固体物理第三章习题
固体物理第三章习题
对于本题，a'=2a， 1=2=，m=m+，M=m所以q=0的光学波频率
第三章 习题
1
1. 原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一 维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna). 求 (1)该波的总能量， (2)每个原子的时间平均总能量．
2
[解答] (1) 格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n 个原子的动能为
1 un m , 2 t
2 A
m
qa sin 2 2 1 2
2
412
2
,
光学格波的色散关系为
2 O
1 2
m
1 2 412 2 qa 1+ 1 sin . 2 2 1 2
f n 2 un 1 un 1 un un 1 , f n 1 1 un 2 un 1 2 un 1 un ,
7
其运动方程分别为
d 2 un m 2 2 un 1 un 1 un un 1 . dt d 2un 1 m 1 un 2 un 1 2 un 1 un . 2 dt
可得
1 1 T 2 1 1 T 2 1 qa 2 2 2 E m A sin t qna dt A 4 sin t 2n 1 qa sin 2 dt 0 0 2 T 2 T 2 2 n n
(完整版)固体物理胡安第三章课后答案
3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为21221221212)2(sin 411M）（qa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(n nn n nn nnuu u u u u u F 第2n+1个原子所受的力nn n n nn nnu u u u u u u F 22121122112221222112)()()(这两个原子的运动方程：212222112121122112222()()n n n n nn n nmu u u u mu u u u &&&&方程的解qan t inqan t in Beu Aeu 2)12(122)2(2代入到运动方程，可以得到BA e eBmAB eeAmqaiqa iq a i q a i )()(21222122122212经整理，有)()(22122212221221B mA eeB eeAmqa iqa iqa iq ai 若A ，B 有非零解，系数行列式满足22212122221212,,aai q i q a a i q i q me eee m根据上式，有21221221212)2(sin 411M）（qa 3.3(a) 设单原子链长度L=Na波矢取值2qhNa每个波矢的宽度2qNa，状态密度2Na dq 间隔内的状态数2Nadq ，对应±q ，ω取相同值因此22Na dqdq一维单原子链色散关系，4sin 2aqm 令4,sin2aq m两边微分得到cos22aaq ddq将220cos12aq 代入到0cos22aaq ddq22222,2a dq ddq da频率分布函数2222122122Na NaN dadq3.4三维晶格振动的态密度为3(2)V 根据态密度定义3()(2)|()|qV dS q r ＝对2qAq两边微分得到2d q Aqdq在球面上2qd Aq dq，半径01qA代入到态密度函数得到21/23323/2144,2422qV qV AV AAAq最小截止频率m001/223/234mmV dd NA可得2/32min 06N AV所以1/2min 023/2,4VA在0min或时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
固体物理第三章作业答案
dt
• 其中pt为电子的动量，τ为相邻两次碰撞之间的电
子自由运动时间（弛豫时间），f t为电子所受的
外力。请在线性响应的范围内，推导金属在频率
为ω的电磁波作用下的电导率。在此基础上，可
尝试导出金属的介电函数。
• 解：设频率为ω的电磁波中 E E0eit
B B0eit
• 金属在电磁波作用下的运动方程
• 电子热容系数 2.08mJ mol1 K 2
• 电子热质量
mt*h
m 观测值 自由电子气
m
2.08
2.08பைடு நூலகம்
2RkB 2 3 2n 2
3
m
2
3
2
2 a3
2
3
2RkB
2.08
1.05 1034
2
ai bj 2ij
则相应的倒格子基矢为：
基本无问题，少数同学没写 出基矢的表达式，没注意单 位化为cm-1
b1
2 a
i
108 i
cm1
b2
2 b
i
2
108 i
cm1
倒格子和第一布里渊区如图示：红色区域为第一布里渊区
b2
b1 108 cm1
dp t p t eE ev B
dt
• 忽略磁场项作用（ eE ev B ），运动方程写为：
dp t p t
eE
dt
dv dt
v
e m
E0eit
固体物理第三章答案
对 NaCl：T=5K 时
