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2018年广州中考相似三角形应用专题押题

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2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)

2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)

课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

2018年广东省各市中考数学压轴题及答案 精品

2018年广东省各市中考数学压轴题及答案 精品

2018年广东省各市中考数学压轴题及答案1.（2018广东中山）．已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G 。

∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4。

（1）求证：△EGB 是等腰三角形；（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE 成为以ED为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。

2.（2018广东中山）阅读下列材料：1×2 =31×(1×2×3－0×1×2)， 2×3 = 31×(2×3×4－1×2×3)， 3×4 = 31×(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4 = 31×3×4×5 = 20。

读完以上材料，请你计算下列各题： （1）1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；（2）1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n ＋1) = _________； （3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = _________。

3.（2018广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2。

动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动。

2018年广州中考数学压轴题真题

2018年广州中考数学压轴题真题

2018年广州中考数学压轴题真题题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y xOC BA yxOC BAy xOC BA2. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

与坐标轴交于A ，B ，C 三点，A 点的坐标为(﹣1，0)，过点C 的直线错误！未找到引用源。

与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0<t <1．（1）点C 的坐标是____________，b =_______，c=______． （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．y x O Q PH CB A A B COxy3. （2012海南）如图，顶点为P (4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M ，N 关于点P 对称，连接AN ，ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点A 的坐标是(6，﹣3)，求△ANO 的面积．（3）当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM =∠ONM ；②△ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由．NlM AOP x yyxPO l4. （2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

2018届初三中考数学专题复习-相似三角形--专项训练题-含答案

2018届初三中考数学专题复习-相似三角形--专项训练题-含答案

2018届初三中考数学专题复习 相似三角形 专项训练题An 2 AE在厶 ABC 中，DE // BC ,若DB = 3,则=(2.如图，在厶ABC 中, DE// BC, MN // AB ，则图中与厶ABC 相似的三角形有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. 如图，四边形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ,且将这个四边形分成①，②, ③，④四个三角形.若 OA ： OC= OB ： OD,贝卩下列结论中一定正确的是（）A .①和②相似B .①和③相似C .①和④相似D .②和④相似4. 在Rt A ABC 和 Rt A A ' B ' C 中，/ C =Z C' = 90° ,若添加一个条件，使得 Rt △ ABC s Rg A ' B ' C ,则下列条件中不符合要求的是（）1.如图,A-iB -2 D -3 ACA . /A = Z A B. ZB = Z BAB _ AC AB _ AC C A B^A Z C D A C B f C5. 如图，在△ ABC 中，AD 是中线，BC = 8,/ B =Z DAC ，则线段AC 的长为（A . 4B . 4 2() A . 2 : 3B. 2 : 3C . 4 : 9D . 8 : 27AB 27. 已知△ ABC A B ，,厂亍3, AB 边上的中线 CD = 4 cm,贝卩A B &上的中线8. 如图，点D , E 分别是△ ABC 的边AB, BC 上的点，且DE// AC, AE, CD 相交于点O ,若 S DOE • S COA = 1 • 25 ,则 S BDE 与 S CDE 的比是(6. 如果两个相似三角形对应边的比为 2 : 3,那么这两个相似三角形面积的比是6 cmB.8 cmC . 8 cmD . 12 cmC . 6D . 4 3A. 1 :3 B .1 ：BA为15米，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（出□C A BA.10 米B .点 O ,右 Sx DOE :乐CQA = 1 : 25，贝S Sx BDE 与 S^CDE 的比是()的长为则当B‘ C已知/ ACB = Z ABD = 90° , AB = .6, AC = 2,贝S AD =1如图，在?ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F , DE = 2CD.时, 图中两直角三角形相似.DA . 1 : 3B . 1 ：4 11.如图，已知AB// CD//果 AC ： CN3 : 5, BF = 9,C . 1 : 5D . 1 : 25EF,它们依次交直线l i , I 2于点A , C, E 和点B, D, F ,如 那么DF =12. 如图，AB// CD, AD 与BC 交于点O , 已知AB = 4, CD= 3, OD= 2,那么线段 OA14.15. R \D时，△ ABC^A A B‘ C .13.中，A B'= 1, C A'= 2,(1)求证：△ ABFCEB;参考答案:1---10 CCBDB CABAB12. 13. 1.5 14. 3 2或 315. 解：(1) T 四边形 ABCD^平行四边形，二 AB// CD / A =Z C,「./ ABF =Z E ,•••△ ABF^A CEB(2) v AB// CD •△ ABF ^A DEF ,由(1)知，△ ABF ^A CEBABF ^A CE 盼DEFDE 2 1 2 1 . rilil△ DEF 二 =(二I =(;) — , .・ CEB — 9x 2— 18,同理可得 S ^ABF — 2x 4— 8,•S ^ CEB EC 3 911. 45 ~8S?ABCD= S^ABF+ S^ CEB一S^ DEF—18 + 8-2 —24。

2018中考数学压轴题探究专题：相似三角形的存在性问题

2018中考数学压轴题探究专题：相似三角形的存在性问题

中考数学解法探究专题相似三角形的存在性问题考题研究：相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．解题攻略：相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．解题思路：相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。

2、若题目中为与相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①,②、③、3、若题目中为与,并且有、（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、，②、需要分类讨论上述的各种情况。

例题解析1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC 的面积；②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM 时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：2=﹣（2+2）（2﹣m），m=4；（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，x=﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB=2+4=6，∴S△ABC=AB?OC=×6×2=6；则△ABC的面积是6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH为最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）；（3）存在符合条件的点M，由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC?AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC?AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2 ?2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB?MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，∵AB2=CB?MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=?，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明=，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE 的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″Ｏ均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，∴a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴B（1，4）．（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．∵A（3，0），E（0，3），∴OE=OA=3．∴∠OEA=45°．∵E（0，3），B（1，4），∴EF=BF．∴∠FEB=45°．∴∠BEA=90°．∴AB为△ABE的外接圆的直径．∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，∴△BFE∽△AOE．∴tan∠EAB==．∵tan∠CBE=，∴∠CBE=∠EAB．∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．∴CB是△ABE的外接圆的切线．（3）如图2所示：∵且∠DOE=∠BEA=90°，∴△EOD∽△AEB．∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．∴点P的坐标为（0，0）．过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，∴△EDP′∽△EOD．又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP′∽△AEB．∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，∴∠ODP′＝∠DEP′．∴=，即．∴OP′＝．∴点P′的坐标为（0，﹣）．过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．∵∠EDP″＝∠EDO，∠EOD=∠DEP″，∴△EDO∽△P″DE．∵又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP″∽△AEB．∴∠EP″O=∠BAE．∴tan∠EP″O==，即=．∴OP″=9．∴P″（9，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣）或（9，0）．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=OB=3，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=CE=，所以BH=2，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE；当=时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵点C与E点为抛物线上的对称点，∴E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，∵OC=OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，BC=OB=3，∴∠ECB=45°，∴△CHE为等腰直角三角形，∴CH=EH=CE=，∴BH=BC﹣CH=2，在Rt△BEH中，tan∠EBH===，即tan∠CBE的值为；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF==，而tan∠CBE=，∴∠CBE=∠ADF，AD==2，BE==，BC=3，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE，即=，解得m=，此时M点的坐标为（1，）；当=时，△DAM∽△BEC，即=，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，），（1，﹣2）．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，进而∠MEB=∠AEC=60°．即可得出结论；（3）分在x轴上方和x轴上方两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA?t a n60°=1×=，OB=OC?cot30°＝×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；故答案为：3，0，0，；学科网（2）四边形AEMC是菱形．∵△OCE∽△OBC，∴，即，解得OE=1，∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=∠AEC=60°．∴点C与点M关于抛物线的对称轴（x=1）对称．C（0，），∴M（2，）．∴MC=AE=2，MC∥AE∴四边形AEMC是平行四边形．∵AC=CM=2∴四边形AEMC是菱形．（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切，易知点P在两线夹角的平分线上，①当在x轴上方时，如图，∠PAO=30°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ，得m+1=（﹣m2+m+）解得，m1=2，m2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（2，）②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（n，﹣n2+n+），过P'作P'Q'⊥x轴，交点为Q'，则AQ'=P'Q'，得（n+1）=﹣（﹣n2+n+）解得，n1=6，n2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（6，﹣7）综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2，）或（6，﹣7）．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．∴C（8，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t的或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）存在符合条件的M、N点，EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，），N（4，﹣）．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C1的解析式；（2）根据抛物线C1的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠∠CA′Ａ，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′Ｃ的解析式，求出D（，CAA′＝2）．由勾股定理得出AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4得，，解得，所以抛物线C1的解析式为y=﹣x2﹣x+4；学科网（2）令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴B（1，0），令x=0，则y=4，∴C（0，4）．由题意，知M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′＝∠CA′Ａ，∴AB′=2．设直线A′Ｃ的解析式为y=px+q．把A′（3，0），C（0，4）代入，得，解得，∴y=﹣x+4，当x=时，y=﹣×+4=2，∴D（，2）．由勾股定理得，AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．当m＜3时，此时点P在点A′的左边，若=，即有△DA′Ｐ∽△CAB′，∴=（3﹣m），解得m=2，∴P（2，0）．若=，即有△DA′Ｐ∽△B′AC，∴=（3﹣m），解得m=﹣，∴P（﹣，0）．当m＞3时，此时点P在点A′的右边，∵∠CB′Ｏ≠∠DA′Ｅ，∴∠AB′Ｃ≠∠DA′Ｐ，∴此情况，△DA′Ｐ与△B′AC不能相似．综上所述，存在点P（2，0）或（﹣，0）满足条件．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=?BQ?PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=?BQ?PM=?2t?t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）。

