圆锥曲线与方程测试和答案.doc
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33-B ．33C ．13-D ．133．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2-D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 6D 4235．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2CD9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-10．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．52D ．32二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 所以11()1213m m +-=⇒=-， 故选C.3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=， 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =， 且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：512e ≥或512e -≤，又01e << 511e -≤<， 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．5．C解析：C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+， 即111413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333413t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.10．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=渐近线方程为by xa=±，其中一条为0bx ay-=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．12．C解析：C【解析】双曲线2214xy-=中，222224,1,5,a b c a b e==∴=+=∴==本题选择C选项.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x yB x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x yB x y，则利用中点坐标公式知1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为1y x =+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =， 所以点P的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.23．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >， 所以124y y m +=，1222y y m =-+， 又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-， 所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．24．（1）8；（2）是，定值为2.【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --=∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++ ()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。
天津外国语大学附属外国语学校选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．22B ．2C ．322D ．322．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤ 3．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m4．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1165．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ） A 3B 10C 5D 107．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．231e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<8．已知直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=经过定点P ，与抛物线24x y =交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+=D ．20x y +-=9．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25410．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线by x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C 1 D 111．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)14．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为A ，上顶点为B ，8AB =分米，在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡，球心C 在轴AB 上，且2AC =分米．已知球形灯泡的球心C 到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点A 处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为2(0)y ax a =>，则实数a 的取值范围是_______15．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.16．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且3||3PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 18．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．19．如图，两个离心率相等的椭圆1Γ与椭圆2Γ，焦点均在x 轴上A ，B 分别为椭圆2Γ的右顶点和上顶点，过A ，B 分别作椭圆1Γ的切线AC ，BD ，若AC 与BD 的斜率之积为57-，则椭圆1Γ的离心率为__________.20．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________.三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF 是边长为4的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过F 作直线m ，交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线m 的方程．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为离心率为2． （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，离心，12MF F△ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程.24．已知四点1234,1,,(1,1),(0,1)P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆2222:1x y C a b+=上，其中0a b >>． （1）求,a b 的值；（2）若直线l 过定点(2,0)M 且与椭圆C 交于,A B 两点（l 与x 轴不重合），点B 关于x 轴的对称点为点D ．探究：直线AD 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．25．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上． （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．26．已知点1F 、2F 分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=， 解得12x =，1y ∴=，∴直线AB=∴直线AB的方程为1)y x =-，由241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=， 解得12x =，212x = 当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.2．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x ，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.3．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-， 所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-，因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.4．B解析：B 【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，则()241AB t ==+，同理2141CD t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解.【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=， 所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=， 即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=ca x c，于是()2222220233-=-=b ac y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以e ==故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.7．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30b a >，再由公式e =心率的取值范围.【详解】 如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=， 所以，双曲线的渐近线by x a =的倾斜角α满足30α>，则123tan b PF F a >∠=， 因此，该双曲线的离心率为222222231c c a b b e a a a a +⎛⎫====+> ⎪⎝⎭故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8．B解析：B 【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】由直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=得(2)(23)0a x y x y +-++-= 所以20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩则()1,1P设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()x x x x y y -+=-， 即121212142AB y y x x k x x -+===-， 则直线方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=. 故选：B. 【点睛】方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍） 当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．A解析：A 【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =，设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y bx a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e =舍去）． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．11．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案. 【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得22x ty ay px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=， 所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a， 若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c e a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.14．【分析】设出抛物线上任意一点的坐标根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离根据最短距离是在下顶点处取到结合二次函数的性质求得的取值范围【详解】建立如图所示直角坐标系其中为坐标原点得抛物线方解析：10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心C 到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点A 处取到，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围. 【详解】建立如图所示直角坐标系，其中A 为坐标原点，得抛物线方程2(0)y ax a =>，(0,2)C ，设抛物线上任一点的坐标为200(,)x ax ，由两点距离公式得==d令20(0)=≥t x t ，则22(14)4(0)=+-+≥y a t a t t 的开口向上，对称轴为2412-=a t a ，当对称轴24102a a -≤时，在0t =处取得最小值，此时d 的最小值为=d ， 当对称轴24102a a->时，最小值在对称轴处取得，即d 的最小值小于2，不符合题意. 故由24102a a -≤，解得10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.15．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1 17【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=， 故双曲线C 的离心率22117c b e a a==+= 17【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化 解析：825-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tanb b BAO CFO ac ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFOa c BDC BAO CFOb bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：82-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.17．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，23b a =，结合222c a b =+，整理求得结果.【详解】根据题意，可知23b PF a ==， 因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下： （1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.18．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a ，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．19．【分析】由已知设圆的方程为椭圆的方程为再设出直线AC 的方程为直线BD 的方程为分别与椭圆的方程为联立整理由直线与椭圆相切的条件求得斜率再由已知得由此可求得椭圆的离心率【详解】因为两个椭圆与椭圆的离心率【分析】由已知设圆1Γ的方程为()()2222+1x y ma mb =，椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=，再设出直线AC 的方程为()1y k x ma =-，直线BD 的方程为2+y k x mb =，分别与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=联立整理，由直线与椭圆相切的条件0∆=，求得斜率，再由已知得2257b a =，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】因为两个椭圆1Γ与椭圆2Γ的离心率相等，所以设椭圆1Γ的方程为()()2222+1x y ma mb =，椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=，设直线AC 的方程为()1y k x ma =-，与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=联立整理得：()()23422212222211+2+0b mk a x a k xm a a k b --=，因为直线AC 与椭圆2Γ相切，则()()()2222222213241142+0a k m m a a k b a b k --=-=∆，整理化简得()212221k a m b =-，设直线BD 的方程为2+y k x mb =，与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=联立整理得：()()222222222222+2+0b mk a b a k xm a a x b b --=，因为直线BD 与椭圆2Γ相切，则()()()22222222222242+0a k mk a b m a a b b b -=--=∆，整理化简得()222221m kab -=，又AC 与BD 的斜率之积为57-，所以()()222212222221571m k k a b b a m -⎛⎫⋅=⋅=- ⎪-⎝⎭，整理得2257b a =，所以22222521177c b e a a ==-=-=， 所以椭圆1Γ的离心率为7，故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的位置关系的问题，关键在于联立直线与椭圆的方程，运用方程的根的判别式的正负，满足直线与椭圆相交，相切，相离.20．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故或2) 【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e == 又因为1e >，所以e ===2）. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.三、解答题21．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）设l 与x 轴交于点D ，根据PEF 是边长为4的正三角形．得到PE l ⊥，60PEF EFD ∠=∠=︒，然后由||cos60p DF EF ==求解.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 在抛物线上，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，根据线段AB 中点的纵坐标为1-，利用“点差法”求解. 【详解】（1）因为PEF 是边长为4的正三角形． 则||||PE PF =，所以PE l ⊥， 设l 与x 轴交于点D ，则60PEF EFD ∠=∠=︒，||4EF =， 所以||cos602p DF EF === 所以抛物线的方程为24y x =．（2）由（1）得抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ， 设A ，B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，得()121212124y y x x x x y y -=≠-+， 因为线段AB 中点的纵坐标为1-， 所以直线m 的斜率21442(1)2AB k y y ==-+-⨯=， 所以直线m 的方程为02(1)y x -=--， 即220x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程； （2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-， 联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m -=+，∴AB ==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立， 故四边形ACBD 的面积的最小值169． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下： （1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果.23．（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【分析】（1）由离心率、面积和222a b c =+可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.【详解】 （1）∵c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y +=-=因为2312t=≤+=，即1t=±时等号成立，所以直线l的方程为0x y-=或0x y+=.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了三角形的面积公式，关键点是利用韦达定理表示1212F F A F F BS S+并利用基本不等式求最值，考查了直线与椭圆的位置关系和计算能力. 24．（1）1ab⎧=⎪⎨=⎪⎩2）直线AD过定点(1,0)Q．【分析】（1）由于12,1,P P⎛⎛-⎝⎭⎝⎭关于原点对称，从而可得12,P P和4P在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出,a b的值；（2）由题意可知直线l的斜率存在，则设直线l为2(0)x ty t=+≠，与椭圆方程联立成方程组，消去x，得()222420t y ty+++=，再由根与系数的关系得12122242,22ty y y yt t+=-=++，而直线AD方程为()()()12211221y y x x x y x y x y++--+=，代入化简可得答案【详解】因为121,,1,22P P⎛⎫⎛--⎪⎪⎝⎭⎝⎭关于原点对称，由题意得12,P P和4P在椭圆上，将14,P P的坐标代入22221x ya b+=得：222111211a bb⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：1ab⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）显然，l与x轴不垂直，设l的方程为：2(0)x ty t=+≠()22222242012x tyt y tyxy=+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩设()()1122,,,A x yB x y，则()22,D x y-且12122242,22t y y y y t t +=-=++ 直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=令0y =，得()()122112211212121222242214ty y ty y x y x y ty y tx y y y y y y t++++===+=+=+++-， 故直线AD 过定点(1,0)Q ． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得12122242,22t y y y y t t +=-=++，进而可得AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=化简可得答案，属于中档题25．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -， 设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点， 弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x-+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+， 整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -， 因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >．()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，。
湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．12B ．622+ C ．31+ D ．62+8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34πC ．(65)π-D ．54π11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________． 17．曲线412x x y y -=上的点到直线y =的距离的最大值是________．18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.三、解答题21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 22．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点． （1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．23．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求MF NF +的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，过点(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .3．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据12r a >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C 5．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =，所以22216124b a c =-=-=， 所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFBOFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．16．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==． 因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C的离心率为2c a =．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的【分析】 先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y xy x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x =的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：22y x =- 故两平行线22y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =26. 26. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有1221122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a =±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）. 故答案为1. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线； 当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆； 当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】解：（1）将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0， 设切线方程为()21y k x -=-，与24y x =联立得()2204k y y k -+-=（0k ≠）， 由()120k k ∆=--=得1k =． 所以，所求切线方程为1y x =+．（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入24y x =得：240y y m +-=．由16160m ∆=+>，得1m >-．又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，()()()()22122112121211121222441111PA QA y y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()121441684201m m x x +-++==-， 所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）1234PP P P +=2）2,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则)1221PP x x -，)3443P P x x =-，∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：22112y x x y =+⎧⎨+=⎩；214y x x y=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y⎧+=⎨=⎩解得：()2A -，()2B ，设()00,D x y ，则220012x y +=；切线00:12m x x y y +=，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++，∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 24．（12【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+-=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =； 综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，23a c -=-222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=； （2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为3y kx k =-，直线CD 为13y x k =-，进而得2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以23a c -=-，又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQx m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =-，直线CD为1y x k k=-+， 得()2222411240k x x k +-+-=，所以223434221244141,k x x x x k k -+==++，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号， 所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长． 【详解】（1）224y x ty x=+⎧⎨=⎩， 整理得()224410x t x t +-+=， 则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB ==4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=， 由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =，所以AFB△的周长为7+ 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。
选修2-1数学第2章_圆锥曲线与方程单元练习题含答案
选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【答案】D【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。
解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。
3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。
利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。
故选B。
4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。
点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。
5.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -=0B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。
【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。
点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。
达州市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±2．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 3．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．25．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．23B ．2C ．34D ．36．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直7．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．258．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（ ） A ．9B ．8C ．6D ．49．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为3a ，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．71,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭10．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（ ）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆11．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3二、填空题13．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.14．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________.15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为2________ 16．曲线412x x y y -=上的点到直线y的距离的最大值是________．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>上有一点)M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且BFO BFMS ∆=，则椭圆C 的离心率为________18．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过C 上一点A 作C 的准线l 的垂线，垂足为B ，连接FB 交x 轴于点D ，若||5AF =，则||AD =_________．19．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设,A B 在y 轴上的投影分别为,A B ''，若()32AB AA BB ''=+，则直线l 的斜率为______. 20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点重合，左准线方程为1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为_____________.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知抛物线C ：2y x =，过点1,0A 的直线交抛物线C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，O 为坐标原点. （1）证明：OP OQ ⊥；（2）点()3,0B -，设直线PB ，QB 分别与抛物线C 交于另一点M ，N ，过点O 向直线MN 作垂线，垂足为D .是否存在定点E ，使得DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标及DE ；若不存在，请说明理由.24．如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △，OAB S ，设λ=OMNOABS S .（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设ON ，OM 所在直线的斜率为,OM ON k k ，求证OM ON k k ⋅为定值； （3）求λ的取值范围.25．如图，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线11:2l y x =+与C 相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过F 的直线2l 交C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），若MF FN =3，求直线2l 的方程．26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NSS=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =， ∴2ba=， 故所求渐近线方程为2y x =±， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.2．B解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.3．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．6．A解析：A【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根 所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 7．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ， 则()()22222127·771616k PF PF x y x y x ==-+⋅-+=-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==.故max min +16+925k k ==.所以k 的最大值与最小值的和为25.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.8．A解析：A【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解.【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点，所以N 是BF 中点，因为4FB FA =，所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=， 解得12m =∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA ||FB |=9，故选：A【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.9．D解析：D【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0b k a <<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围.【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：2e > 故选：D .【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.10．B解析：B【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线.【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆； 当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆； 当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆； 当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.11．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解.【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=， 设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得b a=得离心率.【详解】 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以b a=所以2c e a ==． 故选：A【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=． tan 3θ∴=．则AB 所在直线方程为3(1)y x =-．联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=． 解得：13x =或3x =， 因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得1y x '=， 2y x =-得1y x '=- ∴313|33x y ='==，131|313x y ='=-=-， 即AM 、BM 所在直线的斜率分别为33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ M ∴的坐标为23(1,)3-． 故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】延长交于点由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线结合双曲线定义可求得利用中位线性质可求得进而得到结果【详解】延长交于点如下图所示：为的角平分线又为线段的垂直平分线由双曲线定义知：分别为 解析：64π【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示： 22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON F Q ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π.【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.15．【分析】由题意画出图形再由抛物线方程求出焦点坐标得到双曲线的焦点坐标由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式求解离心率即可【详解】如图由抛物线方程得抛物线的焦点坐标即双曲线的右焦点坐标为双曲线的渐近线方程 解析：2【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．【详解】如图，由抛物线方程24y x =，得抛物线的焦点坐标(1,0)F ， 即双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点坐标为(1,0)F ， 双曲线的渐近线方程为b y x a =±． 不妨取b y x a =，化为一般式：0bx ay -=． 223a b =+，即222433b a b =+， 又221a b =-，联立解得：214a =，12a ∴=． 则双曲线的离心率为：1212c e a === 故答案为：2．【点睛】 本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．16．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的 26【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可.【详解】解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y x y x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程， 所以曲线412x xy y-=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =- 所以切线为：222y x - 故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为022263d +== 所以曲线412x xy y-=上的点到直线2y x =的距离的最大值是263. 故答案为：263.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题. 17．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解 解析：22 【分析】 由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x y c b+=，即0bx cy cb +-=， 所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d a b c +---==+， 因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFM SBF d b a c ==--， 而12BFO S bc =， 因为2BFO BFM S S =，所以122[(21)]24bc b a c =--， 整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =， 故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】设根据利用抛物线的定义得到解得代入中得到AB 的坐标直线的方程令得D 的坐标用两点间的距离公式求解【详解】设因为所以得代入中得当时则直线为令得所以当时同理得故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的解析：【分析】设()00,A x y ，根据||5AF =，利用抛物线的定义得到0||15AB y =+=，解得04y =，代入24x y =中，得到A ，B 的坐标，直线BF 的方程，令0y =，得D 的坐标，用两点间的距离公式求解.【详解】设()00,A x y ，因为||5AF =，所以0||15AB y =+=，得04y =，代入24x y =中，得04x =±，当(4,4)A 时，(4,1)B -，则直线BF 为112y x =-+， 令0y =，得(2,0)D ，所以||AD =当(4,4)A -时，同理得||AD =故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19．【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得设直线的倾斜角为根据焦点弦长公式可构造方程求得进而得到的值即为结果【详解】由抛物线的定义可知：设直线的倾斜角为则即直线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦解析：【分析】 根据抛物线的定义可构造方程求得AB ，设直线l 的倾斜角为α，根据焦点弦长公式可构造方程求得2sin α，进而得到tan α的值即为结果.【详解】由抛物线的定义可知：()31122AB AF BF AA BB AA BB AA BB ''''''=+=+++=++=+， 4AA BB ''∴+=，6AB ∴=.设直线l 的倾斜角为α，则246sin AB α==，22sin 3α∴=，tan α∴= 即直线l的斜率为故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦相关问题的求解，关键是熟练掌握抛物线的焦点弦长公式：1222sin p AB x x p α=++=. 20．【分析】由焦点重合可知由左准线方程可知从而可求设根据双曲线的定义可知则结合基本不等式可求其最值【详解】解：由焦点重合可知；由左准线方程可知又由双曲线的定义可知从而可求出因为为右支上任意一点所以设则则解析：【分析】由焦点重合可知2216a b +=，由左准线方程可知21a c-=-，从而可求2,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则212168PF t PF t=++，结合基本不等式可求其最值. 