8. 在一维无限长单原子链中，若设原子的质量均为 M，若在简谐近似下考虑原子间的长程 作用力， 第 n 个原子与第 n+m 和第 n－m 个原子间的恢复力系数为m, 试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 un , 第 n+m 和第 n－m 个原子对 平衡位置的位移为 un＋m 和 un－m (m=1,2,3……), 则第 n+m 和第 n－m 个原子对第 n 个原子的 作用力为 fn,m = m（un＋m－un）＋m（un－m－un）＝m（un＋m＋un－m－2un） 第 n 个原子受的总力为 Fn =
色散关系为
4 qa sin m 2
(1)
2
2 2 (1 cos qa) = m (1-cosqa) m 2
(2)
其中
m= (
4 12 ) m
由于对应于q, 取相同的值， （色散关系的对称性〕 ，则 d区间的格波数为
g( )d＝2
Na Nad dq 2 d dq
V g ( i )d i = (2 ) 3
i d i i
d q
在长波极限下等频率面为球面
则
g( i )d i =
V 4q 2 dq (2 ) 3
当 i 0 时 因为
q2＝
0－ i (q)
A
q
0 i (q)
A
dq=－
2 A 2 0 i (q) 2
m 1
f n ,m =
m 1
m（un＋m＋un－m－2un）
因此，第 n 个原子的运动方程为 M
王淑华固体物理答案第三章
3.4 由原子质量分别为 m, M 两种原子相间排列组成的一维复 式格子，晶格常数为 a ，任一个原子与最近邻原子的间距 为 b ，恢复力常数为 β1 ，与次近邻原子间的恢复力常数 β2 ， 试求 （1）格波的色散关系； （2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用
由上式可知，存在两种独立的格波。
声学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωA sin 1 1 2 m 2 β1 β2
光学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωO sin 1 1 2 m 2 β1 β2
为角频率； 式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；
q 2 为波矢。
将试探解代入运动方程有
m 2 A e iaq e iaq B 2 A
M 2 B e iaq e iaq A 2B
(1)
经整理变成
2 A 2 cos aqB 0 2 2 cosaqA M 2 B 0
2
m
要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得
12 2 2 m M m M 2mM cos 2aq mM 2
(2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 格波。上式表明， 是q的周期函数， 2a q 2a 。当q取 边界值，即 q 2a 时，从(2)式得
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
固体物理 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数一、填空体1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。
4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6Nπ2L 。
二、基本概念 1. 声子晶格振动的能量量子。
2.波恩-卡门条件即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
3.波矢密度波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3c)2(V ，Vc 为晶体体积。
4. 模式密度单位频率间隔内模式数目。
5.晶格振动。
答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3. 晶体中声子数目是否守恒?答：频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?的格波的因2cos qam qa dq d g βωυ==9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
固体物理第三章
导出固体的体积热胀系数 。
[解] 热膨胀是指在不施加力的情况下,体积的变化与温度的关系.
ห้องสมุดไป่ตู้
因此,令格林爱森方程中的P=0, 有
(1)
对于大多数固体来说,体积的变化不大,因此可以将(dU/dV)在静止的
晶格的平衡体积V0点展开
只取到ΔV 的线性项, 则有
将上式写成
并将两边对T求微商,
则有
式中K0为T=0时的体弹性模量, Cv为固体的热容.
