人教版八年级数学上册14.2.2：完全平方公式

思考：
1. 若 a b 5, ab 6,
求 a2 b2 ,a2 ab b2.
2.已知 x 1 3 .求： x
(1) x2 1 x2
(2) ( x 1)2 x
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
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(1) (3a+(_-_4))2=9a2－2_4_a_2+16
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
则a2+b2的值是 37。
变式三：(a-b)2=(a+b)2- 4ab 。 变式四：(a+b)2=(a-b)2+ 4ab 。
已知：(a+b)2=8 ab=1
则(a-b)2= 4 .
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab 变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab 变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab 变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab 变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
=a2−( b-c)2
=a2 -（b2-2bc+c2) =a2 -b2+2bc-c2
温馨提示：
将(b-c)看作一个整体.
运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式。
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.计算: (x+2y)2, (x-2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2
计算: (a+b)2, (a- b)2 解： (a+b)2= (a+b) (a+b)
=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2= (a-b) (a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D ) A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
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（3）如果x2+kx+25是完全平方式， 则 k=_±__1_0_.
（4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
4)79.82 = (80-0.2)2
=802-2×80×0.2+0.22
= 6400-32+0.04
= 6368.04
1.去括号．
（1）a+（b+c）= a+b+c 。
（2）a-（b-c）= a-b+c 。
2.添加括号使得下列等式成立：
(1)a+b+c=a+ ( b+c ) (2)a-b+c=a- ( b-c ) 注意
(x - 2y )2=x2 - 2·x·2y +( 2y )2 =x2 - 4xy+4y2
例2.运用完全平方公式计算:
1) (4a-b)2 2) (y+ 1 )2 3)(-2x-1)2
2
解：1) (4a-b)2 = (4a)2-2·4a·b+b2
Hale Waihona Puke 2)(y+
1 2
)2
= 16a2-8ab+b2 =y2+2·y·12 +(12 )2
整式的平方，则 m=_±__2__4.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
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（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 .
（6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值.
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y 2 的值.
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
变式一：a2+b2＝(a+b)2 - 2ab 。 已知:a+b=5,ab=6,
则a2+b2的值是 13 。
变式二：a2+b2＝(a-b)2+ 2ab 。 已知：a-b=5,ab=6,
=
y2+y+
1 4
3) (-2x-1)2 =[-(2x+1)]2=(2x+1)2
= (2x)2+2·2x·1+1
=4x2+4x+1
例3.运用完全平方公式计算：
1) 1022
2) 1992
3) 4982
4) 79.82
解：1) 1022 = (100+2)2
= 1002+2×100×2+22
= 10000+400+4
添括号时，如果括号前面是正号，括号 里面的各项 不变符号，如果括号前面是 负号，括号里面的各项改变符号。
添括号： (1) a+b-c=a+( b-c ) （2）a-b+c=a-( b-c ) （3）a-b-c=a-( b+c ）
(a+b-c)(a-b+c)
解：原式= [ a+ ( b-c)] [ a- ( b-c)]
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标
❖经历完全平方公式的推导过程、几何
解释，能用公式进行计算；
❖理解添括号法则，利用添括号法则灵
活应用完全平方公式。
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p_2+_2_p_+_1； (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __p_2-_2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
这节课你学到了什么知识？
完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
通过这节课的学习你有何感想与体会？ 注意：项数、符号、字母及其指数。
= 10404
2)1992 = (200-1)2 =2002-2×200×1+12
= 40000-400+1
= 39601
例3.运用完全平方公式计算：
1) 1022
2) 1992
3) 4982
4) 79.82
解：3) 4982 = (500-2)2
= 5002-2×500×2+22
= 250000-2000+4 = 248004
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
公式特点： (a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
完全平方公式的 特点
首平方，尾平方，积的 2倍在中央