3.不含参数的极值点偏移问题

3不含参数的极值点偏移问题

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =.

证明：12 2.x x +>

构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x

x f x f x F ，

所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，

也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，

所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，

即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，

所以122x x -<，即证12 2.x x +>

法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212

1x x x e x -=，

不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<.

令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11

t t x e x +=， 反解出11

t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+=

+-，故要证122x x +>， 即证221

t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0

t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>，

故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，

从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，

即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立

2.已知函数()ln ,()x f x x x g x x e -==⋅

（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间(1,)+∞内有且仅有一个零点；

（2）用min{,}a b 表示,a b 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =，若关于x 的方程()h x c =（其中c 为常数）在区间(1,)+∞有两个不相等的实根1212,()x x x x <，记()F x 在(1,)+∞内的零点为0x ，试证明：1202

x x x +>

例3：已知函数2()ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=.

证明：12512

x x -+≥. 【解析】由1212()()0f x f x x x ++=，得2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++= 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=-，

令12t x x =，构造函数()ln t t t ϕ=-， 得1

1()1t t t t

ϕ-'=-=，可知()t ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)1t ϕϕ≥=，也即21212()()1x x x x +++≥， 解得：12512

x x -+≥

.

例4：已知函数()ln f x x x =-．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若方程()f x m = (2)m <-有两个相异实根1x ，2x ，且12x x <，证明：2122x x <.

【答案】（Ⅰ）()y f x =在 (0,1)递增， ()y f x =在(1,+ )∞递减；（Ⅱ）见解析

（2）由(1)可设

的两个相异实根分别为，满足 且， 由题意可知

又有(1)可知在递减 故 所以，令