高三上学期摸底自测理科数学试卷
高三理科数学摸底测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有最小正整数解的是（）A. x + 2 = 3x - 4B. 2x - 1 = 3(x + 1)C. 3x - 2 = 2(x + 3)D. 4x + 1 = 3(x + 2)2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10，则a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. x - 1 > 2x - 3C. 3x < 2x + 1D. x + 2 > x + 44. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则a1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC，则sinB的值为（）B. √3/2C. 1D. √36. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x = 1D. y = 17. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 08. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 + b2 + b3 = 27，b4 + b5 + b6 = 243，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 129. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，∠C = 45°，若AB = 2，则BC的长度为（）A. √2B. 2D. 410. 已知函数y = log2(x + 1)，则函数的值域为（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-1, +∞)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。
高三摸底考试数学(理科)试题
高三摸底考试数学(理科)试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题 (本大题共8小题 ，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上) 1．已知∈b a ,R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．1>b aB ．22b a >C ．()0lg >-b a D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．9B ．10C ．11D ．2323．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．14．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，则)(x f （ ） A．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．1B ．12C ．2D 6.已知平面内不共线的四点C B A O ,,,满足3231+==（ ）A.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．．1二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分 请把答案填在答题卡上） （一）必做题（9～13题） 9．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 10．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是 _11．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示， 则数学期望ξE 的值为___.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是1 1 正视图侧视图俯视图第2题图第5题图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做按第一题给分）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）16. （12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(1) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++…20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立．高三级摸底考试数学(理科)答题卡 总分一、选择题 得分二、填空题 得分9、 10、 11、 12、 13、 选做题14、 15、三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16. (12分)17．(12分)18．(14分)19．(14分)读班级 考试试室 姓名 考试座位号…密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………20. (14分)21．(14分)高三级摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上)1．已知∈ba,R且ba>，则下列不等式中成立的是 DA．1>baB．22ba> C．()0lg>-ba D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 CA．9 B．10C．11 D．2323．若实数x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1yxyx则yx+的最小值是 CA．4 B．3 C．2 D．14．设函数)0(112)(<-+=xxxxf，则)(xf AA．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数5．函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,||2Aπϕ><）的图象如图所示，则(0)f= DA．1B．12C D6.已知平面内不共线的四点CBAO,,,满足OCOAOB3231+== DA.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x=-+-<，{}6N x a x=<< ,且()2,M N b=,则a b+= BA．6B．7C．8D．98．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为A．4 B．3 C．．18B解析：根据条件③，对于任意的,,a b c有()()()()2a b c c ab a c b c c⊕⊕=⊕+⊕+⊕-，∴取0c=得()00()(0)(0)20a b ab a b⊕⊕=⊕+⊕+⊕-⋅得①②得00a a a⊕=⊕=对任意实数a都成立，代入上式得：a b ab a b⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③，∴1111()f x x x x xx x x x=⊕=⋅++=+1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为3.二、填空题：本大共7(一)必做题(9～13题)9．设i为虚数单位，则复数i2i+1011．已知抛物线24x y=上一点P12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE的值为______59_____.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部11正视图侧视图俯视图第2题图第5题图分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 1π[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为 3415.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 1 .16. （本小题满分12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(2) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分sin 2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分 (2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. … 7分∴1cos 23θ=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分 17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数， 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．解: (1) (1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42sin cos 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 22b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++… 解：（I ）由已知可得223123q a a q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解直得，3q =或4q =-（舍去），26a = 3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=（2）证明：(33)12211()2(33)31n n n n S S n n n n +=∴==-++ 121112*********(1)(1)322334131n S S S n n n ∴+++=-+-+-++-=-++…… 20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， ----2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. ----4分 解得18k =. ---5分 （Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．-------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． ------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． ----------14分 21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立． 解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =----------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=------4分∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； -----5分 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减--6分若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a+∞上单调递增，在1(1,)2a 单调递减；---7分若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， ---------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．----9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n +>-， ----------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑-----14分 【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+，------------11分 显然1ln 2a =也满足该式，故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=--------------12分令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x >则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑． -------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增， 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->， ∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1ni i n i=-+>∑------14分】。
高三上学期摸底自测理科数学试卷答案
高三上学期摸底自测理科数学试卷参考答案一、选择题 1．D2=a ，33)21)(21()21)(2(21212000ii i i i i i ai i a -=-+---+-=++，故选D 。
2．AP ×Q 的元素分别为0×2，0×3，0×4，1×2，1×3，1×4，2×2，2×3，2×4，即0，2，3，4，6，8共有6个，故选A 。
3．A画出不等式组所表示的可行域，如图3—1—6所示，z 的几何意义是直线z ax y +-=在y 轴上的截距。
当a <0时，z 不可能取得最大值7，可排除B 和D 。
当a >0时，z 只能在过B （4，3）的直线上时才能取得最大值7，可得a =1，故选A 。
4．B如图3—1—7，连结B 1C ，交BC 1于E ，则E 为B 1C 的中点，则B 1到平面BDC 1的距离等于点C 到平面BDC 1的距离，过C 点作CH ⊥平面BDC 1，则由CB=CD=CC 1且BD=BC 1=DC 1知，36233=⋅=BH ，故3322=-=BH BC CH ，故选B 。
5．A)('x f 有4个不同的解4321x x x x 、、、，其中在1x 的左右两侧，)('x f 均大于0，故1x 不是函数)(x f 的极值点；在x 2的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，故x 2是函数)(x f 的极大值，同理可得3x 图3—1—6图3—1—7是函数)(x f 的极小值点，x 4不是函数)(x f 的极值点，故选A 。
6．Bc bx ax x f ++=23)('2，由图可知)(x f 在（－∞，－2）上是减函数，所以)(x f 在这个区间上有0)('<x f ，所以0)('<x f 的开口向下，从而a <0，又因为)(x f 的两个极值点都为负数，所以0)('=x f 有两个负根21x x 、，从而，03221<-+abx x ，所以b <0，故选B 。
高三摸底考试理科数学(附答案)
高三摸底考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分.第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A)·P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},,|{Q b P a ab z z Q P ∈∈==*，若P={－1，0，1}，Q={－2，2}，则集合Q P *中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ．62．已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，是m+n i 等于A ．1+2iB ．1－2iC ．2+iD ．2－i3．若,011<<b a 则下列不等式：①ab b a <+ ②||||b a >③b a < ④2>+baa b 中，正确的不等式有A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．若)2,4(412sin ππαα∈=且，则ααsin cos -的值是A ．23 B ．43 C ．－23 D ．－43 5．若数列{a n }满足nn a a a 11,211-==+，则a 2007的值A ．1B ．－1C ．21 D ．26．已知0,2||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=45°，设),(R n m OB n OA m OC ∈+=，则nm等于A ．21 B ．22 C ．2D ．27．把函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象按向量)0,3(π-=a 平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3π D ．2，－3π8．已知向量a 、b 满足||,6||,2||,1||b a b a b a -=+==则等于A ．2B ．3C ．21 D ．33 9．已知实数a ，b 满足等式b a 32log log =，下列五个关系式：①1<a <b ；②1<b< a ；③b< a <1；④a <b<1；⑤a =b ，其中不可能成立的关系有A ．4B ．3C ．2D ．110．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A ．x x f sin )(=B ．|1|)(+-=x x fC ．)(21)(x xa a x f -+=D ．xxx f +-=22ln)( 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，)1,(sin ),cos ,1(θθB A ，其中)2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最小值时，θ的值A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意a 、b ∈[0，1]，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是A ．||log x y a =B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x y D ．3x y =第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
高三摸底考试数学理科及答案
4
D．
5
9．设 a sin15 cos15 ， b sin17 cos17 ，则下列各式中正确的是（
）
a2 b2
A． a
b
2
a2 b2
B． b
a
2
a2 b2 C． b a
2
a 2 b2 D． a b
2
10．在 △ABC 所在的平面内有一点 P，如果 PA PB PC AB ，那么 △PBC 的面积与
高三摸底考试 数学试卷 ( 理科 )
一、选择题（每题 5 分，满分 55 分）
1
1．下列函数中，与函数 y
有相同定义域的是（
）
x
A ． f ( x) log 2 x
1 B． f (x)
x
C． f (x) | x |
2．若 sin cos < 0 ，则角 是（
）
A ．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分）
3
12．曲线 y cosx(0 x
) 与坐标轴所围成的面积是 ________.
