2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在等差数列{a n}中，a2+a7+a12＝21，则{a n}的前13项之和等于2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，则这个数列的通项公式a n＝3．（4分）函数f（x）＝cos x•cos[（x﹣1）]的最小正周期是．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2+kn+2（n∈N*），若数列{a n}为单调递增数列，则实数k的取值范围是．5．（4分）下列结论中正确的是．（1）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（2）y＝sin（2x+）得到y ＝﹣sin x（3）y＝sin（2x+）得到y ＝﹣sin x（4）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（5）y＝sin（2x+）得到y ＝﹣sin x6．（4分），则a＝，b＝．7．（4分）在公差为d的等差数列}中，有性质：a1+a2+…+a n＝a1n+d（n∈N*），根据上述性质，相应地在公比为q的等比数列{b n}中，有性质：8．（4分）1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1＝．9．（4分）已知θ∈（0，），则＝．10．（4分）已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，其前n项和为S n，下列命题中正确的是（写出全部正确命题的序号）（1）等比数列{a n}单调递增的充要条件是a1＞0且q＞1；（2）数列：S2n﹣S n，S3n﹣S2n，S4n﹣S3n，……，也是等比数列；（3）S n＝qS n﹣1+a1（n∈N*，n≥2）；（4）点（n，S n）在函数f（x）＝c﹣d x（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上．二、选择题（每小题4分，共16分）11．（4分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？（）A．5×210B．5×229C．230﹣1D．5×（230﹣1）12．（4分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了（A）中的一项，但又减少了另一项D．增加了（B）中的两项．但又减少了另一项13．（4分）已知函数的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为偶函数，则f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称14．（4分）已知{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5＝8a12＞0，则当S n取得最大值时，n的值为（）A．16B．15C．14D．13三、解答题（10+10+12+12＝44分）15．（10分）求下列方程和不等式的解集（1）2sin2x+3sin x﹣2＝0（2）arccos3x＞arccos（2﹣5x）．16．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）＝f（B）＝，求的值．17．（12分）已知数列{a n}中，，点（n，2a n+1﹣a n）在直线y＝x上，其中n＝1，2，3…．（Ⅰ）令b n＝a n+1﹣a n﹣1，求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项；（Ⅲ）设S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．18．（12分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1＝﹣3，a2＝，a3＝4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n （n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n＝a n，c n＝，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a7+a12＝21＝3a7，解得a7＝7．则S13＝＝13a7＝91．故答案为：91【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，则数列的通项公式a n＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查运算能力，属于基础题．3．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵y＝cos x•cos（x﹣1）＝cos x•cos（x﹣）＝cos x•sin x＝sinπx，∴其最小正周期T＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查诱导公式与二倍角的正弦，考查正弦函数的周期及其求法，属于中档题．4．【考点】82：数列的函数特性．【解答】解：∵a n＝n2+kn+2①∴a n+1＝（n+1）2+k（n+1）+2 ②②﹣①得a n+1﹣a n＝2n+1+k．若数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+k＞0．移向得k＞﹣（2n+1），k只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，而易知当n＝1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，所以k＞﹣3故答案为：k＞﹣3．【点评】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用．5．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：（1）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x+π）＝﹣sin x的图象，故（1）正确；（2）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x++）＝sin（x+）的图象，故（2）错误；（3）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x++）＝﹣sin x的图象，故（3）正确；（4）y＝sin（2x+）得到y＝sin（4x+4•+）＝sin（4x﹣）的图象，故（4）错误；（5）y＝sin（2x+）得到y ＝sin（4x++）＝﹣sin4x的图象，故（5）错误，故答案为：（1）、（3）．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．【考点】6F：极限及其运算．【解答】解：∵＝，∴1﹣a＝0，a+b＝0∴a＝1，b＝﹣1故答案为1；﹣1【点评】本题考查极限及其运算，整理极限表达式，再由极限为0判断出参数所应满足的方程是解题的关键，一般分线有变量，分子为常数时，函数的极限为0，做题时注意一些结论的应用7．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：根据等差数列与等比数列定义的类比，等差数列{a n}中，a1+a2+…+a n＝a1n+d（n∈N*），类比上述性质：相应地在等比数列{b n}中，a1×a2×…×a n＝（n∈N*）．故答案为：a1×a2×…×a n＝（n∈N*）．【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．8．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：设T n＝1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1，①则2T n＝1×22+4×23+7×24+…+（3n+1）×2n+2，②①﹣②，得：﹣T n＝2+3×（22+23+24+…+2n+1）﹣（3n+1）×2n+2＝2+3×﹣（3n+1）×2n+2＝2+3×（2n+2﹣4）﹣（3n+1）×2n+2＝﹣10﹣（12n﹣8）×2n，∴T n＝（12n﹣8）×2n+10．