《直线的倾斜角与斜率》教(学)案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。
通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。
教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。
2. 掌握计算直线的斜率的方法。
3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。
4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。
教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。
2. 直线的倾斜角的计算方法。
二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。
2. 直线的斜率的计算方法。
三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。
2. 斜率与倾斜角的计算方法。
四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。
2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。
五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。
2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。
教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。
教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。
3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。
教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。
2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。
直线的倾斜角与斜率(教学案)
直线的倾斜角与斜率教学目标：1、了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) .2、对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围．3、理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．1. 直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是________．答案：45°解析：tan α＝k ＝1，∴α＝45°.2. (必修2P 115习题2改编)已知过两点A(－a,3)，B(5，－a)的直线的斜率为1，则实数a ＝________.答案：－4解析：由k ＝－a －35＋a＝1，得a ＝－4. 3. 已知过两点A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m 2－m,2m)的直线l 的倾斜角为45°，则实数m ＝________.答案：－2解析： ∵m 2－3－2m m 2＋2－(3－m 2－m )＝tan45°＝1，∴m 2＋3m ＋2＝0，解得 m ＝－1或－2. 但当m ＝－1时，A 、B 重合，舍去. ∴m ＝－2.4. 在直角坐标系中，直线y ＝－33x ＋1的倾斜角为________． 答案：5π6解析：∵tanα＝k ＝－33，又α∈[0，π)，∴α＝5π6.1. 直线倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tanα＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 求直线的倾斜角和斜率例1 在△ABC 中，A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．解：因为A 、B 两点的横坐标相同，所以边AB 垂直于x 轴，倾斜角为π2，斜率不存在；因为A 、C 两点纵坐标相同，所以边AC 平行于x 轴，即垂直于y 轴，倾斜角和斜率均为0；B 、C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝－1－13－1＝－1，所以BC 边所在直线的倾斜角为3π4，斜率为－1. 变式：已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标． 解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tanθ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型2 直线的倾斜角和斜率之间的关系例2 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tanα1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2. tanα2＝k 2＝－12<0， 所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α2>α1.tanα3＝k 3＝－13<0， 所以α3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2. 综上，α1<α2<α3.变式1： 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 解析：由k ＝tanα关系图(如下)知k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．变式2：直线l 的倾斜角是直线2x ＋y ＋2＝0倾斜角的一半，则直线l 的斜率是多少？反馈练习1、直线xtan π7＋y ＝0的倾斜角是________． 答案：6π7解析：k ＝－tan π7＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π7＝tan 6π7，且6π7∈[0，π)． 2、直线l 经过A(2,1)、B(1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.又k ＝tanα，0≤α＜π，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π.3、直线l 的倾斜角是直线2x —y ＋2＝0倾斜角的两倍，则直线l 的斜率是 ．4、若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由条件知直线的斜率存在，由公式得k ＝a －1a ＋2，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a 的取值范围是{a|a>1或a<－2}．（思考题）5、如图所示，直线l 过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(4,0)为端点的线段恒相交，求直线l 的斜率范围．解：设直线l ，PA ，PB 的倾斜角分别为θ，α1，α2，因为直线l 与线段AB 恒相交，所以α1≤θ≤α2，其中，tanα1＝5，tanα2＝－25，α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α2∈π2，π，所以，tanθ≥tanα1或tanθ≥tanα2，即k ≥5或k ≤－25.。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。
2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。
斜率越大，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。
斜率越小，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为0时，直线是水平的。
- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。
