2020-2021第一学期海淀区高三数学期中试题及答案
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7 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
2020.11
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案
A
C
C
D
B
C
A
B
A
B
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 题号 （11）
（12）
（13） （14）
（15）
答案
2
-3
25
3 4
1 2
π 3 π
3
2 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得：
b sin B =
c .
sin C
因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .
因为 cos A = 3
， 0 < A < π ，
4
所以 sin A =
因为 S = ，
= 7 .
4
所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2
⨯ sin A = 2 2
所以 c 2 = 4 .
7 .
所以 c = 2 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .
因为 cos A = 3
，
4
所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3
= 2c 2 .
4
所以 a = 2c .
所 以 a
= .
c
（17）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .
数学答案 第 1 页（共 10 页）
1- cos 2 A
⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，
⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a
+ 10d = 22. ⎩ 1
⎧a 1 = 1,
解得： ⎨
d = 2.
所以 a n = 2n -1 .
（Ⅱ）选择①②
设等比数列{a n } 的公比为 q .
因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，
所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .
因为 S 3 = 7 ，
所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =
b 2
= 2 .
b 1
b (1 - q n ) 所以 S n = 1
= 2n -1 .
1 - q
因为 S n < 2020 ，
所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .
即
n 的最大值为10 .
选择①③
设等比数列{a n } 的公比为 q .
因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，
所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =
b 3
= 4 ， q = ±2 .
b 1
因为 b n +1 > b n ，
数学答案 第 2 页（共 10 页）
所以 q = 2 .
b (1 - q n ) 所以 S n = 1
= 2n -1 .
1 - q
因为 S n < 2020 ，
所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .
即
n 的最大值为10 .
选择②③
设等比数列{a n } 的公比为 q .
因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，
所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .
因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .
b (1 - q n )
所 以 S n = 1
1 - q
= 2n -1 .
因 为 S n < 2020 ，
所以 2n -1 < 2020
所以 n ≤ 10 .
即
n 的最大值为10 .
（18）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，
由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .
2
所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为
{x x < 0, 或 x > 3
}.
2
（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)
数学答案 第 3 页（共 10 页）
= e x(2x + 3)(x -1) .
令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-
3 （舍）.
2
f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：
x0 (0,1)1(1, 2) 2
f '(x)- 0 +
f (x) 0 ↘-e ↗2e2
所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；
当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.
（19）（本小题共14 分）
解：（Ⅰ）因为
所以
所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +
π
, 2kπ +
3π
] （k ∈Z ）.
2 2
2kπ +
π
≤x +
π
≤ 2kπ +
3π ， k ∈Z .
2 6 2
2kπ +
π
≤x ≤ 2kπ +
4π ， k ∈Z .
3 3
所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π
, 2kπ +
4π
] （k ∈Z ）.
3 3
（Ⅱ）因为
所以
因为
所以f (x) = 2sin(x +
π
) ，
6
f (x -
π
) = 2sin x .
6
g(x) =f (x) f (x -
π
) ，
6
g(x) = 4sin(x +
π
)sin x
6
= 4(
3
sin x +
1
cos x)sin x
2 2
= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x
= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x
= 2sin(2x -
π
) +
3
3 .
因为0 ≤x ≤m ，
所 以-π
≤ 2x -
π
≤ 2m -
π .
3 3 3
因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，
数学答案第 4 页（共10 页）