《数学方法论》复习提纲
数学方法论稿
数学方法论稿在数学研究领域中，有一个知识面受到了专家们深刻关注，那就是数学方法论。
它不仅涉及到数学基础知识本身，更涉及到数学基本思想、数学原理和数学解决问题的方法。
以下是有关数学方法论的研究课题，向大家介绍数学方法论的主要内容。
第一，数学方法论是一种以推理思维为基础的科学方法。
它涉及到各种数学问题解决方法、数学原理和结论的推演以及结果的证明。
它强调对数学问题的理解，对数学原理的分析、发现推论，为此，需要不断发掘新的信息，建立紧密的联系，以便更好地理解和求解数学问题。
第二，数学方法论还涉及许多技术方法和思维方式的综合利用，如选取问题的先决理论、步骤分析、构造和优化等。
因此，数学方法论强调数学模型构建和分析，不仅要学会利用现有的数学知识模型，还要完善模型，解决实际问题。
第三，数学方法论还要求把数学知识联系到实际应用，也就是要能够将数学知识和技巧应用于实际问题，甚至未来问题中。
这样才能有效地综合利用数学解决问题，为社会和全人类发展积累出贡献。
从上面可以看出，数学方法论不仅涉及研究借鉴的知识面与技术性的实践，也涉及到综合运用多个理论和技术，以实际应用为真正的目的，以及完成任务时的逻辑推理的能力等。
因此，要想熟练掌握数学方法论，除了具备良好的基本理论外，还需要提升技术水平，加强对数学原理的理解，以及培养实践分析问题、解决问题的思维能力。
数学方法论作为数学学科的一部分，扮演着不可替代的作用。
它为不同层次的数学研究提供了普遍的思路和框架，不仅仅可以拓展数学的基本知识，而且可以教会学生如何有效地应用数学知识来解决实际问题，从而提高学生的分析思维能力，培养实际解决问题的能力。
总之，数学方法论是深入研究和有效探讨数学问题的重要研究课题，它不仅涉及到数学基本知识本身，也牵涉到推理分析、技术应用和思维训练等内容。
只有及早了解数学方法论的重要性，才能为未来的学习和研究打下良好的基础。
2016年7月数学方法论复习资料
1.什么是数学方法论？数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
2.张奠宙先生在著作《数学方法论稿》给出了数学方法的四个层次分别是什么？基本的重大的数学思想方法：与一般科学方法相应的数学方法：中学中的特有的方法：中学数学中的解题技巧：3.数学思想与方法的关系是什么？数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想．4.笛卡儿在它未完成的著作《思维的法则》里，设计了一种能解各种问题的“万能方法”，即首先，把任何问题化为数学问题；次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。
5.20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著分别是：《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）6．《怎样解题》中，波利亚共给出了解题过程的四个阶段分别是：弄清问题、拟定计划、执行计划、回顾反思.7.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.8. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全体对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.9.欧拉公式：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系是.10.联想是一种思维形式，它的三个组成部分（即三要素）分别是：某种概念，相关概念，联想因素与联想效应的相关性。
数理方法复习提纲
复变函数论复数平面：在直角坐标平面xOy 上，把复数iy x z +=用坐标为),(y x 的点来表示，这个直角坐标平面xOy 叫做复数平面。
复数平面复数的模：复数iy x z +=的对应点),(y x 的极坐标的极径或矢量→Oz 的长度ρ称为复数z 的模z ，记做22y x z +==ρ。
复数的辐角：复数iy x z +=对应点),(y x 的极坐标的极角或向量→Oz 与x 轴正方向的夹角θ称为z 的辐角，记做θ=Argz 。
一个复数iy x z +=的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差π2的整数倍，通常把满足条件ππ≤<-Argz 或π20<≤Argz 的一个特定值，称为辐角的主值，表示为z arg ，则z 的任意辐角可表示为： ,...)2,1,0(2arg ±±=+==k k z Argz πθ复数iy x z +=的三角式： )sin (cos θθi r iy x z +=+= 复数iy x z +=的指数式：θθθθθθi i re z i e i r iy x z =⇒⎭⎬⎫+=+=+=)(sin cos )sin (cos 欧拉公式 复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次乘方的三角和指数形式：θθθin n n n e r n i n r z =+=)sin (cos复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次方根的三角和指数形式：)1,...1,0(2arg ,)sin (cos -=+==+==n k k z e r ni n r z w n innnπθθθθ复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==⇒⎭⎬⎫+==+=初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 例题：)2222()4sin 4(cos 3343i e i e ei+=+=--+-πππ三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zz z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。