2018中考相似三角形经典练习试题和的答案解析

2018中考相似三角形经典练习试题和的答案解析

相似三角形分类练习题(1)一、填空题1、如图,DE 是9BC 的中位线,那么4ADE 面积与z\ABC 面积之比是AD 12、如图,4ABC 中,DE//BC, AS 2且£但「8加,那么凡的= _________________________ 邮.3、如图,z^ABC 中,ZACB = 90° CD±AB,D 为垂足,AD = 8cm ,DB = 2cm ,那么 CD =cm4、如图,4ABC 中,D 、E 分别在 AC 、AB 上,且 AD:AB = AE:AC = 1:2 , BC = 5cm , WJ DE =题一 1国 颗一 2国 褒一 M 图 埋一 4图 墨一 b 图 思一 6图 题一 10国5、如图,AD 、BC 相交于点 O, AB//CD, OB = 2cm , OC=4cm , ^AOB 面积为 4.5cm 2,那么4 DOC 面积为 cm 2.6、如图,4ABC 中,AB = 7, AD =4, /B=/ACD,那么 AC =7、如果两个相似三角形对应高之比为 4:5,那么它们的面积比为 o 8、如果两个相似三角形面积之比为 1:9,那么它们对应高之比为 o9、两个相似三角形周长之比为 2:3,面积之差为10cm 2,那么它们的面积之和为 cm?.口 -S10、如图,4ABC 中,DE//BC, AD:DB=2:3,那么 皿-橙荒此前= 二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是 1:5,那么它们的周长比是(). (A) 1：君；(B) 1:25; (C) 1:5; (D) B1.2、如果两个相似三角形的相似比为 1:4,那么它们的面积比为().(A) 1:16; (B) 1:8; (C) 1:4; (D) 1:2.锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O,那么与ADOB 相似的三角形个数是().(B) 2; (C) 3; (D) 4.(A) 1:9; (B) 1:81 ; (C) 3:1 ; (D) l:3o三、如图,4ABC 中,DE//BC, BC = 6,梯形DBCE 面积是z\ADE 面积的2倍,求DE 长.3、如图,(A) 1;4、如图, 梯形 ABCD , AD //BC, AC 和BD 相交于O 点, 共同£皿“：品3 = 1:9,那么%8：为叼=甄二4四、如图,4ABE 中,AD:DB=5:2, AC:CE=4:3,求BF:FC的值.五、如图,直角梯形ABCD 中,ABXBC, BC //AD , BC<AD , BC = q , AB = 8 , AC LCD,求AD 〔用的式子表示〕六、如图,4ABC 中,点D 在BC 上,/DAC = /B, BD = 4, DC=5, DE//AC 交AB 于点E,求DE长.七、如图,ABCD是矩形,AH =2, HD =4, DE = 2, EC= 1 , F是BC上任一点〔F与点B、点C不重合〕,过F作EH的平行线交AB于G,设BF为# ,四边形HGFE面积为,写出?与彳的函数关系式,并指出自变量A的取值范围.相似三角形分类练习题〔2〕一、填空题ace._ = =__ =41、：b d丁,且那么&十八/=2、在一张比例尺为1:5000的地图上,某校到果园的图距为8cm ,那么学校到果园的实际距离为_______ m3、如图,4ABC 中,/ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AD=4cm, BD = 16cm,那么CD =_______ c mo4、如图,/ACD = /B, AC= 6, AD =4,那么AB5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB于E,那么图中相似三角形〔包括全等三角形在内〕共有________ 对.6、如图,MBC中,BC=15cm ,DE、FG均平行于BC且将9BC面积分成三等分,那么FG =cm.7、如图,AF //BE//CD, AF=12, BE=19, CD =28,那么FE:ED 的值等于s • s8、如图,AABC, DE //GF//BC,且AD = DG = GB,那么 '樟度翎10、如图,4ABC 重心为G, 3BC 和为BC 在BC 边上高之比为 (A) /1 = /2; (B) /2 = /C; (C) /1 = /BAC; (D) /2 =/B3、如图,AB//A' B' , BC//B' C' , AC//A' C',那么图中相似三角形组数为( (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8. BE 和CD 相交于点F, DF:FC=1:3,那么叫理：'©c = ( ) 0 三、?BC 中,AB = AC, AD 是底边BC 上高,BE 是AC 上中线,BE 和AD 相交于F, BC = 10 , AB= 13,求 BF 长.四、如图,ABFE 、EFCD 是全等的正方形,M 是CF 中点,DM 和AC 相交于N ,正方形边长为口, 求AN 的长.(用仪的式子表示)五、如图,AABC 中,AD ±BC, D 是垂足,E 是 BC 中点,FE± BC 交 AB 于 F, BD = 6, DC = 4, AB=8,求 BF 长.h p …A儿 _____ 口B zik — £ I P I Cc B t n .： n F 'MIEN*3晒 + S JI 兆V = ~~T六、如图,^ABC 中,〃 = 90° ,DEFG 是*BC 中内接矩形,AB = 3,AC = 4, 匕,求矩形DEFG 周长.AD = 3cm , BC = 6cm , CD = 4cm ,现要截出矩形 EFCG, ,设BE=x ,矩形EFCG 周长为y ,(1)写出?与工的(2)才取何值,矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 的相似形〔3〕一、填空题1、如果两个相似三角形的周长比为 2:3,那么面积比为9、如图,ABCD 是正方形,E 是DC 上一点,DE:EC= 5:3, AELEF, WJ AE:EF=二、选择题1、两个相似三角形的相似比为 4:9, (A) 2:3; (B) 4:9; (C) 4:81 ;2、如图,D 是?BC 边BC 上一点, 那么这两个相似三角形的面积比为( (D) 16:81.△ABDsWAB,那么(). 4、如图,AABC 中,DE //BC, (A) 1:3; (B) 1:世 1:9; (D) 1:18.题六国七、如图,有一块直角梯形铁皮ABCD, (E 点在AB 上,与点A 、点B 不重合) 函数关系式,并指出自变量了取值范围; 5分O；(C) BE D C 0S-fE32、两个相似三角形相似比为2:3,且面积之和为13cm2,那么它们的面积分别为L3、三角形的三条边长分别为5cm , 9cm , 12cm ,那么连结各边中点所成三角形的周长为cm4、如图,PQ//BA, PQ = 6, BP=4, AB = 8,那么PC 等于AD _15、如图,4ABC 中,DE//BC, 万,、F=2cm2,贝〔J % 用地5=cm2.题T图题T图圈一6困6、如图,C为线段AB上一点,AACM > 3BN都是等边三角形,假设AC = 3, BC = 2,那么WCD与9ND面积比为7、AABC 中,〃ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AB=4cm , AC = 2>^cm ,那么AD =cm.8、如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O, E是CD的中点,AE交BD于F,那么DF:FO=9、如图,AF //BE//CD, AB:BC=1:2, AF = 15, CD = 21,贝U BE=10、如图,DC //MN //PQ //AB, DC = 2, AB = 3.5 , DM =MP =PA,那么MN =; PQ =二、选择题1、如图,要使△ACD S/BCA,必须满足().AC _ AB CD _BC(A) CD AC; (B) AD AC; (C)AD2 = CDBD; (D)AC2=CDBC.2、如图,9BC中,CD LAB于D, DELAC于E, ZACB = 90°,那么与ABC相似的三角形个数为().(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.3、如图,4ABC中,D是AC中点,AF//DE,工^濡皿的小飞,那么5但；“皿=().(A) 1:2; (B) 2:3; (C) 3:4; (D) 1:1.4、如图,平行四边形ABCD中,O i、02、03为对角线BD上三点,且BO i = 01.2 = 02.3 =03D,连结AO i并延长交BC于点E,连结E03并延长交AD于F,那么AD:FD等于().(A) 19:2 ; (B) 9:1 ; (C) 8:1 ; (D) 7:1.三、如图,矩形ABCD中,AB = 10cm , BC = 12cm , E为DC中点,AFLBE于点F,求AF长.四、如图,D、E分别是9BC边AB和AC上的点,/1 = /2,求证：ADAB=AEAC.五、如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, /ECA=/D,求证：ACBE=CEAD.六、如图,4ABC 中,/ACB=90° ,BC=8, AC=12, /BCD = 30°,求线段CD 长.七、如图,等腰梯形ABCD 中,AD //BC, AB=DC = 5, AD=6, BC=12, E 在AD 上,AE = 2, F为AB上任一点(点F与点A、点B不重合),过F作EC平行线交BC于G,设BF=k,四边形EFGC面积为,,(1)写出,与二的函数关系式；(2) K取何值,EGXBCo相似三角形分类练习题(3)一、填空题1、假设纱一加二°,贝U▼=x-y _ y_ _ + ♦2、I3彳,那么丁=3、如图,/B=/ACD, u旧= 2:1,那么AC:AB =4、如图,DE//BC, AD=4cm , DE = 2cm , BC = 5cm ,贝U AB =cm5、如图,DE//BC, AD:DB=1:2,那么小DE与?BC面积之比为6、如图,梯形ABCD 中,DC //EF//AB, DE = 4, AE = 6, BC = 5,那么BF =7、如图,平行四边形 ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O, BC=18, E 为OD 中点,连结CE 并延长交AD 于F,那么DF =AD _BC _ AC _ 58、如图,AABC 和ABED 中,假设砧 1 BS DE 弓,且3BC 和z^BED 周长之差为10cm ,那么4 ABC 周长为 cm9、如图,△ACB S /ECD, AC:EC = 5:3, 1诚c = i8,那么 Me =510、如图,AABC 中,BE 平分/ABC, BD = DE, AD =万 cm , BD = 2cm,那么 BC =cm11、如图,ABCD 是平行四边形,BC = 2CE,那么用厘〜凡^^二12、如图,AABC 中,DE//BC, BE 、CD 相交于F,且用"^ =变心用,那么$山：氏皿=13、如图,4ABC 中,BC=15cm , DE 、FC 平行于BC,且将z\ABC 面积三等分,那么 DE+FC = _______ c m14、将长为^cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段与较短线段之差为 cm115、如图,平行四边形 ABCD 中,延长AB 至ij E,使BE= 2 AB,延长CD 至U F,使DF = DC, EF 交BC 于G ,交AD 于H ,那么又期:“斑抹= 二、选择题1、如图,4ABC 中,DE//BC,那么以下等式中不成立的是〔〕2、两个相似三角形周长分别为 8和6,那么它们的面积比为〔(A) 4:3;(B) 16:9; (C) 2:仃；(D) 仃：及.3、如图,DE//BC, AB = 15 , AC = 9, BD = 4,那么 AE 长是()(A)AD _ AE AD _ AE AB = AC. g DB = EC. AD = DE DB BC .AD(D) 1-1" DEBCA题一 5图 蛊- 6徙一 i"2 22- 6-(A) 5；⑻(A) 2:1 ; (B) 2:3; (C) 4:9; (D) 5:4.5、如图,在边长为"的正方形ABCD 的一边BC 上,任取一点E,彳EF±AE 交CD 于点F,如 果BE= x , CF= ,那么用x 的代数式表示产是().y = - 一 + z y = - - x y ~x 2 + -j = x 2 + -(A) g ; (B) 口 ； (C)鼻；(D)阴.1、：3 4 6 ,求+ £的值.2、如图,菱形ABCD 边长为3 ,延长AB 至ij E 使BE=2AB ,连结EC 并延长交AD 延长线于点F, 求AF 的长.3、如图,4ABC 中,DE//BC,心皈 ：端心用觉：时=1:2 , BC =2^ ,求DE 长.4、如图,直角梯形 ABCD 中,DALAB, AB //DC , ZABC = 60° , ABC 平分线 BE 交 AD 于 E, CEXBE, BE=2,求 CD 长.5、如图,ABCD 是边长为"的正方形,E 是CD 中点,AE 和BC 的延长线相交于F, AE 垂直平 分线交AE 、BC 于H 、G,求线段FG 长.6、如图,z\ABC 中,AB>AC,边AB 上取一点D,在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE BP BD=_ 的延长线和BC 延长线交于点P,求证：°尹CE o 四、(此题8分)如图,AABC 中,AB = AC, AD ±BC, D 为垂足,E 为 AC 中点,BE 交 AD 于 G, AD = 18cm , BE=15cm ,求小BC 面积.17工4、如图,DE//BC,11-B DC B控五图五、如图,4ABC中,点M在BC边上移动〔不与点B、C重合〕,作ME//CA交AB于E,作BM = xMF //BA交AC于F, S©c = 10cm2,设BC ,四边形AEMF面积为y,写出尸与x的函数关系式,并指出工取值范围.。