【详解】解：由焦点重合可知，2225916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c-=-，又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,4a b c ===. 因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PFt t c a =≥-=， 则14PF t =+,则()22124168816t PF t PF t t +==++≥+= 当且仅当16t t =，即4t =时等号成立.即21216PF PF ≥. 故答案为:16. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47 【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则2cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案 【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++- 所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234my x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169m m =,即243m =时取等号. 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---结合韦达定理得出n 的值，进一步得出点Q 的坐标()2232Q m y m -=+，234BQmk m =+，得出直线BQ 的方程为()2234my x m =-+，属于难题.22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键. 23．（1）证明见解析；（2）存在，满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【分析】（1）设直线:1PQ x my =+，联立方程组得到121y y =-，结合0OP OQ ⋅=，即可求解；（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到34y y a =-与t 无关，得出对于抛物线2y x =上的两点的直线RS 过定点(),0a ，进而得到9M N y y =-，再结合Rt ODG ，即可求解.【详解】（1）设直线PQ ：1x my =+， 联立方程组21x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得210y my --=，所以121y y =-， 又由22121212120OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=+=，所以OP OQ ⊥.（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+与抛物线有两个不同交点()33,x y ，()44,x y ，联立方程组2x ty a y x=+⎧⎨=⎩，整理得20y ty a --=，可得34y y a =-与t 无关，即对于抛物线2y x =上的两点R ，S ，直线RS 过定点(),0a R ⇔，S 的纵坐标之积为a -，由此可得13M y y =，23N y y =，从而1299M N y y y y ==-， 于是可得直线MN 过点()9,0，记为G ，则OD DG ⊥， 取OG 中点为E ，则Rt ODG 中1922ED OG ==， 故存在满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.24．（1）曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =；（2）证明见解析；（3）[)2,+∞. 【分析】（1）根据抛物线的定义，以及双曲线的离心率公式可求出答案；（2）设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，设11,)Mx y （，()2,2N x y ，根据韦达定理可得答案；（3）根据弦长公式求出|OM |，|ON |，|OA |，|OB |的长，再根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出λ的取值范围． 【详解】（1）由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， M 在抛物线24x by =上，∴2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =-①又由2c a =，得223c b =将上式代入①，得277b b =解得1,b =∴2c a =∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =；（2）设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)Mx y （，()22,N x y ， 则124x x =-， 设221212121221111144164ON OMx xy y kkx x x x x x =⋅=⋅==-； （3）设,ON OM k k m m '==，则有14m m'=-，② 设直线ON 的方程为(0)y mx m =>，由24y mxx y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==由②可知，用14m -代替m，可得M OM ==， 由2214y mx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A x =，所以A OA == 用14m-代替m，可得B OB ==所以=OMNOABON OMSS OA OBλ⋅====⋅1222mm=+≥，当且仅当1m=时等号成立.所以λ的取值范围为[)2,+∞.【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．25．（1）22y x=；（2）630x--=【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求出p的值，从而可得答案；（2）设21:2l x my=+，联立2212y xx my⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my--=，利用韦达定理以及平面向量的线性运算列方程组求解m的值即可.【详解】（1）联立222212y pxy py py x⎧=⎪⇒=-⎨=+⎪⎩，可得220y py p-+=，因为直线11:2l y x=+与2:2(0)C y px p=>相切所以24401p p p=-=⇒=，抛物线方程为22y x=，（2）由（1）可知1,02F⎛⎫⎪⎝⎭，设21:2l x my=+，联立2212y xx my⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my--=，设()()11221,,,,0M x y N x y y>，结合MF FN=3，可得12121212,3y y y y m m y y=-⎧⎪+=⇒=⎨⎪=-⎩，21:2l x y =+，即630x --=. 【点睛】 求抛物线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．26．（1）2212x y +=；（2）存在；1)y x =-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d +=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-. 又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦， 整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．22．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 53．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．312C ．512D ．326．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2C ．32D ．327．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A ．22y x =± B ．24y x =±C ．7y x =±D ．37y x =±8．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤9．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．5310．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D ．412．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．45二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 14．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．16．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，若点B 为()3,2，则PB PF +的最小值为________________．17．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．20．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，A ､B 分别为C 的左，右支上的点，O 为坐标原点，若四边形ABOF 为菱形，则C 的离心率为______.三、解答题21．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．24．已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2右焦点到左顶点的距离是2+（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=，22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +== 故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角， 所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得512e =. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.6．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，122y ∴=，∴直线AB 的斜率为22221=-∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，由2422(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=，解得12x =，212x =当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯⨯． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7．B解析：B 【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程 【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==, 所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x x b =±==±， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题8．A解析：A【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.9．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a =故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222b c a=-转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．11．B解析：B【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PFPQ的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆22:11612x yC+=中，4a=，23b=222c a b-，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.12．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、填空题13．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：2c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．14．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T，使得TF =，所以点(c,0)F到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤= 又1e >，所以1e <≤所以双曲线M的离心率的取值范围是1e <≤故答案为：1e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到可得,,a b c 的不等式.15．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得55,3==e e （舍） 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.16．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线解析：5 【分析】求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值． 【详解】如图，过P 作PM 与准线2x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =，∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为3(2)5--=．∴PB PF +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．17．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x =【分析】 推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBEEBF ∴△△，OB BE BE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，22BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得()2A p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.18．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：12【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，此时直线AB 过右焦点，22b AB a =，221222ABFb Sc b a=⨯⨯=，得12c e a ==.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.19．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=. 由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.20．【分析】先根据四边形为菱形及双曲线的性质求的度数再根据双曲线的定义找的关系最后由离心率的计算公式求结论【详解】设右焦点为连接过作轴于因为双曲线关于轴对称四边形为菱形所以所以所以所以根据双曲线的定义可解析：31+. 【分析】先根据四边形ABOF 为菱形，及双曲线的性质，求AFO ∠的度数，再根据双曲线的定义找,a c 的关系，最后由离心率的计算公式求结论. 【详解】设右焦点为'F ，连接'AF ，过A 作AH x ⊥轴于H ，因为双曲线C 关于y 轴对称，四边形ABOF 为菱形， 所以AB OF AF c ===，2c OH FH ==， 所以60AFO ∠=︒，所以'AF AF ⊥，所以'3AF c =， 根据双曲线的定义可得'32AF AF c c a -=-=， 所以3131e ==+-， 31. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关双曲线离心率的求解问题，对于求解圆锥曲线离心率的值或范围的解题方法如下：（1）一般不直接求出的值，而是根据题目给出的圆锥曲线的集合特征建立关于参数,,c a b 的方程组或不等式组，通过解方程组或不等组求得离心率的值或范围； （2）通常从两个方面入手研究，一是考虑几何关系，二是考虑代数关系； （3）注意用好定义.三、解答题21．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．（1）2214x y +=；（2）30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）用待定系数法求椭圆方程；（2）设出直线l ，表示出M 的坐标，利用154PA PM ⋅=，求出点P 的坐标. 【详解】（1）由题意可得：三角形ABN 为等腰直角三角形，所以2a =4，即a =2. 又由()0,2N -，()2,0B ，:3:2NQ QB =所以64,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22221x y a b+=得：222264()()551a b +=，解得：b =1. 所以椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）可知()2,0A -.设M 点的坐标为()11,x y ， 直线l 的斜率显然存在，设为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+于是A ，B 两点的坐标满足方程组()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，由方程组消去y 并整理， 得()()222214161640kxk x k +++-=由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+，从而12414k y k =+， 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭以下分两种情况：①当0k =时，点M 的坐标为()2,0.线段AM 的垂直平分线为y 轴，于是()02,PA y =-，()02,PM y =-由154PA PM ⋅=得0312y =± ②当0k ≠时，线段AM 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭令0x =，解得02614ky k -=+()02,PA y =--，()110PM x y y =⋅- ()()210102222228646214141414k k k k PA PM x y y y k k k k --⎛⎫⋅=---=++ ⎪++++⎝⎭()()422241615115414k k k +-==+ 整理得12k =±，032y =±综上032y =±或0y =. 点P 的坐标是30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"坐标法"是解析几何中常见的基本方法，把题目中的条件用坐标翻译出来，把几何条件转化为代数运算.23．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程．【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭． 又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．24．（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）.【分析】（1）根据离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=,可用待定系数法求椭圆的标准方程;（2）先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=， 所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线， 所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mkk m k m k k--+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得c a =2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解.【详解】。
(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点 （1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上， 且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ， 因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条， 因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点， 所以1202y y y +=， 所以12121202y y p pk x x y y y -===-+， 即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ， 所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-， 所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=， 所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<， 故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==． 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝， 利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭， 故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴 解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠， 由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=， 所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=， 即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案 【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。
高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)
12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。
第二章 章末检测(二) 圆锥曲线与方程