数学方法论
数学方法论一、熟记公式，找准基点1、数学有很多公式，但不能每个都背下来，只要把重要的，常用的记在心里就可以了。
2、如果公式比较难记，可以先记住常用的几个公式。
二、理解概念，抓住本质四、应用规律，学会举一反三4、把握联系，抓住区别。
5、区分内容和形式。
6、研究性问题和方程问题。
7、类比转化。
6、追求精，忽视量。
7、正反比例。
8、讨论交流时，忽略最后结论。
9、证明书写时不看书。
10、忽视证明过程的推导。
11、因果关系与结论混淆。
12、思考不全面。
13、忽视解题格式。
14、多次运用的知识没用上。
15、粗心大意，漏写、少写解题步骤。
16、思路混乱。
17、运算顺序不当。
18、草稿打得不整洁。
19、忽视估算。
20、缺乏灵活性。
21、证明不严谨。
22、盲目套用定理。
23、列表不完整。
24、缺乏创造性。
25、习惯思维与逆向思维。
26、遇到难题，不敢思考。
27、知识间没有进行迁移和拓展。
28、思维太局限。
29、选择了不恰当的定理。
30、解题时犹豫不决。
31、忽视细节。
32、按照固定思维模式思考。
33、思维呆板。
34、忽略试卷上的小陷阱。
35、忽视合理的联想。
36、同类项搞错。
37、过于复杂，不利于审题。
38、受到干扰时，方向迷失。
39、不会变通。
40、忽略步骤之间的逻辑关系。
41、没有认真阅读题目。
42、理科学习注意总结。
43、平均用力，浪费时间。
44、思路太开阔，知识掌握不牢固。
45、为考试而学，只知道做题。
46、忽视细节，盲目追求速度。
47、机械训练，枯燥乏味。
48、低级错误频繁出现。
49、做题时没有想清楚就落笔。
50、孤立地解决问题。
51、马虎大意，经常丢分。
52、忽视错误，以为粗心导致错误。
53、忽略常见题型的答题技巧。
54、计算能力差，解题时易出错。
三、对称思维，化难为易8、观察发现，多观察，多发现问题，并寻找规律。
高考数学复习提纲和学习方法
高考数学复习提纲和学习方法高考数学复习提纲和学习方法高考数学是高中阶段最重要的一个科目之一，对考生的总分占比很重要，对于考生来说复习备考是一个不可缺少的环节。
接下来就来讲一下如何制定高考数学复习提纲和高效的学习方法。
1. 制定高考数学复习提纲1.1 整理知识架构首先，为了有一个清晰的目标，考生需要整理知识架构，梳理各个部分的内容，从而使整个复习显得条理清晰。
可根据高考大纲分类型逐项梳理而成，这样有一个明确的知识提纲，有利于复习效率的提高。
1.2 定制实际提纲随着学习量不断的增加，考生在复习数学时需要制定实际提纲，具体到需要掌握的知识点、题型以及难度等级，并有整体复习时间的限定，这样可以更具有目的性，有针对性的复习，从而更为有效的攻克各个部分的知识点。
1.3 制定备课计划制定备课计划包括每次复习的内容和时间表，以及复习的重点、难点，每次复习后的巩固及补充等方面。
这样可以更好的掌握复习进度和效果。
2. 高效的学习方法2.1 提高做题效率做题是数学学习的重头戏，在复习阶段更为重要。
可以通过多做题提高做题效率。
可分阶段训练法、定量想象法、寻求同学合作讨论等以提高做题的效率。
2.2 举一反三在学习的过程中，有时候一个知识点需要去了解它的逻辑和特点。
但是再深入一步，需要举一反三，向左右看，如何举一反三，如何将它运用到其他知识点中去，这样能够看到事物的本质和特征，可以提高我们的把握能力。
2.3 学会记录笔记可以将学习过程中的笔记记录下来，以备复习。
笔记可以分为两部分，一是学习笔记，二是复习笔记，在复习笔记中，可以总结出那些知识点是自己的薄弱环节。
2.4 对错题解答与讲解在学习的过程中，做题是必不可少的，做错题也正是我们进步的地方，所以，对错题解答解析要不放过，正确理解解析后在笔记本上做出简要标注，备忘于后。
3. 复习技巧3.1 合理安排时间高中的学生们，一般会有较多课外集训、补习、竞赛、兴趣班等其它活动以及高三紧张的课业压力等，加之高考数学考试时间较短，复习时间有限，如果把其他的时间复习数学，就显然没有必要。
数学方法论整理
第七章1.数学公理化方法的含义：所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公设）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法2. 实质公理化方法与形式公理化方法特点如何正确的认识实质公理化方法与形式公理化方法？一方面，由于形式公理化较之实质公理化有更高层次的科学抽象，因此，能更深刻地突出反映事物的某些本质特征，才必然带来高度的概括性和应用广泛性。
另一方面，这种形式化的抽象过程又必然舍弃了事物客体的种种次要环节，因此，最后反而不能较细致地逼真地描绘出事物内在本质中相互联结在一起的诸环节，就这一点来说，实质公理化却比形式公理化更加贴近实体对象的本性和体貌。
这是形式公理化方法难以取代的。
5.中学几何体系的特点：☐ 不明确指出哪些是原始概念,对基本对象通过直观进行描述；☐ 对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法；☐ 扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用；☐ 尽管扩大公理体系，公理仍不完备第八章数学美的表现形式：1.对称美例1：对偶命题(1)“两点确定一条直线”与“两直线确定一点”；(2)“不共线的三点确定一个三点形”与“不共点的三直线确定一个三线形”；(3)“若两个三点形对应顶点的连线共点，则它们的对应边的交点共线。
”（笛沙格定理）与“若两个三线形对应边的交点共线，则它们的对应顶点连线共点。
”（笛沙格逆定理）2.简单美3.和谐美黄金分割 勾股定理例:(1)数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性 ;(2)几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式 ;(3)三角中的万能代换、解几中的圆锥曲线的统一公式等都是数学关系和谐统一的明显例4.奇异美魏尔斯特拉斯（weierstrass)函数：处处连续处处不可微第九章7474444=⨯⨯⨯ 个证明和推理之间的联系和区别：证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程。