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)--初中数学专项训练

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)--初中数学专项训练

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

(完整版)2018中考专题相似三角形

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8．如图，在矩形 ABCD中， E 为 AB 边上一点， EC平分∠ DEB，F 为 CE的中点， 连接 AF，BF，过点 E 作 EH∥BC分别交 AF， CD于 G，H 两点． （ 1）求证： DE=DC； （ 2）求证： AF⊥BF； （ 3）当 AF?GF=28时，请直接写出 CE的长．
9．在 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一点，连 接 AD，作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接 AE． （ 1）如图 1，当∠ ABC=4°5时，0时，线段 AD 与 DE有何数量关系？并请说明理由．
5．（ 1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD上， AE⊥BF 于点 M ， 求证： AE=BF； （ 2）如图 2，将 （ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD， AB=2， BC=3， AE⊥BF 于点 M ，探究 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．
6．如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD， AC平分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一 点，且 PD⊥AD． （ 1）证明：∠ BDC=∠PDC； （ 2）若 AC 与 BD相交于点 E，AB=1，CE： CP=2： 3，求 AE 的长．
2．如图，直角△ ABC中，∠ BAC=90°，D 在 BC上，连接 AD，作 BF⊥ AD 分别交 AD 于 E， AC于 F． （ 1）如图 1，若 BD=BA，求证：△ ABE≌△ DBE； （ 2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG交 AD 于 M，求证：①GM=2MC； ② AG2=AF?AC．
2018 中考数学专题相似形 （共 40 题）
1．如图，△ ABC和△ ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠DAE=90°， 点 P 为射线 BD，CE的交点． （ 1）求证： BD=CE； （ 2）若 AB=2，AD=1，把△ ADE绕点 A 旋转，当∠ EAC=9°0时，求 PB的长；

2018年中考相似三角形_动点问题_分类讨论问题(培优及答案解析)

2018年中考相似三角形_动点问题_分类讨论问题(培优及答案解析)

2018年中考复习 相似 动点 分类讨论1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或BC 边上时，1A M N y S =△=211332248MNh x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大MNA86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E Ey y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则R t R t R G B C M B△∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． ··························································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,（图3）（图1）（图2）∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2ADOBC21MN图7-1图7-3ADOBC21MN（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】解：（1）AO = BD，AO⊥BD；（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，∴△AOC ≌△BOE．∴AC = BE．又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽△AOC．∴AOBOACBE=．又∵OB = kAO，由（2）的方法易得BE = BD．∴kACBD=．10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。

2018年广东省中考数学押题试卷附答案

2018年广东省中考数学押题试卷附答案

2018年广东省初中毕业生学业考试数学模拟试题说明：全卷满分为120分，时间为100分钟题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30.0分。

在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1.的值是|−6|( )A. B. 6 C.D.−616−162.下面四幅图是在同一天同一地点不同时刻太阳照射同一根旗杆的影像图，其中表示太阳刚升起时的影像图是( )A. B.C.D.3.据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为( )A. B. C. D. 5.3×1035.3×1045.3×1075.3×1084.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.B. C.D.5.如图，内有一点D ，且，若，则△ABC DA =DB =DC ∠DAB =20∘，∠DAC =30∘的大小是∠BDC ( )A. 100∘B. 80∘C. 70∘D. 50∘6.正六边形ABCDEF 内接于，正六边形的周长是12，则的半径是⊙O ⊙O ( )A. 3B. 2C. 22D. 237.如图，P 是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是( )A.B.C.D.y =−3xy =−x3y =x3y =3x8.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A. B. x(x +1)=2550x(x−1)=2550C. D. 2x(x +1)=2550x(x−1)=2550×29.若，则x 的取值范围1x<2，1x >−3( )A. B.或−13<x <12−13<x <0x >12C.或D. 以上答案都不对x <−13x >1210.如图所示，为等腰直角三角形，，正方形△ABC ∠ACB =90∘，AC =BC =2DEFG 边长也为2，且AC 与DE 在同一直线上，从C 点与D 点重合△ABC 开始，沿直线DE 向右平移，直到点A 与点E 重合为止，设CD 的长为与正方形DEFG 重合部分图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致x ，△ABC ()是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2018中考专题相似三角形.doc

