人教版高中数学《不等式的证明)说课稿精品PPT课件
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人教版高中数学《不等式的证明)PPT说课稿
教学对象是高二的学生，学生已掌握不等式的
性质性质，具有一定的分析问题和解决问题的能
力，逻辑思维能力也已逐步形成，能积极主动参 与学习与探究，但对于严格的代数证明与推理， 缺乏系统的训练，在解题中不能灵活应用代数变 形，知识的综合应用能力较薄弱。
四、教学过程分析
复习回顾， 提出问题 实验感受， 发现问题 知识应用， 独立思考 探究问题， 解决问题 归纳提炼， 推理证明 合作学习， 交流思想 提炼方法， 引入课题 加深理解， 形成技能
的角度去观察事物和思考问题。
一、教材分析
3、教学目标
（1）知识与技能：理解并掌握证明不等式的方法一—— 比较法，掌握比较法证明不等式的步骤，并会用比较法证 明简单的不等式． (2)过程与方法：通过对比较法的学习，向学生渗透从特 殊到一般，化归与转化的数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和应用数学的意识，提高数学 素养．
教法：采用尝试探究法，发现法引导学生
用已有的知识解决问题，并能在解决问题 的过程中积极探索和发现数学问题，自行 获得知识和运用知识，形成有利于学生主 体精神、创新能力健康发展的宽松教学环 境。 学法：通过创设情境，让学生经历观察实 验、自主探究、合作交流 的学习过程，提 高学生的创新意识。
三、学情分析
5.知识应用，独立思考
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到 同一地点,甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；已有一半路 程乙以速度m行走，另一半路程以速度n 行走。 如果m n， 问:甲乙两人谁先到达指定地点
合作学习，交流思想
（1）利用学生熟悉的实际问题，独立思考、 分析、提炼出题目中的数量关系； （2）合作交流得到这道题的数学本质：比 较甲乙二人所用时间的长短关系. （3）请同学们用比较法得到结论.
性质性质，具有一定的分析问题和解决问题的能
力，逻辑思维能力也已逐步形成，能积极主动参 与学习与探究，但对于严格的代数证明与推理， 缺乏系统的训练，在解题中不能灵活应用代数变 形，知识的综合应用能力较薄弱。
四、教学过程分析
复习回顾， 提出问题 实验感受， 发现问题 知识应用， 独立思考 探究问题， 解决问题 归纳提炼， 推理证明 合作学习， 交流思想 提炼方法， 引入课题 加深理解， 形成技能
的角度去观察事物和思考问题。
一、教材分析
3、教学目标
（1）知识与技能：理解并掌握证明不等式的方法一—— 比较法，掌握比较法证明不等式的步骤，并会用比较法证 明简单的不等式． (2)过程与方法：通过对比较法的学习，向学生渗透从特 殊到一般，化归与转化的数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和应用数学的意识，提高数学 素养．
教法：采用尝试探究法，发现法引导学生
用已有的知识解决问题，并能在解决问题 的过程中积极探索和发现数学问题，自行 获得知识和运用知识，形成有利于学生主 体精神、创新能力健康发展的宽松教学环 境。 学法：通过创设情境，让学生经历观察实 验、自主探究、合作交流 的学习过程，提 高学生的创新意识。
三、学情分析
5.知识应用，独立思考
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到 同一地点,甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；已有一半路 程乙以速度m行走，另一半路程以速度n 行走。 如果m n， 问:甲乙两人谁先到达指定地点
合作学习，交流思想
（1）利用学生熟悉的实际问题，独立思考、 分析、提炼出题目中的数量关系； （2）合作交流得到这道题的数学本质：比 较甲乙二人所用时间的长短关系. （3）请同学们用比较法得到结论.