数学方法论考点(重师)
数学方法论考点（重师）1数学的基本特点：a 高度的抽象性；b 逻辑的严谨性；c 应用的广泛性；d 独特的语言符号系统（数学史）2 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学。
按照恩格斯所说，数与形是数学的两个基本柱石之。
整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。
3新课程数学观所揭示的数学教育价值的多维性。
新课程所确定的数学观充分反映了人们对数学认识的进步和深入。
它以这样一些维度来展示数学的本质的特征：（1）“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象。
”（2）“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。
”（3）“数学作为一种普遍使用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，”数学“为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。
”（4）“数学在提高人的推理能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。
”（5）“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
”4 数学方法论的研究对象（总体）数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现发明与创新等法则。
5 数学方法论的形成与发展一、数学方法的出现（数学萌芽时期）二、数学方法论的萌芽（常量数学时期）三、数学方法论的形成（变量数学时期）四、数学方法论学科的建立（近现代数学时期）6 数学思想方法的几次重大突破一、从算术到代数二、从综合几何到几何代数化三、从常量数学到变量数学四、从必然数学到豁然数学五、从明晰数学到模糊数学六、从手工证明到机器证明7对今后的教学的作用、意义（自己观点）数学方法论在数学中的作用和地位：一、对数学科学发展的作用1）对数学发展规律的研究促进数学的发展2）思想方法的创新对数学发展起决定性作用二、开拓数学的应用环境三、对数学教与学的意义。
在教师教导方面的意义（数学思想是教材体系的灵魂；是进行教学设计的指导思想；是课堂教学质量的重要保障）。
数学史和方法论 自学考试提纲
第一章数学的萌芽 1古埃及的数学 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。
从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。
例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。
2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。
除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。
两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。
3古埃及的计数制 埃及很早就用十进记数法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。
例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。
埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。
他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。
占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。
兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N 从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。
为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。
这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。
纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。
计算的结果相当于用 3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。
根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。
总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。
4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。
因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。
初中数学总复习方法提纲人教版
初中数学总复习方法提纲人教版一初中数学复习方法1、数学复习的基本要求数学复习的内容可分为基础知识和基础解题技能两部分。
在复习中，要注意基本概念、基本公式、基本定律和法则的辩析比较和灵活运用，做到理解、综合、创新。
所谓“ 理解”，就是力求对中学所学的数学基础知识和基本概念从局部到整体，从微观到宏观，从具体到抽象等多角度、多层次、全方位地融会贯通，有意识地培养自己的分析理解能力、综合概括能力和抽象思维能力。