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2018 中考数学专题相似形（共 40 题）1．如图，△ ABC和△ ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点 P 为射线 BD，CE的交点．（ 1）求证： BD=CE；（ 2）若 AB=2，AD=1，把△ ADE绕点 A 旋转，当∠ EAC=90°时，求 PB的长；2．如图，直角△ ABC中，∠ BAC=90°，D 在 BC上，连接 AD，作 BF⊥ AD 分别交 AD 于 E，AC于 F．1）如图 1，若 BD=BA，求证：△ ABE≌△ DBE；2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG交 AD 于 M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF?AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上， AG⊥BC于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠ EAF=∠GAC．1）求证：△ ADE∽△ ABC；2）若 AD=3，AB=5，求的值．4．如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，连结DE，过顶点 B 作 BFDE，垂足为 F， BF分别交 AC 于 H，交 CD于G．（ 1）求证： BG=DE；（ 2）若点 G 为 CD的中点，求的值．5．（ 1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD上， AE⊥BF 于点 M ，求证： AE=BF；2）如图 2，将（ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD， AB=2， BC=3， AE⊥BF 于点 M ，探究 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．6．如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD， AC平分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD⊥AD．1）证明：∠ BDC=∠PDC；2）若 AC 与 BD相交于点 E，AB=1，CE： CP=2： 3，求 AE 的长．7．△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠ BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点 E 与△ ABC的斜边 BC 的中点重合，将△ DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF与射线 CA 相交于点 Q．1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ时，求证：△ BPE≌△ CQE；2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽△ CEQ；并求当BP=2，CQ=9时 BC的长．8．如图，在矩形 ABCD中， E 为 AB 边上一点， EC平分∠ DEB，F 为 CE的中点，连接 AF，BF，过点 E 作 EH∥BC分别交 AF， CD于 G，H 两点．1）求证： DE=DC；2）求证： AF⊥BF；3）当 AF?GF=28时，请直接写出 CE的长．9．在 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接AE．（ 1）如图 1，当∠ ABC=45°时，求证：AD=DE；（ 2）如图 2，当∠ ABC=30°时，线段 AD 与 DE有何数量关系？并请说明理由．精选10．如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE=AB，点P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→ C→B向终点 B 运动，直线 EP交 AD 于点 F，过点 F 作直线 FG⊥DE于点 G，交 AB 于点 R．1）求证： AF=AR；2）设点 P 运动的时间为 t ，①求当 t 为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图 2，连接 PB．请直接写出使△ PRB是等腰三角形时t 的值．11．如图，正方形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，延长 CB至点 F，使CF=CA，连接 AF，∠ ACF的平分线分别交 AF， AB， BD于点 E，N，M ，连接EO．1）已知 BD= ，求正方形 ABCD的边长；2）猜想线段 EM 与 CN的数量关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图 1 摆放，其中∠ A1CB1=∠ACB=90°，∠ A1=∠A=30°．1）将图 1 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与 BC的交点，求证： CP1=CQ；2）在图 2 中，若 AP1=a，则 CQ等于多少？精选AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△ CP1P2？这时线段 CP1与 P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．13．把 Rt△ABC和 Rt△ DEF按如图（ 1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、 C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠ EDF=90°，∠ DEF=45°， AC=8cm， BC=6cm，EF=10cm．如图（ 2），△ DEF从图（ 1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿 CB向△ABC匀速移动，在△ DEF移动的同时，点 P 从△ ABC的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，△ DEF也随之停止移动． DE与 AC交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（ s）．1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围；2）连接 PE，设四边形 APEQ的面积为 y（cm2），试探究 y 的最大值；3）当 t 为何值时，△ APQ是等腰三角形．14．△ ABC，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，一条直线 DE 与边 AC相交于点 D，与边 AB 相交于点 E．（ 1）如图①，若 DE将△ ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）（ 2）如图②，若AC=3， AB=5， BC=4．DE 将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，求 AD；（ 3）如图③，若 DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则 a、b、c 满足什么关系？15．已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠ PAQ=45°，将∠ PAQ 绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD的两个外角∠ EBC和∠ FDC的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN．1）求证：△ ABM∽△ NDA；2）连接 BD，当∠ BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ ABC中， D，E 分别为 AB， BC中点， F 为 AC 上一点，且∠AFE=∠A，DM∥ EF交 AC于点 M．1）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，求证： DG?CF=DM?EG；2）在图中，取 CE上一点 H，使∠ CFH=∠B，若 BG=1，求 EH的长．17．△ ABC中， AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、 AC上，∠ EDF=∠B．1）如图 1，求证： DE?CD=DF?BE2） D 为 BC中点如图 2，连接EF．①求证： ED平分∠ BEF；②若四边形 AEDF为菱形，求∠ BAC的度数及的值．18．如图，在△ ABC 中，点 P 是 AC边上的一点，过点 P 作与 BC平行的直线 PQ，交 AB 于点 Q，点 D 在线段 BC上，联接 AD 交线段 PQ 于点 E，且=，点G在 BC延长线上，∠ ACG的平分线交直线 PQ 于点F．（ 1）求证： PC=PE；（ 2）当 P 是边 AC的中点时，求证：四边形 AECF是矩形．19．如图，已知△ ABC中， AC=BC，点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接 GC．1）求证： AB=GD；（ 2）如图 2，当 CG=EG时，求的值．20．如图，在△ ABC中，D、E 分别为 AB、AC上的点，线段 BE、CD相交于点 O，且∠ DCB=∠EBC= ∠A．（ 1）求证：△ BOD∽△ BAE；2）求证： BD=CE；3）若 M 、N 分别是 BE、CE的中点，过 MN 的直线交 AB 于 P，交 AC于 Q，线段 AP、 AQ 相等吗？为什么？21．如图，在矩形 ABCD和矩形 PEFG中， AB=8， BC=6， PE=2， PG=4． PE 与 AC 交于点 M ，EF与 AC交于点 N，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，伴随点 P 的运动，矩形 PEFG在射线 AB 上滑动；动点 K 从点 P 出发沿折线 PE﹣﹣ EF以每秒 1 个单位长的速度匀速运动．点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、 K 运动的时间是秒（ t＞0）．（ 1）当 t=1 时， KE=，EN=；2）当 t 为何值时，△ APM 的面积与△ MNE 的面积相等？3）当点 K 到达点 N 时，求出 t 的值；4）当 t 为何值时，△ PKB是直角三角形？22．如图（ 1），在△ ABC中， AD 是 BC边的中线，过 A 点作 AE∥BC与过 D 点作DE∥AB 交于点 E，连接 CE．1）求证：四边形 ADCE是平行四边形．2）连接 BE，AC 分别与 BE、DE 交于点 F、G，如图（ 2），若 AC=6，求 FG的精选长．23．已知：在正方形 ABCD中，点 E、F 分别是 CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结 AE、AF、 DE、DE交 AB 于点 M．1）如图 1，当 E、A、F 在一直线上时，求证：点 M 为 ED中点；2）如图 2，当 AF∥ED，求证： AM2=AB?BM．24．已知，如图 1，点 D、 E分别在 AB， AC上，且=．1）求证： DE∥BC．2）已知，如图 2，在△ ABC中，点 D 为边 AC上任意一点，连结 BD，取 BD 中点 E，连结 CE并延长 CE交边 AB 于点 F，求证：=．（ 3）在（ 2）的条件下，若 AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ ABC，AC=BC，点 E， F 在直线 AB 上，∠ ECF=∠ A．1）如图 1，点 E，F 在 AB 上时，求证： AC2=AF?BE；2）如图 2，点 E，F 在 AB 及其延长线上，∠ A=60°，AB=4，BE=3，求 BF的长．26．如图，正方形 ABCD，∠ EAF=45°．交 BC、CD于 E、F，交 BD 于 H、G．1）求证： AD2=BG?DH；2）求证： CE= DG；3）求证： EF= HG．27．如图，C 为线段 BD上一动点，过 B、D 分别作 BD 的垂线，使 AB=BC，DE=DB，连接 AD、AC、BE，过 B 作 AD 的垂线，垂足为 F，连接 CE、 EF．1）求证： AC?DF= BF?BD；2）点 C 运动的过程中，∠ CFE的度数保持不变，求出这个度数；3）当点 C 运动到什么位置时， CE∥BF？并说明理由．28．如图，在△ ABC中，点 D 在边 AB 上（不与 A，B 重合），DE∥BC交 AC于点E，将△ ADE沿直线 DE翻折，得到△ A′ DE，直线 DA′，EA′分别交直线 BC于点精选N．1）求证： DB=DM．2）若 =2，DE=6，求线段 MN 的长．（ 3）若=n（ n≠ 1），DE=a，则线段 MN 的长为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知四边形 ABCD和四边形 DEFG为正方形，点 E 在线段 DC上，点 A、D、G 在同一直线上，且 AD=3，DE=1，连接 AC、CG、AE，并延长 AE交 OG于点H．1）求证：∠ DAE=∠DCG．2）求线段 HE 的长．30．如图，△ ABC中，点 E、F 分别在边 AB，AC上， BF与 CE相交于点 P，且∠1=∠2= ∠ A．（ 1）如图 1，若 AB=AC，求证： BE=CF；（ 2）若图 2，若 AB≠AC，①（ 1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31．如图 1，在锐角△ ABC中， D、E 分别是 AB、 BC的中点，点 F 在 AC 上，且满足∠ AFE=∠A，DM∥ EF交 AC于点 M ．