通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。
3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。
对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。
倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。
- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。
- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。
- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。
4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。
实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。
计算直线的斜率和倾斜角。
通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角；（2）掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率；（3）能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察实际情境，让学生感受直线的倾斜角和斜率的概念，培养学生的观察能力和思维能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线的倾斜角的概念；（2）直线的斜率与倾斜角的关系；（3）运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 教学难点：直线的斜率与倾斜角的计算。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示实际情境，如倾斜的梯子、斜坡等，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角：（1）介绍直线的倾斜角的概念，即直线与水平线之间的夹角；（2）引导学生通过观察和思考，理解直线的倾斜角的大小与直线的斜率之间的关系。
3. 讲解直线的斜率：（1）介绍直线的斜率的概念，即直线的倾斜角的正切值；（2）引导学生通过观察和思考，掌握直线的斜率与倾斜角的关系；（3）举例说明如何计算直线的斜率。
4. 练习与巩固：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、课后作业1. 请描述直线的倾斜角和斜率的概念，并说明它们之间的关系。
（1）直线y = 2x + 3；（2）直线x = 4。
五、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握它们之间的关系。
在教学过程中，要注意引导学生通过观察和思考，培养学生的观察能力和思维能力。
布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。
在课后，要关注学生的学习情况，及时进行教学反思，不断提高教学质量。
六、教学拓展1. 探讨直线的倾斜角与斜率在实际应用中的例子，如建筑设计中的斜屋顶、物理学中的倾斜面等。
2. 引导学生思考直线的倾斜角和斜率在几何图形中的作用，如在三角形、四边形等图形中的运用。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
《直线的倾斜角和斜率》说课稿(附教学设计)
《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材分析1、教材分析本节课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。
2、教学的目标定位在此之前，学生已经对直线有了直观的认识，如：两点确定一条直线，它具有平直性，并向两方无限延伸等。
但是这只是定性的研究，用这种方法，并不能具体刻画或描述一条直线。
在初中阶段，学生也认识了一次函数的图象是一条直线，但研究途径是先有数量关系（一次函数表达式），后建立其直观表示：直线。
在解析几何中，我们是先有图形（或曲线），然后根据图形（或曲线）的几何特征确定图形（或曲线）的代数表达式——方程。
因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
《6.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础
《直线的倾斜角与斜率》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 掌握用斜截式表示直线斜率的方法。
3. 能够根据直线的倾斜角或斜率画出直线。
4. 培养观察、思考、分析和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：倾斜角和斜率的概念以及应用。
2. 教学难点：根据直线的倾斜角或斜率画出直线，理解并掌握用斜截式表示直线斜率的方法。
三、教学准备1. 准备教学PPT和相关教学图片。
2. 准备黑板和粉笔，以便在黑板上进行绘图和讲解。
3. 准备练习题和试卷，以便学生进行练习和测试。
4. 提醒学生带好笔记本和笔，以便记录课堂内容和思考。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：上节课我们学习了哪些知识？请举例说明直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 引出课题：直线的倾斜角与斜率（二）讲授新课1. 倾斜角的概念(1) 提问：什么是直线的倾斜度？(2) 引导学生回忆生活中有关倾斜的实例，如：旗杆的倾斜程度等。
(3) 结合实例讲解倾斜角的定义，强调定义中的三个要素。
(4) 讲解倾斜角的取值范围，通过课件或图形讲解各种情况的倾斜角。
(5) 提问：如何描述直线的方向？引出倾斜角的正切值的概念。
2. 斜率的概念(1) 提问：如果已知一个直角的倾斜角，能否求出这条直线的斜率？(2) 引导学生思考并总结斜率的定义。
(3) 讲解斜率的计算公式，强调斜率是倾斜角的正切值。
(4) 提问：如何表示一条直线与x轴垂直？如何求这类直线的斜率？(5) 通过课件或图形讲解斜率的意义。
3. 倾斜角与斜率的关系(1) 提问：一条直线的倾斜角与斜率之间有什么关系？(2) 引导学生思考并总结两者之间的关系式。
(3) 通过课件或图形讲解特殊直线的倾斜角与斜率的关系。
（三）课堂练习1. 完成教材中的相关练习题。
2. 学生自主选择题目进行练习，教师巡视指导。
3. 挑选几名学生上台演示自己的解题过程，并讲解自己的解题思路。
4. 教师对典型错误进行点评，强调易错点。
高中数学_3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思
直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。
进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。
为后续的学习探究“埋好暗线”。
2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。
三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。
观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。
【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角：定义、求法。
2. 斜率与倾斜角的关系：正切函数的应用。
3. 直线的斜率：定义、求法。
4. 实际问题中的应用：求直线的倾斜角和斜率。
三、教学重点与难点：1. 重点：直线的倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系。
2. 难点：直线的斜率的求法、实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线的倾斜角和斜率的定义及求法。
2. 利用例题，演示直线的倾斜角和斜率的计算过程。
