35 线性离散系统状态方程的解

响 数与输入的卷积
递推法(6/10)
� 对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
1. 与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成,
� 一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的 输入无关,称为系统状态的零输入响应;
� 另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与 初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响 应。
⎢
⎥
⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥
⎢⎣ 0
0 ... 0 ... λki ⎥⎦
其中Ωkj=k!/[(k-j)!j!]为二项式系数。
k <m
(4) 对系统矩阵G,当存在线性变换矩阵P,使得
则有
G~=P-1GP
G~k = P−1Gk P Gk = PG~k P−1
递推法(10/10)
递推法(2/10)
� 若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复 以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推 求解公式: x(k) = Gkx(0) + Gk−1Hu(0) + ...+ GHu(k - 2) + Hu(k -1)
k −1
∑ = Gk x(0) + Gk− j−1Hu( j)
j =0
递推法(5/10)
� 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: � 连续系统
t
x(t) = Φ(t)x0 + ∫0 Φ(t −τ )Bu (τ )dτ
� 离散系统
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ(k - j -1)Hu( j)
j =0
初始状 初始时刻后输入的 态的影 影响,为脉冲响应函
j =0 k −1
∑ = CGk x(0) + CG j Hu(k − j −1) + Du(k)
j =0
输出方程的解(2/2)
或
k −1
y(k) = CΦ(k)x(0) + ∑CΦ(k - j -1)Hu( j) + Du(k)
j =0
k −1
= CΦ(k)x(0) + ∑CΦ( j)Hu(k − j −1) + Du(k)
0
...
Ω λ ⎤ mi −1 k −mi +1 ki
...
Ω λ ⎥ mi −2 k −mi +2
k
i
⎥
...
... ⎥
...
λki
⎥ ⎥⎦
k ≥m
⎡λki Ωk1λik−1 ... 1 ... 0 ⎤
⎢ ⎢
0
λki
...
Ωk1λki −1
...
...
⎥ ⎥
= ⎢ ... ... ... ... ... 1 ⎥
线性定常离散系统状态方程的解(1/1)
3.5.1 线性定常离散系统状态方程的解
� 下面介绍线性定常离散系统的状态方程求解的 � 递推法和 � Z变换法。
最后讨论输出方程的解
递推法(1/10)
1. 递推法
� 递推法亦称迭代法。 � 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……
k −1
∑ x(k) = Φ(k , k0 )x(k0 ) + Φ(k , i +1)H (i)u(i)
i=k0
式中, Φ(k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。
线性时变离散系统状态方程的解(2/6)
� 线性时变离散系统的状态转移矩阵Φ(k ,k0)满足如下矩阵差 分方程及初始条件：
其解为
3.5 线性离散系统状态方程的解
� 本节研究线性定常离散系统方程的解,需解决的主要问题: � 状态转移矩阵 � 状态转移矩阵的性质 � 状态方程的求解 � 状态方程解的各部分的意义 � 输出方程的解
线性离散系统状态方程的解(2/2)
� 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法 两种主要方法: � Z变换法只能适用于线性定常离散系统, � 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 � 下面将分别讨论 � 线性定常离散系统 � 线性时变离散系统 的状态空间模型求解。
2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1
z −1
zI − G =
= (z + 0.2)(z + 0.8)
0.16 z + 1
Z变换法(5/7)—例3-14
( zI
-
G )−1
=
adj( zI | zI -
-G) G|
=
⎡ z +1 ⎢⎣- 0.16
=
1 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
4
z + 0.2 − 0.8
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
� 概述 � 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 � 3.2 状态转移矩阵及其计算 � 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 � 3.4 线性定常连续系统的离散化 � 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 � 3.6 Matlab问题 � 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统状态方程的解(1/2)
其中Gi为mi×mi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为
{ } Φ(k ) = Gk = block - diag G1k G2k ... Glk
递推法(9/10)
(3) 约旦块矩阵。 当Gi为特征值为λi的mi×mi维约旦块,则分 块矩阵的矩阵指数函数为
⎡λki
Gik
=
⎢ ⎢
0
⎢ ...
⎢
⎢⎣ 0
Ωk1 λik −1 λki ...