不等式的证明PPT教学课件(1)
c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt
又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练 习 ： 1 . 已 知 x y 0 ,求 证 ： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和 不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法 叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
不等式的证明ppt
不等式的证明ppt不等式的证明ppt不等式的证明ppt不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。
作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1 例1 求证：x2+3>3x证明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3= + ≥ >0∴ x2+3>3x例2 已知a,bR+，并且a≠b，求证a5+b5>a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵ a,bR+∴ a+b>0, a2+ab+b2>0又因为a≠b,所以(a-b)2>0∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0∴ a5+b5>a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabb≥abba证明： = ∵a,bR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.∴≥1, 即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0当且仅当a=b时取等号。
所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)。
定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。
不等式的证明PPT优秀课件1
证明二：比较法（作商）
∵a2+b2≥2ab，
∴
(ab )( a b ab ) a b 2 2 ab (ab ) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab所以ab>0， 故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三：分析法 欲证a3+b3≥a2b+ab2，
【 例 题 】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2） =（a3- a2b）+（b3-ab2） = ( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
1 25 2 25 y 2 a 2 a 13 2 ( a ) 2 2 2
2
思考7: 用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13 后 改变观点，视其为方程，有 2a22a+13y =0． 因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
25 ( a 2 ) ( b 2 ) 2
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能 力，启发人们向往理念的端倪；便于将 灵魂从变化世界转向真理的实在．
柏拉图《理想国》
不等式的证明
不等式的证明基本方法
1、比较法：作差比较与作商比较 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等 式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充 分条件是否具备的问题，即由果索因。
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
不等式的证明课件3(人教A版选修4-5)
2
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
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a
2 2
b
2 2
c
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2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
不等式的证明ppt课件
不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2
2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14
不等式的证明课件
古代数学中的不等式
古希腊数学家开始研究不等式，如欧几里得在《几何原本》中提 到了一些简单的不等式。
19世纪的发展
19世纪初，数学家开始系统地研究不等式，特别是几何和三角不 等式，并取得了一系列重要成果。
20世纪的进展
20世纪初，数学家开始深入研究代数和积分不等式，并发展了多 种证明方法和技巧。
不等式在现代数学中的地位和作用
题目2
已知 a > b > 0，求证：√a > √b。
题目3
已知 a > b > 0，求证：a^3 > b^3。
进阶练习题
1 2
题目4
已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，求证：a^2 > b^2 + c^2。
题目5
已知 a > b > c > 0，求证：(a - b)(b - c) > 0。
效率。
在经济中的应用
资源配置
不等式可以用来描述经济资源的不等分配，例如 劳动力、资本和土地等资源的配置。
市场需求预测
不等式可以用来预测市场需求的变化范围，帮助 企业制定生产和销售计划。
投资决策
在投资决策中，不等式可以用来评估投资的风险 和收益，帮助投资者做出明智的决策。
04 不等式的扩展知识
不等式的分类
02 不等式的证明方法
代数方法
01
02
03
代数基本不等式
利用代数基本不等式，如 AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等，可以证明一些不等式 。
放缩法
通过放缩法，将原不等式 转化为易于证明的形式， 从而得出结论。
不等式证明课件
在金融学中，不等式常被用于投 资组合优化问题，以确定最佳的 投资组合策略，使得投资收益最
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
人教版高中数学必修第二册不等式的证明名师课件
∴ m(b a) 0. 即：a m a .
b(b m)
bm b
例题
例3 已知 a，b是正数，且a≠b，求证
a5 b5 a3b2 a2b3. 证明： a5 b5 (a3b2 a2b3 )
(a5 a3b2 ) (a2b3 b5 )
a3(a2 b2 ) b3(a2 b2 )
例题
例2 已知a，b，m都是正数，并且a b，
求证 a m a . bm b
证明：a m a b(a m) a(b m) m(b a) .
bm b
b(b m)
b(b m)
已知a，b，m都是正数，并且a b，所以
b m 0,b a 0.
２．掌握比较法证明不等式的步骤：作差、 变形、判断符号.
作业
习题
∴ a5 b5 a3b2 a2b3.
步骤
比较法证明不等式的步骤： 作差、变形、判断符号．
练习
１．求证a2 3b2 2b(a2a 2b．
３．已知 a≠２，求证
4a 4 a2
1．
小结
１．明确比较法是证明不等式最基本、最 重要的方法；
这种证明不等式的方法，通常叫做比较法.
接下来，我们通过具体的例子来熟悉比 较法在证明不等式中的运用.
例题
例1 求证 x2 3 3x ．
证明：∵ x2 3 3x x2 3x (3)2 (3)2 3 22
(x 3)2 3 3 0, 2 44
∴
x2 3 3x.
(a2 b2 )(a3 b3 )
(a b)(a b)2 (a2 ab b2 ).
