量子力学概论第3章 形式理论
量子力学第三章3.1_1
∂2 ∂ ∂2 ∂ ˆ F = a 0 + a1 + b2 2 + … + a 2 2 + … + b1 ∂y ∂x ∂x ∂y
∂ ∂2 + c1 + c 2 2 + … ∂z ∂z
其中 a 0 , a 1 , a 2 ,…, b1 , b 2 ,…, c1 , c 2 … 是 x , y, z 的函数。 ˆ ˆ ˆ ˆ 如 x , p , H ，还有要讲的角动量算符 L 等…。
F( x ) =
∑
∞
F
(n )
n =0
(0) n x n!
∂n F ( n ) (0) = F( x ) n ∂x x =0
∞
ˆ F(A ) =
i ˆ − Ht h ∞
∑
n =0
F ( n ) (0) ˆ n A n!
例如：e
=∑
n =0
1 i ˆ n [− Ht ] 。 n! h
9. 算符的本征值与本征函数
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 电子在库仑场中的运动 §3.4 氢原子 §3.5 厄米算符本征函数正交性 §3.6 算符与力学量的关系 §3.7 算符对易关系，两力学量同时有确定值 的条件，测不准关系 §3.8 力学量平均值随时间的变化，守恒定律
一、算符的一般性质 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符 号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符
ˆˆ 易。并且有性质：FG
( )
−1
ˆ −1F −1 。 = G ˆ
6. 算符的复共轭、转置和厄米共轭
ˆ ˆ ˆ （1）算符 F 的复共轭算符 F* ，由 F 表示中复量换
量子力学讲义第三章讲义详解
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第3章 量子力学导论
第三章 量子力学导论19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。
1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。
此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。
至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。
§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。
如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。
……§3-2波粒二象性1.经典物理中的波和粒子经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。
粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。
视为质点的粒子位置可无限精确地被测定，而在无限空间传播的波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。
量子力学第三章
Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
对不同力学量的测量得到 不同的坍缩结果，算符理 论要回答不同的测量和不 同的测量结果之间的联系！
推荐一本书：《寻找薛定谔的猫》 作者： （美）格里宾 翻译：张广才
三、算符的运算规则及一般特性
（1）线性算符：若算符Ô 满足：
Ô (c1ψ1+c2ψ2)= c1Ô ψ1+c2Ô ψ2
2
eip•r
/
dp
r,t Ci (t)r;Ci i ,
i
4、线性：波函数的特性与态叠加原理保证
C , c11 c2 2
若存在一个映射A将一个量子态映射为另一个量子态
A '
' Aˆ
算符
算符代表对波函数进行某种运算或操作！
如何理解算符是一种操作？可结合态叠加原理与测量 消相干来理解：
其中c1, c2是任意复常数，
例如：
ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 可观测量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。
（2）算符相等
若两个算符Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
(rˆ,
pˆ ,
t
)
二、希尔伯特(Hilbert)空间及算符
定义在某数域上的完备的线性内积空间。 1、矢量：一个给定的量子体系，其所有的量子态。 2、矢量的乘法：内积
任意两个矢量ψ1和ψ2，其内积定义为：
1, 2 1 * 2d C
复数域
3、完备性：态叠加原理保证
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
量子力学 第三章
−ρ / 2
[s(s −1) − l(l + 1)]b0 ρ
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s−2
+ ∑[(ν + s)(ν + s − 1) − l(l + 1)]bν ρν +s−2
ν =1
∞
∑ bν ρ ν
s+ν −1
:
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
即
b ≠ 0 0 s ≥ 1
对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。
个取值。 ˆ 对给定的 l ， m 有 ( 2l + 1) 个取值。 L2 的本征值是 ( 2l + 1) 度 简并的。 简并的。
∑[(ν + s)(ν + s −1) − l(l +1)]bν ρ ν
=0
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为： 把第一个求和号中ν= 项单独写出，则上式改为：
u αf (ρ )e R= = r ρ =e
−ρ / 2 =0
四、讨论： 讨论：
ˆ ˆ a. Ylm 是 L z , L2 得共同本征函数 .
