四种命题及其关系

第2讲 四种命题及其关系

【学习目标】

1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；

2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；

3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释：

1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”.

2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.

3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构

命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释：

1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论.

2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式.

要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”；

逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；

否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ⌝，则q ⌝”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；

逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ⌝，则p ⌝”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释：

对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.

要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系

四种命题之间的真值关系

要点诠释：

（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；

（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系. 【典型例题】 类型一：命题的概念

例1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题.

（1）末位是0的整数能被5整除； （2）平行四边形的对角线相等且互相平分； （3）两直线平行，则斜率相等；

（4）△ABC 中，若∠A=∠B ，则sinA=sinB ； （5）余弦函数是周期函数吗？

举一反三：

【变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.

(1)1x >；

(2) 当0x =时, 1x >； (3) 你是男生吗？ (4) 求证：π是无理数.

【变式2】下列语句中是命题的是（ ）

A ．||x a +

B ．{0}∈N

C ．元素与集合

D ．真子集

【变式3】判断下列语句是否是命题.

（1）这是一棵大树； （2）sin30︒=

2

1； （3）x 2

+1>0；

（4）梯形是平行四边形. 类型二：命题的结构

例2.指出下面命题的条件和结论.

（1） 对顶角相等；

（2） 四边相等的四边形是菱形.

举一反三：

【变式】指出下列命题的条件p 和结论q.

（1）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心； （2）若两条直线a 和b 都和直线c 平行，则直线a 和直线b 平行.

例3. 将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假.

（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行； （2）对角线相等的平面四边形是矩形.

举一反三：

【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p 则q 的形式.

【变式2】将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断真假.

（1）偶数能被2整除；

（2）奇函数的图象关于原点对称； （3）同弧所对的圆周角不相等.

类型三：命题的四种形式

例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.

（1）若0ab =，则2

2

0a b +=； （2）若1x =，则2320x x -+=；

（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.

举一反三：

【变式1】原命题为“若

n n n a a a <++2

1

，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ． 真、真、真 B ． 假、假、真 C ． 真、真、假 D ．假、假、假

【变式2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.

（1）对顶角相等；

（2）空集A 是非空集合B 的真子集；

例5．设命题: 若0m >，则关于x 的方程2

0x x m +-=有实数根．试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假．

举一反三：

【变式1】试写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假．

（1）当集合{1,2,3,5,6}A =，{1,2,5}B =时，若x A ∈，则x B ∈. （2）若3x >，则2x >， （3）若2

650x x -+=，则5x =

【变式2】已知命题：“如果||1a ≤，那么关于x 的不等式22

(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集”，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

【巩固练习】 一、选择题

1．下列语句中命题的个数为( )

①{0}∈N ②他长得很高 ③地球上的四大洋 ④5的平方是20 A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

2．若A 、B 是两个集合，则下列命题中真命题是( )

A ．如果A ⊆

B ，那么A ∩B ＝A B ．如果A ∩B ＝A ，那么(∁B A )∩B ＝∅

C ．如果A ⊆B ，那么A ∪B ＝A

D ．如果A ∪B ＝A ，那么A ⊆B 3．有下列命题：

①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

4．下列语句中，不能成为命题的是( )

A ．5>12

B ．x >0

C ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0

D ．三角形的三条中线交于一点

5. 设m ∈R,命题“若m ＞0,则方程x 2

+x －m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x 2

+x －m=0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2

+x －m=0有实根，则m ≤0

错误!未找到引用源。.若方程x 2

+x －m=0没有实根，则m ＞0 错误!未找到引用源。.若方程x 2+x －m=0没有实根，则m ≤0