不等式的证明ppt
2设函数f(x)的图象 关于直线x x0对称
x1 求证 :x0 2
例2 : 已知x, y, z是互不相等的正数, 且x y z 1 1 1 1 求证 : 1 1 1 8 x y z
练习:a b 1,P lg ab bc ac
例1 :设a 0,b 0
1 1 a2 b2 2 2 求证 : a b b a 1 2 1 2
二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)方程f(x) x 0两个根 1 为x1,x2 ,满足0 x1 x2 a (1)当x 0, x1 时,证明 :x f(x) x1
例3.已知a b c,且a b c 0 b ac 求证 : 3 a
2
分析法:从要证 的不等式出发, 变形,直到找到 成立的不等式
求证: a a 1 a 2 a 3
求证:a b ab a b 1
2 2
1 1 2 例4 :若0 x , 求证 :y y y x 1
最值法 : x y x ym a x,x y x ym i n
定义在定义域D内的函 数y f(x), 若对任意的 x1 ,x2 D都有fx1 fx2 1, 则称函数y f(x) 为"西湖函数",否则称"非西湖函数".函数 f(x) x x ax 1,1,a R 是否为"西湖函
已知fx x2 px q
1求证 :f1 f3 2f2 2
1 2求证 : f1,f2,f3中至少有一个不小于 2
已知p q 2, 求证: p q 2
不等式的证明ppt 人教课标版
而 2 ab a b 成立
2 2
所以原不等式成立
（分析法）
证明： 2 ab a b
2 2
1 ab 1 a 1 b 2 2 2 2 2 2 1 a b 2 ab 1 a b a b
2 2
( 1 ab ) 1 a b a b
2 2 2 22
a am 1 . b bm
a m 1 a m b b , m b m 1 b
（构造公式法）
a ,AB b , //AB 证明3： 如图，作 CD 使CD 连结AC、BD相交与O，延长CD到F， DF m , 连接OF交AB的延长线与E。
CF OC CD CD // AB , , AE OA AB m OD a am a 1 , 又 . 即 BE OB b b BE b
b a 0 , a b 0 ,
f (x)在 [0, ) 上是增函数
am a 即 bm b
，
m )f( 0 ), 当 m0 时，有 f(
（构造函数法）
0 ,y 0 ,且 练(x )(y ) x y 4
——爱因斯坦
不等式的证明方法简介
1、比较法：作差比较与作商比较
2、综合法：利用某些已经证明过的不等式 和不等式的性质推导出所要证明的不等式 成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析 这个不等式成立的充分条件，把证明不等 式转化为判定这些充分条件是否具备的问 题，即由果上索因。
4、函数性质法（如函数单调性等）
OA OB AB ,
f( a ) f( b ) a b .
a ) f( b ) a b . 证明：要证 f(
〖2021年人教版〗《14.2 不等式选讲 不等式的证明》完整版教学课件PPT
当|a＋b|＝0时，不等式显然成立 当|a＋b|≠0时， 由 0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒|a＋1 b|≥|a|＋1 |b|， 所以1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 1b|＋1≤1＋|a1|＋1 |b|＝1＋|a||＋a|＋|b||b| ＝1＋||aa||＋|b|＋1＋||ab||＋|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|.
b>1
2综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证， 最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即“由因 导果”的方法 3分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不 等式归结为一个已成立的不等式已知条件、定理等，从而得出要证 的不等式成立，这种证明方法叫分析法即“执果索因”的方法
§142 不等式选讲
第2课时 不等式的证明
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1不等式证明的方法 1比较法： ①作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明 即可，这种方法称为作差比较a－法b>0
②作商比较法： 由a>b>0⇔ >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证 明 即a可，这ab种方法称为作商比较法
思维升华
1在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有
2几个常用基本不等式 1柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则a2＋b2c2＋ d2≥ 当a且c＋仅b当d2ad＝bc时，等号成立 ②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且 仅当β是零向量，或存在实数，使α＝β时，等号成立 ③柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则
b>1
2综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证， 最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即“由因 导果”的方法 3分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不 等式归结为一个已成立的不等式已知条件、定理等，从而得出要证 的不等式成立，这种证明方法叫分析法即“执果索因”的方法
§142 不等式选讲
第2课时 不等式的证明
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1不等式证明的方法 1比较法： ①作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明 即可，这种方法称为作差比较a－法b>0
②作商比较法： 由a>b>0⇔ >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证 明 即a可，这ab种方法称为作商比较法
思维升华
1在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有
2几个常用基本不等式 1柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则a2＋b2c2＋ d2≥ 当a且c＋仅b当d2ad＝bc时，等号成立 ②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且 仅当β是零向量，或存在实数，使α＝β时，等号成立 ③柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则
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2.归纳得到证明不等式的一种方法——比 较法，引出课题。
设计意图：
从数到式，从特殊到一般，引导和帮助 学生从已有的知识出发，充分发挥学生 的主体性，主动获取知识。 荷兰数学教育家弗赖登塔说过：学习数 学唯一的方法是实行“再创造”。
3．例题讲解，形成技能
例2：已知a 0, b 0，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2.