章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( ) A.3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3， ∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ， 且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( )A ．5 6 B.2534 C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10. 答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( ) A ．3x ＋2y －4＝0 B ．4x ＋6y －7＝0 C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B. 答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2(x －1)B ．y 2＝4(x －1)C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2， 即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时， 四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12. 答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点， 若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ， |BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13. 答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1（图略）， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)， 与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0， 由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4， 所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2,0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得(20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a 220－8a 2. ∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝85×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1.19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． (1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切． 解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ， 即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝(1＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4.∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2， 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－8k 23＋4k 2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4， 则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(含答案解析)
一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．设1F ，2F 是双曲线C ：22111y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点M 在C 上且OM =12MF F △的面积是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D4．已知F 是双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于,,A B C 三点，若||||||FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为（ ）A BC ．2D 5．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ）A ．2B 1C ．1D 26．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 0y ±=B ．0x ±=C 20y ±=D ．20x =7．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D8．已知椭圆222:14x y C b+=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足||||OF FP =，则b =（ ）A ．3BC D 9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，3k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．)2C ．1⎤⎦D ．(1⎤⎦11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．[D ．12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8),A P -为抛物线上一点，则||||PA PF +的最小值是（ ） A ．3B ．9C ．12D ．6二、填空题13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)14．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =12,F F 分别是它的下焦点和上焦点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．16．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______ 17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为_______.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4， （1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF 是边长为4的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过F 作直线m ，交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线m 的方程．23．已知点(-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为2． （1）求E 的方程；（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．24．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ，抛物线E 上一点()3,t 到焦点的距离为4.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 作直线l ，交抛物线E 于,A B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.25．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】由12F F M △是以M 为直角直角三角形得到2212||||48MF MF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2MF MF -=，联立即可得到12||||MFMF ，代入12F F M S =△121||||2MF MF 中计算即可. 【详解】由22111y x -=可知1,23a c ==不妨设12(23,0),(23,0)F F -， 因为121232OM F F ==，所以点M 在以12F F 为直径的圆上，即12F F M △是以M 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||MF MF F F +=，即2212||||48MF MF +=，又12||||22MF MF a -==，所以2124||||MF MF =-=2212||||2MF MF +-12||||482MF MF =-12||||MF MF ，解得12||||22MF MF =， 所以12F F M S =△121||||112MF MF = 故选：B 【点晴】关键点点睛：根据OM =12MF F △为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.3．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．B解析：B 【分析】可设出直线AB ，与两渐近线方程联立，解出,B C y y ，利用两者的关系式求出直线的斜率.进而表示出A 的坐标，代入双曲线方程，得到,,a b c 的关系式，从而求得离心率. 【详解】||||||FA AB BC ==，故有1123A B C y y y == 故32B C y y =设过点F 的直线方程为：()y k x c =+联立()y k x c b y x a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解之得C C kc x bk a b kc a y b k a -⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪⎪+⎩ 同理联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解之得B B kc x bk a b kc a y b k a ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪-⎩由32B C y y =有23b bkc kca ab b k k a a =+-，故3232b b k k a a +=- 解之得5bk a=-直线为：()5by x c a=-+ 则1212A B bc y y a -==，又()5A A b y x c a =-+ 故712A cx =-又A 在双曲线上可得：2222491144144c c a a -= 得2213c a =故ca =故选：B 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+， 又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ，所以||CI =01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--， 1222221222sin cos1sin 22sin 321cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF b θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，3tan23θ∴=， 0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF a PF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，2b a ∴=， 因此，双曲线C 的渐近线方程为2by x x a=±=±，即20x y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 7．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率． 【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =， 又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==， 又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．B【分析】首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，则1c =，那么b ==故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.9．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ．4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，0433m c x n y =-⎧⎨=-⎩．以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=ca x c，于是()2222220233-=-=b ac y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==． 故选：B.本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.10．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -，设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=，又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，k ∈⎣， 所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦， 即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ≤， 故选：C关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．B解析：B 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，故AM 为所求【详解】解：由题意得2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 设P 到准线的距离为PM ，（即PM 垂直于准线，M 为垂足），则||||||||9PA PF PA PF AM +=+≥=，（当且仅当,,P A M 共线时取等号）， 所以||||PA PF +的最小值是9， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，从而可得结果二、填空题13．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a， 若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.14．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的 解析：5【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.【详解】双曲线()22210y x a a -=>的离心率52e =所以221514e a =+=，解得2a =，所以()()120,5,0,5F F - 双曲线2214y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.所以225112F M ==+所以122445PF d PF d F M +=++≥+=同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5 故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PFPF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中档题.15．【分析】由题意利用直角三角形的边角关系可得再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】设直线的倾斜角为则在直角三角形中令则由椭圆定义得椭圆的离心率故答案为：【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系 31【分析】由题意1290F MF ∠=，利用直角三角形的边角关系可得21,MF MF，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出． 【详解】设直线3()y x c =--的倾斜角为α，则tan 3α=-，0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则22211,213MF MF ==-=由椭圆定义得122||||31a MF MF =+=+∴椭圆的离心率231231c e a ===-+． 故答案为：31-． 【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．16．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立 解析：412-【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =， 由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-22==，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立，所以m PA +2，2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率c e a ==≥=⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【分析】根据数形结合分析可得并根据勾股定理可得计算离心率【详解】如图首先画出函数图象又且且根据椭圆的定义可知由勾股定理可知即整理为即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：53【分析】根据数形结合分析，可得'PF PF⊥，并根据勾股定理，可得()()22222244b a bc a b+-==-，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，1233EF OF OE c c c=-=-=，2131'23cEFEF c c∴==+，又2PQ QF=，'//PF QE∴，且1'3QEPF=，且'PF PF⊥，3bQE=，'PF b∴=，根据椭圆的定义可知2PF a b=-，由勾股定理可知22212'PF PF F F+=，即()()22222244b a bc a b+-==-整理为222224444b a b ab a b++-=-，即23ba=，2251c ba a∴=-=.故答案为：53【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c直接求，2.根据条件建立关于,a c的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c的等量关系求解.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--， 由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故 解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)， 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ， 联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ， 解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ）， 所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1， 因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1， 所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍）， 所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝， 所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1). 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 22．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）设l 与x 轴交于点D ，根据PEF 是边长为4的正三角形．得到PE l ⊥，60PEF EFD ∠=∠=︒，然后由||cos60p DF EF ==求解.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 在抛物线上，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，根据线段AB 中点的纵坐标为1-，利用“点差法”求解. 【详解】（1）因为PEF 是边长为4的正三角形． 则||||PE PF =，所以PE l ⊥，设l 与x 轴交于点D ，则60PEF EFD ∠=∠=︒，||4EF =， 所以||cos602p DF EF === 所以抛物线的方程为24y x =．（2）由（1）得抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设A ，B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，得()121212124y y x x x x y y -=≠-+， 因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以直线m 的斜率21442(1)2AB k y y ==-+-⨯=， 所以直线m 的方程为02(1)y x -=--， 即220x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．23．（1）22:14x E y +=；（2）32,,222⎛⎛⎫--⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可得解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OCOB ⋅>，运算即可得解. 【详解】 （1）点⎛- ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，∴221314ab +=，又椭圆的离心率为2，∴2c e a ==，由222a b c =+解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴轨迹22:14x E y +=；（2）依题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，∴设:2l y kx =+，1122(,),(,)B x y C x y ，∴22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理有：()221416120k x kx +++=， ∴()221648(14)0k k ∆=-+>得k >k <， 且1221614kx x k+=-+，1221214x x k ⋅=+， 由COB ∠为锐角，∴2121212122122()414OC OB x x y y k x x k x x k⋅=+=+++++ 22222121232=+40141414k k k k k -+>+++， ∴222212+12324161640k k k k -++=->， ∴22k -<<，∴22k -<<-或22k <<，∴直线l的斜率的范围是32,,2⎛⎛⎫-⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面数量积的定义转化COB ∠为锐角为0OC OB ⋅>，结合韦达定理运算即可得解.24．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）抛物线的定义可得342p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即可求出p 得值，进而可得抛物线E 的方程； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，利用点差法可求直线l 的斜率，再求出点()1,0F ，利用点斜式即可求出直线l 的方程. 【详解】（1）由抛物线()2:20E y px p =>可得准线方程为：2p x =-， 由抛物线的定义可得：342p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =，（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()2212124y y x x -=-， 所以()()()1212124y y y y x x -+=-，因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以122y y +=-， 所以直线l 的斜率1212124422y y k x x y y -====--+-， 因为()1,0F ，所以直线l 的方程为：()21y x =--，即220x y +-=. 【点睛】思路点睛：对于中点弦问题，多采用设而不求的方法，利用整体代入的思想求出直线的斜率，再结合直线所过的点即可得直线的方程. 25．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my p =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出222122144y y x x p==，求出p 的值，进而可得出抛物线C 的方程； （2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，可得出213y y p =-，224y y p =-，利用直线的斜率公式以及韦达定理可得出lMNk k 为定值.【详解】（1）若直线l 与x 轴重合，则该直线与抛物线C 有且只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x my p =+，代入22y px =得22240y pmy p --=，则()22440p m ∆=+>，且2124y y p =-，则22212122444y y x x p p⋅===， 0p >，解得1p =.∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：()33,M x y 、()44,N x y ，同（1）可知，直线AM 不可能与x 轴重合，设直线AM 的方程为2p x ty =+， 联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y tpy p --=，由韦达定理可得213y y p =-，同理可得224y y p =-， 又直线l 的斜率12122212121222l y y y y pk y y x x y y p --===--+， 直线MN 的斜率3434342MN y y pk x x y y -==-+，()2221222341212212121212144l MN p y y p p k y y y y y y p p k y y y y y y y y p -+--++--∴======+++-， 故直线l 与直线MN 斜率之比为定值14.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 26．（1）24y x =；（2）16||3AB =． 【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，设出直线AB 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理再得B 点坐标，再由两点间的距离公式可得答案． 【详解】（1）因为动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等， 由抛物线定义可得曲线Γ为抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则12p=， 所以2p =，曲线Γ的方程为24y x =.（2）设过点F 的直线方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，且120,0y y ><，0(1,)C y -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩整理得，2440y my --=，所以124y y =-， 因为点F 是AC 的中点，所以1112x -=，解得13x =，所以211412y x ==，得1y =(3,A ，又因为124y y =-，所以2y =，代入抛物线方程得213x =，所以1,3B ⎛ ⎝⎭，所以163AB ===. 【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系及弦长，关键点是由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，利用韦达定理再得B 点坐标，考查了学生的基础知识、基本技能.。