对于定义、定理、公式的复习，应做到：弄清来龙去脉，沟通相互关系，掌握推证过程，注意表达形式，归纳记忆方法，明确主要用途。
所谓“综合”，是指将不同学科、不同单元、不同年级、不同时间所学的数学知识进行去擅存真、去粗存精、由表及里、由浅入深的提炼加工，建立知识之间的纵横联系，使知识系统化、条理化、网络化，便于记忆，便于储存，便于提取和应用。
例如，复习角的概念，可作如下归纳：（1）由共面直线所成的角—异面直线所成的角—直线和平面所成的角—平面与平面所成的角，从而弄清这一要领的形成和发展，前者如何扩充为后者，后者如何转化为前者来解决。
（2）对倾斜角，辐角，极角,这些易混淆概念类比区别，从而使角的概念更清晰和准确。
（3）三角中：终边相同的角、水平角、垂直角、象限角、区间角、方位角等表达形式和特性，梳理应用规律和方法。
所谓“创新”，是指在融会贯通基础知识后，在解题过程中所表现出来的灵活性、独创性、简捷性、批判性和深刻性。
创新能力不仅表现在综合运用所学过的知识去分析问题、解决问题，更重要的是发现新问题，拓宽和深化所学的知识领域，不断增强自己的应变能力。
为此，每个同学应注意根据学过的知识去发现和挖掘书本上没有的和老师没有讲到的问题。
如理解一个概念的多种内涵，对一个问题从不同的角度去思考（即一题多解），对具有共性的问题总结解题规律（即多题一解），发现解决问题的思想方法等。
2. 数学复习的一般方法（1）课前预习。
复习课的容量大、内容多、时间紧。
《数学方法论》
《数学方法论》教学大纲数学方法论是关于数学研究的基本方法，是数学研究的基本策略。
数学思想方法是数学教育的重要依据。
通过中学数学思想方法概论的学习，让学生理解观察、实验、类比、归纳、联想、分析、综合、抽象、概括等基本的研究方法，把握数学的逻辑方法、思维方法、模型方法等。
通过这些内容的学习无疑有益于学生数学教育素养的提高。
一、课时总数： 108学时，其中自学52学时，面授56学时。
二、课程内容：第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力本章内容要求学生了解数学史的分期,初步掌握数学发展的规律,把握中国数学发展的线索,通过了解九章算术认识中国数学的历史,正确认识数学与世界的关系,正确认识数学。
把握数学发展的动力。
P．60练习题1—15第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评价通过本章学习，要求学生了解关于数学的特征的主要观点，把握数学的三大特征，认识数学在科学、自然科学、人类文化中的地位和作用。
形成辩证唯物主义的数学观，能运用辩证唯物观去把握数学、理解数学，了解数学悖论形成的原因，了解逻辑主义、直觉主义、形成主义等数学三大学派的主要观点，并能指出其不足。
P．108 练习题1～11，13，14，15，17第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括第五节特殊与一般通过本章学习,认识观察与实验、划分与比较、分析与综合、抽象与概括、特殊与一般在数学研究中的重要作用，要求学生掌握观察与实验的一般规律,了解概念划分的原则，理解划分的标准，掌握划分的方法；能灵活运用分析与综合方法去解决各种问题，理解抽象与概括的涵义，学会抽象与概括数学概念、原理等；掌握特殊化与一般化解决问题的策略。
P．144 练习题 3～5，6～8， 9，10第四章数学中的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用的逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析通过本章学习，让学生理解概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式，理解概念的内涵与外延的涵义以及概念间的各种关系；认识判断与推理的各种形式，了解形式逻辑与辩证逻辑的关系；掌握命题基本形式以及逻辑等价的涵义，灵活运用逻辑推理规则，掌握正确的逻辑推理方法，理解数学证明的意义，避免逻辑推理中的错误。
高中数学方法论
高中数学方法论1. 高中数学方法论的核心在于培养学生的逻辑思维能力。
2. 高中数学方法论需要重视学生的动手能力和实际应用能力。
3. 高中数学方法论应注重发展学生的问题解决能力。
4. 高中数学方法论要注重培养学生的数学建模能力。
5. 高中数学方法论要关注学生的数学抽象思维能力。
6. 高中数学方法论要注重培养学生的证明能力。
7. 高中数学方法论要关注学生的数学交流和表达能力。
8. 高中数学方法论应注重引导学生自主学习的能力。
9. 高中数学方法论需要注重培养学生的数学创新意识。
10. 了解学生的学习风格对高中数学方法论的制定至关重要。
11. 高中数学方法论应注重激发学生对数学的兴趣和热情。
12. 关注学生的心理健康对高中数学方法论的实施至关重要。
13. 高中数学方法论应关注学生群体的多样性，多元化教学方法对学生成绩的提高有积极作用。
14. 高中数学方法论要注重培养学生的数学思考习惯和思维方式。
15. 高中数学方法论要注重引导学生积极参与数学学科的探索和创新。
16. 高中数学方法论应重视学生对数学真理的探索和理解。
17. 高中数学方法论要注重教师的示范作用和言传身教。
18. 高中数学方法论需要关注学生对数学知识的深层次理解和应用。
19. 高中数学方法论要注重扩大学生数学思维的广度和深度。
20. 高中数学方法论应重视学生对数学现实问题的分析和解决能力。
21. 高中数学方法论要关注学生的自主学习和自主思考能力。
22. 高中数学方法论需要结合实际情况，注重学生对数学知识的灵活运用。
23. 高中数学方法论要注重培养学生的创新性和探索精神。
24. 高中数学方法论需要关注数学学科的知识体系和逻辑结构，引导学生深层次的理解和把握。
25. 高中数学方法论应重视学生的数学学习兴趣和动机。
26. 高中数学方法论需要关注学生的数学认知结构和学习策略。
27. 高中数学方法论要注重引导学生发展自主学习的习惯和兴趣。
28. 高中数学方法论应重视学生的学习效能和自我调节能力。
《数学方法论》数学中使用的一般科学方法