(2)过程与方法：通过对比较法的学习，向学生渗透从特殊 到一般，化归与转化的数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和应用数学的意识，提高数学 素养．
(3)情感、态度、价值观 ：通过对比较法的学习,结合例题解 答过程的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
5.知识应用，独立思考
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到
同一地点,甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；已有一半路 程乙以速度m行走，另一半路程以速度n
行走。
如果m n，
问:甲乙两人谁先到达指定地点
合作学习，交流思想
（1）利用学生熟悉的实际问题，独立思考、 分析、提炼出题目中的数量关系； （2）合作交流得到这道题的数学本质：比 较甲乙二人所用时间的长短关系. （3）请同学们用比较法得到结论.
设计意图：
学生经过独立思考，合作交流学习，利用 比较法推证得出答案。让学生在合作学习 过程中，培养分析问题、解决问题的能力， 同时充分感受到成功的情感体验，从而增强 学习数学的兴趣和学好数学的信心．我们不 仅要关注学生解题的结果，更要关注学生解 题的过程.
6．巩固练习,落实双基
学生练习： 课本第14页练习题 1，2，3，4，5 请三名同学板演习题2，4，5
我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身 份，创造性地使用教材，组织学生通过动手实验、推 理论证、合作交流、分析探究等活动学会从数学的角 度去观察事物和思考问题。
一、教材分析
3、教学目标
（1）知识与技能：理解并掌握证明不等式的方法一—— 比较法，掌握比较法证明不等式的步骤，并会用比较法证 明简单的不等式．
四、教学过程分析
复习回顾， 提出问题
实验感受， 发现问题
知识应用， 独立思考
探究问题， 解决问题
归纳提炼， 推理证明
合作学习， 交流思想
提炼方法， 引入课题
加深理解， 形成技能
巩固练习， 归纳小结
1、复习回顾，提出问题
一、比较两个实数大小的主要方法：
(1)作差比较法：作差——变形——与0比较大小
设计意图：师生共同反馈评价，及时
纠正存在的问题.回扣比较法证ห้องสมุดไป่ตู้不等式 的基本步骤和变形手段，落实双基.
7、归纳小结，提升能力
请同学分别从知识能力与思想方法层面
总结归纳本节收获. （1）知识能力：掌握了用作差法证明不等式 的方法和步骤，提高了分析和解决问题的能 力。 （2）思想方法：通过多样的学习与探究方法， 学会使用类比思想，从特殊到一般，化归与 转化等思想。
当a,b, m 0,且a b时， a m a
bm b
(3)请同学们用比较法推理证明.
(4)请同学们由此延伸得出更多类似的不等式.
设计意图：
从学生熟悉的日常生活出发，结合 自己的切身感受，抽象出数学问题，
体会数学源于现实，寓于现实， 用于现实，抓住培养学生用 数学工具分析解决实际 问题的能力的良好契机．
设计意图：解题时，以 学生主动用所学方法解题 为主，教师适时给予点拨， 该题有意训练学生对作差 后的多项式进行恰当变形.
归纳总结：（1）比较 法证明不等式的步骤 是：作差—变形—判 断符号。（2）常用变 形方法：配方法，因 式分解法.
4、实验感受，发现问题
问题情境2：设计小实验，先让一位同学
品尝杯中的糖水，加糖后再次品尝，请他 谈谈两次的感受. (1)请同学们说出其中蕴含的数学知识. (2)请同学们尝试用不等式表达 .