3. 引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾直线的倾斜角和斜率的概念，引导学生思考两者之间的关系。
2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解求法，举例说明。
3. 讲解斜率与倾斜角的关系：引入正切函数，讲解斜率与倾斜角的关系，举例说明。
4. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率的定义，讲解求法，举例说明。
6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度，观察学生能否正确求解直线的倾斜角和斜率。
2. 课堂练习：评估学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的能力，观察学生是否能够正确计算和应用。
3. 课后作业：评估学生对直线的倾斜角和斜率知识的掌握程度，检查学生是否能够独立完成相关练习。
七、教学反思：1. 反思教学内容：根据学生的学习情况，调整直线的倾斜角和斜率的教学内容，确保学生能够理解和掌握。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
八、教学拓展：1. 直线的倾斜角和斜率在实际应用中的例子：如工程测量、物理学中的运动分析等。
直线的倾斜角与斜率教案及说明
直线的倾斜角与斜率教案及说明文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形唯一吗只经过其中一点（如点P）可作多少条直线若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗可以增加一个什么样的几何量（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。
在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x 轴为基准，当直线l 与x 轴相交时，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。
名师教学设计《直线的倾斜角和斜率》完整教学教案
2.如何探究直线的斜率坐标计算公式。
三、学习者特征分析
学生掌握了平面内两点确定一条直线，以及在平面直角坐标系中点用坐标表示。直线如何表示直线的几何问题如何转化成代数问题从而研究几何性质是学生第一次学习，通过联系实际激发学生的学习兴趣、满足求知欲和好奇心。
学生小组讨论
理解斜率计算的代数式结构与坐标顺序无关，而且培养学生分类讨论的数学思想
六、教学评价设计
1.本节课从实际生活出发，引导学生通过观察抽象出直线的几何要素以及代数表示，让学生理解抽象的定义。
2.在教学过程中，借助多媒体加强动态演示，渗透解析几何从常量到变量转变的观点。通过合作探究让学生成为学习主体，有助于培养学习数学的兴趣，增强克服困难的自信心。
并且当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。
2.直线斜率的定义
直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写的字母k表示，所以
k= （ ≠ ， = 正切值不存在）
3.直线斜率的两点坐标计算公式
两点间斜率的计算公式 （x1≠x2）
（三）巩固新知
例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
2. （x1≠x2）
八、教学反思
1.知识的讲解尽量联系实际，体现数学的应用性；
2.在数学能力方面应多强调；
3.加强学生教学生的合作交流意识；
4.应提高学生的求知欲。
四、教学过程
（一）情景引入：在直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗这就是我们本节课研究的主要内容。
直线的倾斜角与斜率教案
《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标（一）知识与技能1、理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握倾斜角与斜率的关系；2、掌握过两点的直线的斜率公式和应用。
（二）过程与方法1、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，体验用代数方法刻画直线倾斜程度的过程，以提高学生分析、比较、概括，化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
2、、通过对直线斜率公式的分类讨论帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，（三）情感、态度与价值观1、通过对倾斜角等概念的导入让学生体会到数学知识的产生来源于实际问题的需要，从而进一步端正学习态度，激发学习数学的兴趣。
2、在教学过程中对学生装进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索，勇于创新的科学精神。
二、教学重点直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。
三、教学难点对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
四、教学方法发启式教学法、自主研讨法五、教学用具利用多媒体辅助教学六、教学过程（一）情境引入，提出问题播放视频，通过中国著名的水利工程——三峡大坝，引入迎水坡与背水坡的坡度知识，抽出大坝某处的横断面（梯形）的两条腰，提出问题“腰所在直线的位置怎样确定，如何定量地研究它们的倾斜程度，引入坐标法。
（二）知识探索，分析理解问题 在直角坐标系中如何确定该两条线段所在直线的位置呢？ 答：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：（1）两点确定一条直线；（2）已知直线上的一个点和这条直线的方向。
通过方法二导出250角和1500角分别就是直线l 1和l 2的倾斜角，引出直线倾斜角的定义。
（三）师生互动，抽象概括 1、直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角,叫做直线l 的倾斜角.通常倾斜角用α表示.规定:当直线l 和x 轴平行时它的倾斜角为00 动画演示倾斜角的变化过程（见课件）由此推导在直角坐标系中，直线绕直线与x 轴交点旋转，它对x 轴正方向有四种情形。
(完整版)直线的倾斜角和斜率教案
《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的：1。
了解“坐标法”2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；3。
已知直线的倾斜角,求直线的斜率4。
已知直线的斜率，求直线的倾斜角5.培养学生“数形结合”的数学思想.教学重点: 斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点: 1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排: 1课时教具：多媒体教学过程：一。
知识背景与课题的引入1.从本章起，我们研究什么？怎样研究？解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。
解析几何由此成为近代数学的基础之一。
在解析几何学中，我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质.坐标法是以坐标系为基础，把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法.本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程。
然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等.2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象-—直线,学习直线的倾斜角和斜率.二。