第一章数学中使用的一般科学方法（共10学时）［教学目的和要求］要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。
［教学内容］第一节观察与实验（2学时）1 •观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法2 •观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第二节比较与分类（2学时）1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第三节归纳与类比（4学时）1•归纳与类比是提出数学猜想的主要方法2.归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用习题课（2学时）通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
［教学重点］观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
［教学难点］根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。
［教学建议］本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。
［教学过程］在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。
综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。
在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。
”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。
而包括20世纪最伟大的数学家冯・诺伊曼（J.Von.Neumann）在内的许多大数学家都认为数学和其他自然科学一样源于经验。
数学方法论 教学大纲
《数学方法论》教学大纲一、课程基本信息二、课程性质和任务课程的性质：是数学与应用数学专业的专业选修课，在第7学期开设。
课程的任务：本课程是四年年制师范类院校数学专业选修课程。
是数学科学与思维科学的一门交叉学科，是一门对数学方法进行概括、抽象、综合化和系统化，使数学方法不断地得到丰富和发展的学科。
它与数学、哲学、思维科学、心理学、教育学、人才学、数学史等学科有着密切的关系。
通过本课程的学习，培养学生运用辩证唯物主义的观点看待数学科学及数学教育，使学生全面掌握数学方法的本质与发展规律，引导和启发学生的思维和创新精神。
三、学时分配表四、教学内容及基本要求知识目标：掌握与数学教育相关的数学思想方法，培养学生的数学素养和能力，认识数学及其教育的本质。
技能目标：培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新能力。
素质目标：培养学生严谨的学习态度、良好的学习习惯、一定的数学修养。
学会运用辩证唯物主义的观点看待数学科学及数学教育。
第一章绪论（2学时）教学内容：数学方法论；数学方法论的性质与对象；数学方法论的产生与发展；研究数学方法论的意义。
教学目的：掌握数学方法论的概念；掌握数学方法论的性质与对象；掌握数学方法论的产生与发展；了解研究数学方法论的意义。
教学重点与难点重点：数学方法论难点：数学方法论的概念、意义主要教学内容1.1 数学方法论1.2 数学方法论的性质与对象1.3 数学方法论的产生与发展1.4 研究数学方法论的意义思考题第二章化归（4学时）教学内容：化归方法概述；化归的方向；化归的策略；化归的方法；辩证地认识化归。
教学目的：掌握化归方法的基本方法（化归的方向、化归的策略和化归的方法）。
教学重点与难点：重点：化归难点：化归方法的基本方法主要教学内容2.1 化归方法概述2.2 化归的方向2.3 化归的策略2.4 化归的方法2.5 辩证地认识化归思考题与练习题第三章类比与归纳（4学时）教学内容：类比法；常见的几种类比；归纳法；数学归纳法；类比与归纳的再认识。
中学数学方法论
2、概念间的关系： （1）相容关系 外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两个 概念称为相容概念。在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系 和从属关系。 同一关系:外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一 关系。 例如，“直线”与“一次曲线”这两个概念， 又如,“等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的 高”; “等边的矩形”与“直角的菱形”;在同一个圆中的“直径”与 “最大的 弦”等,它们之间的关系都是同一关系。
一、中国数学人物
郑爽：注释《周卑骨》 刘徽：《九章算术注》 祖冲之：圆周率 北宋 ：刘益、贾宪、沈括 南宋 ：秦九韶、杨辉 元代：李冶、朱世杰
《九章算术》的内容与数学方法： 内容：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不 足、方程、勾股。 方法：分数算法，一般比率算法，组合比率算法，开 方算法，面积和体积公式。
３．三大学派的缺陷
无视数学历史的发展,都没有看到数学是一个发展过程. 逻辑主义和形式主义仅对数学作静态的逻辑分析,而没有进行 动态的考察. 直觉主义虽然在数学研究中引起了历史的思考,把数学当作一 个创造过程,但这个过程仅是心灵创造的过程,仅是心灵创造的历 史,并没有数学的历史. 把相对真理看作是绝对真理,没有认识到数学发展是一个从相 对走向绝对的过程,是一个不断由相对真理走向绝对真理的历史. 数学虽然以严密性著称,但也没有必要为它提供一个绝对可靠 的基础,数学也是允许修正,具有暂时性并逐渐发展的.
观察、实验、比较、分析、综合、概况等一般方法的 名词解释。
3、化归