不等式的证明（1）说课稿
人教版高二数学（上）（必修） §6.3第一课时
不等式的证明（1）
一、教材分析 二、教法与学法设计 三、学情分析 四、教学过程设计 五、评价分析
一、教材分析
1．地位与作用
不等式的证明方法灵活多样，蕴含着丰富的数学 思想方法，是不等式一章中的重要内容，是训练学生 推理论证能力的好素材。
学法：通过创设情境，让学生经历观察实
验、自主探究、合作交流 的学习过程，提 高学生的创新意识。
三、学情分析
教学对象是高二的学生，学生已掌握不等式的性 质性质，具有一定的分析问题和解决问题的能力， 逻辑思维能力也已逐步形成，能积极主动参与学 习与探究，但对于严格的代数证明与推理，缺乏 系统的训练，在解题中不能灵活应用代数变形， 知识的综合应用能力较薄弱。
由于函数、方程、数列等内容与不等式的联系紧密， 所以四大知识体系的交汇点成为历年高考命题的热点 和主干题型。在客观题中，历年都有与函数结合比较 大小的问题，在主观题中常常会通过函数与不等式的 证明综合求参数取值范围、构造函数与不等关系的实 际应用问题等。
一、教材分析
2．教材内容与教材处理
不等式的证明涉及的数学方法有观察，比较，化归， 推理，等价转换等，分三课时完成。本节学习比较法 （作差法），通过学习初步掌握证明不等式的一般推 理方法，为学习其他证明方法奠定基础。
a b ab0
a b ab0
ab ab0
(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小
a、b R :
a b a 1 a b a 1 ab a 1
b
b
b
类比实数性质积极探究
问题情境1：同学们，如果问题是
要比较两个复杂的代数式的大小，你 会吗？
如：x2 3与3x哪个大
2、提炼方法，引入课题
1.从实数推广到多项式，模仿实数比较大 小的方法，作差变形，并判断差的符号， 这里采用配方法变形，完成比较。
一、教材分析
4．重点、难点分析
重点：学会用比较法证明不等式， 并掌握证明的基本步骤；
难点：证明过程中灵活的变形技巧 和符号的准确判断．
二、教法与学法设计
教法：采用尝试探究法，发现法引导学生
用已有的知识解决问题，并能在解决问题 的过程中积极探索和发现数学问题，自行 获得知识和运用知识，形成有利于学生主 体精神、创新能力健康发展的宽松教学环 境。
设计意图：
从数到式，从特殊到一般，引导和帮助 学生从已有的知识出发，充分发挥学生 的主体性，主动获取知识。 荷兰数学教育家弗赖登塔说过：学习数 学唯一的方法是实行“再创造”。
3．例题讲解，形成技能
例2：已知a 0, b 0，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2.
(2)过程与方法：通过对比较法的学习，向学生渗透从特殊 到一般，化归与转化的数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和应用数学的意识，提高数学 素养．
(3)情感、态度、价值观 ：通过对比较法的学习,结合例题解 答过程的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
5.知识应用，独立思考
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到
同一地点,甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；已有一半路 程乙以速度m行走，另一半路程以速度n
行走。
如果m n，
问:甲乙两人谁先到达指定地点
合作学习，交流思想
（1）利用学生熟悉的实际问题，独立思考、 分析、提炼出题目中的数量关系； （2）合作交流得到这道题的数学本质：比 较甲乙二人所用时间的长短关系. （3）请同学们用比较法得到结论.
设计意图：
学生经过独立思考，合作交流学习，利用 比较法推证得出答案。让学生在合作学习 过程中，培养分析问题、解决问题的能力， 同时充分感受到成功的情感体验，从而增强 学习数学的兴趣和学好数学的信心．我们不 仅要关注学生解题的结果，更要关注学生解 题的过程.
6．巩固练习,落实双基
学生练习： 课本第14页练习题 1，2，3，4，5 请三名同学板演习题2，4，5
我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身 份，创造性地使用教材，组织学生通过动手实验、推 理论证、合作交流、分析探究等活动学会从数学的角 度去观察事物和思考问题。
一、教材分析
3、教学目标
（1）知识与技能：理解并掌握证明不等式的方法一—— 比较法，掌握比较法证明不等式的步骤，并会用比较法证 明简单的不等式．
四、教学过程分析
复习回顾， 提出问题
实验感受， 发现问题
知识应用， 独立思考
探究问题， 解决问题
归纳提炼， 推理证明
合作学习， 交流思想
提炼方法， 引入课题
加深理解， 形成技能
巩固练习， 归纳小结
1、复习回顾，提出问题
一、比较两个实数大小的主要方法：
(1)作差比较法：作差——变形——与0比较大小
设计意图：师生共同反馈评价，及时
纠正存在的问题.回扣比较法证ห้องสมุดไป่ตู้不等式 的基本步骤和变形手段，落实双基.
