2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析

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2013高考试题解析分类汇编解答题-推荐下载

1 2

6 2
,故
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18
③

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①
②
0
x

35 5
,其中,

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6, 2
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y

1 2
,
2

3
5 5

x2 3.．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆 C : a2

(x1 1)(x2 1) y1 y2 x1x2 (x1 x2 ) 1 k 2 (x1 1)(x2 1) (k 2 1)x1x2 (k 2 1)(x1 x2 ) k 2 1 7k2 1 0 ,
2k 2 1
解得 k 2 1 ,即 k

且
的轨迹方程是 10 y
1
x2

y

3 2
22
,即
1 ,则

22

6 2k 2 1,
x
3x2

y

18

3x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2013年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2013•上海）不等式＜0的解为0＜x＜．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）（2013•上海）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．解答：解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．点评：本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题．3．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）（2013•上海）已知，，则y=1．考点：二阶行列式的定义．专题：计算题．分析：利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．解答：解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．解答：解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）（2013•上海）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．解答：解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．点评：本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）（2013•上海）方程的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．解答：解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为log34．故答案为：log34．点评：本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）（2013•上海）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B 是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．解答：解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．解答：解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．考点：基本不等式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围解答：解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）点评：本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．解答：解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2013•上海）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣考点：反函数；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．解答：解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选A．点评：本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；规律型．分析：“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，解答：解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0B．C．2D．2考点：数列的极限；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．解答：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．点评：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）（2013•上海）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．解答：解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．点评：本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；解答：解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键22．（16分）（2013•上海）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．考点：等差关系的确定；数列的函数特性；等比关系的确定．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；解答：解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a 1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而a n=1（n=1，2，…），所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=a m+1﹣a m=2﹣|a m|﹣a m＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列．点评：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。

2013年上海高考数学试题(理科)解析

4 2013年上海市秋季高考理科数学2•设R , m 2・m-2 • （m 2-1）i 是纯虚数，其中■ ■ 2m m -2 二 0—2 二 m = —2m 2-1 = 0【解答】x 2 y 2 = -2xy= x y = 0 .2 2 24.已知△ ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为 a 、b 、c ,若3a - 2ab - 3b -3c = 0 ,则角C 的大小是 _______________ （结果用反三角函数值表示）2 2 2 2 2 22 11 【解答】3a 2ab 3b -3c =0= c 二 a b ab ，故 cosC ,C-= -arccox .3 33f a f5 .设常数a E R ，若.x 2十一 I 的二项展开式中x 7项的系数为—10，则a = __________I x 丿【解答】下 1 =c 5（x 2）5」（a ）r ,2（5-r ）-r =7二 r =1, 故 C s a = -10n a = -2 .x316.方程 ------ +丄=3乂」的实数解为 _________3x -1 3【解答】原方程整理后变为 32x -2 3x -8 =0= 3x =4= x = log 34 .7 .在极坐标系中，曲线 P =COS 日+1与卩COS 。

=1的公共点到极点的距离为 ____________1 + \!51 + xf 5【解答】联立方程组得「（『-1）=1=『--—,又］_ 0 ,故所求为 --------- .228. ____________________________ 盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6,乙8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）C 213【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1 -电=13 .C| 189. 设AB 是椭圆-的长轴，点C 在-上,且• CBA ，若AB=4 , BC 二 2 ，则】的两个焦点1.计算：lim n +2° =n—F 3n 13一、填空题【解答】根据极限运算法则,2 2x yx x若 -1 1 = y -y3 • lim^20 J J ：3n 13 3i 是虚数单位，则 m = _________【解答】之间的距离为__________4110.设非零常数 d 是等差数列X | ,X 2, X 3,| |(, X !9的公差，随机变量■等可能地取值X | ,X 2, X 3,| |(,捲9 ,【解答】E =x 10,D 「d (9282 川 12 02 12 川 92) = • 30|d |.V 191 211.若 cosxcosy sinxsiny ,sin 2x sin2y，贝U sin(x y)二2 2 ,sin2x sin2y = 2sin(x y)cos(x - y) ，故 sin(x y)=332二f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 X .0时，f(x)=9x ・^・7，若xf (x) _ a T 对一切x _0成立，则a 的取值范围为2a【解答】f(0)=0，故 0 亠 a1=a_-1 ;当 x 0 时，f(x)=9x 7_a1x8 即 6|a|_a 8，又 a_-1，故 a 岂 72 213.在xOy 平面上，将两个半圆弧(x-1) y =1(x^1)和29(x -3) y =1(x_3)、两条直线y=1和y - -1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分•记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为门，过(0, y)(| y 任1)作门的水平截面，所得截面面积为4二'...1 -y 2• 8二，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Q 的体积值为 ____________【解答】根据提示，一个半径为1,高为2二的圆柱平放，一个高为 2，底面面积8二的长方体，这两个几何体与门放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即门的体积值为二12 2二，2 8二-2二2 *16二. 14.对区间I 上有定义的函数g(x)，记g( I) = {y | y = g(x), I}，已知定义域为[0,3]的函数y 二 f (x)有反函数 y 二 f '(X )，且 f 4([0,1)) =[1,2), f _1((2,4]) =[0,1)，若方程 f (x)-x = 0 有解 X 0，贝V X 。