化归的实质是解题者把新命题转化为其认知结构中 相应的旧命题。新旧命题之间的关系有： 下位关系：新从属于已有命题 上位关系：新包容旧命题 组合关系：新旧并列
六、数学的逻辑方法
《数学方法论》教学大纲
《数学方法论》教学大纲课程编号：12307056学时：30学分：2课程类别：专业任选课面向对象：小学教育专业本科学生课程英文名称：Mathematics Teaching Approaches一、课程的任务和目的任务：数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法，数学方法论则是对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。
其中必然涉及数学思维、数学发展中的发现、发明与创新的思维过程等内容的研究。
数学方法或数学思维方法是初等教育专业本科的一门任意选修课。
课程的任务目的主要是使学生了解最核心的数学思想和不同层次的数学方法；较全面的了解数学思维方法的基本内容以及国、内外的发展状况；一定程度的体会和理解本课程与数学哲学、数学文化及数学教育的关系。
目的：通过教育教学实践，逐步培养学生的数学和数学思维品质，形成正确的数学观，提高他们解决数学和实际问题的能力，增强综合素质，为从事小学数学教学打下坚实基础。
二、课程教学内容与要求（一）第一章数学方法引论教学内容：1．数学思想方法的基本内容和历史发展2．数学方法的层次分析3．数学方法论与数学思维方法的关系4．数学方法论与数学教育教学要求：了解数学方法论的内容和范围，以及数学思维方法的基本内容；了解二者的发展历史及其相互联系；理解数学方法论或数学思维方法对数学教育的积极影响。
数学重点：数学思想民方法的基本内容和历史发展。
教学难点：数学方法论，数学思维方法与数学教育的关系。
（二）第二章数学中的逻辑思维与非逻辑思维教学内容：1．数学中的逻辑思维（1）逻辑思维的主要类型（2）逻辑思维的基本规律（3）数学逻辑思维的基本形式2．数学中的非逻辑思维（1）数学中的形象思维（2）数学中的直觉思维（3）数学中的灵感思维（4）数学中的想象3．数学中的创造性思维（1）数学与创造性思维（2）数学中的创造性思维（3）数学创造性思维的培养4．专题讨论：数学中逻辑思维与非逻辑思维的关系教学要求：掌握逻辑思维的基本规律以及非逻辑思维的主要形式，理解创造思维在推动数学发展中的重要作用。
数学方法论
数学方法论《数学方法论》学习指南一、课程性质《数学方法论》是高等师范院校数学教育专业及相关专业本科生的一门通识教育选修课，也可作高师数学教育专业研究生必修的一门基础课．本课程是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学的发现、发明和创新的学科．它是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视．现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，“数学化”不仅是数学知识的应用，更多的是数学思想方法的应用．二、课程的意义新的数学教育理念认为，要提高中学生的数学素质，不仅要学生掌握数学知识，还要使学生掌握渗透于数学知识中的、对人的素质有重要影响的数学方法，并能用数学知识和方法去解决实际问题．我国中学数学课程改革中新的《数学课程标准》已将数学方法的教学列为中学数学教育的主要目标之一，因此要求中学数学教师应具备较为系统的数学方法知识结构以及运用数学方法解决实际问题的能力．三、教学目的了解“数学方法论”课程的性质及其意义，了解该课程的研究对象、范围以及它与所学知识的联系，理解它在中学数学教学中的作用；掌握数学研究的一般方法和有关概念，包括数学逻辑方法、思维方法和中学数学中常用的数学思想方法；能够用所学的、较为系统的数学方法来探求数学认知和应用的一般规律．四、教学内容第一章绪论知识点一：数学方法论的主要概念针对方法、科学方法、方法论、科学方法论、数学方法、数学思想方法、数学方法论等概念的讲解．知识点二：数学方法论的性质、对象及其产生与发展数学方法论的性质和对象简介，讲述数学方法的积累及数学方法论学科的产生、形成与发展过程．知识点三：学习数学方法论的意义从促进数学的发展、发挥数学的功能和数学教育改革几方面阐述学习、掌握数学方法论知识的意义．重点：掌握数学方法论的主要概念，了解数学方法论的性质、对象等．难点：掌握数学方法论的概念和理解数学方法论的意义．第二章化归知识点一：化归思想和方法的有关概念介绍规范问题、问题的规范化、数学中的化归方法、化归的模式、化归的方向和原则等概念，包括对熟悉性、简单性、直观性等概念的讲解．知识点二：化归的方向通过具体的数学例题，理解化归方法在实施中的方向及其原则的具体内容和内涵，包括符合化难为易、化繁为简、化未知为已知等思想应用的例子，以及利用熟悉性、简单性、直观性等思路找到化归途径的范例．知识点三：化归策略介绍常用的3种化归策略，以及3种化归的常用方法．通过大量的典型实例，分别对这些策略和方法予以应用，从而掌握它们的特点．知识点四：化归的方法主要介绍把一类数学问题化归为另一类数学问题的方法．知识点五：辩证地认识化归主要从化归的核心思想以及化归的实践性、局限性等三方面重新认识化归的特点．重点：掌握化归的主要概念及其原则、策略和方法，了解化归的基本方法．难点：在数学化归思想指导下分析具体问题，并在解题中顺利实施化归的策略和方法．第三章类比与归纳知识点一：类比法与归纳法类比、简单类比、复杂类比、常见的几种类比、归纳、数学归纳法、数学归纳原理等方面的概念讲解．知识点二：常见的几种类比和归纳介绍数学研究中常见的几种类比模式以及归纳模式．知识点三：类比与归纳的再认识整体上重新认识类比、归纳与化归的关系，并由此进一步理解类比和归纳是数学发现的重要方法．理解“培养学生提出问题的能力比解决问题的能力更重要”的意义．重点：掌握类比和归纳的相关概念和数学归纳原理，了解利用类比和归纳的常见类型及方法解决数学例题的过程．难点：认识类比、归纳与化归的关系以及归纳法与数学归纳法的区别．第四章联想与直觉知识点一：联想的有关概念、意义、法则及其途径包括联想与数学联想的概念及3个联想法则和5个联想途径的介绍．知识点二：直觉的有关概念、意义、特征及数学直觉分类包括直觉与数学直觉的概念及6个直觉思维的特征介绍．