1）证明： DM=DA；2）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，如图 2，求证：△ DEG∽△ ECF；3）在图 2 中，取 CE上一点 H，使得∠ CFH=∠B，若 BG=5，求 EH 的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为 12，DE⊥DC 交 AB 于点 E， DF 平分∠ EDC 交 BC于点 F，连接EF．（ 1）求证：EF=CF；（ 2）当 = 时，求 EF的长．33．如图，已知在△ ABC中， P 为边 AB 上一点，连接CP，M 为 CP 的中点，连接 BM 并延长，交 AC 于点 D， N 为 AP的中点，连接 MN．若∠ ACP=∠ ABD．（ 1）求证： AC?MN=BN?AP；（ 2）若 AB=3，AC=2，求 AP 的长．精选34．如图，已知 AC、EC分别为四边形ABCD和 EFCG的对角线，点 E 在△ ABC内，CAE+∠ CBE=90°，当四边形 ABCD和 EFCG均为正方形时，连接 BF．（ 1）求证：△ CAE∽△ CBF；（ 2）若 BE=1，AE=2，求 CE的长．35．如图①，矩形 ABCD中， AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠ MPN 绕点 P 从 PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边 AB（或 AD）于点 E， PN 交边 AD（或CD）于点 F，当 PN旋转至 PC处时，∠ MPN 的旋转随即停止．（ 1）特殊情形：如图②，发现当 PM 过点 A 时，PN 也恰巧过点 D，此时，△ABP △ PCD（填“≌”或“～”）；（ 2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36．如图，点 M 是△ ABC内一点，过点 M 分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ ABC的面积是．37．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥ AB 于点 O， D 是线段 OB 上一点， DE=2，ED∥AC（∠ ADE＜ 90°），连接 BE、CD．设 BE、CD的中点分别为P、Q．1）求 AO 的长；2）求 PQ 的长；3）设 PQ 与 AB 的交点为 M，请直接写出 | PM﹣MQ| 的值．38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF，BE是△ ABC的中线，且 AF⊥ BE，垂足为 P，设 BC=a，AC=b，AB=c．求证： a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接 EF，利用 EF 为△ ABC的中位线得到△ EPF∽△ BPA，故，设 PF=m，PE=n，用 m，n 把 PA， PB 分别表示出来，再在 Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去 m，n 即可得证（ 1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（ 2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD中， O 为对角线 AC， BD 的交点， E， F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF并延长交于点 M， BM， CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 2 所示，求 MG2+MH2的值．39．如图，在△ ABC中，点 D，E 分别在边 AB， AC上，∠ AED=∠B，射线 AG 分别交线段 DE， BC于点 F，G，且．1）求证：△ ADF∽△ ACG；2）若，求的值．40．如图，四边形中 ABCD中， E，F 分别是 AB， CD 的中点， P 为对角线 AC 延长线上的任意一点， PF交 AD 于 M，PE交 BC于 N，EF交 MN 于 K．求证： K 是线段 MN 的中点．参考答案与试题解析（共 40 题）1．（2017?阿坝州）如图，△ ABC和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点 P 为射线 BD，CE的交点．1）求证： BD=CE；2）若 AB=2，AD=1，把△ ADE绕点 A 旋转，当∠ EAC=90°时，求 PB的长；【解答】解：（1）∵△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ ADB≌△ AEC．BD=CE．2）解：①当点 E 在 AB 上时， BE=AB﹣ AE=1．∵∠ EAC=90°，∴CE==．同（ 1）可证△ ADB≌△ AEC．∴∠ DBA=∠ECA．∵∠ PEB=∠AEC，∴△ PEB∽△ AEC．= ．= ．PB=．②当点 E在 BA 延长线上时， BE=3．∵∠ EAC=90°，∴CE==．同（ 1）可证△ ADB≌△ AEC．∴∠ DBA=∠ECA．∵∠ BEP=∠CEA，∴△ PEB∽△ AEC．= ．= ．PB=．综上所述， PB的长为或．2．（2017?常德）如图，直角△ ABC中，∠ BAC=90°，D 在 BC上，连接 AD，作 BF AD 分别交 AD 于 E，AC 于 F．1）如图 1，若 BD=BA，求证：△ ABE≌△ DBE；2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG交 AD 于 M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF?AC．【解答】证明：（1）在 Rt△ABE和 Rt△ DBE中，，∴△ ABE≌△ DBE；（ 2）①过 G 作 GH∥AD 交 BC于 H，∵ AG=BG，∴ BH=DH，∵ BD=4DC，设 DC=1，BD=4，∴ BH=DH=2，∵ GH∥ AD，∴= =，∴ GM=2MC；②过 C 作 CN⊥ AC交 AD 的延长线于 N，则 CN∥ AG，∴△ AGM∽△ NCM，∴=，由①知 GM=2MC，2NC=AG，∵∠ BAC=∠AEB=90°，∴∠ ABF=∠CAN=90°﹣∠ BAE，∴△ ACN∽△ BAF，= ，AB=2AG，∴ =，∴ 2CN?AG=AF?A，AG2=AF?AC．3．（ 2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG BC于点 G，AF⊥DE于点 F，∠ EAF=∠GAC．（ 1）求证：△ ADE∽△ ABC；（ 2）若 AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵ AG⊥BC， AF⊥DE，∴∠ AFE=∠AGC=90°，∵∠ EAF=∠GAC，∴∠ AED=∠ACB，∵∠ EAD=∠BAC，∴△ ADE∽△ ABC，（ 2）由（ 1）可知：△ ADE∽△ ABC，∴=由（ 1）可知：∠ AFE=∠AGC=90°，∴∠ EAF=∠GAC，∴△ EAF∽△ CAG，∴，=4．（2017?眉山）如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作 BF⊥DE，垂足为 F，BF分别交 AC于 H，交 CD于 G．1）求证： BG=DE；（ 2）若点 G 为 CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵ BF⊥ DE，∴∠ GFD=90°，∵∠ BCG=90°，∠ BGC=∠DGF，∴∠ CBG=∠CDE，在△ BCG与△ DCE中，∴△ BCG≌△ DCE（ ASA），BG=DE，2）设 CG=1，∵G为 CD的中点，GD=CG=1，由（ 1）可知：△ BCG≌△ DCE（ASA），CG=CE=1，∴由勾股定理可知： DE=BG= ，sin∠CDE= = ，GF= ，AB∥CG，∴△ ABH∽△ CGH，∴=，∴BH=，GH=，=5．（2017?河池）（1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，AE⊥BF于点 M，求证： AE=BF；2）如图 2，将（ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD， AB=2， BC=3， AE⊥BF 于点 M ，探究 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ABC=∠C，AB=BC．AE⊥BF，∴∠ AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ ABM+∠CBF=90°，∴∠ BAM=∠CBF．在△ ABE和△ BCF中，，∴△ ABE≌△ BCF（ASA），AE=BF；2）解： AE= BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ ABC=∠C，AE⊥BF，∴∠ AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ ABM+∠CBF=90°，∴∠ BAM=∠CBF，∴△ ABE∽△ BCF，∴=，AE= BF．6．（2017?泰安）如图，四边形 ABCD 中， AB=AC=AD， AC 平分∠ BAD，点 P 是AC延长线上一点，且 PD⊥ AD．1）证明：∠ BDC=∠PDC；2）若 AC 与 BD相交于点 E，AB=1，CE： CP=2： 3，求 AE 的长．【解答】（1）证明：∵ AB=AD，AC平分∠ BAD，AC⊥BD，∴∠ ACD+∠BDC=90°，AC=AD，∴∠ ACD=∠ADC，∴∠ ADC+∠BDC=90°，PD⊥AD，∴∠ ADC+∠PDC=90°，∴∠ BDC=∠PDC；2）解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，∵∠ BDC=∠PDC，CE=CM，∵∠ CMP=∠ADP=90°，∠ P=∠P，∴△ CPM∽△ APD，= ，设 CM=CE=x，∵ CE：CP=2：3，∴ PC= x，∵ AB=AD=AC=1，∴=，解得： x=，故 AE=1﹣=．7（．2017?天水）△ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ EDF=90°，DEF的顶点 E 与△ ABC的斜边 BC的中点重合，将△ DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF与射线 CA 相交于点 Q．（ 1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ时，求证：△ BPE≌△ CQE；（ 2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽△ CEQ；并求当BP=2，CQ=9时 BC的长．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ B=∠ C=45°，AB=AC，AP=AQ，∴ BP=CQ，E 是 BC的中点，∴ BE=CE，在△ BPE和△ CQE中，∵，∴△ BPE≌△ CQE（SAS）；（ 2）解：∵△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ B=∠ C=∠DEF=45°，∵∠ BEQ=∠EQC+∠C，即∠ BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠ BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠ BEP=∠EQC，∴△ BPE∽△ CEQ，= ，BP=2， CQ=9， BE=CE，∴ 2BE=18，BE=CE=3 ，BC=6 ．8．（2017?绥化）如图，在矩形ABCD中， E 为 AB 边上一点， EC 平分∠ DEB，F 为 CE的中点，连接 AF，BF，过点 E 作 EH∥BC分别交 AF，CD于 G， H 两点．（ 1）求证： DE=DC；（ 2）求证： AF⊥BF；（ 3）当 AF?GF=28时，请直接写出 CE的长．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形，AB∥CD，∴∠ DCE=∠CEB，EC平分∠ DEB，∴∠ DEC=∠CEB，∴∠ DCE=∠DEC，DE=DC；（ 2）如图，连接 DF，DE=DC， F 为 CE的中点，∴ DF⊥EC，∴∠ DFC=90°，在矩形 ABCD中， AB=DC，∠ABC=90°，∴ BF=CF=EF=EC，∴∠ ABF=∠CEB，∵∠ DCE=∠CEB，∴∠ ABF=∠DCF，在△ ABF和△ DCF中，，∴△ ABF≌△ DCF（SAS），∴∠ AFB=∠DFC=90°，AF⊥BF；（ 3） CE=4 ．理由如下：∵ AF⊥BF，∴∠ BAF+∠ABF=90°，EH∥BC，∠ ABC=90°，∴∠ BEH=90°，∴∠ FEH+∠CEB=90°，∵∠ ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△ AFE，∴ = ，即 EF2=AF?GF，AF?GF=28，EF=2 ，CE=2EF=4 ．9．（2017?雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠ BAC=90°，过点 B 的直线 MNAC，D 为 BC边上一点，连接 AD，作 DE⊥ AD 交 MN 于点 E，连接AE．