2
13．等比数列 { an } 共有 20 项，其中前四项的积是 1 ，末四项的积是 512，
128
y
则这个等比数列的各项乘积是
.
C
14．如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 、 D 分别在 x 轴、 y 轴 D
△ ABC 的面 积之比是（
）
1
A．
3 11．已知 f ( x)
1
B．
2
x
2
x，
g(x)
1
2
2
C．
3
3
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
高三理科数学摸底考试试卷
1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -12. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log2(x)D. y = sin(x)3. 若向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. -1/5D. -2/54. 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为（）A. 14B. 21C. 28D. 355. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，|x| ≥ 0D. 对于任意实数x，x|x| ≥ 06. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则S5的值为（）A. 31B. 63C. 127D. 2557. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a6 = 15，则a1 + a10的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 408. 若函数y = x^3 - 3x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 0D. -39. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z-1| = |z+i|，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在10. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 - 1 < 0D. x^2 + 1 < 011. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a3 = 2，a5 = 16，则a1的值为______。
12. 若复数z = 3 + 4i的共轭复数为z'，则|z-z'|的值为______。
高三数学理科摸底考试试题+参考答案
高三数学理科摸底考试试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{}2log ,1y y x x =>，B ＝{}2,1xy y x -=>，则A ∪B ＝ （ ） A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}0y y >C ． ΦD ．R 2. 复数212ii+-的虚部是（ ） A ．0B ．iC ．1D ．-13. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，， 在某项测量中，已知()196P.ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9754. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75.在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（ ） A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ．∠A 为直角的直角三角形6．关于θ的方程cos 2sin θθ=在区间[0，2π]上的解的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．47. 己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是( )A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 8. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④9．汕尾市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（ ）A.18B.24C.30D.3610．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 12．设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=（ ）A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.彭湃中学高一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差， 则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 14．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .15. 如果1()nxx 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ______________16.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点第13题图相同，则双曲线的渐近线方程为____.三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）若10,BC =求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()12n n n a a n N *+-∈，在直线x y =上． （1）令11--=+n n n a ab ，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．19. （本题满分12分）广州大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望。
高三上学期开学摸底考试数学(理)及答案
2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.95.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于A.10B.12C.13D.146.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=，则动点P的轨迹方程是A.y 2＝4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4xD.x 2＝－4y7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅= A.5 B.6 C.7 D.89.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是A. B.55(,)32 C.55(,)42D.1)+ 10.已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log , ()log , log 23aba b c c ===，则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。
最新高三(上)摸底数学试卷(理科)附带参考答案
最新高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.{−1, 0, 1} B.{0, 1} C.{−1, 1, 2} D.{1, 2}2. 已知复数z =2i 1−i，则复数z 为（ ） A.1+i B.−1+iC.1−iD.−1−i3. 已知向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)且(a →−b →)⊥b →，则m =( ) A.−8 B.−5C.5D.84. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积是（ ）A.2B.2√2C.2√3D.3√35. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6. 已知函数f(x)={sinπx6,x≤0log13x,x>0，则f（f(9)）＝（）A.1 2B.−12C.√32D.−√327. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝51，则2a10−a11＝（）A.2B.3C.4D.68. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的有（）①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4；②点C到平面ABC1D1的距离为√22；③两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4；④三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为√32．A.1个B.2个C.3个D.4个9. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A. B.C. D.10. 已知F1、F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO=∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的离心率e=()A.√2B.2C.√3D.3211. 已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f (8)=()A.−2B.−1C.0D.212. 已知a=log23，b=log34，c=log45，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知α∈(0, π2)，sinα=35，则sin2α=________．在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是________．已知椭圆C:x24+y2=1的右焦点为F，点P在椭圆C上，O是坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF的面积是________．设等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3...a n的最大值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.△ABC的周长为√2+1，且sin A+sin B=√2sin C．（1）求边AB 的长；（2）若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间(x ¯−s, x ¯+s)的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中x ¯，s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且AA 1=2，E 为棱AA 1的中点．（1）求证：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）求二面角B−EC−C1的大小．已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点M(x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为−14，记M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，并说明这是什么曲线；（2）设直线l不经过点P(0, 1)且与曲线C相交于D，E两点，若直线PD与PE的斜率之和为2，证明：l过定点．