其中ωm 为最大频率.代入(1)式可以得到
2、一维双原子链情况 所以
代入(1)式有 六、设三维晶格的光学振动在q＝0附近的长波极限有
求证：频率分布函数为 ω<ω0
ω(q)=ω0-Aq2
及
f(ω)=0
ω>ω0
[证明] 由 有
当ω<ω0 时, 所以
以及
当ω>ω0 时, 根号下为负值,q 不存在, 所以有f(ω)=0 七、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为
［答］频率为ωi的格波的平均声子数为 ： 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守 恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
其中
令
则
在极低温度下，θD／T→∞，于是
即在温度极低时，晶体中的声子数目与T3成正比。
4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低
5、格波与弹性波有何不同？
［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处:
(1) 对于一维单原子链格波解为:
弹性波的解为:
在弹性波的解中, x表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理答案3
色散关系(ω2--κ)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
M ν n = β ( μ n + 1 − ν n ) − 10 β (ν n − μ n )
= β ( μ n + 1 + 10 μ n − 11ν n )
设试探解为：
μ n = μ e − i (ω t − naq )
ω+ = ω− =
4β aq cos m 2 4β aq sin m 2
长波极限情况下 q → 0
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
sin(
qa qa )≈ 2 2
ω− = (2
β
m
)q
与一维单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗 略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。 解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
2 j
=
2 kT Nm ω
2 j
1 = m∑α 2ω 2 cos2 (ω j t + nαq j + δ j ) j j 2 n
kT 1 2 αj = 2 Nm ω 2 j
=
1 mα 2ω 2 N j j 4
其中：M=ρL
所以，每个原子的平方平均位移：
2 μ n = ∑ μ nj = ∑ α 2 = j
固体物理习题解答
黄昆《固体物理》习题解答目录第一章习题 (1)第二章习题 (6)第三章习题 (10)第五章习题 (31)第六章习题 (36)第七章习题 (42)第一章 习 题1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方(书P2, 图1-2) /60.52π≈ 体心立方(书P3, 图1-3) 3/80.68π≈面心立方(书P3, 图1-7) 2/60.74π≈六方密排(书P4, 图1-6) 2/60.74π≈金刚石(书P5, 图1-8)3/160.34π≈解 设n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度为:343nr V πρ=（设立方晶格的边长为a ） r 取原子球相切是的半径于是结构 r n V ρ简单立方 a/2 1 a 3 /60.52π≈ 体心立方 a/21 a 3 3/80.68π≈面心立方 3/4a2 a3 2/60.74π≈ 六方密排 2/4a4 a 32/60.74π≈金刚石a/2232a3/160.34π≈1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp ）的轴比633.18322/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=c解 由1.1题，六角密排中232232c r a h -==，故633.18322/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=c1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a aa i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+ 倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a ab i k a a a aππ⨯==+⋅⨯ 32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+ 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k aπ=-+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π= 1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
固体物理第三章答案
N e 2 ( n)。 2 4 0 r r
若排斥项 n 由 ce 来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡 r
献相同。试求出 n 和 的关系。
4
U ( R) 2 N [ ( 1 21 . 2 1 3 ) ( ) R R
6
( 1 4 . 1 5 ) (
) ]
其中， , 为参数，R 是最近邻间距。试求： （１） 平衡时的晶体体积； （2）体弹性模量； （3）抗张强度。 3．若一晶体的中两合能 W
一般中性的氢原子只和一个其它原子形成一个共价键由于氢原子核体积很小唯一的一个电子与原子形成共价键后核便暴露在外通过库仑作用有时还可以与一个负电性较大的原子结合这种特殊形式的结合称为氢键结合
Chapter 3
固体的结合（Solid Combination）
一、简要回答下列问题(answer the following questions): 1．晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？ [答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由 粒子所需要的能量称为晶体的结合能。用公式表示为： Eb EN E0 ，其中 EN 表 示组成晶体的 N 个原子在自由时的总能量， E0 为晶体的总能量，则 Eb 为晶体的 结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和称为晶体的内能。在 Eb EN E0 中， 如果以组成晶体的 N 个原子处于自由状态的能量作为能量的零点， 则 Eb 就 是晶体的内能。 在 0K 时，原子有零点振动能。但原子的零点振动与原子间的相互作用势能 的绝对值相比小得多。所以，在 0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于 晶体的结合能。 2．原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导作用的范围是什么？ [答 ] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了 主要作用。在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定的程度，原子间才出现 排斥力。当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态。可见，晶体要达到 稳定结合状态，吸引力与排斥力缺一不可。设此时相邻原子间的距离为 r0 , 当相 邻原子间的距离 r r0 时，吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离 r r0 时，排 斥力起主导作用。 3．共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ [ 答] “饱和性”是指共价结合时一个原子只能形成一定数目的共价键，因此依
固体物理答案第3章定稿版