（ 1）如图 1，当∠ ABC=45°时，求证： AD=DE；（ 2）如图 2，当∠ ABC=30°时，线段 AD 与 DE有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图 1，过点 D 作 DF⊥ BC，交 AB 于点F，则∠ BDE+∠FDE=90°，DE⊥AD，∴∠ FDE+∠ADF=90°，∴∠ BDE=∠ADF，∵∠ BAC=90°，∠ ABC=45°，∴∠ C=45°，MN∥AC，∴∠ EBD=180°﹣∠ C=135°，∵∠ BFD=45°， DF⊥BC，∴∠ BFD=45°， BD=DF，∴∠ AFD=135°，∴∠ EBD=∠AFD，在△ BDE和△ FDA中，∴△ BDE≌△ FDA（ASA），AD=DE；2）解： DE= AD，理由：如图 2，过点 D 作 DG⊥ BC，交 AB 于点G，则∠ BDE+∠GDE=90°，DE⊥AD，∴∠ GDE+∠ADG=90°，∴∠ BDE=∠ADG，∵∠ BAC=90°，∠ ABC=30°，∴∠ C=60°，MN∥AC，∴∠ EBD=180°﹣∠ C=120°，∵∠ ABC=30°，DG⊥ BC，∴∠ BGD=60°，∴∠ AGD=120°，∴∠ EBD=∠AGD，∴△ BDE∽△ GDA，= ，在 Rt△BDG中， =tan30°= ，∴DE= AD．10．（2017?深圳模拟）如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE=AB，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→C→B向终点 B 运动，直线 EP交 AD 于点 F，过点 F 作直线 FG⊥ DE 于点 G，交 AB 于点 R．1）求证： AF=AR；（ 2）设点 P 运动的时间为 t ，①求当 t 为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图 2，连接 PB．请直接写出使△ PRB是等腰三角形时t 的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中， AD=AB=2，AE=AB，∴ AD=AE，∴∠ AED=∠ADE=45°，又∵ FG⊥ DE，∴在 Rt△ EGR中，∠ GER=∠GRE=45°，∴在 Rt△ ARF中，∠ FRA=∠AFR=45°，∴∠ FRA=∠RFA=45°，AF=AR；2）解：①如图，当四边形 PRBC是矩形时，则有 PR∥BC，∴ AF∥PR，∴△ EAF∽△ ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→C→B向终点 B 运动，∴（秒）；②若 PR=PB，过点 P 作 PK⊥AB于 K，设 FA=x，则 RK= BR= （2﹣x），∵△ EFA∽△ EPK，∴，即：=，解得： x=±﹣3（舍去负值）；∴ t=（秒）；若 PB=RB，则△ EFA∽△ EPB，∴=，∴，BP= AB= ×2=CP=BC﹣BP=2﹣ = ，（秒）．综上所述，当 PR=PB时， t=；当PB=RB时，秒．11．（2017?江汉区校级模拟）如图，正方形 ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB至点 F，使 CF=CA，连接 AF，∠ ACF的平分线分别交 AF，AB，BD于点 E，N，M ，连接 EO．1）已知 BD= ，求正方形 ABCD的边长；2）猜想线段 EM 与 CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴△ ABD是等腰直角三角形，2AB2=BD2，∵BD= ，AB=1，∴正方形 ABCD的边长为 1；2） CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，OA=OCCF=CA，CE是∠ ACF的平分线，∴ CE⊥AF，AE=FEEO为△ AFC的中位线EO∥BC∴∴在 Rt△ AEN中， OA=OCEO=OC= AC，CM= EMCE平分∠ ACF，∴∠OCM=∠ BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△ CBN∽△ COM，∴，CN= CM，即 CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠ BAC=45°=∠DBC，由（ 1）知，在 Rt△ ACE中， EO= AC=CO，∴∠ OEC=∠OCE，CE平分∠ ACF，∴∠ OCE=∠ECB=∠OEC，EO∥BC，∴∠ EOM=∠DBC=45°，∵∠ OEM=∠ OCE∴△ EOM∽△ CAN，∴，CN=2CM．12．（2017?济宁二模）将两块全等的三角板如图1 摆放，其中∠ A1CB1=∠ACB=90°，A1=∠ A=30°．1）将图 1 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与 BC的交点，求证： CP1=CQ；2）在图 2 中，若 AP1=a，则 CQ等于多少？3）将图 2 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转到△ A2B2C（如图 3），点 P2是 A2C 与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△ CP1P2？这时线段 CP1与 P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠ B1 CB=45°，∠ B1CA1=90°，∴∠ B1CQ=∠ BCP1=45°；又 B1C=BC，∠ B1 =∠ B，∴△ B1CQ≌△ BCP1（ASA）∴ CQ=CP1；2）解：如图：作 P1D⊥AC于 D，∵∠ A=30°，∴ P1D= AP1；∵∠ P1CD=45°，∴=sin45 °=，CP1= P1D= AP1；又 AP1=a，CQ=CP1，∴ CQ= a；3）解：当∠ P1CP2=∠ P1 AC=30°时，由于∠ CP1P2=∠AP1C，则△ AP1C∽△ CP1P2，所以将图 2 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 30°到△ A2B2C 时，有△ AP1C∽△ CP1P2．这时==，P1P2= CP1．13．（ 2017?惠阳区模拟）把Rt△ABC和 Rt△ DEF按如图（ 1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠ EDF=90°，∠ DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△ DEF从图（ 1）的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向△ ABC 匀速移动，在△ DEF移动的同时，点 P 从△ ABC的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，△DEF也随之停止移动． DE与 AC 交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t （s）．1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围；2）连接 PE，设四边形 APEQ的面积为 y（cm2），试探究 y 的最大值；3）当 t 为何值时，△ APQ是等腰三角形．精选【解答】（1）解： AP=2t∵∠ EDF=90°，∠ DEF=45°，∴∠ CQE=45°=∠ DEF，CQ=CE=t，AQ=8﹣t，的取值范围是： 0≤t ≤5；2）过点 P 作 PG⊥x 轴于 G，可求得 AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t ，∴ PG=PBSinB=（10﹣2t）y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在 0≤t≤ 5 内），y 有最大值， y 最大值 =（cm2）（ 3）若 AP=AQ，则有 2t=8﹣t 解得：（s）若 AP=PQ，如图①：过点P 作 PH⊥AC，则 AH=QH=，PH∥BC∴△ APH∽△ ABC，∴，即，解得：（ s）若 AQ=PQ，如图②：过点 Q 作 QI⊥ AB，则 AI=PI= AP=t∵∠ AIQ=∠ACB=90°∠ A=∠A，∴△ AQI∽△ ABC∴即，解得：（ s）综上所述，当或或时，△ APQ是等腰三角形．14．（ 2017?庐阳区一模）△ ABC，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、 b、c，一条直线 DE 与边 AC相交于点 D，与边 AB 相交于点 E．（ 1）如图①，若 DE将△ ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）2）如图②，若 AC=3， AB=5， BC=4．DE 将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，求 AD；3）如图③，若 DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且 DE∥BC，则 a、b、c 满足什么关系？【解答】解：（1）∵ DE将△ ABC分成周长相等的两部分，AD+AE=CD+BC+BE= （ AB+AC+BC）= （a+b+c）；2）设AD=x，AE=6﹣x，∵ S△ADE= AD?AE?sinA=3，即： x（6﹣x） ? =3，解得： x1 （舍去）， 2 ，= x =∴AD=；3）∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC，∴，= ，AD= b， AE= c，b c= （a+b+c），= ﹣1．15．（ 2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形 ABCD是正方形，∠ PAQ=45°，将∠ PAQ绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD的两个外角∠ EBC和∠FDC 的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN．1）求证：△ ABM∽△ NDA；2）连接 BD，当∠ BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ABC=∠ADC=∠BAD=90°，BM、 DN 分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ ABM=∠ADN=135°，∵∠ MAN=45°，∴∠ BAM=∠AND=45°﹣∠ DAN，∴△ ABM∽△ NDA；（ 2）解：当∠ BAM=22.5°时，四边形 BMND 为矩形；理由如下：∵∠ BAM=22.5°，∠ EBM=45°，∴∠ AMB=22.5°，∴∠ BAM=∠AMB，AB=BM，同理 AD=DN，∵ AB=AD，∴ BM=DN，∵四边形 ABCD是正方形∴∠ ABD=∠ADB=45°，∴∠ BDN=∠DBM=90°∴∠ BDN+∠DBM=180°，BM∥ DN∴四边形 BMND 为平行四边形，∵∠ BDN=90°，∴四边形 BMND 为矩形．16．（ 2017?肥城市三模）如图，在锐角△ABC中， D，E 分别为 AB，BC中点， F 为 AC上一点，且∠ AFE=∠ A， DM∥EF交 AC于点 M．1）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，求证： DG?CF=DM?EG；2）在图中，取 CE上一点 H，使∠ CFH=∠B，若 BG=1，求 EH的长．【解答】（1）证明：如图 1 所示，D， E 分别为 AB， BC中点，DE∥ACDM∥EF，∴四边形 DEFM是平行四边形，DM=EF，如图 2 所示，∵ D、 E 分别是 AB、 BC的中点，DE∥AC，∴∠ BDE=∠A，∠ DEG=∠ C，∵∠ AFE=∠A，∴∠ BDE=∠AFE，∴∠ BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠ BDG=∠C，∴∠ GDE=∠FEC，∴△ DEG∽△ ECF；∴，∴，∴，DG?CF=DM?EG；（ 2）解：如图 3 所示，∵∠ BDG=∠C=∠DEB，∠ B=∠B，∴△ BDG∽△ BED，∴，BD2 =BG?BE，∵∠ AFE=∠A，∠ CFH=∠B，∴∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=180°﹣∠ AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠ FEH=∠CEF，∴△ EFH∽△ ECF，∴=，∴ 2EF=EH?EC，DE∥AC，DM∥EF，∴四边形 DEFM是平行四边形，∴ EF=DM=DA=BD，∴ BG?BE=EH?EC，BE=EC，EH=BG=1．17．（ 2017?肥城市模拟）△ ABC中， AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，EDF=∠ B．1）如图 1，求证： DE?CD=DF?BE2） D 为 BC中点如图 2，连接EF．①求证： ED平分∠ BEF；②若四边形 AEDF为菱形，求∠ BAC的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C．∵∠ B+∠ BDE+∠ DEB=180°，∠ BDE+∠ EDF+∠ FDC=180°，∠ EDF=∠ B，∴∠ FDC=∠DEB，∴△ BDE∽△ CFD，∴，即 DE?CD=DF?BE；（ 2）解：①由（ 1）证得△ BDE∽△ CFD，∴，D 为 BC中点，∴BD=CD，∴ = ，∵∠ B=∠ EDF，∴△ BDE～△ DFE，∴∠ BED=∠DEF，ED平分∠ BEF；②∵四边形 AEDF为菱形，∴∠ AEF=∠DEF，∵∠ BED=∠DEF，∴∠ AEF=60°，精选∴∠ BAC=60°，∵∠ BAC=60°，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ B=60°，∴△ BED是等边三角形，BE=DE，∵ AE=DE，AE= AB，= ．18．（ 2017?长宁区二模）如图，在△ ABC 中，点 P 是 AC边上的一点，过点 P作与 BC平行的直线 PQ，交 AB 于点 Q，点 D 在线段 BC上，联接 AD 交线段 PQ 于点 E，且=，点G在BC延长线上，∠ ACG的平分线交直线PQ 于点 F．1）求证： PC=PE；2）当 P 是边 AC的中点时，求证：四边形 AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵ PQ∥BC，∴△ AQE∽△ ABD，△ AEP∽△ ADC，∴=，，= ，∵ = ，。

