《数学方法论》复习提纲
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以及这个题目的推广式的证明！！！
例8.如图，圆的三条弦AB、CD、EF分别相交 于点P、Q、R，AP=EQ=DR，CP=FR=BQ.
求证：⊿PQR为等边三角形.
C
A
ba P
x
y
aQ
Rb
Leabharlann Baidu
E
z
F
b
a
B
D
三、勾股定理的证明与 推广的相关问题
四、数学文化
1.设初始正三角形的面积为1， 试推算经过无穷多次的迭代以 后产生的柯奇雪花的面积.
思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观 察上式中三个根式的结构特征，可以发现：
x2 xy y 2 x2 y 2 2xy cos60,
y 2 yz z 2 y 2 z 2 2 yz cos60,
z2 zx x2 z2 x2 2zx cos60.
例5. 已知：a、b、c、m、n、p R ， 且a m b n c p k， 求证：an bp cm k2.
思路分析：注意到上式的特点，可 以构造一个边长为k的正三角形和三个 小三角形，借助直观图形，利用三角形 面积之间的关系可证此题.
例6.设x、y、z R，求证 x2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x2 .
五、高等数学中蕴含的美学思想
1. 高等数学中蕴含的美学思想主要有哪些？ 2. 求 sin 2nxdx(n为自然数）并分析其解决思路中蕴涵的数学思想方法.
0 sin x
六、中国数学简史概说 简述中国数学发展的主要阶段
及中国传统数学的特点.
七、合情推理
设a、b、c都是正数，求证： an bn cn a pbqcr arb pcq aqbrc p， 其中n N，p、q、r都是非负整数，
（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正
值）； （3） 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处
理该机床； (ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该
机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的 理由.
数学方法论 复习提纲
简答题 计算或证明 论述题
考题类型
10分1题，共3题，共30分 15分1题，共3题，共45分
共1题，25分
一、 概述
1.数学方法论的主要研究内容有哪些？ 2.阐述数学方法论的发展简史. 3.研究数学方法论的意义 4.美国《NCTM数学课程标准》中培养学生数
学素养有哪五项目标？
二、 数形结合
各个例题均需要加以注意，要注意题目的思路 分析.
例3. 设 0 a l,0 b l, ，求证下面的不等式：
a2 b2 (l a)2 b2 a2 (l b)2 (l a)2 (l b)2 2 2l
思路分析：这是一个不等式的证明题，如果直 接用代数方法证明相当繁琐.注意到上式是一 个关于a，b的对称式，且根号下面始终是两个 数的平方和，联想勾股定理，构造满足不等式 的几何图形，利用三角形三边的关系可得证.
柯奇雪花曲线
从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体相似的图形.
经过n次
2. 某机床厂2001年初用98万元购进一台数 控机床，并立即投入生产使用，计划第一 年维修、保养费用12万元，从第二年开始， 每年所需维修、保养费用比上一年增加4万 元，该机床使用后，每年的总收入为50万 元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元.
且p q r n.
论述题： （1）试论述数学美的涵义，并举例阐释
高等数学中的美. （2）试论述数学方法论的定义、学科定
位和研究的意义. （3）试论述数学思想方法教学的重要意
义和作用.
祝大家新年快乐、 万事如意！！！
例8.如图，圆的三条弦AB、CD、EF分别相交 于点P、Q、R，AP=EQ=DR，CP=FR=BQ.
求证：⊿PQR为等边三角形.
C
A
ba P
x
y
aQ
Rb
Leabharlann Baidu
E
z
F
b
a
B
D
三、勾股定理的证明与 推广的相关问题
四、数学文化
1.设初始正三角形的面积为1， 试推算经过无穷多次的迭代以 后产生的柯奇雪花的面积.
思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观 察上式中三个根式的结构特征，可以发现：
x2 xy y 2 x2 y 2 2xy cos60,
y 2 yz z 2 y 2 z 2 2 yz cos60,
z2 zx x2 z2 x2 2zx cos60.
例5. 已知：a、b、c、m、n、p R ， 且a m b n c p k， 求证：an bp cm k2.
思路分析：注意到上式的特点，可 以构造一个边长为k的正三角形和三个 小三角形，借助直观图形，利用三角形 面积之间的关系可证此题.
例6.设x、y、z R，求证 x2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x2 .
五、高等数学中蕴含的美学思想
1. 高等数学中蕴含的美学思想主要有哪些？ 2. 求 sin 2nxdx(n为自然数）并分析其解决思路中蕴涵的数学思想方法.
0 sin x
六、中国数学简史概说 简述中国数学发展的主要阶段
及中国传统数学的特点.
七、合情推理
设a、b、c都是正数，求证： an bn cn a pbqcr arb pcq aqbrc p， 其中n N，p、q、r都是非负整数，
（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正
值）； （3） 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处
理该机床； (ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该
机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的 理由.
数学方法论 复习提纲
简答题 计算或证明 论述题
考题类型
10分1题，共3题，共30分 15分1题，共3题，共45分
共1题，25分
一、 概述
1.数学方法论的主要研究内容有哪些？ 2.阐述数学方法论的发展简史. 3.研究数学方法论的意义 4.美国《NCTM数学课程标准》中培养学生数
学素养有哪五项目标？
二、 数形结合
各个例题均需要加以注意，要注意题目的思路 分析.
例3. 设 0 a l,0 b l, ，求证下面的不等式：
a2 b2 (l a)2 b2 a2 (l b)2 (l a)2 (l b)2 2 2l
思路分析：这是一个不等式的证明题，如果直 接用代数方法证明相当繁琐.注意到上式是一 个关于a，b的对称式，且根号下面始终是两个 数的平方和，联想勾股定理，构造满足不等式 的几何图形，利用三角形三边的关系可得证.
柯奇雪花曲线
从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体相似的图形.
经过n次
2. 某机床厂2001年初用98万元购进一台数 控机床，并立即投入生产使用，计划第一 年维修、保养费用12万元，从第二年开始， 每年所需维修、保养费用比上一年增加4万 元，该机床使用后，每年的总收入为50万 元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元.
且p q r n.
论述题： （1）试论述数学美的涵义，并举例阐释
高等数学中的美. （2）试论述数学方法论的定义、学科定
位和研究的意义. （3）试论述数学思想方法教学的重要意
义和作用.
祝大家新年快乐、 万事如意！！！