上海市春季高考数学试卷答案与解析

2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．=2，可得=24．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．=5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=．，得﹣故答案为：，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．（sinx+cosx==7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．，代入计算即可得出复数=故答案为：8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．，，12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．B解：根据由题意得，﹣1的反函数，的反函数，，即可得到它的一个方向向量（k=，=）16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．解：因为﹣＜B=，∴18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，，则10••）上是减函数，在（根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．==，解之得（舍负）因此，这两个球的体积之比为=）23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（），三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．C=C=．×=2，=3，×6=1826．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．，求得﹣﹣27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．时，=公比为=．28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．系写出两个交点的横坐标的和，把的方程为．根据题意知，解得的方程为的方程为由因为，所以，即===，解得的方程为29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标，由，所以，，解得，解得或）和（30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．，知==，解得=≥，当且仅当，）上为增函数，最大，其最大值为31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．==由不等式=。

上海市春季高考数学试卷(含答案)

2013 年上海市一般高等学校春天招生考试数学试卷一 . 填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题, 要求直接填写结果 , 每题填对得3 分 , 不然一律得 0 分。

[根源 : ZXXK]1．函数 y log 2 (x 2) 的定义域是2．方程 2x8 的解是3．抛物线 y 2 8x 的准线方程是4．函数 y2sin x 的最小正周期是r， r(9，kr r5．已知向量 a, b6) 。

若 a // b, 则实数k(1 k)6．函数 y 4sin x 3cos x 的最大值是7．复数 2 3i （ i 是虚数单位）的模是8ABCA B C a b c a ，，60 o , 则b=中 , 角 , 若 5 b 8 B．在、、所对边长分别为、、9．在如下图的正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中, 异面直线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小为D 1C 11AB 1DCAB10．从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选用 3 人参加某社团活动 , 选出的3 人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。

．若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为57,则数列的前 n 项和S n =。

1112． 36 的全部正约数之和可按如下方法获得：因为 36=2 2 32, 所以 36 的全部正约数之和为(1 3 32)(223232)(2222 3 22 32) (1 2 22（)1 3 32) 91参照上述方法 , 可求得 2000 的全部正约数之和为二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题, 每题都给出四个结论 , 此中有且只有一个结论是正确的。

考生一定把真确结论的代码写在题后的括号内, 选对得 3分, 不然一律得 0 分。

13．睁开式为ad-bc）的队列式是（a b a c a d b a （ A ）d c(B)b d(C)b c(D)d c14f-1(x)为函数 f (x)x 的反函数,以下结论正确的选项是（）．设(A)f1(2)2(B)f1 (2)4(C)f1(4)2(D)f1(4)415．直线2x3y10 的一个方向向量是（）(A)(2， 3)(B)(2，3)(C)( 3，2)(D)(3，2)116．函数f ( x)x 2的大概图像是（）y y y yA x 0B x0x0xC D17．假如a b 0 ,那么以下不等式建立的是（）(A)11(B)ab b2(C)ab a2(D)11a b a b18．若复数z1、z2知足z1z2,则z1、z2在复数平面上对应的点Z1、Z2（）(A)对于 x 轴对称(B) 对于y轴对称(C)对于原点对称(D) 对于直线y x 对称19．(1 x)10的二项睁开式中的一项为哪一项（）（A ）45x（ B）90x2（C）120x3（ D）252x420．既是偶函数又在区间(0， ) 上单一递减的函数是（）（A ）y sin x （B）y cos x（ C）y sin 2 x （D） y cos 2 x21．若两个球的表面积之比为1: 4则这两个球的体积之比为（）,（A ）1: 2（B）1: 4（C）1:8（ D）1:16 22．设全集U R ,以下会合运算结果为 R 的是（）（A ）Z U e u N（B）NI e u N （C）痧u( u)（ D）e u{0}23a、b、c R ,“b 4ac 0”是“函数f (x) ax bx c的图像恒在x 轴上方”．已知22的（）（A ）充足非必需条件（ B）必需非充足条件（C）充要条件（D ）既非充足又非必需条件24．已知A、B为平面内两定点, 过该平面内动点M作直线AB的垂线 , 垂足为N . 若uuuur 2uuur uuur为常数 , 则动点M的轨迹不行能是（MN AN NB,此中）（A ）圆（ B）椭圆（ C）抛物线（ D ）双曲线三、解答题（本大题满分78 分）本大题共有 7 题, 解答以下各题一定写出必需的步骤。

2013年上海市春季高考数学试卷及解析

2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是．2．（3分）方程2x=8的解是．3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是．5．（3分）已知向量，．若，则实数k=．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出1的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=415．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣3，2）D．（3，2）16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）2A ．B ．C ．D ．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A ．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D ．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3D．252x420．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：1622．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁U N B．N∩∁U N C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}323．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N ．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．427．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q 两点，且，求直线l的方程．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P 满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n ∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．531．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．62013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．2．（3分）方程2x=8的解是3．【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3，故答案为3．【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．73．（3分）抛物线y2=8x 的准线方程是x=﹣2．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是2π．【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是，运算可得结果．【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是==2π，故答案为2π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．85．（3分）已知向量，．若，则实数k=．【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2﹣x2y1=0．6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos ∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．9【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．【解答】解：∵复数2+3i，∴2+3i的模=．故答案为：．【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，∴根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49解之得b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．109．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．11【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．【分析】设等差数列的前n项和S n=an2+bn，则由题意可得，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和S n的解析式．【解答】解：设等差数列的前n项和S n=an2+bn ，则由题意可得，解得，故数列的前n项和S n=，故答案为．12【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为4836．故答案为：4836．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）13A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（）A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=4【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=的反函数，∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，故选：B．14【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣3，2）D．（3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选：D．【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（）A ．B ．C ．15D ．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A ．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D ．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．16可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．18．（3分）若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称．【解答】解：若复数z1，z2满足z1=，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称，故选：A．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（）A．45x B．90x2 C．120x3D．252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为T r=•x r，即可得出结论．+117【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为T r=•x r，故当r=3时，此+1项为120x3，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B 中的函数满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sinx和y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）18A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C．【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A．Z∪∁U N B．N∩∁U N C．∁U（∁u∅）D．∁U{0}19【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．【解答】解：∵全集U=R，∴Z∪∁U N=R，N∩∁U N=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R|x≠0}．故选：A．【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．20从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N ．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M 的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；21综上，方程不表示抛物线的方程．故选：D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．【分析】因为CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．【解答】解：因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，22从而S==3，△ABC因此该三棱柱的体积为V=S×AA1=3×6=18．△ABC【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣）•x=﹣23=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．27．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．【分析】先由S n求出a n，进而得到b n，由b n的表达式可判断数列{b n}是无穷等比数列，从而可得答案．【解答】解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a1=S1=0，所以a n=﹣2n+2．因为=，所以数列{b n}是首项为1、公比为的无穷等比数列．24故==．【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据S n与a n的关系求出a n．28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q 两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C 的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C 的方程为．25（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C 的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l 的方程为或．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了26根与系数关系，属有一定难度题目．29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P 满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F 的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x A，y A），则，因为F的坐标为（1，0），所以，由，得（x﹣x A，y﹣y A）=﹣2（x A﹣1，y A）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），27则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n ∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．28【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAP n =．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n）==．因为≥，所以tanθn ≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn ＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn 最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．2931．（18分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b 是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，30由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化31思想．属于中档题．32。