新课1问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗？分析：对，两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线，这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点，确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点，再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少？这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜角刻画了直线倾斜的程度，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不相同的直线，其倾斜角也不相等.问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量：例如：坡度（比）= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果是一条直线的倾斜角，我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slop)记作：tank问题4(1）是不是所有的直线都有倾斜角?是（2)是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
一、教案内容1.1 直线的倾斜角【教学目标】理解直线的倾斜角的概念,掌握求直线倾斜角的方法,能运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学重点】直线的倾斜角的概念,求直线倾斜角的方法。
【教学难点】如何运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习直线的斜率概念,引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
(2)讲解:介绍直线的倾斜角的概念,讲解求直线倾斜角的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线倾斜角的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的倾斜角解决实际问题,如求直线的倾斜角和斜率,判断直线的方向等。
1.2 直线的斜率【教学目标】理解直线的斜率的概念,掌握求直线斜率的方法,能运用直线的斜率解决相关问题。
【教学重点】直线的斜率的概念,求直线斜率的方法。
【教学难点】如何运用直线的斜率解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习倾斜角的概念,引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
(2)讲解:介绍直线的斜率的概念,讲解求直线斜率的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线斜率的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的斜率解决实际问题,如判断两直线是否平行或重合,求直线的倾斜角等。
二、教案说明本教案分为两个课时,第一课时讲解直线的倾斜角,第二课时讲解直线的斜率。
在教学过程中,注重让学生通过实例来理解和掌握概念和方法,并在应用环节中引导学生将所学知识运用到实际问题中。
,教案中还提供了丰富的练习题,以便学生巩固所学知识。
六、直线的斜率计算【教学目标】掌握直线斜率的计算方法，能够运用直线的斜率解决实际问题。
【教学重点】直线斜率的计算方法。
【教学难点】如何运用直线斜率解决实际问题。
【教学准备】直角坐标系，多媒体设备。
【教学过程】（1）引入：复习上节课的内容，引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
直线的倾斜角和斜率教案
《直线的倾斜角和斜率》教案教学目标：(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2) 理解直线的倾斜角的唯一性•(3) 理解直线的斜率的存在性•(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.情感态度与价值观：(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力, 数学交流与评价能力.(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.重点与难点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式•教学方法：启发、引导、讨论•教学过程：(一)直线的倾斜角的概念我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线•那么，经过一点P 的直线I 的位置能确定吗？如图，过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见，答案是否定的.这些直线有什么联系呢？(1)它们都经过点P.(2)它们的’倾斜程度’不同•怎样描述这种’倾斜程度’的不同？引入直线的倾斜角的概念：当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角•特别地，当直线I与x轴平行或重合时，规定a = 0 ° .问：倾斜角a的取值范围是什么？ 0 °WaV 180° .当直线I与x轴垂直时，a = 90 ° .因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度•试问：如果直线a// b// C,那么它们的倾斜角a相等吗？答案是肯定的•所以一个倾斜角a不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角a .（二）直线的斜率：一条直线的倾斜角a （ aM 90° ）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k = tan a⑴当直线I与x轴平行或重合时,a =0° , k = tanO ° =0;⑵当直线I与x轴垂直时，a = 90 ° , k 不存在.由此可知，一条直线I的倾斜角a—定存在，但是斜率k不一定存在. 例如，a =45° 时，k = tan45 ° = 1;a =135° 时，k = tan135 ° = tan（180 ° - 45 ° ） = - tan45 ° = -1. 学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.（三）直线的斜率公式：给定两点P（x「yj, P2（ X2, y）, X1 X2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.（略）y2y1斜率公式：k 2-x2x1对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a = 90 ° ,直线与x轴垂直；⑵k与R, p2的顺序无关，即y i, y2和X i, X2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当％y时,斜率k = 0,直线的倾斜角a =0°,直线与X轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．( 四)例题讲解：例 1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.( 图略)分析：已知两点坐标，而且X i X2 ,由斜率公式代入即可求得k的值;而当k= tan a <0时,倾斜角a是钝角而当k=tana >0时,倾斜角a是锐角而当k=tan a =0 时, 倾斜角a是0°例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为i, -i, 2, 及-3 的直线a, b, c, d.分析：要画出经过原点的直线a, 只要再找出 a 上的另外一点M. 而M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定; 或者k=tan a =i 是特殊值, 所以也可以以原点为角的顶点,X 轴的正半轴为角的一边, 在X 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.例3．已知A(i,2),B(-i,0),C(3,4) 三点，这三点是否在同一直线上，说明理由。