ˆ L2 Ylm = l(l + 1)h 2 Ylm
ˆ = −ih ∂ 作用于 Ylm 上，有： 而让 L z ∂ϕ ∂ m ˆ L z Ylm (θ, ϕ) = − ih [(−1) m N lm Pl (cos θ)e imϕ ] ∂ϕ
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学第3章-2
问题
在任一力学量Q表象中， 所描写的态又如何表示呢？ 在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1） Q具有分立本征值的情况 ） 具有分立本征值的情况 （2） Q含有连续本征值情况 ） 含有连续本征值情况
（1）Q具有分立本征值的情况 ） 具有分立本征值的情况
算符Q的本征值为 的本征值为： 设 算符 的本征值为： q1, q2, ..., qn, ...， ，
量子力学 表象 不同表象波函数 坐标系 不同坐标系的一组分量
→
(x),... ..., u1(x), u2(x),..., un(x), ... (t),... ..., a1(t), a2(t),..., an(t), ... 量子状态 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
态矢量
基本矢量
§２ 算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 （三）Q 有连续本征值的情况
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象： 坐标表象：
ˆ ˆ Φ( x, t ) = F ( x, p)Ψ( x , t ) ˆ = F ( x ,− ih ∂ )Ψ( x , t )
动量表象
1/2
1/2 (x,t)=[ /(2 E't)/h Ψ p ' (x,t)= [ 1 /( 2 π h )] e xp[ i(p' x - E't)/ h ]
(p'- p)exp[ iE't/ xp[C(p,t)= δ (p' - p)e xp[ - iE't / h ]
1/2 [1 ip'x ψ p ' (x)= [ 1 /( 2 π h )] e xp[ ip' x / h ] 1/2
第三章量子力学精品PPT课件
1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率，对于多于一个电子的氦原子, 理论完 全不适 用，且不能计算谱线的强度。
困
难
2、角动量量子化条件
h
p n 2
无理论根据。
3、轨道的概念不正确。
• 1、理论内在的不统一，不是自洽的。一方 面提出了与经典理论完全矛盾的假设。
另一方面又认为经典理论（牛顿定律，
库仑定律）适用。所以不是一贯的量子
原
理论，也不是一贯的经典理论，而是量
子论 + 经典理论的混合物。
因
• 2、没有抓住微观粒子的根本特性：波粒 二象性，仍然把微观粒子看作经典理 论 中的质点。
第三章 量子力学初步
思维世界的发展,从某种意义上说, 就是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
• §3.1 物质的二象性 • §3.2 测不准关系 • §3.3 波函数及其物理意义 • §3.4 薛定谔波动方程 • §3.5 量子力学的几个简例 • §3.6 量子力学对氢原子的描述
4、电子波动性的实验验证
目 的 证明电子具有波动性
（1）电子波长的估计
原 理
12.25 A
V
（2）衍射波具有极大值
的条件
2dSinn 戴威逊—革末实验装置示意图
可用实验检验的公式：
v n12.5 2dsin
nk
在镍单晶上的衍射实验结果
实验中和d不变， =800 ， d=2.03（镍单晶）
• q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射 角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p P
用电子衍射说明不确定关系
电子经过缝时的位置
不确定 xb.