2013年高考理科数学上海卷-答案

【解析】复数【解析】22 11x y= -【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论【考点】二阶行列式的定义【解析】232a ab+1arccos3-，故答案为2.7x的系数是【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第方程求解即可.x-=，即2380，CBA∠=43b-=-3322x y【解析】cos cosx，sin2sinx+276a x x -=面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为2π16π+.【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值. 【考点】反函数，函数的零点二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时AB =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件. 【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mna a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，i j i a a a a ++为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，，m ()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，m ∴【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 13222223=，所以的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=令1v =，可得，可得(2,1,2)n =-由于(1,0,BC '=-0n BC '∴=-，故有n BC '⊥内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D 的距离|||2||n CB d n ⨯==的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线||||n BC n '的值，即为直线【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定110x ≤≤（2）设利润为110≤≤x故甲厂应以【提示】（）函数11 / 11③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。

2013年上海市高考数学试卷(文科)-含答案详解

第1页，共13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 函数f(x)= x 2−1(x ≥0)的反函数为f −1(x)，则f −1(2)的值是( ) A.B.C.D.2. 设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)(x −a)≥0}，B ={x|x ≥a −1}，若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A. ( −∞,2)B. ( −∞,2]C. ( 2,+∞ )D. [2,+∞ )3. 钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件4. 记椭圆=1围成的区域(含边界)为Ωn (n =1，2，…)，当点(x ，y)分别在Ω 1，Ω 2，…上时，x + y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则=( ) A. 0 B. ‘ C. 2 D.第II 卷（非选择题）第2页，共13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 不等式<0的解为______．6. 在等差数列{a n }中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3=______．7. 设m R ，m 2+ m −2+(m 2−1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m =______． 8. 已知=0，=1，则y =______．9. 已知△ ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ ab + b 2− c 2=0，则角C 的大小是______．10. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．11. 设常数a R.若的二项展开式中x 7项的系数为−10，则a =______．12. 方程=3 x 的实数解为______．13. 若cos x cos y +sin x sin y =，则cos(2x −2 y)=______．14. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为，则=______．15. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．16. 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠ CBA =.若AB =4，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为______．17. 设常数a >0.若9 x +≥ a +1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为______．第3页，共13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………18. 已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l {1,2,3}且i ≠ j ，k ≠ l ，则(a i + a j )·( c k + c l )的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。