(18)“圆锥曲线与方程”单元测试
“圆锥曲线与方程”单元测试(第一卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线1102x y -=的焦距为（ ）D.2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23B ．3C ．27D ．43．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A . B.C . D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3 (C)49．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±=10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .“圆锥曲线与方程”单元测试(第二卷)11._______________, 12.________________, 13.________________, 14.________________.三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的 交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0FA,延长AF、BF分别交抛物线G于点·FBC,D，求四边形ABCD面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
(必考题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．33．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF FB =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．536．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BC ．D ．28．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．729．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25410．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．34D ．4512．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线与抛物线的一个交点为A ，交抛物线的准线于B ，若2BA AF =，且4BA =，则P =______．14．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.15．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.三、解答题21．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为222 （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB l 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=． 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-． 由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==，121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN =23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=， 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为y =，得到ba=. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为y =，则2e ==，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍） 当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->． 因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．3【分析】设过的直线为与抛物线交于点过两点作垂直准线于点根据抛物线的定义可得即可求出再联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理即可得到再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为是抛物线的焦点所以准线为设过解析：3 【分析】设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN 垂直准线于M ，N 点，根据抛物线的定义可得CN CF =，AM AF =，即可求出30ABM ∠=︒，6CN CF ==，再联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理即可得到2124p x x =，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为F 是抛物线22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN垂直准线于M ，N 点，所以CN CF =，AM AF =，因为2BA AF =，所以2BA AF =，所以2BA AM =，所以30ABM ∠=︒，又因为4BA =，所以2AM AF ==，且2CN CB BA AF FC BA AM CN ==--=--，所以26CN CN =+，所以6CN CF ==，联立直线与抛物线222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，所以()22222204k p k x k p p x -++=，所以21222k p p x x k ++=-，2124p x x =，又因为1>0x ，20x >，且122p x AM +==，262p x CN +==，所以2212261242244p p p p x x p ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3p =故答案为：3【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=， 联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=， 故236236433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=15．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象 解析：223【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m . 由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l 的斜率为13k m ===.. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.16．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a ab =+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=.由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析： 【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，b c =5=-．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c的比值，代入可求.20．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：16 3【分析】分别过,A B作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF可算得弦长.【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =， 又2BC BN =，23CB CF=，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM = 4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论． 【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴，||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=，12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =， 所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<， 综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程； （2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11xy m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-， 联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m-=+， ∴AB==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立， 故四边形ACBD 的面积的最小值169． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下： （1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QRx =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQp PR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离. 24．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】 （1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =， 因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-， 所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程.【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y+=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=，即S == 因为OAB 的面积为17=()2232k =+.化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.26．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q 的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程． 【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+， 由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭．又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±2．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．23B ．2C ．34D ．34．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B ．15C ．14D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ）A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．39．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C．(6π-D ．54π 10．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-11．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）ABCD12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在xM 在C 上，且12MF MF ⊥，MC 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 17．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线()31y x =-对称，则a =_____.18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，已知两个顶点A 、D 为双曲线W 的两个焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则双曲线W 的离心率为________________；20．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F 32a b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.25．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值. 26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =，∴ba=，故所求渐近线方程为y =， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.2．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF FF =，A 为1PF中点，21AF PF ∴⊥， 圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.9．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1125225O l d -==，圆C 面积的最小值为22545ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.10．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b b a a BOA BOF b a a+∠==∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．故答案为：2【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C 的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)31y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)31y x =-对称， 所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a， 且MN 与直线垂直，0031y x a， 联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去）， 3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=， 所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【分析】利用余弦定理求得由双曲线的定义可得的值由此求出的值【详解】解：设正六边形的边长为1中心为以所在直线为轴以为原点建立直角坐标系则在中由余弦定理得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的 1【分析】利用余弦定理求得AE ，由双曲线的定义可得2a AE DE =- 的值，由此求出e 的值． 【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则1c =，在AEF ∆中，由余弦定理得22212cos120112()32AE AF EF AF EF =+-︒=+--=，3AE ∴=，231a AE DE =-=-，312a -∴=， 131312c e a∴===+-， 故答案为：31+．【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，计算2a AE DE =- 的值是解题的关键．20．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是 解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程． 【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =． 所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a = 所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而20000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-． 由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca； （2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222b a b c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+ 点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍) 代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R = 又由圆C 与l相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键．24．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-.所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 25．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=， 因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -，则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，当87x时，PD7=. 因为圆D17=.所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证； （2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---， 即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立， 得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。