知识点三：联想与直觉在解题中所起的作用本节重点是选择一个简洁、典型的例题，由此来说明联想与直觉在解题中的作用及其方法．重点：掌握联想与直觉的相关概念和思维规律，了解利用联想与直觉的方法发现或解决数学问题的过程．难点：认识联想与直觉的关系及其区别，并理解两者在解题中所起的作用．第五章数学的论证方法知识点一：论证方法概念及分析法与综合法介绍命题、推理、论证等概念及常用的论证方法的两种．知识点二：直接证法与间接证法及应用这是另外两种常用的论证方法，并介绍其在证题中的应用．知识点三：计算证题法及其应用把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法，该方法一般思路单纯（即使算式繁杂但难度降低），较易着手，且能避免添加过多的辅助线．重点：掌握论证的相关概念和数学推理及其证明类型，掌握计算证题的诸多方法的特点．难点：认识间接证法的本质特征，掌握同一法的特点及其与反证法的区别．第六章数学的抽象方法知识点一：数学研究对象的抽象性数学抽象与其他科学的不同之处在于研究对象的抽象性和研究方法的抽象性两个方面，并介绍研究对象的抽象性的两个特点．知识点二：数学抽象的基本形式介绍数学抽象的4种基本形式．知识点三：研究方法的抽象性及数学发展规律通过几种不同的公理化方法了解数学研究方法的抽象性，并由此探讨数学学科的发展规律．重点：掌握数学对象抽象的特点，理解数学抽象方法对数学发展的意义．难点：对数学抽象的几种常见形式的认识，对各种不同公理化方法的理解．第七章数学的模型方法知识点一：数学模型方法的有关概念及其意义介绍模型以及数学建模等概念，并介绍其4个方面的意义．知识点二：数学建模的一般步骤及建模过程利用“凳子的平稳问题”的解决过程来说明数学建模的7个步骤．知识点三：数学建模的基本方法通过具体实例介绍数学建模的3种基本方法．重点：掌握数学模型的有关概念，了解数学模型方法的意义及其作用．难点：弄清数学建模的每一步骤的特点，了解数学建模各类方法的区别．第八章数学的试验方法知识点一：试验方法的基本思想及思维过程数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→逐项试验→去伪存真（剔除不合题意的解）→找出问题解答．知识点二：数学试验与数学猜想的关系对于较为复杂的数学题，且不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对实验结果作归纳，探索条件与结论的联系，猜测解题方向．知识点三：非标准问题及优选问题的试验求解非标准问题与优选问题，一般难以直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功．重点：了解试验方法的基本思想，掌握非标准问题试验求解的一般方法．难点：弄清数学试验与数学猜想的关系以及在猜想中的作用，了解数学试验方法与其他方法的区别．第九章数学的美学方法知识点一：数学家与艺术的关系及其对数学美的看法知识点二：数学美的基本特征数学美既有感性的色彩，又有其确定的内容，它的基本特征是相对稳定的，用美学的标准来看，它具有简单性、对称性、统一性和奇异性．知识点三：数学美的意义及审美能力的培养介绍数学美的3方面的意义，以及数学审美能力的4个层次，并探讨数学审美能力培养的方法等．重点：了解数学家对数学美的看法，了解数学美在学习数学和解题方面的作用及例题，逐步培养学生的数学审美能力．难点：掌握数学美的基本特征及其表现形式，认识研究数学美学方法的意义．第十章数学语言知识点一：数学语言的特征及其特点数学语言又叫符号语言，它具有4方面的特征以及3大特点．知识点二：数学的名词、符号和图形对于数学语言的这三种形式的使用、要求、分类等予以介绍．知识点三：数学语言运用的标准在各类数学语言的运用中，都需要符合所介绍的4点标准，也是4点要求．重点：了解数学语言的特点，认识数学符号的意义，熟悉数学语言运用的标准，提高学生准确、灵活地运用数学语言的能力．难点：理解数学名词的意义，掌握数学符号的发展变化过程及其分类．五、教学特点和学习方法1、本课程以讲授为主，2学分共36个课时，以南京师大出版社2006年出版的《数学方法论简明教程》(主编：章士藻)为主讲的教材．2、我们假定学员们都了解一些形式逻辑和数学公理方面的知识（包括命题、推理、论证及数学公理系统、公理化思想等），所以，我们是在此基础上学习本课程，因此，建议学员们在学习中查看一些形式逻辑和数学公理方面的材料，以便于更好地理解相关的内容．3、由于本课程课时有限，而教材内容又太多，因此有些内容不讲或略讲，例如：所讲的内容一般是各章节最基本的部分，所选的例题也是尽可能简单的、典型的，有不少过难或过繁的例题不讲．即只选讲该学科的入门知识．。
高考数学复习提纲和学习方法
高考数学复习提纲和学习方法高考数学是学生普遍认为最难的科目之一，考过高考数学对于一个学生来说意义重大，可以帮助他们进入自己理想的大学，选择自己想要的专业。
因此，为了帮助考生在高考数学中取得好成绩，复习提纲和学习方法显得尤为重要。
一、复习提纲高考数学的复习提纲主要是由高中数学课程中所学知识点组成，以下是具体的内容：1. 函数函数是高考数学中的核心内容，理解好函数的概念和性质对于能否较好地掌握高考数学非常关键。
必须掌握基本的函数概念以及各种函数的性质。
2. 图形的表示图形的表示包括直线、平面曲线、空间曲线、曲面等，要求掌握图形的基本表示方法、图形性质等。
3. 三角函数三角函数作为数学的一个分支，它的应用在高考数学中占主导地位，需要认真学习和掌握。
4. 其他知识点高考数学中还包括立体几何、数列与数学归纳法、概率与统计、导数与微分等其他知识点，都是高考中必须掌握的。
二、学习方法1. 理解概念数学上很多难点都是基于一些基本的概念，弄好这些基本概念便可以理解更高级的内容。
学习数学不应只停留在记忆公式的层面，而应多思考其中涉及的概念，通过思维联系更好地理解公式，并将其运用到实际问题中。
2. 稳扎稳打数学的学习是逐步提高的过程，需要一个一个知识点循序渐进地练习，注意不要急于求成或者想在一夜之间掌握所有知识点。
稳扎稳打的学习方法，可以帮助我们在较短时间内有效地提高自己的数学成绩。