已知函数f(x)=a ln x+4x．（1）当a=1时，求f(x)的极值；（2）设a>0，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y23=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．（1）求C1的参数方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M在C1上，点N在C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+2|+|x−a|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≤5的解集；（2）对任意x∈R，f(x)≥1−a成立，求实数a的取值范围．还未学过选修4-4、4-5的同学可选做此题已知数列{a n}是递增的等差数列，a2＝3，a1，a3−a1，a8+a1成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3a n a n+1，数列{b n}的前n项和S n，求满足S n>3625的最小的n的值．参考答案与试题解析最新高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】∵ A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|−2<x <2}， ∵ A ∩B ={−1, 0, 1}． 2. 【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】 把z =2i 1−i的分子、分母同时乘以分子的共轭复数，得到2i(1+i)(1−i)(1+i)，再由复数的代数形式的乘除运算法则，能够求出结果． 【解答】 解：z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i +2i 22=−1+i ． 故选B ． 3.【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量坐标运算法则求出a →−b →=(−2, m +2)，再由(a →−b →)⊥b →，能求出m 的值． 【解答】∵ 向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)，∵ a →−b →=(−2, m +2)， ∵ (a →−b →)⊥b →，∵ (a →−b →)⋅b →=−6−2(m +2)=0， 解得m =−5． 4.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积． 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱体． 如图所示：所以V ＝12×2×√3×2＝2√3．故选：C ． 5.【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳． 【解答】由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A 中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A 错误； 在B 中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B 错误； 在C 中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C 错误；在D 中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确． 6.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】根据已知函数解析式先求f(9)，然后再代入求解即可求解．【解答】∵ f(x)={sinπ6,x≤0 log13x,x>0，∵ f(9)=log139=−2，则f（f(9)）＝f(−2)＝sinπ6=127.【答案】B【考点】等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】由S17＝51，可得17(a1+a17)2=51，可得a1+a17＝2a9，解得a9．利用2a10−a11＝a9即可得出．【解答】∵ S17＝51，∵ 17(a1+a17)2=51，可得a1+a17＝6＝2a9，解得a9＝3，则2a10−a11＝a9＝3．8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用异面直线的夹角判定③，线面的夹角判定①，点到平面的距离判定②，三棱柱和外接球的关系求出外接球的半径判定④．【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图所示：①根据正方体的性质，AB ⊥平面BCC 1B 1，故平面BCC 1B 1与平面ABC 1D 1所成的角即∠CBC 1＝π4，故正确．②连接B 1C 和BC 1，由于CO ⊥BC 1，由于平面BCB 1C 1⊥平面ABC 1D 1，所以C 到平面ABC 1D 1的距离为√22；故正确．③连接AC ，所以△D 1AC 为正三角形，两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角即为∠AD 1C =π3，故错误．④三棱柱AA 1D 1−BB 1C 1外接球半径为R ，所以2R 为正方体的对角线的长， 所以R ＝(√22)(12)＝√32，故正确． 故选：C ． 9. 【答案】 D【考点】函数图象的作法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设f(x)=2|x|sin2x ，f(−x)=2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x =−f(x)， 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A 和B ． 又因为f (π2)=2|π2|⋅sinπ=0，所以排除C ． 故选D ． 10.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为y =ba x ，对称点为A(m, n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求出对称点A 的坐标，A 满足∠F 1AO =∠AOF 1，可得|AF 1|=|OF 1|=c ，由两点的距离公式，可得离心率．【解答】设F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为y =ba x ，F 2的对称点为A(m, n)， 即有n m−c＝−ab ， 且12⋅n =12⋅b(m+c)a，解得m =a 2−b 2c，n =2ab c，A 满足∠F 1AO =∠AOF 1，可得|AF 1|=|OF 1|=c ， 即有(a 2−b 2c+c)2+4a 2b 2c 2=c 2，结合c 2=a 2+b 2， 化为c =2a ，可得双曲线的离心率为e =ca =2． 11. 【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】求得函数的周期为1，再利用当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x <0时，f(x)=x 3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论． 【解答】∵ 当x >12时，f(x +12)=f(x −12)，∵ 当x >12时，f(x +1)=f(x)，f(x)的周期为1． ∵ f(8)=f(1)，∵ 当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)， ∵ f(1)=−f(−1)，∵ 当x <0时，f(x)=x 3−1，∵ f(−1)=−2，∵ f(1)=−f(−1)=2，∵ f(8)=2．故选：D．12.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】直接利用构造函数和导数的应用求出函数为单调递减函数，进一步求出结果．【解答】令f(x)=logx (x+1)＝ln(x+1)ln x(x>1)，所以f′(x)＝1x+1⋅ln x−1x⋅ln(x+1)(ln x)2=x ln x−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(ln x)2由于x>1，所以f′(x)<0，故f(2)>f(3)>f(4)，即a>b>c．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】2425【考点】二倍角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．【解答】∵ α∈(0, π2)，sinα=35，∵ cosα=√1−sin2=45，∵ sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．【答案】10【考点】二项式定理的应用【解析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=C5r(x2)5−r(−1x)r=(−1)r C5r x10−3r，要求x 4的项的系数 ∵ 10−3r =4， ∵ r =2，∵ x 4的项的系数是C 52(−1)2=10 故答案为：10 【答案】12【考点】 椭圆的离心率 【解析】根据椭圆方程求出焦点F 的坐标，再设出P 的坐标，代入已知条件建立方程组，求出P 的纵坐标，进而可以求出面积． 【解答】由椭圆方程可得：a 2=4，b 2=1，所以c 2=4−1=3，则a =2，b =1，c =√3， 所以F(√3, 0)，设P 的坐标为(x, y)，则由|OP|=|OF|，所以点P 的坐标满足方程{x 24+y 2＝1x 2+y 2＝3，解得y 2=13，即|y|=√33， 所以三角形OPF 的面积为12|OF||y|＝12×√3×√33＝12， 【答案】 210【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项公式可得：a n ．指数运算性质、二次函数的单调性即可得出． 【解答】设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1+a 3=20，a 2+a 4=10， ∵ {a 1(1+q 2)＝20a 1(q +q 3)＝10，解得a 1=16，q =12．∵ a n =16×(12)n−1=25−n ． 则a 1a 2a 3...a n =24+3+⋯+（5−n ）=2n(4+5−n)2=2−12(n−92)2+818，当且仅当n =4或5时，a 1a 2a 3...a n 的最大值为210．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】由正弦定理知，asin A =bsin B =csin C ， ∵ sin A +sin B =√2sin C ， ∵ a +b =√2c ，∵ △ABC 的周长为√2+1，∵ a +b +c =√2+1=√2c +c ， ∵ AB =c =1．△ABC的面积S=12ab sin C=16sin C，∵ ab=13，由（1）知，a+b=√2，c=1，由余弦定理知，cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=2−2×13−12×13=12，∵ C∈(0, π)，∵ C=π3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理将sin A+sin B=√2sin C中的角化为边，得a+b=√2c，再结合△ABC的周长即可得解；（2）由S=12ab sin C=16sin C，得ab=13，再根据余弦定理cos C=a2+b2−c22ab即可求得cos C的值，从而得解．【解答】由正弦定理知，asin A =bsin B=csin C，∵ sin A+sin B=√2sin C，∵ a+b=√2c，∵ △ABC的周长为√2+1，∵ a+b+c=√2+1=√2c+c，∵ AB=c=1．