高二上册《直线的倾斜角和斜率》说课稿
高二上册《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材信息•课程：高二上册数学•单元：解析几何•主题：直线的倾斜角和斜率二、教学目标•知识目标：掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能够运用它们进行相关问题的解答。
•能力目标：培养学生观察问题并运用所学知识解决问题的能力。
•情感目标：激发学生对数学的兴趣和学习的积极性。
三、教学重点•直线的倾斜角和斜率的概念理解•利用斜率求直线倾斜角和利用倾斜角求斜率的方法四、教学内容1. 直线的倾斜角•定义直线的倾斜角为直线与x轴正方向之间的夹角。
倾斜角的取值范围为0到180度。
•倾斜角可以用tan函数来表示。
2. 直线的斜率•定义直线的斜率为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
•斜率可以用两点间的坐标表示，或者用斜率公式进行计算。
3. 直线的倾斜角和斜率的关系•直线的倾斜角等于斜率的反正切值，即tan(倾斜角) = 斜率。
4. 计算实例•通过具体的计算实例，让学生掌握如何计算直线的倾斜角和斜率。
五、教学方法1.教师引导式教学：通过提问、示范和讲解，引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2.讨论合作学习：学生分组进行讨论和合作，共同解决问题，培养学生的合作和交流能力。
3.实例演练：通过具体的计算实例，让学生运用所学知识解决问题，巩固学习成果。
六、教学过程1.导入：通过提出问题或引入实际生活中的例子，激发学生的兴趣，并引导他们思考直线的倾斜角和斜率的意义。
2.理论讲解：讲解直线的倾斜角和斜率的定义和计算方法，并与实例进行对比，让学生理解概念。
3.分组讨论：将学生分为小组，让他们一起讨论解答一些简单的问题，以巩固对直线的倾斜角和斜率的理解。
4.实例演练：教师给出一些具体的计算实例，让学生运用所学知识进行计算，并与同伴分享和讨论解题思路。
5.拓展应用：通过一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，培养他们观察、分析和解决问题的能力。
6.总结归纳：对直线的倾斜角和斜率进行总结归纳，梳理学生的思路和方法。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念：直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。
2. 直线的斜率与倾斜角的关系：直线的斜率k等于tan(倾斜角)。
3. 直线的斜率的计算：给定直线的倾斜角，可以计算出直线的斜率。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
2. 采用例题解析法，通过例题讲解如何计算直线的斜率。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的直线倾斜角的概念。
2. 讲解直线的倾斜角的概念，解释斜率与倾斜角的关系。
3. 讲解直线的斜率的计算方法，并通过例题进行讲解。
4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对直线倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用直线的倾斜角和斜率解决问题的能力。
说明：本教案分为五个部分，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤和教学评价。
在教学过程中，要注意引导学生理解直线的倾斜角的概念，掌握斜率与倾斜角的关系，并通过练习题让学生巩固所学知识。
教案中的教学内容可以根据实际情况进行调整。
六、教学拓展1. 讨论斜率的正负性：解释当倾斜角大于45度时，斜率为正；小于45度时，斜率为负。
2. 探究斜率与倾斜角的关系：引导学生通过绘制不同倾斜角的直线，观察斜率的变化。
七、实际应用1. 生活实例：举例说明直线的倾斜角和斜率在生活中的应用，如建筑物的屋顶斜率、道路的坡度等。
2. 数学应用：引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决数学问题，如计算直线与坐标轴的交点、直线的方程等。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，强调直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
人教版高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标：1、知识及能力：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.2、过程及方法：(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.(2)从数及形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.3、情感态度及价值观：1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”及“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法及手段：计算机辅助教学及发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现及形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对)x来表示和确定.则直线呢？在平面直角坐标系中，(y,问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.则，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.则，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.二、知识探索(一)直线倾的斜角1．定义：直线L及x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向及直线L向上的方向之间所成的角 叫做直线L的倾斜角.教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向及直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角α就是直线L的倾斜角.〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.【快速练习一】1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )A B C D2．请标出下列直线L的倾斜角α.〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT 展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角.那图（4）呢？问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？则它到底应该是多少呢？学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：预案：定义中的倾斜角是要求直线L及x轴相交的，而图（4）中的直线L却是及x轴平行的.教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L及x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤α＜1800.〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？预案：有且只有一个.问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.所以仅有倾斜角是不能确定直线的！问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？预案：再加一个点.即一个点P和倾斜角α可以唯一确定一条直线.〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.（二）直线的斜率问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际就是倾斜角α的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即αtan =k .【快速练习二】已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.（1）030=α （2）060=α （3）090=α （4）0120=α〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法.对于（4）要告诉同学们公式0tan(180)tan αα-=-（α是锐角）.同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下.教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为α）我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？预案：倾斜角为900的直线没有斜率.教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的. 〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解.2．过两点的直线斜率的公式学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角α()︒≠90α，我们当然可以根据斜率的定义αtan =k 求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，则怎么求出该直线的斜率呢？也就是：问题：已知直线L 上两个点的坐标),(),,(222111y x P y x P ，21x x ≠，如何求直线L 的斜率呢？ 对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出1212x x y y k --=. 图一 图二图三教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，则当α为钝角时，公式还成立吗？在此老师要适当引导学生，得出0180αθ+=(如图三)，再利用诱导公式0tan(180)tan αα-=-钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程，而倾斜角为钝角的推导则通过教师引导，由学生自己完成，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构.问题：当α=00时，公式1212x x y y k --=还成立吗？ 预案：当α=00时，直线及x 轴平行或重合.000=tan .12y y =，此时0=k ，所以当α=00时公式依然成立.问题：及P 1，P 2在直线上的顺序有关吗？让学生思考，讨论.学生开始会觉得及顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P 1，P 2的位置，让学生直观发现直线L 的斜率并没有因P 1，P 2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.预案:无关.即21y y ,和21x x ,在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换. 问题：从几何角度怎样理解公式中要求21x x ≠呢？预案：当21x x =，直线垂直x 轴，倾斜角为900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点.同时结合几何画板，加深对公式的理解.留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯.教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式.我们也有两种方式来求直线的斜率了.一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标.而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角.三、知识应用例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）（3）平行于x 轴的直线的倾斜角是00或1800（ ）（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （ ）〖设计意图〗斜率及倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率及倾斜角的理解.例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜任意拖动改变P1,P2位置斜率k 的大小并没有改变角是锐角还是钝角.〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负及倾斜角之间的关系.练习：1．求经过点A(2，-1)和点B(a ，-2)的直线L 的斜率，并讨论a 为何值时，直线L 的倾斜角是锐角、钝角、直角？〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想.2．已知三点A(a ，2)，B(3，7)，C(-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值.〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得及直线上的点的选择无关.同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫.〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深.同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透.四、知识小结1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤α＜18002、倾斜角和斜率k 之间的关系：3、直线斜率的两种求法：①若已知倾斜角)(090≠αα时，αtan =k②若知直线过两点),(),,(222111y x P y x P 且21x x ≠，1212x x y y k --=五、板书设计 教案说明全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件辅助教学，帮助学生变抽象为具体，破解教学难点.本节课在教法上力求通过设置问题，层层递进，揭示知识的形成发展过程，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，整节课突出“问题解决”.从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.（一）设置层层疑问，促进学生探究在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位.借助提问，给学生营造一个思考情境，促进学生探究，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自我.（二）引导学生反思,渗透数学思想.数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想则是解析几何的核心思想.本节课注重了启发学生思维，引导学生反思思维过程，注重了数学思想方法的渗透.在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等.（三）灵活应用多媒体，突破教学难点多媒体的灵活运用，很好的帮助学生突破了难点.倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等，都是本节课知识的难点.借助几何画板，直观、动态演示了形成过程和变化趋势，很好的帮助学生解决了难点，内化了知识.。
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问题 6、当 在[0 ，180 ）变化时，斜率 k 如何变化？
..