x
一级最小衍射角
第三章量子力学
§3.3波函数及其物理意义
—、自由粒子的波函数 二、非自由粒子的波函数 三、波函数的物理意义 四、波函数的性质
—、自由粒子的波函数
波函数:
描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子 单色平面简谐波波动方程
y( x , t ) A cos 2 (t x )
y( x, t ) Ae ( x ,t ) 0
戴威逊—革末实验装置示意图
可用实验检验的公式：
v
n12.5 2 d sin
nk
实验原理图
在镍单晶上的衍射实验结果
实验中和d不变， =800 ， d=2.03（镍单晶）
戴—革的电子衍射实验有利地证明了电子的波 动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十 年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中 性原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具 有波动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒 二象性。且波长都由 =h/p 确定，进一步 证实了德布罗意假设的真实性。 h 很小， 当p = mv很大时，， 宏 观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系 式不适用。
戴维森(左)和盖尔曼在被贝尔实 验室，电子衍射在这里首次发现
28只 电子
1万只 电子
1000 只电 子
几百万 只电子
电子源
电 子 显 微 镜 里 的 磁 聚 焦 透 镜 排 列 原 理 图
加速区
高压 电源
电子波动性的实际应用
电磁线圈 （聚光焦） 被观测的样品 电磁线圈 （物镜） 第一个像 电磁线圈 （像投影仪）
由dE / dr 0
给出 2 4 2 2 2 rn n an 0 . 053 n nm 2 m e
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
北京大学量子力学教材 第三章
第三章一维定态问题第三章 目 录§3.1一般性质 (3)（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的 (3)（2）不同的分立能级的波函数是正交的。
(4)（3）振荡定理 (5)（4）在无穷大位势处的边条件 (5)§3.2阶梯位势 (6)§3.3位垒穿透 (9)（1） E<V 0 (9)（2） 0V E > (11)（3）结果讨论 (11)§3.4方位阱穿透 (11)§3.5一维无限深方位阱 (12)（1）能量本征值和本征函数 (12)（2）结果讨论 .................................. 13 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 .. (14)（1）宇称 (14)（2）有限对称方位阱 (15)（3） 求粒子在双δ位阱中运动 (18)§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 (21)（1） 半壁δ位阱的散射 (21)（2）有限深方位阱 (23)§3.8 一维谐振子的代数解法 (23)（1）能量本征值 (24)（2） 能量本征函数 (26)（3）讨论和结论 (28)§3.9 相干态 (30)（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 .................... 30 （2） 相干态的性质 .. (31)第三章 一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。
当 )r (V )t ,r (V =则薛定谔方程 )t ,r ()p ˆ,r (H ˆ)t ,r (ti ψ=ψ∂∂ 有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ϕ而 )r (u E 满足 )r (Eu )r (u )p ˆ,r (HˆE E = 事实上，当)r (V 有一定性质时，如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
量子力学第三章5详解
注意到x 0, (x)2 xˆ2。
Hˆ pˆ 2 + 1 kxˆ2 pˆ 2 + 1 kxˆ 2 (p)2 + 1 k(x)2
2m 2
2m 2
2m 2
使用基本算术不等式
2 (p)2 1 k(x)2 k (p)2 (x)2
x
x
[
pˆ x
,
(
x)
]
i
x
注意这里其实只是一个乘法算子。
练习解答
pˆ 2.[
x
2
,
( x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
计算与上题类似。
角动量
定义
基本关系
lˆ rˆ pˆ lˆ (lˆx , lˆy , lˆz )
lˆx ypˆ z zpˆ y
关于厄米算符的结论
1.物理量，对应的算符都是厄米的； 2.厄米算符的和也是厄米算符； 3.若两个厄米算符对易，则两个算符的积也是厄米的； 4.任何状态下厄米算符的平均值为实数(证明)； 5.任何状态下，平均值为实数的算符为厄米算符； 6.属于厄米算符的不同本征值的本征函数，彼此正交 (证明)。
关于厄米算符的结论
厄米算符的性质和测量
回顾力学量的测量假定
厄米算符的性质和测量
平均值
A ( , Aˆ ) | cn |2 An
n
童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！
厄米算符的性质和测量
新概念：涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
在统计中，使用 [(xn x)2 ] pn，就是偏离均值距离大小的平方与
量子力学 第03章-1
a
总结： 总结：求解定态薛定谔方程的思路
1. 确定 V ( x ) 的形式 2. 写出定态薛定谔方程； 写出定态薛定谔方程； 3. 分区求通解 4. 用归一化条件及标准化条件定特解及常数 用归一化条件及标准化条件定特解及常数 5. 讨论解的物理意义
23
问题：一维无限深对称方势阱： 问题：一维无限深对称方势阱： 对称方势阱 ①势能函数
1
散射态： 散射态： 是能量连续的态，或能量间隔趋于 0， 态函数是自由粒子平面波的叠加。 研究范畴： 研究范畴： 对势垒问题(E>V0)和部分势阱问题， 一般要考虑散射态的存在
2
方势阱是实际情况的极端化和简化 例如
V(x)
V(x)= 0
金属中的电子
方势阱
金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形 成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出 金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被 无限高的势能壁束缚在金属之中。
( x ≥ a, x ≤ 0)
?