2013年上海高考数学文科试卷带详解

2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式021xx <-的解为 . 【测量目标】分式不等式.【考查方式】给出分式不等式，求出满足不等式的解.【参考答案】(0，12) 【试题解析】因为021x x <-，可得(21)0x x -<，则102x <<，所以答案为(0，12) . 2.在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += . 【测量目标】等差数列的的基本性质.【考查方式】通过给出等差数列前四项和，利用等差数列的基本性质(当m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+)，求出23a a +.【参考答案】15【试题解析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，满足m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+，因为1+4=2+3，则2314a a a a +=+15=，所以答案为15.3.设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = .【测量目标】复数的基本概念，纯虚数.【考查方式】考查了虚数为纯虚数时，虚部为不为零的实数，实部为零，来求出m . 【参考答案】2-【试题解析】根据题意得220m m +-=，得出1m =或2m =-，又因为210m -≠，则1m ≠±，所以1m =舍去，从而答案为2m =-.4.若2011x =，111x y=，则x y += . 【测量目标】行列式的运算.【考查方式】通过给出两个行列式，进行化简展开，求出x 和y. 【参考答案】3【试题解析】由题意知20x -=和1x y -=，可得2,1x y ==，所以容易得出3x y +=. 5.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c .若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）. 【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形边的关系，转换成余弦定理，得出角C 的值.【试题解析】根据余弦定理将2220a ab b c ++-=变换为222cos 2a b c C ab+-==12-，所以角C 的大小为2π3. 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【测量目标】加权平均数.【考查方式】通过给出男生在年级学生所占的比例和男女学生分别的平均分数，求出年级学生的总量和平均分数. 【参考答案】78【试题解析】根据题意可知，首先设高一年级男女生的总人数为x ，由此可得40%75(140%)8078x x x+-= .7.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = .【测量目标】二项式定理.【考查方式】已知二项式，通过二项式定理，求出其中的未知量. 【参考答案】2-【试题解析】根据题意可知，写出二项展开式的通项，从而确定7x 的系数.该二项展开式的通项为25103155C ()()C rrr r r r r a T x a x x--+==令1r =，得1725C T ax =，因为项的系数为-10,即15C 10a =，所以a2=-. 8.方程91331x x+=-的实数解为 . 【测量目标】指数方程的求解.【考查方式】通过给出函数的等式，利用换元法来求出x 的值. 【参考答案】3log 4【试题解析】根据函数的等式，通项得出38331x x x+=-232380x x ⇒--= ，令3x t =，可得2280t t --=，解得4t =或2t =-，因为3x 恒大于零，所以34x t ==，所以3log 4x =.9.若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= . 【测量目标】余弦函数的两角和与差，余弦函数的二倍角.【考查方式】通过给出余弦函数两角差的展开式，再利用二倍角的的恒等变换，从而求出cos(22)x y -的值.【试题解析】由1cos cos sin sin cos()3x y x y x y +=-=，()cos 22x y -=cos[2()]x y -= 22cos ()1x y --=79-. 10.已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则lr= .【测量目标】空间异面直线的所成角.【考查方式】通过给出圆柱中的异面直线，根据直线空间中的平移，求出半径r .【试题解析】由图可知πtan6r ll r，==⇒= 11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 【测量目标】古典概型，排列数的应用.【考查方式】给出不同的编号的球，利用排列求出概率. 【参考答案】57【试题解析】根据题意，从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有27C 21=个.2个数之积为奇数⇒2个数分别为奇数，共有24C =6个.所以2个数之积为偶数的概率2427C 6511C 217P =-=-=.12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=.若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 .【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】通过给出椭圆内三角形的边和角，椭圆的长轴，求出两个焦点的距离.【参考答案】3【试题解析】设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2423b c ==， 13.设常数0a >，若291a x a x++…对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .【测量目标】基本不等式的应用.【考查方式】给出含有未知数的不等式，利用均值不等式，求出a 的范围. 【参考答案】1[,)5+∞【试题解析】由题知，当0x >时，21()9615a f x x aa a x =+=+⇒厖?.14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c.若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c ++的最小值是 .【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】已知向量的大小和方向，判断出()()i j k l a a c c ++最小值.【参考答案】-5【试题解析】当向量()()i j k l a a c c ++ 互为相反向量，且它们的模最大时，()()i j k la a c c ++最小.这时i a ,,,,j k l AC a AD c CA c CB ==== ()()i j k l a a c c ++=25i j a a -+=- .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.函数()()211f x x x =-…的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（）B.C.1+D.1【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数的解析式，求出其反函数在对应点的值. 【参考答案】A【试题解析】由反函数的定义可知，x …12,2()1f x x x ==-⇒=116.设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--…，{}|1B x x a =-….若A B =R ，则a 的取值范围为（） A.(),2-∞B.(],2-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞【测量目标】集合的基本运算（并集）.【考查方式】结合不等式的性质，通过集合的并集运算，求出a 取值范围. 【参考答案】B【试题解析】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ⎧⎨-⎩……或11a a a ⎧⎨-⎩……，解答选项为B ．17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出一句逻辑用语，判断出结果. 【参考答案】A【试题解析】根据题意，得出结果为充分条件.18.记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞= （）A.0B.41C.2D.【测量目标】函数的极限和函数的最值.【考查方式】给出含有未知数的椭圆方程，椭圆上的点，还有每个点横坐标和与纵坐标和的最大值，求出n M 的极限.. 【参考答案】D【试题解析】椭圆方程2222221lim 1.14414444n x ny x y x y n n→∞+=⇒+=+=++（步骤1）22144x y u x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立⇒2222()42240x u x x ux u +-=⇒-+-=,（步骤2）22=48(4)0.u u ∆--…⇒222(4)u u --0… （步骤3）⇒[u ∈-所以x +y 的最大值为（步骤4）三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.