《直线的倾斜角与斜率》教(学)案及说明

个公式（斜率计算公式） 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的
一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。
直线的斜率指倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜 率刻画倾斜程度会更细致。
3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样 将两点坐标与 tan 相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者， 可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。
公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；
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3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导 中的作用。 教学难点：用代数方法推导斜率的过程。 四、本节课的教学方法：
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 五、教学过程设计 （一）创设情境，揭示课题 问题 1、给出的两点 P、Q 相同吗？如何区分这两个点？ 问题 2、过这两点可作什么图形？只经过其中一点（如点 P）可作多 少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他 方法吗？可以增加一个什么几何量？ 【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素 问题 3、角的形成还需一条线。即要有刻画倾斜程度的角，就必须还 有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基 准形成刻画倾斜程度的角？ 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？如何区分这两条直 线？ 选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何 一条直线都有唯一的角与它对应呢？ 【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定， 同时让学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美，
条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分 L1 与 L2）。 数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言
准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线l 与 x
轴相交时， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ，叫做直线l 的
1 7
）
（2）A（3,2）,B（4,1）（ k 1） AB
（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
（4）A（3,2）,B（-4,2）（ kAB 0 ） （四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的
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四、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
问题 1、（出示幻灯片）给出的两点 P、Q 相同吗？
从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）
问题 2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点 P）
可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还
有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意
识到需要有一个角）
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就
必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴
线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x 轴或 y 轴）
在 RtP1P2Q 中， tan
QP2 QP1
y2 y1 y2 y1
x2 x1
x2 x1
tan y2 y1 （可让学生分组推导）
x2 x1
同 理 ， 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 ， 无 论 为 锐 角 或 钝 角 ， 也 有
tan y2 y1 ，即 k y2 y1
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y P2（x2，y2）
α P1（x1，y1Q）（x2，y1）
O
x
y P2（x2，y2）
P1（x1，y1） Q （x2，y1） α
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）
α P2（x2，y2）
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）P2（xα2，y2）
O
x
解：设直线 P1 P2 倾斜角为 （ 90 ）当直线 P1 P2 方向向上时，过 点 P1 作 x 轴的平行线，过点 P2 作 y 轴的平行线，两线交于点 Q，则点
x 如：倾斜角 120 ，则斜率 k 3
问题 6、当 在[0 ，180 ）变化时，斜率 k 如何变化？
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y l
p
o x
y
l
y
o
p x
o p x
l
y
p l
o
x
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？ 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，
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直线的倾斜角与斜率的教学设计
一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜 率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而 渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于 x 轴 倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ .
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（二）巩固旧知，同化新知
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，
可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？
坡度（比）=
升高量 前进量
（即坡角 的正切值）
当坡角 增大时，坡度如何变化？
当坡角 =90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别
是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线
的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率。即 k tan ( 90 )
问题 5、当 为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角 上）
y
o
180 (是锐角) k tan tan(180 ) tan
的方程等容起着关键性的铺垫作用。
二、教学目标解析
1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程
度的几何量的形成过程；
2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜
率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，
从而渗透辩证唯物主义思想；
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于 x
轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点
的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、教学问题诊断分析
1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？
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这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接 受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的， 为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”， 从而能自然地、准确地描述清楚定义。
两种方法（定义法、坐标法）
y y
k tan 2 1
x2 x1
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论
的数学思想
(五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 围[0 ，180 ） 2、直线的斜率
k tan （ 90 ）
为钝角时，
k tan tan(180 ) tan
倾斜角。
学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y l
p
o x
y
l
p
o x
l
y
o
p
x
y
pl
o
x
(1)
(2)
(3)
(4)
学生容易忽略与 x 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？ 如何规定？
规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 。 自然有倾斜角的围是[0 ，180 ） 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系一 条直线的倾斜程度。
x2 x1
x2 x1
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思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗？
2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？
3、斜率公式使用时应注意什么问题？
巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝
角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）（ kAB
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的
作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
Q 为（x2，y1）
（1）当 为锐角时， QP1P2 ， x1 x2 ， y1 y2
在 RtP1P2Q 中， tan tan QP1P2
QP2 P1Q
y2 y1 x2 x1
（2）当 为钝角时， 180 （设 QP1P2 = ）， x1 x2 ， y1 y2
tan = tan(180 ) tan
想。
2、地位作用分析
本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在
直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可
建立一一对应的关系。这节课的教学容，不仅能反映出数学概念离不
开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想，从
知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线
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（学生展示推导斜 率公式的图形）
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（六）作业：①自学课本 P85：例 1、例 2； ②作业本：P89：1、2、3。
【教案说明】直线的倾斜角与斜率
一、教学容与地位作用解析 本节课是新人教版 A 版高一数学必修（2）的 3.1.1 节的容。 1、容分析 本节课的主要容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一
关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定 的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在 直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
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系。斜率 k y2 y1 不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，
x2 x1
而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思
它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。 （三）尝试推导，深化认识
两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即 倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点 P1（x1，y1），P2（x2， y2）且 x1 x2，能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k？ （学生活动）：随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2，探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进 量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用 x 轴。
问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？
（学生可能答一条或两条，投影 演示结果）如何区分清楚这两条直线 呢？估计学生能想到还需要确定方 向。
y
L2
p
· 45。
o
L1
135。
x
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选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一
2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当 倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识 P83 页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。
另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。