上海同济初级中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠4．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．256．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C．D．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y x = B．y = C．y x = D．y =9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 CD10．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且2AK AF =，则△AFK 的面积为 .15．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m n ⋅的值为___________16．椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线相互垂直，则12PF F △的面积为______．17．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.18．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，点()2,Q m 在抛物线E 上，且3QF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点()2,0P 且斜率为()0k k >的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点横坐标为4，求ABO 的面积.22．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F 2b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．23．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程． 附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．24．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.25．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点 （1）求椭圆的标准方程 （2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 26．已知抛物线C ：2y x =，过点1,0A 的直线交抛物线C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，O 为坐标原点. （1）证明：OP OQ ⊥；（2）点()3,0B -，设直线PB ，QB 分别与抛物线C 交于另一点M ，N ，过点O 向直线MN 作垂线，垂足为D .是否存在定点E ，使得DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标及DE ；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =， 则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-， 联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+， 联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则13y p =，即3(,3)2A p p ，则333122FA Pk p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误． 由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．3．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x ym+=上或椭圆内，【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x ym +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ， 则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.6．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+， 即111413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333413t k s =-， 所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-=， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程． 【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(6,0)±，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中6c =， 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=， 于是有226616b ba b ==+，1b =，∴5a =， ∴渐近线方程为55y x =±． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．9．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.10．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=， 所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k-+， 所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B k S OP x x k =-=+因为0k ≠， 所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【详解】由双曲线得右焦点为即为抛物线的焦点∴解得∴抛物线的方程为其准线方程为过点作准线垂足为点则∴∴∴∴ 解析：32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px = 的焦点，∴42p = ，解得8p = ．∴抛物线的方程为216y x = ．其准线方程为()440x K =-∴-，， ．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKFSKF ==⨯=． 15．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此 解析：316【分析】由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解． 【详解】由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0， 所以双曲线中1c =方程()2210x y mn m n -=≠表示双曲线所以,m n 同号.当,m n 同正时，54a b =-，则2c ea ===，解得：14m = 则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c ea ===，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述：316m n ⋅= 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．16．24【分析】设由结合椭圆定义可求得从而易得三角形面积【详解】椭圆中设由则又∴∴故答案为：24【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题考查椭圆的定义属于基础题解析：24 【分析】设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥结合椭圆定义可求得mn ，从而易得三角形面积． 【详解】椭圆2214924x y +=中7a =，b =5c =，设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥，则()2222100m n c +==，又214m n a +==， 2224100214m n c m n a ⎧+==⎨+==⎩，∴2222()()141004822m n m n mn +-+-===， ∴121242PF F S mn ==△． 故答案为：24． 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题，考查椭圆的定义，属于基础题．17．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.18．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶 解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.19．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题 解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =， 所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-． 又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-． 在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =． 故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了 51【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==， 又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=，∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）24y x =；（2） 【分析】（1）设出抛物线方程，根据抛物线定义可列式求出；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，联立直线与抛物线，根据中点横坐标求出t ，再求出底和高即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意设抛物线E 的方程为()220y px p =>，则准线方程为2px =-， 由3QF =，依定义得232p+=，解得2p =， ∴抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消x 得2480y ty --=， 则124y y t +=，128y y =-， ∵线段AB 的中点横坐标为4，∴1242x x +=， 即128x x +=，∴12228ty ty +++=，即()124t y y +=， 可得244t =，∴21t =，12y y -===故ABO的面积为1211222OP y y -=⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.22．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca； （2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222b a b c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+ 点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍)代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R =又由圆C 与l 相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键．23．（1）2212x y +=；（2）21y x =-+或21y x =+.【分析】（1）结合焦距和离心率求得a ，c ，再计算b ，即得方程；（2）先判断直线斜率存在且不为零，先设斜率写直线方程，联立直线与椭圆求得弦长PM ，根据垂直设另一条直线，同理可求PN ，直角三角形利用比例关系求得斜率，即得结果. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得22c =，可得1c =，，可得c a =，代入1c =，可得a =故1b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）依题意知直线1l ，2l 斜率存在且不为零，由点P 的坐标为()0,1，设直线PM 的方程为1y kx =+，联立方程22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或2224211221k x k ky k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得点M 的坐标为222412,2121k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理可知，直线PN 的方程为11y x k =-+，解得点N 的坐标为22242,22k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，224121k PM k k =++，22221441122k k PN k k k +=+=++. 由43PMPN =()2222241242121341k k k k k k k +++==++， 由函数()()22221k k f k k +=+为偶函数，故只需要解方程()()22240213k k k k +=>+即可， 方程()()22240213k k k k +=>+可化为3238640k k k -+-=，因式分解为()()223220k k k --+=，而方程23220k k -+=中，判别式44320∆=-⨯⨯<，方程无解，故三次方程的解为2k =，故方程()2224213k k k +=+的解为2k =-或2k =，故直线1l 的方程为21y x =-+或21y x =+.【点睛】 思路点睛：直线与椭圆位置关系中的弦长问题，通常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以2121AB k x =+-或12AB y y =-，解决相关问题.24．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx m k x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k=,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+， 即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2215x y +=（2【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =， 所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-， 联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==20299==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =26．（1）证明见解析；（2）存在，满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【分析】（1）设直线:1PQ x my =+，联立方程组得到121y y =-，结合0OP OQ ⋅=，即可求解；（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到34y y a =-与t 无关，得出对于抛物线2y x =上的两点的直线RS 过定点(),0a ，进而得到9M N y y =-，再结合Rt ODG ，即可求解.【详解】（1）设直线PQ ：1x my =+，联立方程组21x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得210y my --=，所以121y y =-，又由22121212120OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=+=，所以OP OQ ⊥.（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+与抛物线有两个不同交点()33,x y ，()44,x y ， 联立方程组2x ty a y x=+⎧⎨=⎩，整理得20y ty a --=，可得34y y a =-与t 无关， 即对于抛物线2y x =上的两点R ，S ，直线RS 过定点(),0a R ⇔，S 的纵坐标之积为a -，由此可得13M y y =，23N y y =，从而1299M N y y y y ==-， 于是可得直线MN 过点()9,0，记为G ，则OD DG ⊥， 取OG 中点为E ，则Rt ODG 中1922ED OG ==， 故存在满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
成都四川师范大学附属中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（ ） A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=2．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（ ）A B ．2C D ．14．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）A ．8+B ．8C ．16D ．165．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）A B C 1 D 17．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C ．D ．10．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ）A ．9B ．9C ．7112+D ．831211．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45π B ．34π C ．(6π-D ．54π 12．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12二、填空题13．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.14．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．16．曲线412x x y y -=上的点到直线y 的距离的最大值是________．17．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）18．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，过点(0,2)P 的直线依次交抛物线和准线l 于点,,A B C ，且满足2AP PB =，则BCF 与ACF 的面积的比值为________.19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.22．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由.23．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1） 求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.24．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.25．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程； （2）求证：||||AB DF 为定值.26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=， F 22bc bcb ca b ==+ ， 因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =， 故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.2．A解析：A 【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可． 【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点， 线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．3．A解析：A 【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ， 由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.4．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=， 圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+<=当2,,C C M 三点共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+≤=+综上有18CM CC +≤2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键.6．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=， 故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法： （1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =， 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．9．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-=， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.10．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+， 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为114252255O l d -=⨯=，圆C 面积的最小值为225455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 12．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.二、填空题13．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．14．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.15．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出ba，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()ay x c b=+， 由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭， 过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-， 所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>， 即()2222244310,0a ab c c c a b a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>， 整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故答案为：43y x =± 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.16．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的解析：3【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y xy x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：222y x -故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值是263.故答案为：263.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.17．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶 解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.18．【分析】设出的坐标及过点的直线的方程联立抛物线方程与过点的直线的方程利用根与系数的关系及得到的坐标通过三角形面积公式将与的面积之比转化为边长之比进而通过三角形相似解决问题即可【详解】解：设不妨设由题解析：25【分析】设出,A B 的坐标及过点P 的直线的方程，联立抛物线方程与过点P 的直线的方程，利用根与系数的关系及2AP PB =得到,A B 的坐标，通过三角形面积公式，将BCF 与ACF 的面积之比转化为边长之比，进而通过三角形相似解决问题即可. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设12x x <，由题意得直线AB 的斜率存在，设过点(0,2)P 的直线方程为2y kx =+.联立方程得22,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩整理得2480x kx --=，则128x x =-.由2AP PB =得，122x x =-，∴124,2,x x =-⎧⎨=⎩∴124,1.y y =⎧⎨=⎩过点,A B 向准线l 作垂线，垂足分别为,M N ，则211sin 122115sin 2BCF ACFCB CF BCF SCB BN y SCA AM y CA CF BCF ⋅⋅∠+=====+⋅⋅∠. 故答案为：25【点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，三角形面积的计算等，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力.试题通过考查直线与拋物线的位置关系、平面向量、三角形的面积，体现了数学运算、直观想象等核心素养.19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a =±=±，不妨设2(,)b Pc a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=， 即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）. 故答案为1. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2， 由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MNkkk k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 22．（1）8；（2）是，定值为2. 【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值. 【详解】 （1）可得3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈， 设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ， 把3x my =+代入26y x =得26180y my --= ∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26tk =-，132k k k μ+=，36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0，2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）证明见解析；（2）当914p =时，面积最大值为4. 【分析】（1）由题意可得：()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程，整理得24t p =，计算可得点C 的纵坐标值为12，从而得证； （2）由题意可得：BMNAMN S S=，求得直线l 的斜率，可求得直线l '的斜率和方程，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，求得MN 的值和点A 到直线l '的距离d =据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN △的面积的最大值，即可求解. 【详解】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得222224t t p p p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24t p =，∴42142C p p y p -==， 故点C 的纵坐标为定值. （2）∵点C 是AB 的中点，BMNAMN SS=，设直线l 的斜率为k ，则11322k t t -==， 所以直线l '的斜率为3k t'=-， ∴直线l '的方程为1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t=-+， 不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+， 代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12122286,2121m x x x x m m +=-=++ 222122231||221,21m MN m x x m m -=+-=⋅+⋅+ 点A 到直线l '的距离231d m =+，所以2222232232421423231332AMNm Sm m N d m M -⋅=≤+-+-=⋅==当且仅当2242323m m -=-时取等号，解得272m =，所以229187t m ==，从而29414t p ==故当914p =时，BMN △的面积最大. 【点睛】关键点点睛：设出2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合()0,1A -，可得222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用点C 在抛物线上可求出24t p =，利用其计算224t pp-的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l '与直线l的斜率互为相反数，直线l '的方程为32y x t=-+，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN △的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.24．（1）22142x y +=；（2）10x y --=.【分析】（1）已知条件得2b c ==，再求得a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程． 【详解】（1）由已知得2b c ==.又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y+=，整理得22(2)230m y my ++-=.则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+， 所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号. 由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．25．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值 【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题 26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证； （2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---， 即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立， 得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.过双曲线的右焦点有一条弦，,是左焦点，那么△的周长为（）A．28B．22C．14D．12【答案】A【解析】如图：由双曲线的定义得：∴△的周长为：。