△ABC的面积S=12ab sin C=16sin C，∵ ab=13，由（1）知，a+b=√2，c=1，由余弦定理知，cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=2−2×13−12×13=12，∵ C∈(0, π)，∵ C=π3．【答案】由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，∵ x¯=0.1×170+0.2×190+0.2×210+0.3×230+0.15×250+0.05×270= 217．x¯−s≈190，∵ 187<190，∵ 该男生属于“体能不达标”的学生．由题意跳远距离在[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)的人数分别为12人，24人243人，按分层抽样抽取5人，则[160, 180)抽1人，[180, 200)抽2人，[200, 220)抽2人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C22C52=110，∵ X分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，由此能求出平均数，从而能判断该男生是否属于“体能不达标”的学生．（2）由频数=频率×样本容量，分别求出样本区[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，∵ x¯=0.1×170+0.2×190+0.2×210+0.3×230+0.15×250+0.05×270= 217．x¯−s≈190，∵ 187<190，∵ 该男生属于“体能不达标”的学生．由题意跳远距离在[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)的人数分别为12人，24人243人，按分层抽样抽取5人，则[160, 180)抽1人，[180, 200)抽2人，[200, 220)抽2人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C22C52=110，∵ X分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【答案】证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1, 1, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(1, 1, 2)，C 1(0, 1, 2)， ∵ |BE|=√2，|B 1E|=√2，|C 1E|=√3，|BC 1|=√5， ∵ |BE|2+|B 1E|2=|BB 1|2，|BE|2+|C 1E|2=|BC 1|2， 即BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，又B 1E ∩C 1E =E ，B 1E 、C 1E ⊂平面EB 1C 1， ∵ BE ⊥平面EB 1C 1．由（1）知，C(0, 1, 0)，E(1, 0, 1)，∵ BE →=(0, −1, 1)，CE →=(1, −1, 1)，C 1E →=(1, −1, −1)， 设平面BEC 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅CE →＝0˙，即{−y +z ＝0x −y +z ＝0，令y =1，则x =0，z =1，∵ m →=(0, 1, 1)， 同理可得，平面ECC 1的法向量为n →=(1, 1, 0)， ∵ cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙=√2×√2=12， 由图可知，二面角B −EC −C 1为锐角，故二面角B −EC −C 1的大小为60∘． 【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出B ，E ，B 1和C 1的坐标后，可求得|BE|，|B 1E|，|C 1E|，|BC 1|的长，再由勾股定理的逆定理证得BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，从而推出BE ⊥平面EB 1C 1；（2）根据法向量的性质求得平面BEC 和平面ECC 1的法向量m →与n →，再由cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙即可得解．【解答】证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1, 1, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(1, 1, 2)，C 1(0, 1, 2)， ∵ |BE|=√2，|B 1E|=√2，|C 1E|=√3，|BC 1|=√5， ∵ |BE|2+|B 1E|2=|BB 1|2，|BE|2+|C 1E|2=|BC 1|2， 即BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，又B 1E ∩C 1E =E ，B 1E 、C 1E ⊂平面EB 1C 1， ∵ BE ⊥平面EB 1C 1．由（1）知，C(0, 1, 0)，E(1, 0, 1)，∵ BE →=(0, −1, 1)，CE →=(1, −1, 1)，C 1E →=(1, −1, −1)， 设平面BEC 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅CE →＝0˙，即{−y +z ＝0x −y +z ＝0，令y =1，则x =0，z =1，∵ m →=(0, 1, 1)， 同理可得，平面ECC 1的法向量为n →=(1, 1, 0)， ∵ cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙=2×2=12， 由图可知，二面角B −EC −C 1为锐角，故二面角B −EC −C 1的大小为60∘． 【答案】由斜率公式可得直线AM ，BM 的斜率分别为k AM =yx+2，k BM =yx−2， 所以k AM k BM =y 2x 2−4=−14(x ≠±2)， 化简可得x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉(−2, 0)，(2, 0)两点， 证明：直线l 不经过点P(0, 1)，则点D ，E 不与点P 重合， ①直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为x =a ， 由{x ＝ax 24+y 2＝1，解得D(a, √4−a 22)，E(a, −√4−a 22)，所以k PD +k PE =2，得a =−1，即直线l 的方程为x =−1．②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，由{y ＝kx +bx 24+y 2＝1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kbx +4b 2−4=0，可得x 1+x 2=−8kb4k 2+1，x 1x 2=4b 2−44k 2+1，由k PD +k PE =2，得k =b +1，则l:y =(b +1)x +b ，则y +1=(b +1)(x +1)，横过定点(−1, −1) 可得(1+4k 2)x 2+8kx =0，解得x 1=0，x 2=−8k1+4k ，． 综上所述，l 过定点(−1, −1)．【考点】 轨迹方程 【解析】（1）利用直接法表示出直线AM 与BM 的斜率之积，化简可得曲线C 的方程； （2）①直线l 斜率不存在时，易得直线l 的方程为x =−1；②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，联立方程，利用根与系数关系和斜率公式可得k =b +1，进而利用直线的方程说明直线恒过定点(−1, −1)，综合即得结论． 【解答】由斜率公式可得直线AM ，BM 的斜率分别为k AM =y x+2，k BM =yx−2，所以k AM k BM =y 2x 2−4=−14(x ≠±2)， 化简可得x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉(−2, 0)，(2, 0)两点， 证明：直线l 不经过点P(0, 1)，则点D ，E 不与点P 重合， ①直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为x =a ， 由{x ＝ax 24+y 2＝1，解得D(a, √4−a 22)，E(a, −√4−a 22)，所以k PD +k PE =2，得a =−1，即直线l 的方程为x =−1．②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)， 由{y ＝kx +bx 24+y 2＝1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kbx +4b 2−4=0，可得x 1+x 2=−8kb4k 2+1，x 1x 2=4b 2−44k 2+1，由k PD +k PE =2，得k =b +1，则l:y =(b +1)x +b ，则y +1=(b +1)(x +1)，横过定点(−1, −1) 可得(1+4k 2)x 2+8kx =0，解得x 1=0，x 2=−8k1+4k 2，． 综上所述，l 过定点(−1, −1)． 【答案】当a =1时，f(x)=ln x +4x ，f′(x)＝1x −4x 2=x−4x 2，x >0，当x >4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <4时，f′(x)<0，函数单调递减，故当x=4时，函数取得极小值f(4)=1+2ln2，没有极大值；f′(x)＝ax −4x2=ax−4x2，x>0，当a>0时，令f′(x)>0可得x>4a ，此时函数单调递增，令f′(x)<0可得0<x<4a，此时函数单调递减，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，则f(x)min<4，所以f(4a )=a ln4a+a<4，令g(x)=ln x+1−x，则g′(x)＝1−xx，x>0，当x>1时，g′(x)<0，函数单调递减，0<x<1时，g′(x)>0，函数单调递增，∵ g(x)≤g(1)=0，∵ 4a >0且4a≠1，解可得，0<x<4或x>4，故a的范围(0, 4)∪(4, +∞)【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（1）把a=1代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解；（2）若存在正数x，使不等式f(x)<4成立可得f(x)min<4，然后结合导数可求．【解答】当a=1时，f(x)=ln x+4x ，f′(x)＝1x−4x2=x−4x2，x>0，当x>4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x<4时，f′(x)<0，函数单调递减，故当x=4时，函数取得极小值f(4)=1+2ln2，没有极大值；f′(x)＝ax −4x2=ax−4x2，x>0，当a>0时，令f′(x)>0可得x>4a ，此时函数单调递增，令f′(x)<0可得0<x<4a，此时函数单调递减，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，则f(x)min<4，所以f(4a )=a ln4a+a<4，令g(x)=ln x+1−x，则g′(x)＝1−xx，x>0，当x>1时，g′(x)<0，函数单调递减，0<x<1时，g′(x)>0，函数单调递增，∵ g(x)≤g(1)=0，∵ 4a >0且4a≠1，解可得，0<x<4或x>4，故a的范围(0, 4)∪(4, +∞)请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程] 【答案】曲线C1的方程为x2+y23=1，转换为参数方程为{x＝cosθy＝√3sinθ（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ＝3√3，根据{x＝ρcosθy＝ρsinθ，转换为直角坐标方程为x−y−6=0．