故答案为：（12n﹣8）×2n+10．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：θ∈（0，），∴0＜tanθ＜1，则＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正切函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，极限的运算法则的应用，属于基础题．10．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：对于（1），等比数列满足a1＜0，0＜q＜1时，数列为单调递增数列，故（1）错误；对于（2），等比数列的首项为a1，等比为q，则S n＝，S2n﹣S n＝＝，同理S3n﹣S2n＝，S4n﹣S3n＝，（S3n﹣S2n）2＝（S2n﹣S n）（S4n﹣S3n），得到此数列为等比数列，故（2）正确；对于（3），S n＝，qS n﹣1+a1＝，∴S n＝qS n﹣1+a1（n∈N*，n≥2），故（3）正确；对于（4），S n＝＝，若点（n，S n）在函数f（x）＝c﹣d x（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上，则，当公比q＜0时不成立，故（4）错误．∴正确命题的序号是（2），（3）．故答案为：（2），（3）．【点评】本题考查等比数列的通项公式、前n项和及性质，考查推理运算能力，是中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）11．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：根据题意，分析可得该人每天所屠的肉成等比数列，且首项a1＝5，公比为2，则该人共屠了30天，则一共屠肉S30＝＝5×（230﹣1）；故选：D．【点评】本题考查等比数列的应用，注意将原问题转化为等比数列的前n项和问题，属于基础题．12．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：当n＝k时，左端＝++…+，那么当n＝k+1时左端＝++…+++，，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了+项，同时减少了这一项，故选：D．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于基础题．13．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵函数的最小正周期为＝π，∴ω＝2，故f（x）＝sin（2x+φ）．将该函数的图象向左平移个单位后，得到y＝sin（2x++φ）的图象，根据所得图象对应的函数为偶函数，可得+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝sin＝，则f（x）的图象不关于点对称，也不关于直线对称，故排除A，D；令x＝，求得f（x）＝sinπ＝0，故f（x）的图象关于点对称，不关于直线对称，故排除D，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14．【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．【解答】解：设数列{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，数列{a n}满足3a5＝8a12＞0，则：3a5＝8（a5+7d），即：．所以：d＜0．又a16＝a5+11d，＝，，所以：a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，则：b1＞b2＞b3＞…＞b16＞0＞b17＞b18，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，，a18＝a5+13d＝，所以：a15＞a18，则：b15＞﹣b16，b15+b16＞0，所以：S16＞S14，当n＝16时，S n取得最大值为S16．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（10+10+12+12＝44分）15．【考点】HV：反三角函数．【解答】解：（1）方程2sin2x+3sin x﹣2＝0化为（sin x+2）（2sin x﹣1）＝0，解得sin x＝或sin x＝﹣2（不合题意，舍去），∴x＝2kπ+或x＝2kπ+，k∈Z；∴方程的解为{x|x＝2kπ+或x＝2kπ+，k∈Z}（2）由反余弦函数的定义与性质知，arccos3x＞arccos（2﹣5x）等价于，解得0≤x＜，∴不等式的解集为{x|0≤x＜}．【点评】本题考查了三角方程与反三角函数不等式的应用问题，是基础题．16．【考点】HW：三角函数的最值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分（6分），第（2）小题满分（8分）．解：f（x）＝sin2x+cos2（﹣x）﹣＝•+﹣＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣＝即x＝时，f（x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）＝f（B）＝，可得：2A﹣＝，2B﹣＝，解得A＝，B＝，所以C＝π﹣A﹣B＝，得＝＝．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角恒等变换的应用，突出考查正弦函数的单调性与最值及正弦定理，属于中档题．17．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，∵，又b n＝a n+1﹣a n﹣1，b n+1＝a n+2﹣a n+1﹣1，∴＝＝＝，∴{b n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，，…∴，将以上各式相加得：∴，∴．∴．（Ⅲ）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n+2b n＝n﹣2∴＝又∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【点评】本题主要考查了等比关系和等差关系的确定．要利用好a n和a n﹣1的关系．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1＝3＞2，a3﹣a2＝4﹣＞2，即2﹣＝＞0，解得m或m＜0．∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1＝1，可得：S n ＝n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．∵＝2+＞2，且＝2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝，且每一项均为正整数，且a n+1﹣a n ＝a n（q﹣1）＞2＞0，∴a1＞0，q＞1．∵a n+1﹣a n＝a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n﹣a n﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1≤2，即a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）＝3，∴a1＝1，q＝4或a1＝3，q＝2，①当a1＝1，q＝4时，，则，令，则，令，则＝，∴{d n}为递增数列，即d n＞d n﹣1＞d n﹣2＞…＞d1，即c n+1﹣c n＞c n﹣c n﹣1＞c n﹣1﹣c n﹣2＞…＞c2﹣c1，∵，所以，对任意的n∈N*都有c n+1﹣c n＞2，即数列{c n}为“H型数列”．②当a1＝3，q＝2时，，则，显然，{c n}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，故数列{c n}不是“H型数列”；综上：当时，数列{c n}为“H型数列”，当时，数列{c n}不是“H型数列”．【点评】本题考查了数列递推关系、新定义“H型数列”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。