【测量目标】三棱锥的表面积与体积.【考查方式】给出三棱锥的边长和高，求出三棱锥的表面积与体积. 【试题解析】O ABC -三棱锥的体积11133O ABC ABC V S -=== △.1）设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ=1，QE=3,在Rt OQE△中22222413OE OQ EQ OE=+⇒+=⇒=，2）三棱锥O ABC-的表面积332O ABC OBC ABCBCS S S OE-=+=+=△△.3）所以，三棱锥O ABC-的体积3O ABCV-=，表面积O ABCS-=.4）20.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x剟），每小时可获得的利润是3100(51)xx+-元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为213100(5)ax x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润.【测量目标】函数模型及其应用.【考查方式】通过题意，写给出函数的模型，求出最大的利润.【试题解析】（1）每小时生产x克产品，获利310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭，生产a千克该产品用时间为ax，所获利润为2313100511005ax ax x x x⎛⎫⎛⎫+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g.（步骤1）（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x⎛⎫+-⎪⎝⎭21161900003612x⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以6x=，最大利润为619000045750012⨯=元.（步骤2）21.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x xω=，其中常数0ω>.（1）令1ω=，判断函数π()()()2F x f x f x=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x=的图像向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像.对任意的a ∈R ，求()y g x =在区间[,10π]a a +上零点个数的所有可能值.【测量目标】三角函数的图像和性质，抽象函数的奇偶性，三角函数图象的变换.【考查方式】给出了函数的解析式，判断出抽象函数的奇偶性，再求出函数的图像变换后的某个区间的零点个数.【试题解析】．法一：解：（1）ππ()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x =++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.(步骤1)∵ππ()0,()44F F -==ππππ()(),()()4444F F F F -≠-≠- ∴函数π()()()2F x f x f x =++是既不是奇函数也不是偶函数.（步骤2）（2）2ω=时，()2sin 2f x x =，ππ()2sin 2()12sin(2)163g x x x =++=++，其最小正周期πT =.(步骤3)由π2sin(2)103x ++=，得π1sin(2)32x +=-，∴ππ2π(1),36k x k k +=--∈g Z ，即πππ(1),2126k k x k g =---∈Z 区间[],10πa a +的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；（步骤4）故当πππ(1),2126k k a k =---∈Ζg 时，21个，否则20个. （步骤5）法二：【解析】（1）ππ1()2sin ,()()()2sin 2sin()22f x x F x f x f x x x ω时，===++=++π2sin 2cos ).4x x x =+=+（步骤1）周期2π2π,T y x ω===是奇函数，∴图像左移π4后得π())4f x x ，=+既不是奇函数，也不是偶函数.（步骤2）（2）ω=2，将函数y =f (x )的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y =g (x )ππ()2sin 2,()()12sin 2()1,66f x xg x f x x ==-+=-+最小正周期πT =.3（步骤）所以()y g x =在区间[,10π]a a +、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,否则21个. （步骤4）22.（本题满分16分）本题共有3个小题, 第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足*1(),n n a f a n +=∈N .（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由.【测量目标】函数与数列的关系，等比数列的性质，等差数列的性质.【考查方式】已知函数的解析式和数列和函数的关系，首项条件不同时，求出各个数列的项. 【试题解析】（1）由111234()2||,02,0,2n n n n a f a a a a a a a ++=⇒=-=⇒===.（步骤1）（2）123,,a a a Q 成等比2223221212||(2||)a a a a a a a ，⇒==-⇒=-且212||a a =- 22111111(2||)[2|2|||](2)[2|2|]a a a a a a ⇒-=--⇒-=--.（步骤2）分情况讨论如何：当120a …-时，[]22111111(2)2212a a a a a a （），且-=--=⇒=….（步骤3）当120a -<时，[]222111111111(2)22(4)2840442a a a a a a a a a （）-=--=-⇒-+=⇒-+=22111112840(2)222a a a a a …⇒-+=⇒-=⇒=+.综上11a =，，或12a =（步骤4）（3）假设存在公差为d 的等差数列{}n a 满足题意，则1*,2||n n n n a a a d N ：+∀∈=-=+.||2n n a a d +=-⇒讨论如下:当n a m =即数列{}n a 为常数数列时10,2211n n d a a a ==⇒=⇒=，.（步骤5）当数列{}n a 不是常数数列时02020,n n a d d a ，⇒<-=⇒=⇒∃>所以不满足题意. 综上，存在11a =的等差数列{}n a ，且1n a =满足题意.（步骤6）23.（本题满分18分）本题共有3个小题.第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”.（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【测量目标】双曲线的简单几何性质及其与直线的关系【考查方式】给出双曲线的方程和直线的方程，利用双曲线的几何性质它们的相互关系，求出相关问题.【试题解答】由1C 方程2212x y -=可知2222212,1,3,(a b c a b F ===+=：, 显然，由双曲线1C 的几何图像性质可知，过相交的任意直线都与曲线11C F .（步骤1）在曲线2C 图像上取点P (0,1)则直线均有交点、与两曲线211C C PF .这时直线方程为y x =+⇒0x -=，所以，C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”.过该焦点的一条直线方程是033=--x y .（步骤2）（2）证明“若直线y kx =与2C 有公共点，则k ＞1”双曲线1C 的渐近线.b y x x a =±=：若直线y kx =与双曲线1C 有交点，则k A （∈=. 若直线y kx =与曲线2C 有交点，则11k B （-，-）（，+）U ∈=∞∞.所以，若直线y kx = 与2C 有公共点，则k ＞1 . （证毕）（步骤3）,A B Q I =∅∴直线y kx =与曲线1C 、2C 不能同时有公共交点.所以原点不是“C 1-C 2型点”；（步骤4）（3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与12,C C 都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：.y kx b =+若k 1…，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线y =1kx ±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >.因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=. 因为1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-…，即222 1.b k -…因为圆O 的圆心（0，0）到直线l的距离d =所以2221,12b d k =<+从而222121,2k b k +>-…得21,k <与1k >矛盾. 因此，圆2212x y +=内的点不是“12C C -”型点.。