10
2)阱内 − h d Φ ( x ) = E Φ ( x ) 2m dx 2
(为了方便将波函数脚标去掉)
2
2
•令
2 mE k = 2 h
2
将方程写成 Φ ′′( x ) + k 2Φ ( x ) = 0 •通解
Φ ( x) = A cos kx + B sin kx
V ( x) = 0
∞
∞
0 ①势函数V(x) 势函数
a
x
阱内 阱外
V ( x) = 0
( 0 < x < a)
x ≥ a)
7
V (x) = ∞ ( x ≤ 0
② 写出定态薛定谔方程 哈密顿量为： ∞
量子力学第三章-1
2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系 （6）对易括号 （7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符 （12）厄密算符
（1）线性算符
满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
ˆ ˆ d * O d (O ) * 或 ˆ ˆ O O
性质 II:
因为
两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。
(Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô, Û] = 0 成立时, +=Ô Û (Ô Û) 才成立。
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ [ x , p ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
表明 ˆ Hamilton 算符H等于 ˆ 体系动能算符T和 ˆ 势能算符V之和。 ˆ ˆ ˆ H T V
量子力学概论第3章 形式理论
fp(x)=12πћeipx/ћ,(3.32) 那么 〈fp′fp〉=δ(p-p′)，(3.33) 这明显地使人联想到真正的正交归一性(式3.10)——现在的指标是一个连续的变量，并 且克罗内克δ符号变为狄拉克δ符号，但是其他方面看起来是相同的。我们将把式3.33 称为狄拉克正交归一性。 最重要的是其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了(式3.11中的)求和：任何 (平方可积的)函数f(x)都可以写成下列形式
不确定原理的一般性证明 最小不确定波包 能量-时间不确定原理
3.5.1 不确定原理的一般性证明
σ2Aσ2B≥12i〈［A,B］〉2. (3.62) 这就是(普遍的)不确定原理。
3.5.2 最小不确定波包
Ψ(x)=Ae-a(x-〈x〉)2/2ћei〈p〉x/ћ.(3.68)
3.5.3 能量-时间不确定原理
f(x)=∫+∞-∞c(p)fp(x)dp=12πћ∫+∞-∞c(p)eipx/ћdp.(3.34) 仍然可以利用傅里叶变换得到展开系数(现在是一个函数，c(p))： 〈fp′f〉=∫+∞-∞c(p)〈fp′fp〉dp=∫+∞-∞c(p)δ(p-p′)dp=c(p′).(3.35) 另外，你也可以由普朗克尔定理(式2.102)得到，这种展开(式3.34)不是别的，正是傅里 叶变换。
3.2.1 厄密算符 3.2.2 确定值态
3.2 可观测量
3.2.1 厄密算符
表示可观测量的算符有非常特殊的性质 〈fQf〉=〈Qff〉 对任何f(x)成立.(3.16) 我们称这样的算符为厄密算符。
量子力学形式理论-中国科学技术大学
厄米性： xu|vy “ xv|uy˚ 所以，Hilbert 空间中任一矢量与自身的标积，例如 xu|uy， 总是实数. 非负性： xu|uy ě 0 此式中的等号仅在 |uy “ 0 情形下才成立. Hilbert 空间可以是有限维的的，也可以是无限维的. 若 H 是有 限维的 Hilbert 空间，例如 N 维，则意味着 H 存在着一组由 N 个正交归一的基矢量 t|ei y |i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; Nu 构成的基底， xei |ej y “ ij 使得对于 H 中的任一矢量 | y 而言，均有： | y“
a a
标积所涉及的积分总是收敛的： ˇ ˇż ˇ b ˇ ˇ ˇ |x |'y| “ ˇ pxq˚ 'pxqdxˇ ă 8 ˇ ˇ a 换言之，平方可积的 Hilbert 空间中任意两个矢量之间的标 积总是存在的.