【考点】双曲线的定义。
点评：此类问题用数形结合的思想来作，先直观观察，的解题思路，再利用双曲线的定义来做。
2.求标准方程：（1）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是, 求椭圆的标准方程；（2）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，求双曲线的标准方程。
【答案】（１）椭圆方程：；（２）双曲线的方程：【解析】（1）根据椭圆焦点是可判断焦点在x轴上，由长轴长与短轴长之比为2得，由得。
∴椭圆的标准方程为。
（2）根据双曲线一个焦点是可判断焦点在x轴上，由渐近线方程为得，又因为所以，∴双曲线的标准方程为：。
【考点】椭圆、双曲线的标准方程点评：求圆锥曲线方程时，要先判断焦点所在坐标轴，然后利用题中条件求出、的值。
3.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为：设，则，设直线PQ为：，由得：∴∴∴。
【考点】抛物线的焦点弦。
点评：在解决焦点弦问题时，一般先利用定义转化成点到准线的距离，然后联立直线方程与抛物线方程，得一元二次方程，再利用韦达定理求解。
4.抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _________．【答案】【解析】抛物线的准线为；顶点为（0,0），抛物线上准线和顶点距离相等的点的坐标为则有解之得∴.【考点】抛物线的准线方程及顶点坐标。
点评：本题比较简单，直接设出，代入距离公式求解即可。
5.已知为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（）【答案】Ｃ【解析】方程mx-y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为（0，n），（-，0），若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m，n同为正，∴-＜0，故A，B不满足题意；若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则m，n异号，∴-＞0，故C符合题意，D不满足题意故选C。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+= 3．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．12D ．24．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．22B 2C ．322D ．327．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=8．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,23C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,23]9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．22y x =±B ．2y x =C ．3y x =D ．3y x =10．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．2273+ B ．273+ C ．53D ．212．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．2833y x =B ．21633y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．若A ､B ､C 是三个雷达观察哨，A 在B 的正东，两地相距6km ，C 在A 的北偏东30°，两地相距4km ，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1km /s ，4s 后A ､C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P 的坐标___________.14．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，直线x b =与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，过A 作圆222:(2)M x b y b ++=的切线，D 为其中一个切点若||||AD AB =，则C 的离心率为__________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且3||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 17．已知椭圆222:1(06)6x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.19．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．20．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.三、解答题21．已知点M ⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，且点M 到C 的左，右焦点的距离之和为4． （1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点,O M ）上，求OA OB ⋅的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A B 、两点，设两直线MA 、MB 的斜率分别为12k k 、，且128k k +=，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．23．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.24．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 25．过平面上点P 作直线11:2l y x =，21:2l y x =-的平行线分别交y 轴于点M ，N 且228OM ON +=.（1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点()0,1Q 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若AOB S △l 的方程.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线0x y -+=过(,0)F c -，所以00c --+=，得c =所以2223a b c -==， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-， 又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B【分析】首先利用点,C D分别是线段AB的两个三等分点，则211222x xyy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112ykx=⋅，再利用点差法化简得2212214y bx a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y，()22,B x y，,C D分别是线段AB的两个三等分点，()1,0C x∴-，10,2yD⎛⎫⎪⎝⎭，则112,2yB x⎛⎫-⎪⎝⎭，得211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232yy y ykx x x x-===⋅-，利用点差法22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=，整理得到2212214y bx a=，即222222244b a ck ka a-=⇒=，即221k e+=故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．B解析：B【分析】由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴， 设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23am =， 在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得c e a ==． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=．设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.6．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，1y ∴=，∴直线AB 的斜率为21=-∴直线AB 的方程为1)y x =-，由2422(1) y xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x-+=，解得12x=，212x=当212x=时，22y=-，因此AOB的面积为：1211113||||||||12122222222 AOB AOF BOFS S S OF y OF y=+=+=⨯⨯+⨯⨯=．故选：C.【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 7．C解析：C【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos0AF O BF F∠+∠=列方程可解得a，b，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF=，2||3||AB BF∴=，又1||||AB BF=，12||3||BF BF∴=，又12||||2BF BF a+=，2||2aBF∴=，2||AF a∴=，13||2BF a=，12||||2AF AF a+=，1||AF a∴=，12||||AF AF∴=，A∴在y轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.8．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．9．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-，即112122,M F F D F DE M =∴=,可知四边形12MF DE 为平行四边形；又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故==ce a， 故双曲线C的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54Px a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的解析：(-【分析】转化条件为点P 在线段AC 的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点()3,0A ，()3,0B -，()34cos60,4sin 60C +即(5,C ， 则线段AC的中点为(，直线AC的斜率AC k ==， 所以线段AC的垂直平分线的斜率3k =-， 所以线段AC的垂直平分线的方程为)43y x =--即33y x =-+， 设(),P x y ，由PA PC =可得点P 在线段AC 的垂直平分线上，又46PA PB AB -=<=，所以点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，该双曲线的方程为()221245x y x -=≤-，所以22145233x y x y x ⎧-=⎪⎪⎪≤-⎨⎪⎪=-+⎪⎩，解得8x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以点P的坐标为(-.故答案为：(-. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段AC 的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.14．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.15．【分析】将代入C 的渐近线方程可得点坐标利用两点间的距离根式可求导根据勾股定理可得再由可得代入即可【详解】将代入C 的渐近线方程得则不妨假设半径为因为是圆的切线所以即则因为所以即故故答案为：【点睛】本题解析：4【分析】将x b =代入C 的渐近线方程可得A 点坐标，利用两点间的距离根式可求导||AM ．根据勾股定理可得||AD ，再由||||AD AB =可得2238b a =，代入e =即可． 【详解】将x b =代入C 的渐近线方程ay x b=±，得y a =±，则||2AB a =． 不妨假设(),A b a ， (2,0)M b -，半径为b DM =， 222||(2)AM b b a =++，因为AD 是圆的切线，所以222||AD DMAM +=，即则22222||(2)8AD b b a b b a =++-=+．因为||||AD AB =，所以2282b a a +=，即2238b a =，故22221b e a =+=． 故答案为：224.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键点是用,,b a c 表示||||AD AB =，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.16．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，233b a =，结合222c a b =+，整理求得结果. 【详解】根据题意，可知233b PF a ==， 因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下： （1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.17．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F ，0)和2(F 0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，12||||22PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且06b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或6)b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x yG +=，与22163y x += 两方程相加得22222222x y x y +=⇒+=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．18．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--， 由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.19．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)常见有两种方解析：54【分析】设()()1122,,,M x y P x y 利用点差法得到22PM PN b k k a⋅=，即可求出离心率； 【详解】解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而有11119,16MN PN ENy y k k k x x ===-，又1190,MN yNMP k x ∠==，所以11MP x k y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a bx x x x y y y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩， 从而得到22PM PNb k k a⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==．故答案为：54【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为解析：1或1- 【分析】根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到直线斜率. 【详解】因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点， 所以斜率不为0，设直线AB 方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=， 由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-， 所以()21212424223x x m y y m +=++=+=⨯，解得1m =±所以直线的方程为1x y =±+， 所以1AB k =±. 故答案为：1或1-三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）本小题根据已知条件直接求出2a =，1b =，再求出椭圆方程即可.（2）本小题先设A 、B 两点，再将OA OB ⋅转化为只含m 的表达式，最后根据m 的范围确定OA OB ⋅的范围，即可解题. 【详解】解：（1）∵点M ⎭在椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）上，∴222112a b +=，又∵24a =， ∴ 2a =，1b =.∴椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =，则12122()x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=， 易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，则1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2214xy +=并整理得2258440x mx m -+-=.由216(5)0m ∆=->解得25m <，又由(12425x x m +=∈，则0m <<. 由韦达定理得1285m x x +=，2124(1)5m x x -⋅=，故OA OB ⋅1212x x y y =+()()1212x x x m x m =+-+-+ ()212122x x m x x m =-++ ()22281855m m m -=-+285m =-又∵. 04m <<∴OA OB ⋅的取值范围是861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）22184x y +=；（2）直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）通过点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形，可求得,a b ，从而可求椭圆方程；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及128k k +=，可得直线AB 的方程，从而可得直线AB 过定点；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，求出直线AB 的方程，即可得到结论.【详解】（1）由点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，可知2b =， 又12F MF △是等腰直角三角形，可得a =，即a =28a =，24b =所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=由已知0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：2121222428,1212km m x x x x k k --+==++， 128k k +=12221211212222y y kx m k k k x m x x x x -+-+-=+=+-∴+ 12212121142(2)()2(2)2(2)828x x km k m k m k m x x x x m +-=+-+=+-=+-=- 42kmk m ∴-=+，整理得122m k =- 故直线AB 方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(,),(,)A x y B x y -， 由已知得0000228y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法及易错点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和椭圆方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系对题目条件进行化简计算，从而可得出结论，另外设直线方程时常常不要忽略斜率是否存在的问题．23．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 24．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QR x =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQpPR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离.25．（1）221164x y +=；（2）112y x =±+.【分析】（1）首先设点()00,P x y ，利用平行线的性质求点,M N 的坐标，代入228OM ON +=，求点P 的轨迹方程；（2）由（1）可知，轨迹C 方程221164x y +=，直线:1l y kx =+与椭圆方程联立，利用公式1212AOBS OQ x x =⋅-△表示面积，求直线的斜率.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C.2 De 4
2. 双曲线—
4 12 2
-=1的焦点到渐近线的距离为（）
A
2A/3C V3
3.