7、归纳小结，提升能力
请同学分别从知识能力与思想方法层面
总结归纳本节收获. （1）知识能力：掌握了用作差法证明不等式 的方法和步骤，提高了分析和解决问题的能 力。 （2）思想方法：通过多样的学习与探究方法， 学会使用类比思想，从特殊到一般，化归与 转化等思想。
当a,b, m 0,且a b时， a m a
bm b
(3)请同学们用比较法推理证明.
(4)请同学们由此延伸得出更多类似的不等式.
设计意图：
从学生熟悉的日常生活出发，结合 自己的切身感受，抽象出数学问题，
体会数学源于现实，寓于现实， 用于现实，抓住培养学生用 数学工具分析解决实际 问题的能力的良好契机．
设计意图：解题时，以 学生主动用所学方法解题 为主，教师适时给予点拨， 该题有意训练学生对作差 后的多项式进行恰当变形.
归纳总结：（1）比较 法证明不等式的步骤 是：作差—变形—判 断符号。（2）常用变 形方法：配方法，因 式分解法.
4、实验感受，发现问题
问题情境2：设计小实验，先让一位同学
品尝杯中的糖水，加糖后再次品尝，请他 谈谈两次的感受. (1)请同学们说出其中蕴含的数学知识. (2)请同学们尝试用不等式表达 .
不等式的证明（1）说课稿
人教版高二数学（上）（必修） §6.3第一课时
不等式的证明（1）
一、教材分析 二、教法与学法设计 三、学情分析 四、教学过程设计 五、评价分析
一、教材分析
1．地位与作用
不等式的证明方法灵活多样，蕴含着丰富的数学 思想方法，是不等式一章中的重要内容，是训练学生 推理论证能力的好素材。
学法：通过创设情境，让学生经历观察实
验、自主探究、合作交流 的学习过程，提 高学生的创新意识。
三、学情分析
教学对象是高二的学生，学生已掌握不等式的性 质性质，具有一定的分析问题和解决问题的能力， 逻辑思维能力也已逐步形成，能积极主动参与学 习与探究，但对于严格的代数证明与推理，缺乏 系统的训练，在解题中不能灵活应用代数变形， 知识的综合应用能力较薄弱。
由于函数、方程、数列等内容与不等式的联系紧密， 所以四大知识体系的交汇点成为历年高考命题的热点 和主干题型。在客观题中，历年都有与函数结合比较 大小的问题，在主观题中常常会通过函数与不等式的 证明综合求参数取值范围、构造函数与不等关系的实 际应用问题等。
一、教材分析
2．教材内容与教材处理
不等式的证明涉及的数学方法有观察，比较，化归， 推理，等价转换等，分三课时完成。本节学习比较法 （作差法），通过学习初步掌握证明不等式的一般推 理方法，为学习其他证明方法奠定基础。
a b ab0
a b ab0
ab ab0
(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小
a、b R :
a b a 1 a b a 1 ab a 1
b
b
b
类比实数性质积极探究
问题情境1：同学们，如果问题是
要比较两个复杂的代数式的大小，你 会吗？
如：x2 3与3x哪个大
2、提炼方法，引入课题
1.从实数推广到多项式，模仿实数比较大 小的方法，作差变形，并判断差的符号， 这里采用配方法变形，完成比较。
一、教材分析
4．重点、难点分析
重点：学会用比较法证明不等式， 并掌握证明的基本步骤；
难点：证明过程中灵活的变形技巧 和符号的准确判断．
二、教法与学法设计
教法：采用尝试探究法，发现法引导学生
用已有的知识解决问题，并能在解决问题 的过程中积极探索和发现数学问题，自行 获得知识和运用知识，形成有利于学生主 体精神、创新能力健康发展的宽松教学环 境。