固体物理答案第3章 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为：sin()nj j j j j a t naq μωδ=++j δ为任意相位因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。
具体计算每个原子的平方平均位移。
解：（１）根据2011sin ()2T j j j t naq dt T ωδ⎰++= 其中2jT πω=为振动周期，所以22221sin ()2nj j j j jj a t naq a μωδ=++= （２）第j 个格波的平均动能 （３）经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝12格波平均能量＝12B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=， 所以 22212B nj j jk T a Nm μω==。
而每个原子的平方平均位移为：222221()2B n nj nj j j j j j jk T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。
３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。
当m M =时与一维单原子链一一对应。
解：（１）一维双原子链： 22q aaππ-≤<声学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=--⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )sin 2aqaq m m ββω-=-= 。
光学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )cos 2aqaq m m ββω+=+= 。
（２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq aam βωππβω-+⎧=⎪⎪-≤<⎨⎪=⎪⎩与一维单原子链的解 224sin 2aqq m aaβππω=-≤<是一一对应的。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
⎧ d 2 xn m = β 2 ( xn +1 − xn ) − β1 ( xn − xn −1 ) ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ 2 ⎪m d xn +1 = β ( x − x ) − β ( x − x ) 1 2 n n+2 n +1 n +1 ⎪ dt 2 ⎩
设格波的解分别为
n i [( ) aq −ωt ] ⎧ ⎪ xn = Ae 2 ⎨ n ⎪ x = Bei[( 2 ) aq + qb −ωt ] ⎩ n +1
A 2β cos qa / m = =0 B 2β / m − 2β / M
由此可知，声学支格波中所有轻原子 m 静止。 而在光学支中，重原子 M 与轻原子 m 的振幅之比为
B 2β cos qa / M = =0 A 2β / M − 2β / m
由此可知，光学支格波中所有重原子 M 静止。 此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：
v弹 =
ω
q
=
c
ρ
，c = βa ， ρ =
1
⎡ ⎢ v弹 = ⎢ β a ⎛ m+M ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ 2a ⎣
⎤2 1 ⎥ ⎛ 2β ⎞ 2 ⎥ =⎜ ⎟ a ⎞⎥ ⎝m+M ⎠ ⎟ ⎠⎥ ⎦
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。 长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。 3.5 设有一维原子链 （如图） ， 第 2n 个原子与第 2n + 1 个原子之间的力常数为 β ； 而第 2n 个原子与第 2n − 1 个原子的力常数为 β ' （ β ' < β ） 。设两种原子的质量相等，最近邻间距均为 a，试求晶格振动的振动谱以 及q = 0 和q = ±
固体物理学1~6章习题解答
《固体物理学》习题解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么晶面族是（123）的离原点最近的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。
固体物理学中基矢的长度等于相邻两个格点的距离，所以只要“OA,OB 和OC 分别与基矢a1,a2,a3重合”，而O 又是格点，则A 、B 、C 一定是格点。
OA 、OB 、OC 间无格点，（234）情况一样。
结晶学以晶包基矢为坐标轴表示晶面指数，但称为米勒指数。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
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D T
0
e x 1
x 2 e x dx
2
2 Lk B D
先求出高温时的Ｅa，再求CVA更容易
18
在甚低温条件下， D T ,
a m m CVA C 2e2 n 1
12 2 Lk B T ,
8
代入运动方程，得
m 2 A 2 B A 1 A Beiqa , m 2 B 1 Aeiqa B 2 B A .
整理得
1
m A e B 0 e A m B 0.
6
[解答]
此题实际是一双原子分子链．设相邻分子间两原
子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数 为1；晶格常数为a. 第n-1, n, n+1, n+2个原子的位移分别为un-1, un, un+1, un+2, 第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与 第n+2个原子属于同一种原子. 第n和第n+1原子受的力分别为
式中Ｎ为原子总数．
4
（２）每个原子的时间平均总能量则为
E 1 qa m 2 A2 A2 sin 2 N 4 2
再利用色散关系
2
2 4 2 qa 1 cos qa sin m m 2
便得到每个原子的时间平均能量
E 1 m 2 A2 N 2
5
2．一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编 号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同， 分别为1和2，晶格常数为a，求原子的运动方程 及色散关系.
2
其中E是爱因斯坦温度，其定义为 按照德拜模型，声学波的模式密度 布里渊区允许的波矢数 目等于原胞数目L/2a 每个波矢点占据区域：
a 2 L L 2a
o kB L D( ) . vA E
q
2a
2a
15
波矢密度
L 2
利用 = vAq
d = vAdq
2
而该原子与第n+1个原子之间的势能为
1 2 un un 1 . 2
若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为
1 u 1 2 E m n un un1 . t n 2 n 2
3
2
将
un A cos t qna 代入上式得：
f n 2 un 1 un 1 un un 1 , f n 1 1 un 2 un 1 2 un 1 un ,
7
其运动方程分别为
d 2 un m 2 2 un 1 un 1 un un 1 . dt d 2un 1 m 1 un 2 un 1 2 un 1 un . 2 dt
试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度 D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。
23
[求解]
(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数
d 2U d 2U A ( 2 ) a ( 2 )0 2 dr d a
将上式代入《固体物理教程》一维简单晶格的 （3.7）式得到色散关系
其中
C
D T 0
e x 1
x 2e x dx
2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA .
19
9．求一维简单晶格的模式密度D()．
20
[解答] 一维简单晶格的色散关系曲线如图所示． 由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个 同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振 动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模 式．d范围则包含
10
5．设有一长度为Ｌ的一价正负离子构成的一维晶 格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+ e b u ( r ) 和m-，近邻两离子的互作用势为 ，式中e r r 为电子电荷，b和n为参量常数，求 (1) 参数b与e，n及a的关系； (2) 恢复力系数； (3) q=0时光学波的频率0； (4) 长声学波的速度vA； (5) 假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支 采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶 格热容。
D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
.
a m m 2e2 n 1
12
2 LkB T
D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
在高温情况下，ex=1+x，上式化成
a m m CVA 2e 2 n 1 a m m 2e 2 n 1
2e m m n 1 2 o . 3 a m m
2 1
13
(4) 由《固体物理教程》(3.25)式可知，长声学 波频率
A a 1 2 q. m M 1 2
对于本题
A 2a
2 m m
设格波的解分别为
un Ae
n i q a t 2
Ae
1 i qna t 2
. .
un 1 Be
n i q a qb t 2
Be
1 i qna t 2
2 A
m
qa sin 2 2 1 2
2
412
2
,
光学格波的色散关系为
2 O
1 2
m
1 2 412 2 qa 1+ 1 sin . 2 2 1 2
2 iqa 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即
2 m 1 2 iqa
2 1e iqa
1
2 1e
2 m
2
0
9
1 2 2 16 m qa 解上式可得： 2 1 2 2 1 2 2 2m 4m 2 sin 2 2m 2 1 2
1 2 16 mM qa 2 2 2 2 1 2 o 1 sin m M m M . 2 2mM 2 1 2
对于本题，a'=2a， 1=2=，m=m+，M=m所以q=0的光学波频率
0
xdx . x e 1
其中
x
D , D , kBT kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
D D L LD L D( )d d 0 0 v a vA A
求得
D
vA
a
17
声学波对热容的贡献
2 dE A T d D D( )d Lk B CVA dT dT 0 e kBT 1 v A
将上式代入前式，得到模式密度
L m D( ) a
12
1 qa 1 sin 2
2
2L
2 a 0 2
22
12. 设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为 m，间距为a，原子间的互作用势可表示成
U ( ) A cos( )
2 n
11
[解答]
(1) 若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离 子的互作用势能取极小值，即要求
du (r ) 0. dr r a
由此得到
e2 a n 1 b . n
(2) 恢复力系数
e2 n 1 d 2u ( r ) 2 dr r a a3
12
(3)光学波频率的一般表达式[参见固体物理教 (
D( )d a D(q)dq N
a
25
由D(q)为常数得
因此
a
D(q)dq D(q )
a
2 N a
D(q)
再由
Na 2
得 又 式中
0
0
d D( )d a D( ) dq 2 a D(q)dq 0 0 dq
可得
1 1 T 2 1 1 T 2 1 qa 2 2 2 E m A sin t qna dt A 4 sin t 2n 1 qa sin 2 dt 0 0 2 T 2 T 2 2 n n
1 qa m 2 A2 N A2 N sin 2 4 2
1 2 1 2 1 qa E m 2 A2 sin t qna A2 4sin t 2n 1 qa sin 2 2 2 2 2 n n
设Ｔ为原子振动的周期，利用
1 T 2 1 sin t dt T 0 2
q.
长声学波的速度
2e n 1 vA . q a m m
A
2
e 2 n 1 a3
14
(5) 按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能
EO L o . a e o kBT 1
光学波对热容的贡献
CVO
dEO L E e E T kB , E T 2 dT a T e 1
qa 0 sin( ) 2