2
已知双曲线二
cr
9 r
h2
4
1的一条渐近线方程为y = -x,则双曲线的离心率为（）
4. () A.9 B.
锥曲线与方程测试（1）
第I卷（选择题共60分）
一.选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.）
1.椭圆x2 +/ny2=l的焦点在），轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）
1 B.-
2
4 r
5 — c.—
3 4 1
已知椭圆* = 1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为
A. ----- F -— = 1
B. ------- 1 ---- = 1 100 36 100 64
9 9
八尸c. - 1—
25 16
=1 D. —+ = 1
25
哇一24
5.动点P到点M（1,0）及点》（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
3
6.中心在原点,焦点在x轴上，焦距等于6,离心率等于己，则椭圆的方程是（）
7.焦点为（0,6）且与双曲线—-/=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）
12 24 1
24 12 24 12
A.8V2
B.4V2
C.2V2
D.8.
X 2
D —
A .至多一个
B .2个
C.1个
D.0个
8. 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为Fi ，则满足△A8R 为等边三角形的椭圆的离心
率 是（）
A 1 R 右 「扼 n 1
4 2 2 2
9. 以双曲线-3炉+ V = ]2的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（）
A
^+£-I B E+U — 1
C —+^-I
D ^+^-1 16 12
16 4
12 16 4 16
一 V6
1（）.双曲线的虚轴长为4,离心率e = %-, 4.％分别是它的左•右焦点，若过4的直线与双曲
线的左支交于A.B 两点，且I A 引是\AF 2\^\BF 2 I 的等差中项，则I AB\等于（）
11 .己知双曲线中心在原点且一个焦点为F （V7,0），直线＞' =x-1与其相交于M,N 两点,
2
MN 中点横坐标为-一，则此双曲线的方程是（
）
3
A
3
4 - B 4
3 - C 5
2
12. 若直线mx + ny = 4和: x 1
+）户=4没有交点，则过（m,〃）的直线与椭圆
2 2
三+二=1的交点个数（ ）
9 4
第II卷(非选择题共90分)
%1.填空题(本大题共4小题,每小题4分洪16分.把答案填在题中的横线上・) 13.双曲线2x2 -y2 =m的一个焦点是(0,^3),则m的值是・
2
14.过点A(2,l)可以作条直线与双曲线x2-^- = l有且只有一个公共点.
4
7
15.在AABC中,AB = BC,cosB二一一，若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心
18
率e = _______
2 2
16.如果椭圆二+匕=1上的弦被点4(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是
36 9
%1.解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
3 5
17.已知椭圆两焦点坐标分别是4(0,-2), F2(0,2),并且经过点求椭圆的标准方程.
18.椭圆】+ ： = 1(。
〉b > 0)的离心率为—，椭圆与直线x + 2)，+ 8 = 0相交于点P,Q ,
cT b，2
且|PQ| = 求椭圆的方程.
x2 y2 3
19.设椭圆C: —+ ^ = 1(6/>/7>0)过点(0,4),离心率为己，
亦tr 5
(1)求椭圆c的方程.
4
(2)求过点(3,0)且斜率为史的直线被c所截线段的中点坐标.
2 2
20.Fi.&是双曲线3-* = 1的两个焦点，M是双曲线上一点，且四川・|的司=32,
求三角形△F1MF2的面积.
25 9 |
------ 1 ----- = 1
4a2 4/?2解得a2-b2=4a2 =10 b2=6
21.------------------------------------------------------------------ 已知椭圆一^+ %■ = 1 (。
＞。
＞0)的离心率为--------------------------------- ，右焦点为(2丁^,0) .斜率为cT b~3
1的直线/与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P (-3,0).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求APAB的面积.
22.已知椭圆的一个顶点为A(0,.l),焦点在x轴上.若右焦点到直线尤-y + 2扼=0的距
离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y = kx + m (k。
0)相交于不同的两点M・N.当\AM\ = \AN\时，求
m 的取值范围.
圆锥曲线与方程测试(1)答案
%1.选择题
AAABC CABDA DB
二.
13. -2 14.2 条15. 3/8 16。
x + 2y — 8 = 0
v
2子
17：依题意，设所求椭圆方程为J +与=1(。
"〉0)
Q- b~
3 5
因为点财(一一,一)在椭圆上，乂c、= 2,得｛
22
2 2
故所求的椭圆方程是匕+—= 1
10 6
=1 得4站+to«+3w'-12=0 ①
18.解:e = — =，则c — -^-a .^c2 = a1—b2，得疽=4 b2.
a 2 2
2 2
]i)‘ 二i
4.2 b2 ~ '消去X,得2/+8y + 16-Z?2=0.
x + 2 y + 8 = 0,
i zs _ i^2
由根与系数关系，得M +力=-4 , >V,2 =己二匚.
PQ|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 =5()、一力)2 =5[(H + y2)2-4y x y2] = W, 即5[16-2(16-b2)] = 10,解得b2=9，则a2 =36.
所以椭圆的方程为三+匕=1.
36 9
19.(1 匹+ 21 = 1
'，25 16
(2X%M)
7 2 5
20.解：由题意可得双曲线的两个焦点是A (0, -5) .K (0, 5),
由双曲线定义得：加川-|由％|| = 6，联立|咐|・|" = 32得
MF^ + |MF2|2 =100= |F]F2|2所以△ F I MF2是.直角三角形，从而其而积为
伊：|阴.阴=16
21.解：(1)由巳知得c = 2>/2,- = —解得a = 2^3.又= 4
a 3
所以椭圆G的方程为F—— = 1
12 4
(2)设直线｝的万程为, = X+ML由心2 2
—+ —
U2 4
(
1 9
所以APAB 的面积S=- AB ・d= —
2
2
_____
22.解:⑴依题意可设椭|员1方程为二+必=1,则右焦点F(J/_1,O )由题设 cr
J 。
之 - 1 + 2^2|
X 2
1=3,解得/ =3,故所求椭圆的方程为一
3
V 2
+ y 2 = 1.
、2
——+)注=1⑵设 P 为弦 MN 的中 3.
y = kx + m
x 2
，得 —+ y 2
= 1
3
(3k 2
+ l)x 2
+ 6mkx + 3(/??2
-1) = 0
由于直线与椭圆有两个交点即n?<3『+i ①,
A)0. /. m 2(16
设A.B 的坐•标分别为ChaXG,<不办AB 中点为E (.■)、)，
近3M
则 ^ = -2- = ~^9=^
因为AB 是等腰APAB 的底边，所以PE±AB.所以PE 的斜率
2-竺
k=——=-1
-3 +丝
4
解得m=2.此时方程①为4, +12x=。
.解得气=一31\ = 0. 所以 Xi =
=2.所以IABI= 3j2 .
此时，点P (—3, 2)到直线AB ：不一/+2 = 0的距离
f=十=一器I’从皿四"翥
3mk
:.k A =上旦=—,又 | AM | = |出V|，/. API MN,则
"%， i”
一〃'+ 3妃+1=__L,即 2m = 3k 2
+l
② 3mk k
c [
1
把②代入①得2m >m 2解得0<sv2,由②得k 2
=-^>0,解得m>-. 3 2
故所求m 的取范围是(-,2)
2。