(2021年整理)2018届初三中考数学专题复习相似三角形专项训练题含答案

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2018届初三中考数学专题复习相似三角形专项训练题1. 如图,在△ABC中，DE∥BC，若错误!＝错误!，则错误!＝( )A。

错误! B。

错误! C.错误! D。

错误!2. 如图，在△ABC中,DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有( ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3。

如图,四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似4. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列条件中不符合要求的是( ）A．∠A＝∠A′ B．∠B＝∠B′C.错误!＝错误! D。

错误!＝错误!5。

如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC,则线段AC的长为( ）A．4 B．4错误! C．6 D．4错误!6. 如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( )A．2∶3 B。

错误!∶错误! C．4∶9 D．8∶277。

已知△ABC∽△A′B′C′,错误!＝错误!,AB边上的中线CD＝4 cm,则A′B′边上的中线C′D′为( ）A．6 cm B。

2018中考数学专题汇编：相似三角形 (含解析)

2018中考数学专题汇编：相似三角形 (含解析)

2018中考数学相似三角形课时练一．选择题1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．163．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．6．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③8．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．29.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．10．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG 并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211．（2018•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．112．（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF二．填空题13．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB=1，则S△ADF的值相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF为．三．解答题15．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB 和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．16．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．17．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．18．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．19．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．20．（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．21．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．答案提示1．【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．3．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B4．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．5．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S 四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE =S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．6．【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．7．【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．8．【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．9．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．10．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG ∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．10．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．11．【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=，=，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC =S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．12．【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．14．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF =1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，=1，∵S△AEF=，∴S△ABC∵四边形ABCD是平行四边形，=S△ABC=，∴S△ADC∵EF∥BC，∴===，∴==，=S△ADC=×=，∴S△ADF故答案为：．15．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt △ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．16．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．17．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．18．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．19．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．20．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．21．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．。

广东省2018届初中数学毕业生学业考试押题(附答案)

广东省2018届初中数学毕业生学业考试押题(附答案)

密封线内不要答 题2018年广东省初中毕业生学业考试《数学》押题卷说明：1.全卷共6页，满分120分，考试时间为100分钟.2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑.3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.5.考生务必保持答题卡的整洁。

考试结束时，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． （ ）1. 如果“收入10元”记作作+10元,那么支出20元记作A. +20B. -20元C. +10元D. -10元（ ）2. 一条微博在一周内转发了318000次，将318000用科学记数法可以表示为A ．3.18×105B ．31.8×105C ．318×104D ．3.18×104（ ）3. 不等式4﹣5x ≥4x ﹣6的非负整数解的个数是A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（ ）4. 一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根（则得分的众数和中位数分别为A ．70分，70分B ．80分，80分C ．70分，80分D ．80分，70分（ ）6. 如图，BE 平分∠DBC ，点A 是BD 上一点，过点A 作AE ∥BC交BE 于点E ，∠DAE=56°，则∠E 的度数为A. 56°B. 36°C. 26°D. 28°（ ）7.一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=xk 2的图象如图，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是A ．﹣2＜x ＜0或x ＞1B ．﹣2＜x ＜1C ．x ＜﹣2或x ＞1D ．x ＜﹣2或0＜x ＜1（ ）8. 如图所示的圆锥体的三视图中,是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 以上答案都不对（ ）9. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 是弧 AB上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分 别为点D 、E ；在点C 的运动过程中，下列说法正确的是A . 扇形AOB 的面积为2π B . 弧BC 的长为2πC . ∠DOE=45°D . 线段DE 的长是22（ ）10．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则代数式|a ﹣b+c|+|2a+b|的值是 A ．a+b B ．a ﹣2b C ．a ﹣b D ．3a二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11．分解因式：x x x 4423+-= 。

专题03 相似三角形的存在性问题-玩转压轴题,争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品(原卷版)

专题03 相似三角形的存在性问题-玩转压轴题,争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品(原卷版)

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【解析】试题分析：（1）由对称轴求出B 的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D 的坐标；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°．得出AD 为△ACD 外接圆的直径，再证明△AED 为直角三角形，∠ADE =90°．得出AD ⊥DE ，即可得出结论；（3）求出直线AC 的解析式，再求出线段AD 的中点N 的坐标，过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点P ，求出直线NP 的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案．试题解析：（1）∵抛物线的对称轴是直线x =1，点A （3，0），∴根据抛物线的对称性知点B 的坐标为（﹣1，0），OA =3，将A （3，0），B （﹣1，0）代入抛物线解析式中得： 9330{30a b a b ++=-+=，解得： 1{2a b =-=，∴抛物线解析式为223y x x =-++；当x =1时，y =4，∴顶点D （1，4）．（3）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，根据题意得： 30{3k b b +==，解得： 1{ 3k b =-=，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +3，∵A （3，0），D （1，4），∴线段AD 的中点N 的坐标为（2，2），过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点P ，设直线NP 的解析式为y =﹣x +c ，则﹣2+c =2，解得：c =4，∴直线NP 的解析式为y =﹣x +4，由y =﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x=35+或x=35-，∴y=55-，或y=55+，∴P（35+，55-）或（35-，55+）；学=科网（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣13）；综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣13）．【名师点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值；（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC 做平行四边形的对角线，那么EC 、MN 必互相平分，由于EC 的中点正好在抛物线对称轴上，所以M 点一定是抛物线的顶点；②EC 做平行四边形的边，那么EC 、MN 平行且相等，首先设出点N 的坐标，然后结合E 、C 的横、纵坐标差表示出M 点坐标，再将点M 代入抛物线的解析式中，即可确定M 、N 的坐标． 试题解析：（1）∵四边形ABCO 为矩形， ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10， 由题意，得△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD ， 由勾股定理易得EO=6， ∴AE=10﹣6=4，设AD=x ，则BD=ED=8﹣x ，由勾股定理，得()22248x x +=﹣ ， 解得，x=3，∴AD=3，∵抛物线2y ax bx c =++过点D （3, 10），C （8, 0），O （0, 0），∴9310{ 6480a b a b +=+=，解得 23{163a b =-=，∴抛物线的解析式为： 221633y x x =-+；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°， ∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5， 而CQ=t ，EP=2t ，∴PC=10﹣2t ， 当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴CQ CP AE DE =，即 10245t t-=， 解得4013t =，当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴PC CQ AE DE =，即 10245t t -=， 解得257t =， ∴当4013t =或257t =时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似；②EC 为平行四边形的边，则EC//MN ，EC =MN ，设N （4，m ）， 则M （4﹣8，m+6）或M （4+8，m ﹣6）；将M （﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38， 此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26， 此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）；综上，存在符合条件的M 、N 点，且它们的坐标为：①()1432M --，， ()1438N -，； ②()21232M -，， 2(426N -，）； ③33243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 31443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解． 【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,二次函数y=0.5x 2+bx+c 的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【解析】试题分析：（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．试题解析：（1）①如图1，，当a=12时，将B点坐标代入，得y=12x2﹣2x=12（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=12x﹣2．联立抛物线与直线，得1 2x2﹣2x=12x﹣2，解得x=1，当x=1时，y=﹣32，即C点坐标为（1，﹣32）．当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；②假设存在G点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上∴CG⊥DF，∴DCFG是菱形，∴点C关于EF的对称点G（3，﹣32）．设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=12，CO′=O′G=1，∴四边形DCFG是平行四边形．∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣32）；（2）如图2，，∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，∴b=﹣4a．∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，∴F点坐标为（2，﹣4a）．∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，BC：AC=3：1．过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．则四边形FGHE是矩形．由HC∥OA，得BC：AC=3：1．由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得HE=1，HB=3．将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．∴GH=4a，GC=a．在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°．∴△BHC∽△CGF，∴BH HC CG GF=，∴331aa=，∴a2=1，∴a=±1．∵a ＞0， ∴a =1．学科=网∴抛物线的解析式为y =x 2﹣4x ． 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C 点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a 的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例． 【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC V V ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE V ≌FCE V ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x ﹣5与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 的顶点M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．（1）如图，当点M 与点A 重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N 的坐标和线段MN 的长；（3）抛物线y=﹣x 2+bx+c 在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形应用》复习模拟押题

