC.
又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平
面GMN ，
所以平面GMN ∥平面BEC.
又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC.
(2)因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB.
因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ，
所以BC ⊥平面ABE.
因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.
因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，
BE 平面BEC ，
所以AH ⊥平面BEC.
又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE.。