点M在C1上，点N在C2上，所以设M(cosθ,√3sinθ)，点M到直线x−y−6=0的距离d=√3sin2=|2cos(θ+π3)−6|√2，当θ＝−π3时，d min22√2，即M(12,−32)．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．【解答】曲线C1的方程为x2+y23=1，转换为参数方程为{x＝cosθy＝√3sinθ（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ＝3√3，根据{x＝ρcosθy＝ρsinθ，转换为直角坐标方程为x−y−6=0．点M在C1上，点N在C2上，所以设M(cosθ,√3sinθ)，点M到直线x−y−6=0的距离d=√3sin√2=|2cos(θ+π3)−6|√2，当θ＝−π3时，d min√22√2，即M(12,−32)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】a=1时，f(x)=|x+2|+|x−1|，∵ f(1)≤5即为|x+2|+|x−1|≤5，当x≥1时，x+2+x−1<5，解得1≤x<2，当−2<x<1时，x+2+1−x<5，成立，x≤−2时，−x−2+1−x<5，解得−3<x≤−2，综上，不等式的解集是(−3, 2)；f(x)≥1−a对任意实数x都成立，即|x+2|+|x−a|≥1−a恒成立，∵ |x+2|+|x−a|≥|x+2+a−x|=|2+a|，∵ |2+a|≥1−a ，解得a ≥−12， 故实数a 的取值范围[−12, +∞)． 【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）由题意即|x +2|+|x −a|≥1−a 恒成立，由绝对值的几何意义得到|2+a|≥1−a 解之即可．【解答】a =1时，f(x)=|x +2|+|x −1|，∵ f(1)≤5即为|x +2|+|x −1|≤5，当x ≥1时，x +2+x −1<5，解得1≤x <2，当−2<x <1时，x +2+1−x <5，成立，x ≤−2时，−x −2+1−x <5，解得−3<x ≤−2，综上，不等式的解集是(−3, 2)；f(x)≥1−a 对任意实数x 都成立，即|x +2|+|x −a|≥1−a 恒成立，∵ |x +2|+|x −a|≥|x +2+a −x|=|2+a|，∵ |2+a|≥1−a ，解得a ≥−12，故实数a 的取值范围[−12, +∞)． 还未学过选修4-4、4-5的同学可选做此题【答案】设数列{a n }的公差为d(d >0)，a 2＝3，a 1，a 3−a 1，a 8+a 1成等比数列，由条件得{a 1+d =3a 1(2a +7d)=(2d)2， ∵ {a 1=1d =2． ∵ ．b n =3a n a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)， 所以：S n =32(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)， =32(1−12n+1)=3n 2n+1， 由3n 2n+1>3625，得到：n >12，所以：满足S n >3625的最小的n ＝13．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】设数列{a n }的公差为d(d >0)，a 2＝3，a 1，a 3−a 1，a 8+a 1成等比数列，由条件得{a 1+d =3a 1(2a +7d)=(2d)2， ∵ {a 1=1d =2． ∵ ．b n =3a n a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)，所以：S n =32(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=32(1−12n+1)=3n 2n+1，由3n 2n+1>3625，得到：n >12，所以：满足S n >3625的最小的n ＝13．。
高三上学期摸底自测理科数学试卷
理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间为120 分钟。
第 I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题的选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．若复数z (a2)a i 20003i 为纯虚数，则的值为1 aiA ．iB ． 1 C．－ 1 D．－I2．设 P、 Q 为两个非空实数会合，定义会合P× Q={ ab| a∈ P，b∈ Q} ，若 P={0 ， 1， 2} ， Q={2 ， 3，4} ，则 P× Q 的元素个数是A ．6 B． 7 C． 8 D ．9x 0y 03．已知 x、y 知足拘束条件，且z ax y 的最大值为7，则 a 的值是x 4y 1603x y 150A ．1 B．－ 17 7 C．D．5 54．已知正方体 ABCD —A 1B1C1 D1的棱长为1，则点 B1到平面 BDC 1的距离为2B．3 1 6A ．C．2 D ．2 3 35．已知y f ( x) 的导数 y f ' ( x) 的图像如图3— 1— 1，则A ．函数 f (x) 有1个极大值点，1个极小值点图 3— 1—1 B ．函数f (x) 有2个极大值点，2个极小值点C．函数 f (x) 有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x) 有1个极大值点，3个极小值点6．已知函数 f ( x) ax 3 bx2 cx d 的图像如图3—1— 2 所示，则A ．a 0，b 0 B．a 0， b 0C．a 0，b 0 D．a 0，b 0图 3—1—27．已知 a， m， n 是直线，α，β，γ是平面，给出以下四个命题：①若α ⊥γ，β ⊥γ，则α // β②若 mα ，nα ，m//β ，n//β ，则α //β ；③若α // γ，β // γ，则α // β；④若α内有不共线的三点到平面β 的距离相等，则α //β；⑤若β ⊥ α， a⊥ α，则 a//β此中正确命题的个数有A．0个B．1个C．2 个D．3 个x 2 y 21的焦点为 F1、 F2，M为双曲线上一点，以F1F2为直径的圆与双曲8．已知双曲线 C：b2a 2线的一个交点为M ，且tan MF1F2 1，则双曲线的离心率为2A ． 2 B． 3 C． 2 D ． 59．已知{ a n}是公差不为0 的等差数列，{b n } 是等比数列，且a1b1， a3b3，a7b5，那么A ．a3b1 B．a31 b11 C．a63b11 D ．b63a1110．在函数y 3x， y log 3 x， y tan x， y sin x， y cos x 这5个函数中，知足“对［0，1］中随意 x1和 x2，随意λ0， f (x1 λx2 ) f ( x1 ) λf(x2)恒建立”的函数个数是1 λ 1 λA．0B．1C．2D．311．已知三棱锥P— ABC 的四个极点均在半径为1 的球面上，且知足PA PB 0 ， PB PC0 ，PC PA 0 ，则三棱锥P— ABC 的侧面积的最大值为1 1A．2B．1C．D．2 412．过平行六面体的随意两个极点的直线共有28 条，此中异面直线有A ．150 对B．162 对C． 174 对D．186 对第 II 卷（非选择题共 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，将答案填在题中横线上。
高三数学上学期摸底统考试题理
卜人入州八九几市潮王学校怀远县2021届高三数学上学期摸底统考试题理〔扫描〕教A怀远县二零二零—二零二壹高三第一次模考理科数学参考答案1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】A【解析】令()()20,ln n f n xn g n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，那么()(),f n g n 的零点分别为20,n n x x ==，且()(),f n g n 均为增函数，欲使n N *∈时，()f n 与()g n 同号，只需要两函数图象与横轴的交点间发的间隔不超过1，即201x x-≤，解得45x ≤≤，对于4,5x =两个端点值进展验证，可知符合题意，所以[]4,5x ∈.11.【答案】“x R ∃∈，21204x x -+>〞 12.【答案】3π 13.【答案】1 14.【答案】11-【解析】设每一列的等比数列公比为q ，那么由可得每一行都成等差数列，因为41432,10a a =-=，所以4221042a -+==，可得444516,22a a ==，又因为 244a =，所以244244a q a ==，所以411155453222114a a a qa q -⨯⨯=⨯==-. 15.【答案】①③⑤【解析】对于①，因为()()1x f x x e '=+，易知()10f '-=，所以函数()f x 存在平行于x 轴的切线，故①正确； 对于②因为()()1x f x x e '=+，所以(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞时，()f x 单调递增，所以()()12120->-f x f x x x ，故②错误；对于③，()()102x xf x f x xe e '==+，()()212x x f x f x xe e '==+，…，()()1x xn n f x f x xe ne -'==+，()()201220132014x x f x f x xe e '==+，故③正确；对于④，()()1221f x x f x x +<+等价于()()1122f x x f x x -<-，构建函数()()h x f x x =-，那么()()11x h x x e '=+-，所以()h x 不单调，故④错误；对于⑤，()()2112x f x x f x <等价于()()1212f x f x x x <，构建函数()()x f x u x e x==，易知函数在R 上为增函数，又因为21x x >，所以⑤正确. 16.【解析】〔1〕因为(1,1)xa yb zc ++=，所以111122x y z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，可得2y z +=〔5分〕 〔2〕由〔1〕知222x y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22222222365125535x x y z x ⎛⎫-+⎪⎛⎛⎝⎭++=++=≥，所以当且仅当25x=时，()222min 125x y z ++=.〔12分〕17.【解析】〔1〕假设f (x )在R 上为奇函数，那么(0)0f =，…………1分()()()000000x y f f f k k ==+=++∴=令，则，．…………2分 证明：由()()()f a b f a f b +=+，令(),,()()a x b x f x x f x f x ==-则－＝＋－，又()()(0)00()()R f f x f x f x f x x =∈，则有＝＋－．即－＝－对任意成立，()f x ，所以是奇函数．〔2〕()()()()4221523f f f f ∴＝＋－＝，＝．…………7分 ∴()2(23)32f mx mx f >－＋＝对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴2232mx mx >－＋对任意x ∈R 恒成立，…………9分即2210R mxmx x >∈－＋对任意恒成立，当0m =时显然成立；当0m ≠时，由2440m m m >⎧⎨∆=-<⎩得01m <<．所以实数m 的取值范围是[)0,1．…………13分18.【解析】〔1〕∵2CA =，3cos 4A =，∴2231cos cos 22cos 12()148C A A ==-=⨯-=.∴sin C =，sin A =，∴cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=3194816-⨯=………………………6分 〔2〕∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =；又由正弦定理sin sin a c A C=，得32c a =，解得4a =，6c =，∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5…………………………12分19.