12 / 150
作业：
格里菲斯《量子力学概论》Page64： 3.1； 3.2
Hilber 空间中的算符：
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绝大多数情形下，量子力学体系态矢量所在的 Hilbert 空间 H 是 无限维的. 选定了 H 的一组正交归一的完备基底 t|xy |x P Ru 后， 态矢量 | y 所对应的波函数 pxq :“ xx| y 也可能是连续变量 x 的普通函数. 把波函数 pxq 表达成一个具有无穷行的列矩阵的企图即使 不是不可行的，也是笨拙的、无必要的. 两个态矢量 |uy 与 |vy 的标积可以表达为相应波函数乘积的 积分： żb żb xu|vy “ dx xx|uy˚ xx|vy “ upxq˚ vpxqdx
'n pxq R H r0;
as
满足此边界条件以及平方可积条件
量子力学第3章 周世勋
（实数） *
3.2 动量算符与角动量算符 一 动量算符 ˆ i ˆ i ˆ i Px Py P
x
y
ˆ i Py z
ˆ (r ) P (r ) 本征方程： P P P (r ) ( x) Py ( y) Pz (z) 则有 按分离变量法,令 P Px
dx x
*
~ x x
( )dx x
*
ˆ 4. 厄米共厄算符： A
ˆ ˆ ˆ ˆ 因此可得： ( , A ) A , ( , A )* ( * , A* * )
ˆ ( , A* )
* *
2、厄米算符的本征值都是实数 ˆ ˆ ˆ Fd ( F ) d Prove : F
ˆ ˆ Fd ( F ) d
d d
d d
* * *
2）若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用 所谓箱归一化方法确定常数 A 。 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 (r ) 满足周期性边界条件 P
L L P , y, z P , y, z 2 2 L L P x, , z P x, , z 2 2 L L P x, y, P x, y, 2 2
ˆˆ ˆ ˆ ˆ B B A BA ˆ A
四、 算符的本征值和本征函数 一个算符作用于一个函数的结果，等于一个常 数乘以该函数，即 ˆ (r ) A (r ) 本征值方程 A
n
本征值
量子力学第三章11
物理工程学院
对粒子位置的测量 其结果一定是坐标算符
SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING
的本征值。相应的本征函数是
g y ( x) = δ ( x − y )
c( y ) = g y Ψ = ∫ δ ( x − y )Ψ ( x, t )dx = Ψ ( y, t ),
E = − mα 2 / 2h 2
动量空间的波函数是
Φ ( p, t ) = 1 2π h
3 mα − iEt / h ∞ − ipx / h − mα x / h2 2 p0 / 2e − iEt / h e dx = 2 ∫−∞ e e h π p 2 + p0
所求的几率为：
2
3 p0 ∫
π
1 1 dp = p0 ( p 2 + p 2 ) 2 π 0
−∞
∞ −∞
∞
∞ 1 ipx / h ∫−∞ c( p)e dp. 2π h
∞
------傅立叶展开
f p ′ f = ∫ c( p) f p ′ f p dp = ∫ c( p)δ ( p − p′)dp = c( p′).
−∞
动量的本征函数加上时间因子，就是平面波，其波长为
λ=
2π h . p
------正是德布罗意公式
---动量空间波函数， Φ ( p, t )
∞ 1 − ipx / h ∫−∞ e Φ( p, t )dp. 2π h
Φ ( p, t ) =
∞ 1 − ipx / h ∫−∞ e Ψ ( x, t )dx; 2π h
Ψ ( x, t ) =
2
测量得到结果在 dp 范围的几率是： Φ ( p, t ) dp.