.
..
.
.
.
y l
p
o x
y
l
y
o
p x
o p x
l
y
p l
o
x
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？ 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，
以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用 x 轴。
问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？
（学生可能答一条或两条，投影 演示结果）如何区分清楚这两条直线 呢？估计学生能想到还需要确定方 向。
y
L2
p
· 45。
o
L1
135。
x
..
.
..
.
.
.
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一
x2 x1
x2 x1
..
.
..
.
.
.
思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗？
2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？
3、斜率公式使用时应注意什么问题？
巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝
角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）（ kAB
个公式（斜率计算公式） 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的
一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。
直线的斜率指倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜 率刻画倾斜程度会更细致。
条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分 L1 与 L2）。 数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言
准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线l 与 x
轴相交时， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ，叫做直线l 的
有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意
识到需要有一个角）
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就
必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴
线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x 轴或 y 轴）
关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定 的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在 直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
..
.
..
.
.
.
系。斜率 k y2 y1 不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，
x2 x1
而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思
是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线
的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率。即 k tan ( 90 )
问题 5、当 为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角 上）
y
o
180 (是锐角) k tan tan(180 ) tan
1 7
）
（2）A（3,2）,B（4,1）（ k 1） AB
（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
（4）A（3,2）,B（-4,2）（ kAB 0 ） （四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的
倾斜角。
学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y l
p
o x
y
l
p
o x
l
y
o
p
x
y
pl
o
x
(1)
(2)
(3)
(4)
学生容易忽略与 x 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？ 如何规定？
规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 。 自然有倾斜角的围是[0 ，180 ） 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系一 条直线的倾斜程度。
..
.
..
.
.
.
y P2（x2，y2）
α P1（x1，y1Q）（x2，y1）
O
x
y P2（x2，y2）
P1（x1，y1） Q （x2，y1） α
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）
α P2（x2，y2）
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）P2（xα2，y2）
O
x
解：设直线 P1 P2 倾斜角为 （ 90 ）当直线 P1 P2 方向向上时，过 点 P1 作 x 轴的平行线，过点 P2 作 y 轴的平行线，两线交于点 Q，则点
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的
作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当 倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识 P83 页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。
另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。
想。
2、地位作用分析
本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在
直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可
建立一一对应的关系。这节课的教学容，不仅能反映出数学概念离不
开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想，从
知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线
Q 为（x2，y1）
（1）当 为锐角时， QP1P2 ， x1 x2 ， y1 y2
在 RtP1P2Q 中， tan tan QP1P2
QP2 P1Q
y2 y1 x2 x1
（2）当 为钝角时， 180 （设 QP1P2 = ）， x1 x2 ， y1 y2
tan = tan(180 ) tan
3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样 将两点坐标与 tan 相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者， 可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。
公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
..
.
..
.
.
.
（二）巩固旧知，同化新知
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，
可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？
坡度（比）=
升高量 前进量
（即坡角 的正切值）
当坡角 增大时，坡度如何变化？
当坡角 =90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别
在 RtP1P2Q 中， tan
QP2 QP1
y2 y1 y2 y1
x2 x1
x2 x1
tan y2 y1 （可让学生分组推导）
x2 x1
同 理 ， 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 ， 无 论 为 锐 角 或 钝 角 ， 也 有
tan y2 y1 ，即 k y2 y1
两种方法（定义法、坐标法）
y y
k tan 2 1
x2 x1
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论
的数学思想
(五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 围[0 ，180 ） 2、直线的斜率
k tan （ 90 ）
为钝角时，
k tan tan(180 ) tan
轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点
的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、教学问题诊断分析
1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？
..
.
..
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这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接 受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的， 为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”， 从而能自然地、准确地描述清楚定义。