2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析

2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．=2，可得=24．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．=5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=．，得﹣故答案为：，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．（sinx+cosx==7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．，代入计算即可得出复数=故答案为：8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．，，12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．B解：根据由题意得，﹣1的反函数，的反函数，15．（3分）（2013•上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（），即可得到它的一个方向向量（k=，=）16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．解：因为﹣＜B=，∴18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，，则10••）上是减函数，在（根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．==，解之得（舍负）因此，这两个球的体积之比为=）23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（），三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．C=C=．×=2，=3，×6=1826．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．，求得﹣﹣27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．时，=公比为=．28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．系写出两个交点的横坐标的和，把的方程为．根据题意知，解得的方程为的方程为由因为，所以，即===，解得的方程为29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标，由，所以，，解得，解得或）和（30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．，知==，解得=≥，当且仅当，）上为增函数，最大，其最大值为31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．==由不等式=。

2013年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析备课讲稿

2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2013•上海）不等式＜0的解为0＜x＜．解：原不等式化为，，＜2．（4分）（2013•上海）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．3．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．4．（4分）（2013•上海）已知，，则y=1．解：由已知，，5．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．cosC==，C=故答案为：6．（4分）（2013•上海）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．=40%7．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．的展开式的通项为（8．（4分）（2013•上海）方程的实数解为log34．的实数解为9．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．=．．10．（4分）（2013•上海）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B 是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．为中，直接由．中，因为，所以故答案为11．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）个球共有个球共有=21所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有所以两球编号之积为偶数的概率为：．故答案为：．，12．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边，CBA=，，，=c=．故答案为：13．（4分）（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．9x+）9x+9x+≥）≥9x=时，等号成立[14．（4分）（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．为起点，其余顶点为终点的向量，，，以分别为，的值，从而得出为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，分别为，，．如图建立=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2013•上海）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值Bx=16．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若17．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”18．（5分）（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：=M=2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）（2013•上海）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．其面积为=，D=OD=∴三棱锥的侧面积为×，20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．千克该产品所用的时间是小时，）元，即可得到生产5+千克该产品所用的时间是小时，﹣﹣×5+==故获得最大利润为21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．）））x+），（﹣（﹣）（）））的图象向左平移个单位，再向上平移x+x+或22．（16分）（2013•上海）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．，得，得（舍去）或．．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（时过圆的左焦点为（，其中所以方程组，得，则由方程组，得：有实数解，的距离，，从而因此，圆。

2013年上海高考数学试卷(标准答案)——高考必备

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ= 11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2013年上海春季高考(暨学业水平考)数学试卷

D 1C 1B 1A 1D CAB2013年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共31道试题，满分150分．考试时间120分钟（学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；其中第29题，第31题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．函数2log (2)y x =+的定义域是 . 2．方程28x=的解是 . 3．抛物线28y x =的准线方程是 . 4．函数2sin y x =的最小正周期是 .5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，．若//a b ，则实数k = .6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 . 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是 .8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= . 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 . 10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 . （结果用数值表示）11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S . 12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 .二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．展开式为ad bc -的行列式是（）（A ）a b d c(B) a c b d (C) a d b c (D) b ad c14．设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）(A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称19．10(1)x +的二项展开式中的一项是（）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（）（A ）u ZC N （B ）C u NN （C ）C (C )u u ∅ （D ）C {0}u23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线三、解答题（本大题共有7题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积．26．（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2n a n b =，求12limn n b b b →∞+++（）． B 1A 1C 1ACBABC已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、．（1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程．29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知抛物线24C y x =：的焦点为F . （1）点 A P 、满足2AP FA =-. 当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈．（1）若31arctan3θ=，求点A 的坐标；（2）若点A的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值.31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”.（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；（2）求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。

2013高考试题解析分类汇编解答题

2013高考试题解析分类汇编（理数）9：圆锥曲线解答题1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，，因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+,解得217k =,即k =.故直线l 的方程为10x -=或10x -=.2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y k x =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即0,22x ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,2⎛ ⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈- ⎝⎦ 3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a ==2所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.4．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于()2±,与C 2交于(1))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”.(3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,2<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与iOB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 6．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 解:(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF2,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2)((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++23232==≤=++当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线（第21题图）1:12l y x =±- 8．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.(1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.Ox e =1F x ,A A '4AA '=x ,P P ',P P 'Q Q PQ P Q '⊥Q9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .10．（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P 的半径最长时,其方程为,当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.当的倾斜角不为时,由≠R 知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M 相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,综上,|AB|=或|AB|=.11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆.(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.12．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.15．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky xx y am =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===--第21题图如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .16．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =.所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk +).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 17．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 解:(Ⅰ)A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MN ME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)18．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为19．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.20．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =- .当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =-- ，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =- ，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩ 代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，, 则122y x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。

13年高考(新))

1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+,数列{}n b 满足2n a n b =,求12limn n b b b →∞+++ （）. 【答案】[解]当2n ≥时,221(1)(1)22nn n a s s n n n n n -=-=-++---=-+.且110a s ==,所以n a =22n -+.因为22112()4n n n b -+-==,所以数列{}n b 是首项为1、公比为14的无穷等比数列.故12lim n n b b b →∞+++ （）141314==-. 2 ．（2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--,则______x y +=【答案】0x y +=.3 ．（2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--,则______x y +=【答案】0x y +=.4．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上,可得a = 所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<,所以直线与圆相交5 ．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cossin 0ρθθ-=6 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,4（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉.(1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为37 ．（2013年高考新课标1（理））若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（）A ．4-B ．45-C ．4D ．45【答案】 D ．8 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】21．（2013年高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A ．2*2S i =-B ．2*1S i =-C ．2*S i =D ．2*4S i =+【答案】C10．（2013年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ,则方差_______D ξ=【答案】|D d ξ=.11．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2412．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S【答案】①②③⑤已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是A BCADEF BC____________.【答案】(7,3)-已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D13．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】52等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1215．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解: (Ⅰ)AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。