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3.4 广义统计诠释
例题3.4 一个质量为m的粒子处在δ函数势阱V(x)=αδ(x)中。对其动量进行测量，得到结果比p0=mα/ћ 大的概率是多少？
解：在坐标空间的中的波函数是(式2.129) Ψ(x,t)=mαћe-mαx/ћ2e-iEt/ћ 式中，E=-mα2/2ћ2。因此，动量空间波函数是 Φ(p,t)=12πћmαћe-iEt/ћ∫+∞-∞e-ipx/ћe-
3.3.1 分立谱 3.3.2 连续谱
3.3 厄密算符的本征函数
3.3.1 分立谱
定理1：它们的本征值是实数。 定理2：属于不同本征值的本征函数是正交的。
例题3.2 求动量算符的本征值与本征函数。 解：设fp(x)是本征函数，p是本征值：ћiddxfp(x)=pfp(x).(3.30) 一般解是fp(x)=Aeipx/h. 对于任何(复数的)p值，它都不是平方可积的——动量算符在希尔伯特空间内没有本征 函数。然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的 “正交归一 性”。参看习题2.24(a)和2.26，
波函数存在于希尔伯特空间中. (3.5)
3.2.1 厄密算符 3.2.2 确定值态
3.2 可观测量
3.2.1 厄密算符
表示可观测量的算符有非常特殊的性质 〈fQf〉=〈Qff〉 对任何f(x)成立.(3.16) 我们称这样的算符为厄密算符。
3.2.2 确定值态
确定证明 最小不确定波包 能量-时间不确定原理
3.5.1 不确定原理的一般性证明
σ2Aσ2B≥12i〈［A,B］〉2. (3.62) 这就是(普遍的)不确定原理。
3.5.2 最小不确定波包
Ψ(x)=Ae-a(x-〈x〉)2/2ћei〈p〉x/ћ.(3.68)
3.5.3 能量-时间不确定原理
∫+∞-∞g*y′(x)gy(x)dx=A2∫+∞-∞δ(x-y′)δ(x-y)dx=A2δ(y-y′).(3.38) 如果我们取A=1，就有
gy(x)=δ(x-y),(3.39) 这样〈gy′gy〉=δ(y-y′).(3.40) 这些本征函数也是完备的：
f(x)=∫+∞-∞c(y)gy(x)dy=∫+∞-∞c(y)δ(x-y)dy,(3.41) 有c(y)=f(y)(3.42) (对本题，如果你坚持，你也可以从傅里叶技巧得到它)。
mαx/ћ2dx=2πp3/20e-iEt/ћp2+p20 (查阅积分表求积分)。所以，要求的概率的大小为 2πp30∫∞p01(p2+p20)2dp=1πpp0p2+p20+arctanpp0
∞p0=14-12π=0.0908 (再次查阅积分表求积分)
3.5 不确定原理
3.5.1 3.5.2 3.5.3
∫+∞-∞f*p′(x)fp(x)dx=A2∫+∞-∞ei(p-p′)x/ћdx=A22πћδ(p-p′).(3.31) 如果我们取A=1/2πћ， 有
fp(x)=12πћeipx/ћ,(3.32) 那么 〈fp′fp〉=δ(p-p′)，(3.33) 这明显地使人联想到真正的正交归一性(式3.10)——现在的指标是一个连续的变量，并 且克罗内克δ符号变为狄拉克δ符号，但是其他方面看起来是相同的。我们将把式3.33 称为狄拉克正交归一性。 最重要的是其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了(式3.11中的)求和：任何 (平方可积的)函数f(x)都可以写成下列形式
第3章 形式理论
3.1 希尔伯特空间 3.2 可观测量 3.3 厄密算符的本征函数 3.4 广义统计诠释 3.5 不确定原理 3.6 狄拉克符号
3.1 希尔伯特空间
所有在特定区域2的平方可积函数的集合， f(x) 满足 ∫baf(x)2dx<∞(3.4) 构成一个(非常小)的矢量空间(参看习题3.1(a))。数学 家称之为L2(a,b)；而物理学家称它为“希尔伯特 (Hilbert)空间”3。因此，在量子力学中，
图3.1 一个自由粒子的波包趋近A点(例题3.6)
图3.2 Δ粒子质量的测量图(例题3.7)
3.6 狄拉克符号
图 3.3 a)矢量A b)A在xy坐标系中的分量 c)A在x′y′坐标系中的分量
例题3.3 求坐标算符的本征函数与本征值。 解：设本征函数为gy(x)，本征值为y：xgy(x)=ygy(x).(3.37) 这里(对应于任何一个给定的本征函数)y是一个定值，但是x是一
个连续的变量。什么样的x使函数具有如下的性质：用常数y乘 以函数与用x乘以函数的结果相同？明显地，除在x=y点之外， 只能是零；实际上不是别的，就是狄拉克δ函数：gy(x)=Aδ(xy). 这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也 具有狄拉克正交归一性：
f(x)=∫+∞-∞c(p)fp(x)dp=12πћ∫+∞-∞c(p)eipx/ћdp.(3.34) 仍然可以利用傅里叶变换得到展开系数(现在是一个函数，c(p))： 〈fp′f〉=∫+∞-∞c(p)〈fp′fp〉dp=∫+∞-∞c(p)δ(p-p′)dp=c(p′).(3.35) 另外，你也可以由普朗克尔定理(式2.102)得到，这种展开(式3.34)不是别的，正是傅里 叶变换。