3. 做题练习数学学习要注意多做题，尤其是做题的方法和步骤很重要。
合适的练习可以协助我们回忆已经学过的经验，巩固已经掌握的知识，同时也能通过做题抓住不足，找到自己的劣势，从而更好地改进。
4. 模拟考试在复习的过程中，模拟考试非常有价值。
模拟考试可以帮助我们了解自己的考试水平，找出自己的弱点，然后针对性地加以提高。
通过模拟考试，我们也可以检验自己所掌握的知识点、技能及复习的效果，为高考前的调整提供帮助。
综上所述，高考数学是考生能否成功考进心仪大学的重要指标之一。
考研数学数学方法论：重点知识点与解题方法
概率统计基础知识点
概率论基础：随机变量、 概率分布、期望和方差等
01
统计基础：样本、总体、 参数估计、假设检验等
02
概率分布：正态分布、二 项分布、泊松分布等
03
统计推断：参数估计、假 设检验、回归分析等
04
随机过程：马尔可夫链、 布朗运动、随机游走等
05
应用实例：金融风险管理、 生物医学统计、质量控制 等
数学方法论可以 提高考生的解题
速度和准确率
数学方法论可以 帮助考生更好地 理解和掌握数学
知识
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
数学方法论与其他学科的关系
数学方法论是研究数学问题的一般方法，与其他学科有密切联系 数学方法论可以帮助其他学科建立数学模型，解决实际问题 数学方法论可以提供其他学科的理论依据，提高学科的科学性和严谨性 数学方法论可以促进其他学科的发展和创新，推动学科的进步和繁荣
XX
考研数学方法论
单击添加副标题
汇报人：XX
目录
01
单击添加目录项标题
02
03
重点知识点
04
05
数学方法论的应用
06
07
数学方法论的总结与展望
数学方法论概述 解题方法
数学方法论的实践案例
01
添加章节标题
02
数学方法论概述
数学方法论的定义
添加 标题
添加 标题
添加 标题
添加 标题
数学方法论是指在数学研究 中使用的一般方法、原则和
06
微积分基础知识点
01
极限：理解极限的概念，掌握极限的运算
法则
02
导数：理解导数的概念，掌握导数的运算
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柯奇雪花曲线
从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体相似的图形.
经过n次
2. 某机床厂2001年初用98万元购进一台数 控机床，并立即投入生产使用，计划第一 年维修、保养费用12万元，从第二年开始， 每年所需维修、保养费用比上一年增加4万 元，该机床使用后，每年的总收入为50万 元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元.
思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观 察上式中三个根式的结构特征，可以发现：
x2 xy y 2 x2 y 2 2xy cos60,
y 2 yz z 2 y 2 z 2 2 yz cos60,
z2 zx x2 z2 x2 2zx cos60.
五、高等数学中蕴含的美学思想
1. 高等数学中蕴含的美学思想主要有哪些？ 2. 求 sin 2nxdx(n为自然数）并分析其解决思路中蕴涵的数学思想方法.
0 sin x
六、中国数学简史概说 简述中国数学发展的主要阶段
及中国传பைடு நூலகம்数学的特点.
七、合情推理
设a、b、c都是正数，求证： an bn cn a pbqcr arb pcq aqbrc p， 其中n N，p、q、r都是非负整数，
以及这个题目的推广式的证明！！！
例8.如图，圆的三条弦AB、CD、EF分别相交 于点P、Q、R，AP=EQ=DR，CP=FR=BQ.
求证：⊿PQR为等边三角形.
C
A
ba P
x
y
aQ
Rb
E
z
F
b
a
B
D
三、勾股定理的证明与 推广的相关问题
四、数学文化
1.设初始正三角形的面积为1， 试推算经过无穷多次的迭代以 后产生的柯奇雪花的面积.
例5. 已知：a、b、c、m、n、p R ， 且a m b n c p k， 求证：an bp cm k2.
思路分析：注意到上式的特点，可 以构造一个边长为k的正三角形和三个 小三角形，借助直观图形，利用三角形 面积之间的关系可证此题.
例6.设x、y、z R，求证 x2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x2 .
且p q r n.
论述题： （1）试论述数学美的涵义，并举例阐释
高等数学中的美. （2）试论述数学方法论的定义、学科定
位和研究的意义. （3）试论述数学思想方法教学的重要意
义和作用.
祝大家新年快乐、 万事如意！！！
（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正
值）； （3） 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处
理该机床； (ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该
机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的 理由.
数学方法论 复习提纲
简答题 计算或证明 论述题
考题类型
10分1题，共3题，共30分 15分1题，共3题，共45分
共1题，25分
一、 概述
1.数学方法论的主要研究内容有哪些？ 2.阐述数学方法论的发展简史. 3.研究数学方法论的意义 4.美国《NCTM数学课程标准》中培养学生数
学素养有哪五项目标？
二、 数形结合
各个例题均需要加以注意，要注意题目的思路 分析.
例3. 设 0 a l,0 b l, ，求证下面的不等式：
a2 b2 (l a)2 b2 a2 (l b)2 (l a)2 (l b)2 2 2l
思路分析：这是一个不等式的证明题，如果直 接用代数方法证明相当繁琐.注意到上式是一 个关于a，b的对称式，且根号下面始终是两个 数的平方和，联想勾股定理，构造满足不等式 的几何图形，利用三角形三边的关系可得证.