广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形应用》复习模拟押题

B AC C ’[ O C B ADE 图 D C B A广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形应用》初三 班 姓名 学号一、[复习]1、相似三角形的性质：相似三角形的对应 、对应 、对应 、对应 及对应 、的比都等于 。

2、相似三角形的判定：相似三角形的判定定理一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似．相似三角形的判定定理二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 ，并且 相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定定理三：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似。

3、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a ，长臂长16m ，求当短臂外端下降时，长臂外端升高的高度。

图613、如图7，△ABC 中，BC=12cm ，高AD=6cm ，正方形的阿美的影长为80cm ，她身旁的旗杆影长10m ， 则旗杆高为 m ．（3）、06年广州中考第23题本小题满分12分 图8是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ， AB ／／DC ，BC ／／DF ．从B 站乘车到E 站只有两条路线有直 3 60 A ’[B ’[A B C D AB C P Q MN D 眼睛小玲的位置镜子的位置 A B C E D F A B接到达的公交车，路线1是B---D---A---E ，路线2是B---C---F---E ，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．《相似三角形的应用》初三 班 姓名 学号1、①在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离是13厘米，则两地的实际距离是 千米。

②两地的实际距离为20公里，地图上的距离为20厘米，这张地图的比例尺为 ，这张地图的面积与实际面积的比为 。

2、已知：913y y x =-， 求DF 、BF 的长。

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2018年广州中考物理试卷( 含答案)
一、选择题（共36分）
.图1是常用的5号电池的示意图，其型号的另一种表示方法为“14500”，前两位数是直径，后三位数是高度，这型号电池高度为
A.14mm
B.145mm
C.500mm
D.50.0mm
2.静置的密封容器内只有氢气.若以O表示氢气分子，图2是最能代表容器内氢气分子分布的是
3.吉他上的弦绷紧时发声的音调比不紧时高，则绷紧的弦发声比它不紧时
A.振幅一定更大
B.振幅一定更小
C.振动频率一定更低
D.每秒内振动次数一定更多
4.对比图3中我国2017年发电量和2030年预测发电量，预测
A.火电发电量将减少
B.水电发电量将增加
C.我国将以核能发电为主
D.风电发电量占总发电量的比例将减小
5.如图4所示，通电导线a、b固定不动，左磁体对a的作用力为Fa，右磁体对b的作用力为Fb，下列说法正确的是
6.如图5所示金属球使小芳带电，则小芳
A.得到电子
B.失去电子
C.得到原子核
D.相互排斥的头发带上同种电荷
7.如图6所示，OQ是水平地面，物体在水平拉力的情况下从O匀速直线到Q。

OP 段拉力F1为300N, F1做的功为W1，功率为P1，PQ段的拉力F2，F2做的功为为W2，功率为P2，则（）
A,W1>W2 B, A,W1<W2 C,P1>P2 D,P1<P2
8.如图7所示，水平桌面上的甲乙两物体分别在水平拉力的作用下处于静止状态，
G 甲>G
乙
，甲受到的摩擦力（）
A,大于5N B,等于5N
C,大于乙受到的摩擦力 D,等于乙受到的摩擦力
9.物体M通过吸，放热，出现三种不同的状态，如图8，甲，乙，丙物态依次是（）
A,固液气 B,气液固 C,气固液 D，液固气
10.如图9所示，甲，乙质量不同的小球从相同高度静止释放，甲球下落过程中经过P,Q两点，忽略空气阻力。

下列说法正确的是（）
A,着地瞬间，两球动能相等
B,甲球在P点和Q点的机械能相等
C,释放瞬间，两球的重力势能相等
D,从释放到着地，两球所受重力做的功相等
11.向前直线行驶的车内，小明给小芳连拍两张照片如图10所示，拍照过程中车可能（）
A,向西加速 B,向东加速 C,向西减速 D,向东减速
12.将物体分别放在甲，乙凸透镜前，物距相同，通过甲透镜成正立放大的像，通过乙透镜成倒立缩小的像，图11是平行于主光轴的光线通过甲透镜的光路图，图12中哪幅图可能是平行于主光轴的光线通过乙透镜的光路图（）
二、填空题
13.两条光线通过透镜的光路如图13所示。

(1)该透镜是_______透镜（选填“凹”“凸”）
(2)光线a射向水面.在图中画出a的反射光线；大致画出a进入水中的折射光线；标示出反射角r1和折射角r2.
(3)逐渐往容器中加水,光线a在容器底形成的光斑会_________(选填“左移”、“右移”、“不动”).
14.O为支点的轻质杠杆原处于水平静止.现同时施加大小相等的力F1、F2（如图14）.
(1)此时杠杆能否保持平衡？_____________________________
(2)画出图中F1的力臂l1
15.（1）图15是托里拆利实验装置，测得当地大气压等于__________mm高的水银柱所产生的压强.
(2)关于图15现象的成因,十七世纪有两种观点.观点一：否认大气压存在，玻璃管内本应充满液体，液面下降是因为管内的部分液体变成气体，管内气体越多，液面下降越多，观点二：管内液面上方是真空，大气压支撑起液柱.帕斯卡为了验证哪种观点正确，将两根长12m规格相同的玻璃管分别装满水和酒，倒置在相应液体槽中，酒的密度比水小，且比水易变成气体，若观点一正确，应出现图16中________图的现象，若观点二正确，应出现图16中________图的现象.
16.测量某液体密度的实验如图17所示，液体的质量为__________g，依据公式ρ=_________，液体的密度_______________g/cm3.
17.小明用图18中的动滑轮匀速拉动水平地面上的物体A，测出A移动的距离s、水平拉力F和A的重力G.
(1)以上条件能否求出此时滑轮的机械效率η?_____________如果能，写出η的表达式；如果条件不足，写出还需补充的物理量的测量步骤和符号，并写出η的表达式___________（η用题目已知及补充的物理量符号表示）
(2)若A在10s内运动了4m，A的速度为______________
18.白色感压纸受到的压强达到可测最小值时才变色。

且颜色随压强变大而变深，大于可测最大值时颜色不再变深，感压纸A的规格如图19所示。

实验1：用250N的压力垂直作用在A上，受力面积为0.25cm2，此压力对A的压强为______N/cm2.
实验2：仍用250N的压力垂直作用在与A规格相同的感压纸上，要使它变色且颜色深度与实验1不同，下列哪些受力面积符合要求？____________________
2cm2 0.8cm2 0.3cm2 0.1cm2 0.01cm2
19.测得某熔断开关S在不同电流下的熔断时间如下表.将电磁铁开关和S接入电路，如图20所示，当I>4A时，电磁铁能在0.1s内吸动衔铁，使电路断开，衔铁无法自动恢复至图示位置；当1A<I≤4A时，电磁铁无法吸动衔铁，S发热熔断，使电路断开（熔断时间为S 开始通电到它熔断的时间）.
(1)S的电阻为1Ω，当I=2A，通电时间为______s时S熔断，此过程中S产生的热量是____J；
(2)当I=5A时，通电0.1s，S是否熔断？_________________
(3)若电路中电流方向与图20中相反，电磁铁吸引还是排斥衔铁？______________
三、解析题（共20分）
解析题应写出必要的文字说明、公式和重要的演算步骤，只写出最后的答案的不给分。

有数值计算的题，演算过程及结果都要在数字后面写上正确的单位。

20.测得某白炽灯在不同电压下的电功率如下表
（1）灯两端电压为220V时，灯的电阻为多少？
（2）灯两端电压为110V时，通过灯的电流为多少？通电100s灯消耗的电能是多少？
21. 小明每天测量同一个鸡蛋的质量，再把鸡蛋放入水中，观察它的浮沉情况后，取出放好，下表是他记录的部分及现象。

（鸡蛋的体积保持不变。

g=10N/Kg,ρ水=1.0×103kg/m3）
（1）求第57天鸡蛋所受浮力及鸡蛋的体积。

（2）比较第1天和第70天鸡蛋受到浮力的大小。

写出判断依据。

（3）根据表格的现象你如何判断存放时间的长短？
四、实验探究题（共20分）
22. 小芳想了解当滑动变阻器与电阻并联时，调节滑片。

电阻两端的电压及电路中的电流怎样改变
（1）实验电路如图21所示，请在图22中连接对应的实物图。

（2）改变滑动变阻器接入电路的阻值，记录如下表。

根据表格中数据在图23的坐标系中画出电阻R的U-I图线。

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