x(k
)
=
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦,
⎡0⎤ ⎢⎣1.84⎥⎦,
⎡ 2.84 ⎤ ⎢⎣− 0.84⎥⎦,
⎡ 0.16 ⎤ ⎢⎣1.386⎥⎦
ห้องสมุดไป่ตู้
输出方程的解(1/2)
3. 输出方程的解
� 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k)
中,可得输出y(k)的解为
k −1
∑ y(k) = CGk x(0) + CGk− j−1Hu( j ) + Du(k)
j =0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
� 因此,离散系统的状态方程的解为:
k−1
∑ x(k) = Gkx(0) + Gk− j−1Hu( j)
j=0
该表达式与前面递推法求解结果一致。
� 例3-14 已知某系统的状态方程和初始状态分别为
x(k
+1)
=
⎡ ⎢⎣−
0 0.16
−11⎥⎦⎤x(k) + ⎢⎣⎡11⎥⎦⎤u(k)
⎤
=
⎢ ⎢ ⎢
(z
+ 0.2)( z + 0.8)( z (- z 2 + 1.84 z) z
- 1)
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ ( z + 0.2)( z + 0.8)( z - 1) ⎥⎦
=
1 18
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
- 51z
z + 0.2 10 .2z
+ +
z -
44
+ 0.8 35 .2
+ +
25 ⎤
z7
1⎥⎥ ⎥
= 3 ⎢⎣- 0.8(-0.2)k + 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k ⎤
-
(-0.2)k
+
4(-0.8)k
⎥ ⎦
Z变换法(6/7)—例3-14
� 由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]
⎡
(z 2 + 2) z
0 0.16
1 ⎤⎡ 0 ⎤ − 1⎥⎦ ⎢⎣1.84⎥⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡ 2.84 ⎤ ⎢⎣− 0.84⎥⎦
x(3)
=
⎡ ⎢⎣−
0 0.16
1 ⎤⎡ 2.84 ⎤ −1⎥⎦⎢⎣− 0.84⎥⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡ 0.16 ⎤ ⎢⎣1.386⎥⎦
类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。
对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]
Z变换法(2/7)
� 在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
{ } Z −1 1/(1− az−1 ) = ak
k
∑ Z −1{W1 (z)W2 (z)} = w1(k − i)w2 (i)
⎣ z + 0.2 z + 0.8 z -1⎦
Z变换法(7/7)—例3-14
x(k )
=
Z
−1{ X
( z )}
=
1 18
⎡ - 51(-0.2) k ⎢⎣10 .2(-0.2) k
+ 44(-0.8) k + - 35.2 (−0.8) k
25 ⎤
+
7
⎥ ⎦
� 令k=0,1,2,3代入上式,可得
i =0
其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。
还记得自 控原理吗?
� 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
{ } { } Gk = Z −1 (I - Gz−1)−1 = Z −1 (zI - G)−1 z
k −1
∑ Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} = Z -1{( zI - G)-1 z ⋅ z-1HU (z)} = Gk- j-1Hu( j)
j =0
线性时变离散系统状态方程的解(1/6)
3.5.2 线性时变离散系统状态方程的解
� 设线性时变离散系统的状态空间模型为
⎧ x(k + 1) = G(k) x(k) + H (k)u(k)
⎨ ⎩
y(k
)
=
C
(k
)
x(k
)
+
D(k)
u(
k)
式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。
� 假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为
� 若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:
k −1
∑ x(k) = G k −k0 x(k0 ) + G k − j−1Hu( j)
j =k0
或
k −k0 −1
∑ x(k) = Gk −k0 x(k0 ) + G j Hu(k − j −1)
j=0
递推法(4/10)
� 与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程 求解,亦可引入状态转移矩阵。
� 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: Φ(k+1)=GΦ(k) Φ(0)=I
� 用递推法求解上述定义式,可得
Φ(k)=Gk
因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ(k - j -1)Hu( j)
j =0
亦为
k −1
x(k) = Φ(k)x(0) + ∑ Φ( j)Hu(k - j -1)
Z变换法(1/7)
2. Z变换法
� 已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
对上式两边求Z变换,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z)
于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)
� 用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z)
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成,
� 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。
递推法(7/10)
3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。 � 这即为计算机控制系统固有的一步时滞。
递推法(8/10)
� 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵。 当G为如下对角线矩阵: G=diag{λ1 λ2 … λn} 则状态转移矩阵为
{ } Φ(k ) = Gk = diag λ1k λk2 ... λkn
(2) 块对角矩阵。 当G为如下块对角矩阵: G=block-diag{G1 G2 … Gl}
j =0
� 上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k) = Gkx(0) + Gk−1Hu(0) + ...+ GHu(k - 2) + Hu(k -1)
k −1
∑ = Gkx(0) + G j Hu(k − j −1)
j =0
递推法(3/10)
⎡1⎤ x(0) = ⎢⎣−1⎥⎦
试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。
Z变换法(4/7)—例3-14
� 解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有
x(1)
=
⎡ ⎢⎣−
0 0.16
1⎤ −1⎥⎦
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣1.84⎥⎦
x(2)
=
⎡ ⎢⎣−
+
z
1
+ 0.8 0.8
⎣ z + 0.2 z + 0.8
1⎤
z
⎥ ⎦
/[(
z
+
0.2)(
z
+
0.8)]
z
5
+ 0.2 -1
+
z
5
+ 0.8 4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
z + 0.2 z + 0.8⎦
� 因此,有
Φ(k) = Gk = Z −1[(zI - G)−1] 1 ⎡ 4(-0.2)k - (-0.8)k
⎧Φ(k + 1 , k0 ) = G(k)Φ(k , k0 ) ⎨⎩Φ(k0 , k0 ) = I
Φ(k , k0 ) = G(k −1)G(k − 2)...G(k0) , k > k0