【解析】(1)由()sin tan (0)2f x a x x x π=+<<得21'()cos cos f x a x x=+由题意:9'()132f a π=⇒= 所以实数a 的值是1.………………………5分 (2)设32221cos 2cos 1()()2sin tan 2'()cos 2cos cos x x g x f x x x x x g x x x x-+=-=+-⇒=+-= 由于0cos 1x <<,'()0g x > 所以()g x 在(0,)2π上单调递增,故()(0)0g x g >=所以sin tan 2x x x +>, 故得函数()sin tan (0)2y f x a x x x π==+<<的图象始终在直线2y x =的上方.………12分20.【解析】〔1〕由变换知识可知，()sin()23f x x ππ=+，所以242T ππ==；令322()2232k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，解得1744()33k x k k Z +≤≤+∈， 故()f x 的单调减区间为174,4()33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；7分〔2〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ；由图可知，点C 为直线4203x y +-=与x 轴的交点，故4(,0)3C ；易知4(,0)3C 恰为函数()f x 图像的一个对称中心；故1283x x +=，120y y +=， 故32()9OC OA OB ⋅+=.〔13分〕21.【解析】〔1〕由可得()()12121n n f x nx n x x --'=+-+++，因为0x>，所以()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上是增函数.………2分因为()110f n =->，1111221111111012222212nn n nf -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点，所以112n x <<………4分假设1n n x x +≥，因为1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +-+--+++++++++->++++->+++-①因为()1111111110n n n n n n n n f x x x x x +-+++++=++++-=，()1110n n n n n n f x x x x -=+++-=,这与①式矛盾，所以假设错误，应该有1n n x x +<，综合以上可知1112n n x x +<<<；………7分 〔2〕原不等式等价于232n nx x x +++<，………8分因为()1111111112222n n n n n n n n f x f x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112222n n n n n n n n x x x x --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++->-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………10分因为()110,22nn f x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11112222nn n x f x f ⎛⎫⎛⎫<+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2323111111222222n n x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………11分 1111421*********12n nn n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+-< ⎪⎝⎭-.………14分。
【高三】高三理科数学上册摸底考试试卷(含答案)
【高三】高三理科数学上册摸底考试试卷(含答案)珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分后，满分40分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的．恳请在答题卡上ED79适当选项.1．设全集，集合则集合=a．b．c．d．2．未知实数满足用户的最大值为a．―3b．―2c．1d．23．函数，，其中，则．均为偶函数．均为奇函数．为偶函数，为奇函数．为奇函数，为偶函数4．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是a．36b．108c．72d．1805．未知为不能重合的两个平面，直线那么“”就是“”的a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件c．充份必要条件d．既不充份也不必要条件6．设a、b是x轴上的两点，点p的横坐标为2且若直线pa的方程为，则直线pb的方程是a.b.c.d.7．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表雄性雌性总计敏感５０２５７５不脆弱１０１５２５总计６０４０１００由附表：则以下观点恰当的就是：a．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；b．.在犯错误的概率不少于的前提下指出“对激素脆弱与性别毫无关系”；c．有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；d．存有以上的把握住指出“对激素脆弱与性别毫无关系”；8．设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，a．b．c．d．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．在△abc中，，则.10.已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.11.不等式的边值问题就是.12.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是.13.，则的零点个数就是________________．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心至直线的距离就是_____________.15．（几何证明选讲选做题）例如图，在△abc中，d就是ac的中点，e就是bd的中点，ae交bc于f，则.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分后）未知函数.(1)求的定义域；(2)设是第二象限的角，且tan=，求的值.17．（本小题满分12分后）a、b两个投资项目的利润率分别为随机变量和。
高三摸底考试理科数学试题
高三摸底考试理科数学试题本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分；满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．第I 卷每小题得出答案后；请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。
答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束；考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。
参考公式： 1=3V sh 锥体 , 其中s 是锥体的底面积；h 是锥体的高. 第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（本大题共8小题；每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的）{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-；则A B ={}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A B C D ----2. “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件3. 设向量→a 与→b 的夹角为θ；→a =（2；1）；3→b +→a =（5；4）；则θcos =A .54B . 31C .1010 D .10103 4. 如右图；一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形；俯视图是一个圆；那么几何体的侧面积为 ()A12π ()B . 22π ()C .24π ()D . 4π5. 已知函数0()sin ,af a xdx =⎰则[()]2f f π=()A ．1 ()B ．1cos1- ()C ．0 ()D ．cos11-6. 在等差数列中；若是a 2+4a 7+a 12=96；则2a 3+a 15等于()A ．12 ()B ．96 ()C 24 ()D ．487. 在实数集上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗；若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立；则实数a 的取值范围是()A .()1 1，- ()B .()2 0， ()C )23 21(，- ()D )2123(，-OEDCBAP0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距8. 在约束条件53,4200≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时；目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是()A ．[6；15] ()B ．[7；15] ()C [6；8] ()D ．[7；8]二.填空题(每小题5分, 其中从13－15题中任选两题；三题都选只计算前两题得分；共30分)9. 抛物线24(0)x ay a =>的焦点到其准线的距离为 .10. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人；并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