2013年春季高考理数真题试卷(上海卷)及解析

外…………○…………装…学校:___________姓名内…………○…………装…2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.展开式为ad ﹣bc 的行列式是（）A.|a bd c | B.|a c b d | C.|a d b c | D.|b a d c| 2.设f ﹣1（x ）为函数f （x ）= √x 的反函数，下列结论正确的是（） A.f ﹣1（2）=2 B.f ﹣1（2）=4 C.f ﹣1（4）=2 D.f ﹣1（4）=43.直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（） A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）4.函数f （x ）= x −12的大致图象是（）A.B.答案第2页，总14页…………线…………○…………线…………○C.D.5.若复数z 1 ， z 2满足z 1= z 2¯，则z 1 ， z 2在复数平面上对应的点Z 1 ， Z 2（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x 对称6.（1+x ）10的二项展开式中的一项是（） A.45x B.90x 2 C.120x 3 D.252x 47.既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（） A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x8.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：169.设全集U=R ，下列集合运算结果为R 的是（） A.Z∪∁U N B.N∩∁U N C.∁U （∁u ∅） D.∁U {0}10.已知a ，b ，c∈R，“b 2﹣4ac ＜0”是“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件………外…………○……………○……学校:_名：___________班级：___………内…………○……………○……11.已知A ，B 为平面内两个定点，过该平面内动点m 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若 MN →2=λ AN →• NB →，其中λ为常数，则动点m 的轨迹不可能是（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）12.函数y=log 2（x+2）的定义域是． 13.方程2x =8的解是．14.抛物线y 2=8x 的准线方程是． 15.函数y=2sinx 的最小正周期是．16.已知向量 a →=(1,k) ， b →=(9,k −6) ．若 a →∥b →，则实数k= ．17.函数y=4sinx+3cosx 的最大值是． 18.复数2+3i （i 是虚数单位）的模是．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a=5，c=8，B=60°，则b= ． 20.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为．21.从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．22.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n = ．三、解答题（题型注释）23.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为 π6 ，求该三棱柱的体积．24.如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中∠B 为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该答案第4页，总14页………装…………○……线…………○请※※不※※要※※在※※装※※订※※………装…………○……线…………○健身房的最大占地面积．25.已知数列{a n }的前n 项和为 S n =−n 2+n ，数列{b n }满足 b n =2an ，求 l (b 1+n→∞b 2+...+b n ) ．26.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），短轴的两个端点分别为B 1 ， B 2（1）若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且 F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．27.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ．（1）点A ，P 满足 AP →=−2FA →．当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线y=2x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．28.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点P n 在x 轴上，其横坐标为x n ，且{x n } 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn ， n∈N * ．（1）若 θ3=arctan 13 ，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为（0，8 √2 ），求θn 的最大值及相应n 的值．29.已知真命题：“函数y=f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f （x+a ）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g （x ）=x 3﹣3x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g （x ）图象对称中心的坐标；（2）求函数h （x ）= log 22x4−x 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f （x ）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数y=f （x+a ）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．参数答案1.B【解析】1.解：根据 |a bc d| 叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得， |acbd| =ad ﹣bc ．故选B ． 2.B【解析】2.解：∵f ﹣1（x ）为函数f （x ）= √x 的反函数， ∴f ﹣1（x ）=x 2 ，（x≥0）， ∴f ﹣1（2）=4，f ﹣1（4）=16，故选B ． 3.D【解析】3.解：由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k= 23 ，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量 d →=（1， 23 ），或（3，2）故选D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线的倾斜角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=0°． 4.A【解析】4.解：因为﹣ 12 ＜0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B 、C ；又f （x ）的定义域为（0，+∞），故排除选项D ，故选A ． 5.A【解析】5.解：若复数z 1 ， z 2满足z 1= z 2¯，则z 1 ， z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1 ， z 2在复数平面上对应的点Z 1 ， Z 2关于x 轴对称，故选A ． 6.C【解析】6.解：（1+x ）10的二项展开式的通项公式为 T r+1= C 10r•x r ，故当r=3时，此项为120x 3 ，故选C ． 7.B答案第6页，总14页○…………线…………○○…………线…………○【解析】7.解：由于函数y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数，故排除A 、C ．由于函数y=cosx 是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x 是偶函数，周期等于π，在（0， π2 ）上是减函数，在（ π2 ，π）上是增函数，故不满足条件．故选B ．【考点精析】掌握余弦函数的奇偶性和余弦函数的单调性是解答本题的根本，需要知道余弦函数为偶函数；余弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．8.C【解析】8.解：设两个球的半径分别为r 1、r 2 ，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S 1=4 πr 12 ，S 2=4 πr 22v∵两个球的表面积之比为1：4，∴ S 1S 2= 4πr 124πr 22 = r 12r 22 = 14 ，解之得 r 1r 2= 12 （舍负）因此，这两个球的体积之比为 V1V 2= 43πr 1343πr 23 =（ r 1r2）3= 18 即两个球的体积之比为1：8 故选：C 9.A【解析】9.解：∵全集U=R ，∴Z∪∁U N=R ，N∩∁U N=∅，∁U （∁u ∅）=∅，∁U {0}={x∈R|x≠0}．故选A ．【考点精析】利用交、并、补集的混合运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 10.D【解析】10.解：若a≠0，欲保证函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x 轴无交点；则a ＞0且△=b 2﹣4ac ＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c ＞0，则函数f （x ）=ax 2+bx+c=c 的图象恒在x 轴上方，不能得到△=b 2﹣4ac ＜0；反之，“b 2﹣4ac ＜0”并不能得到“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”，如a ＜0时．