陕西省渭南市华阴市2022届高三上学期摸底考试理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1.已知平面向量，，则向量（ ）A．B．C．D．2.已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )A．B．C．D．3. 为坐标原点，点，的坐标分别为，，则等于（ ）A．B．C．D．4. 已知集合为虚数单位，，则复数A．B．C．D．5. 已知双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，直线过点且与直线交于点，（为坐标原点），则的离心率为（ ）A．B ．2C．D．6. 若复数（i 是虚数单位），则（ ）A．B ．1C．D．7. 在复平面内，表示复数的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且，现将沿AE 向上翻折，使点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A ．存在点P，使得B ．存在点P，使得C ．三棱锥的体积最大值为D ．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π9. 已知复数z 在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．10. 如图，在中，内角的对边分别为，若，且是外一点，，则下列说法正确的是（ ）陕西省渭南市华阴市2022届高三上学期摸底考试理科数学试题(1)陕西省渭南市华阴市2022届高三上学期摸底考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．是等边三角形B．若，则四点共圆C．四边形面积的最小值为D．四边形面积的最大值为11. 已知函数，.（ ）A ．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，B．当且时，函数在上单调递增C．当时，若函数有三个零点，则D．当时，若存在唯一的整数，使得，则12. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙不相互独立D ．丙与丁不相互独立13. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为______.14. 已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，椭圆上一点P 满足|OP |＝3，则△F 1PF 2的面积为________．16. 在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没有投进，则该次投进的概率为．(1)求甲3次投篮得4分的概率；(2)若乙3次投篮得分为，求的分布列和数学期望．17.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.(1)当取得最小值时，求的值；(2)当时，若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于、两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C 上.(1)求线段中点的坐标;(2)若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P ，与直线交于点Q ，若点满足，求的值.19. 图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，N 为的中点.将其沿AC ，AB 折起使得与重合，连结，BN ，如图2.(1)证明：在图2中，，且B ，C ，，四点共面；(2)在图2中，若二面角的大小为，且，求直线AB 与平面所成角的正弦值.20. 已知.(1)若，求x 的解集;(2)若恒成立，求a 的取值范围.21. 已知函数．1求的单调递增区间；2若，求实数x 的取值范围．。
河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题(2)
一、单选题1. 已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．2. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）A．B．C．D．3. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD 测得一座山的高（如图①），再于山顶T 处悬一直径为SP 且可以转动的圆环（如图②），从山顶T 处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（）A．B．C．D．4. 已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则；②若，，且，则；③若，，且，则；④若，，且，则．其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④5. 已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A．B．C ．或D ．或6. 若不等式3-2x<0的解集为M ,则下列结论正确的是 ( )A ．0∈M ,2∈MB ．0∉M ,2∈MC ．0∈M ,2∉MD ．0∉M ,2∉M7. 已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为（2，－1），（0，－1），则＝A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－2－i8. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为A．B．C．D．河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题(2)河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题(2)二、多选题三、填空题四、解答题9. 下列说法正确的是（ ）A ．，B．C ．若，，则的最小值为1D ．若是关于x 的方程的根，则10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）A ．二项式系数之和为32B ．最高次项系数为32C．所有项系数之和为D ．项的系数为4011. 已知α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则12.设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）A．B．C ．设函数的值域为，则的子集个数为D．13.已知幂函数在上是减函数，则n 的值为________．14.已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的n 的最小值为__________．15. ______．16. 如图，在四棱锥中，为顶点，底面为正方形，设面与面交于交线.(1)求证：；(2)若在上有一点，，，，平面平，求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知函数，．(1)求的最小正周期；(2)若对于任意的，恒成立，求a 的取值范围．18.如图，四边形是直角梯形， ，，又，直线与直线所成的角为.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.19. 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨或小雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是大雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量X，求随机变量X的分布列和均值E(X)．20. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．(1)求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；(2)根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．21. 已知数列是等差数列，前n项和为；数列是各项均为正数的等比数列，前n项和为；且.（1）分别求数列的通项公式和前n项和；（2）若将数列中出现的数列的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列，记数列的前n项和为，求.。
高三上学期摸底数学试卷(理科)
高三上学期摸底数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合，则A .B .C .D .2. （2分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A . 2B .C . ﹣3D . 34. （2分）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）.A .B .C .D .5. （2分） f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度6. （2分） (2015高三上·天水期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A . 4B . 9C . 7D . 57. （2分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ=（）A .B .C . -D . -8. （2分） (2017高一上·福州期末) 体积为4 π的球的内接正方体的棱长为（）．A .B . 2C .D .9. （2分） (2017高一上·黄石期末) 若sin（﹣α）=﹣，则cos（+2α）=（）A . -B . -C .D .10. （2分） a<0是方程至少有一个负数根的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2017高三上·襄阳开学考) 已知F1、F2是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若MF1⊥MF2 ，∠MF2F1=60°，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）(2017·龙岩模拟) 多项式1+x+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）5的展开式中，x项的系数为________．14. （1分） (2018高二下·重庆期中) 设函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是________15. （1分） (2019高二上·德惠期中) 已知F1 ， F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为________ ．16. （10分） (2016高一下·望都期中) 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C成等差数列，且．求：（1）求∠A，∠C的大小．（2）求△ABC的面积．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）已知数列{an}中，有an+1=an+4且a1+a4=14（1）求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn；（2）令bn= （k∈Z），若{bn}是等差数列，数列{ }的前n项和Tn≤ 恒成立，求正整数m 的最小值．18. （5分） (2017高三下·西安开学考) 食品安全是关乎到人民群众生命的大事．某市质检部门为了解该市甲、乙两个食品厂生产食品的质量，从两厂生产的食品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如图是测量数据的茎叶图：规定：当食品中的此种元素含量不小于18毫克时，该食品为优等品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅲ）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．19. （10分）(2017·宝清模拟) 如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.21. （15分） (2019高三上·镇江期中) 已知函数．（1）当，求函数的极小值；（2）已知函数在处取得极值，求证：；（3）求函数的零点个数．四、选做题：在22、23、24三题中任选一题作答 (共3题；共25分)22. （5分）(2017·镇江模拟) 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．23. （10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．24. （10分）(2017·常宁模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（m）+f（﹣）≥4．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略四、选做题：在22、23、24三题中任选一题作答 (共3题；共25分) 22-1、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略24-1、答案：略24-2、答案：略。
河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．2. 已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为 （ ）A．B．C．D．3. 设A ，B ，C ，D 是四个命题，若A 是B 的必要不充分条件，A 是C 的充分不必要条件，D 是B 的充分必要条件，则D 是C 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5. 已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为（ ）A ．28B ．-28C ．45D ．-456. 已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．C．D．7. 下面四个命题中，其中正确的命题是（ ）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那该直线与交线平行：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行A．与B．与C．与D．与8.的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）A．B．C．D．9. 设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（ ）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点B．的最小值为2C ．的最小值为D ．直线恒过焦点河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题 (2)河南省安阳市2022-2023学年高三上学期名校调研摸底考试理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的图象关于直线对称D．的值域为11.三棱锥中，平面，，，，、与以为直径的球的球面分别交于点、，则下列结论正确的是（ ）A．B ．平面C．D ．球的球面上点、所在大圆劣弧的长为12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为A ．函数是偶函数B．,,恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,对任意的恒成立D．不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形13. 已知向量，，，若，则实数k 的值为______．14.若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．15.设函数在点处的切线经过点，则实数________.16. 如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.(1)求证：；(2)求四棱锥的表面积.17.已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和．18. 已知．(1)讨论的零点的个数．(2)求证：．19. 某市电视台为了解一档节目收视情况，随机抽取了该市n 对夫妻进行调查，根据调查得到每人日均收看该节目的时间绘制成如图所示的频率分布直方图，收视时间不低于40分钟的观众称为“热心观众”，收视时间低于40分钟的观众称为“非热心观众”，已知抽取样本中收视时间低于10分钟的有10人.(1)求n，p；(2)根据已知条件完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“热心观众”是否与性别有关.非热心观众热心观众总计男女10总计附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82820. 已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列前项和．21. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．(1)①求生产一件该芯片的次品率．②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．甲型号乙型号合计满意不满意合计附：，．0.0500.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.828。
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高三上学期摸底自测
理科数学试卷
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数i a z 3)2(+-=为纯虚数，则ai
i a ++12000
的值为
A ．i
B ．1
C ．－1
D ．－I
2．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ×Q={ab | a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，1，2}，Q={2，3，4}，则P ×Q 的元素个数是 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．已知x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤-+≤-+>>0
153016400y x y x y x ，且y ax z +=的最大值为7，则a 的值是
A ．1
B ．－1
C ．
5
7
D ．5
7-
4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1到平面BDC 1的距离为
A ．
2
2 B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
3
6 5．已知)(x f y =的导数)('x f y =的图像如图3—1—1，则 A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
图3—1—1
B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
6．已知函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图像如图3—1—2所示，则 A ．00>>b a ， B ．00<<b a ， C ．00<>b a ，
D ．00><b a ，
7．已知a ，m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β； ③若α//γ，β//γ，则α//β；
④若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β； ⑤若β⊥α，a ⊥α，则a //β 其中正确命题的个数有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的焦点为21F F 、，M 为双曲线上一点，以21F F 为直径的圆与双曲
线的一个交点为M ，且2
1
tan 21=F MF ，则双曲线的离心率为 A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
9．已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，且，
，3311b a b a ==57b a =，那么 A ．13b a =
B ．1131b a =
C ．1163b a =
D ．1163a b =
10．在函数x
y 3=，x y x y x y x y cos sin tan log 3====，，，这5个函数中，满足“对［0，1］
图3—1—2
中任意1x 和2x ，任意0≥λ，λ
x f λx f λx λx f ++≤++1)
()(1)(2121恒成立”的函数个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=→
⋅→PB PA ，0=→⋅→PC PB ，0=→
⋅→PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为
A ．2
B ．1
C ．
2
1 D ．
4
1 12．过平行六面体的任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有 A ．150对 B ．162对
C ．174对
D ．186对
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中横线上。
13．已知a =（1，－1），非零向量a +b 与a 反向，则a ·b 的取值范围是________。
14．直线l ：0=+by ax 与圆C ：01222
2
=+--+y x y x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
=→
⋅→OB OA _________。
15．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是_________。
16．如图3—1—3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个
过程中向量→OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=+6
cos 6sin θ
θ________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题12分）
设函数)(cos sin )sin cos 2()(2
R x x x x a x x f ∈++=，且)4
()2(πf π
f =。
（1）求实数a 的值，并将)(x f 写成sin A (x ω+ϕ)的形式；
（2）利用“五点法”作出)(x f 的图像，并根据图像指出)(x f 取最大和最小值时对应的x 值。
18．（本小题12分）
美国NBA 篮球总决赛采用七局四胜利，即先胜四局的队获胜，比赛结束，2005年美国东部活塞队与西部马刺队分别进入决决赛，已知马刺队与活塞队的实力相当，即单局比赛每队获胜的概率均
为
2
1，若每局比赛组织者可获利100万美元，设各局比赛相互间没有影响，组织者在本次比赛获利ξ万美元，求ξ的概率分布与期望。
19．（本小题12分）
已知函数36)2(2
3
)(23-++-
=x x a ax x f 。
（1）当a >2时，求函数)(x f 的极小值；
（2）试讨论曲线=y )(x f 与x 轴的公共点的个数。
20．（本小题12分）
如图3—1—5所示，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，∠DAB=90°，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。
（1）求证MC//平面PAB ；
（2）在棱PD 上找一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为
2
2； （3）若点N 为平面PAB 内的一点，且MN ⊥平面PCD ，求点N 到平面ABCD 和平面PAD 的距离。
21．（本小题12分）
已知点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，且0=→⋅→PF PM ，动点N 满足02=→
+→NM PN 。
（1）求点N 的轨迹C 的方程；
（2）'F 为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点'F 的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D
为AB 的中点，在x 轴上存在一点E ，使0)(=→-→⋅→AD AE AB ，求||→
OE 的取值范围（O 为坐标原点）；
（3）Q 为直线1-=x 上任一点，过Q 点作曲线C 的两条切线l 1、l 2，求证l 1⊥l 2。
22．（本小题14分）
已知函数)1(1
2
)(-≠++=
x x x x f ，设数列}{n a 满足)(1n n a f a =+。
（1）若11->a ，试比较n a 与2的大小，并证明你的结论； （2）若11->a ，且21≠
a ，试比较12-n a 与12+n a 的大小；
（3）若11=a ，证明：
7
)
122(2|2||2||2||2|321-≤
-++-+-+-n a a a a 。