从而，“b 2﹣4ac ＜0”是“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”的既非充分又非必要条件．故选D ．11.D【解析】11.解：以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建立坐标系，设M （x ，y ），A （﹣a ，0）、B （a ，0）；因为 MN →2=λ AN →• NB →，所以y 2=λ（x+a ）（a ﹣x ），即λx 2+y 2=λa 2 ，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D ．12.（﹣2，+∞）【解析】12.解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x ＞﹣2，所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．所以答案是：（﹣2，+∞）．【考点精析】认真审题，首先需要了解对数函数的定义域(对数函数的定义域范围:（0，+∞）)． 13.3【解析】13.解：由2x =8=23 ，可得x=3，即此方程的解为3，所以答案是 3．【考点精析】本题主要考查了函数的零点的相关知识点，需要掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题． 14.x=﹣2【解析】14.解：∵抛物线的方程为y 2=8x ∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得 p2 =2，可得抛物线的焦点为F （2，0），准线方程为x=﹣2 所以答案是：x=﹣2 15.2π【解析】15.解：函数y=2sinx 的最小正周期是 2πω = 2π1 =2π，所以答案是 2π． 16.−34【解析】16.解：由 a →∥b →，得1×（k ﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣ 34 ，所以答案是： −34．答案第8页，总14页………○…………装………○…………订………○…………线………※※请※※不※※※※在※※装※※订※※线※※内※※题※※………○…………装………○…………订………○…………线………17.5【解析】17.解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（ 45 sinx+ 35 cosx ）=5sin （x+∅），（其中，cos ∅=45 ，sin ∅= 35）故函数的最大值为5，所以答案是5．【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．18.√13【解析】18.解：∵复数2+3i ， ∴2+3i 的模 √22+32= √13 ．所以答案是： √13 ．【考点精析】利用复数的模（绝对值）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1)(2)(3)若为虚数,则．19.7【解析】19.解：∵在△ABC 中，a=5，c=8，B=60°， ∴根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49 解之得b=7（舍负）所以答案是：7【考点精析】通过灵活运用余弦定理的定义，掌握余弦定理:;;即可以解答此题．20.60°【解析】20.解：连接A 1D ，由正方体的几何特征可得：A 1D∥B 1C ，则∠BA 1D 即为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，连接BD ，易得： BD=A 1D=A 1B 故∠BA 1D=60° 所以答案是：60°……外…………○…………装…………○…………订…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：……内…………○…………装…………○…………订…【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 21.45【解析】21.解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为： C 43+C 63C 103 = 15 ，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣ 15 = 45 ．所以答案是： 45 ． 22.56n 2−76n【解析】22.解：设等差数列的前n 项和S n =an 2+bn ，则由题意可得 {36a +6b =2381a +9b =57，解得 {a =56b =−76，故数列的前n 项和S n = 56n 2−76n ，所以答案是 56n 2−76n ．【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前n 项和公式：．23.解：因为 CC 1∥AA 1 ．所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，即∠BC 1C=．在Rt△BC 1C 中，BC=CC 1tan∠BC 1C=6× =2 ，从而S △ABC = =3 ，因此该三棱柱的体积为V=S △ABC ×AA 1=3×6=18．【解析】23.因为 CC 1∥AA 1 ．根据异面直线所成角的定义得∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，从而∠BC 1C= π6 ．在Rt△BC 1C 中，求得BC ，从而求出S △ABC ，最后利用柱体的答案第10页，总14页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○24.解：如图，设矩形为EBFP ，FP 长为x 米，其中0＜x ＜40，健身房占地面积为y 平方米．因为△CFP∽△CBA，以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣ ）•x=﹣=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【解析】24.设出矩形的边FP 的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【考点精析】通过灵活运用二次函数在闭区间上的最值，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．25.解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a 1=S 1=0，所以a n =﹣2n+2．因为 = ，所以数列{b n }是首项为1、公比为的无穷等比数列．故 = = ．【解析】25.先由S n 求出a n ，进而得到b n ，由b n 的表达式可判断数列{b n }是无穷等比数列，从而可得答案．线…………○…线…………○…【考点精析】通过灵活运用等差数列的前n 项和公式和数列的前n 项和，掌握前n 项和公式：；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系即可以解答此题．26.（1）解：设椭圆C 的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ．根据题意知 {a =2b a 2−b 2=1，解得 a 2=43 ， b 2=13 故椭圆C 的方程为 3x 24+3y 2=1 ．（2）解：由2b=2，得b=1，所以a 2=b 2+c 2=2，得椭圆C的方程为 x 22+y 2=1 ．当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）．由 {y =k(x −1)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1 ，F 1P →=(x 1+1,y 1),F 1Q →=(x 2+1,y 2)因为 F 1P →⊥F 1Q →，所以 F 1P →⋅F 1Q →=0 ，即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+k 2(x 1−1)(x 2−1)= (k 2+1)x 1x 2−(k 2−1)(x 1+x 2)+k 2+1 = (k 2+1)2(k 2−1)2k 2+1−(k 2−1)4k 22k 2+1+k 2+1=7k 2−12k 2+1=0 ，解得 k 2=17 ，即k= ±√77．故直线l 的方程为 x +√7y −1=0 或 x −√7y −1=0 ．【解析】26.（1）由△F 1B 1B 2为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合a 2=b 2+c 2可求a 2 ， b 2 ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F 2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 F 1P →⊥F 1Q →转化为数量积等于0，代入坐标答案第12页，总14页…线…………○…线…………○【考点精析】本题主要考查了一般式方程和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：才能正确解答此题． 27.（1）解：设动点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x A ，y A ），则 AP →=(x −x A ,y −y A ) ，因为F 的坐标为（1，0），所以 FA →=(x A −1,y A ) ，由 AP →=−2FA →，得（x ﹣x A ，y ﹣y A ）=﹣2（x A ﹣1，y A ）．即 {x −x A =−2(x A −1)y −y A =−2y A，解得 {x A =2−xy A =−y代入y 2=4x ，得到动点P 的轨迹方程为y 2=8﹣4x ．（2）解：设点Q 的坐标为（t ，0）．点Q 关于直线y=2x 的对称点为Q ′（x ，y ），则 {yx−t =−12y2=x +t，解得 {x =−35t y =45t．若Q ′在C 上，将Q ′的坐标代入y 2=4x ，得4t 2+15t=0，即t=0或 t =−154．所以存在满足题意的点Q ，其坐标为（0，0）和（ −154,0 ）．【解析】27.（1）设出动点P 和A 的坐标，求出抛物线焦点F 的坐标，由 AP →=−2FA →得出P 点和A 点的关系，由代入法求动点P 的轨迹方程；（2）设出点Q 的坐标，在设出其关于直线y=2x 的对称点Q ′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x 上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q ′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q 点的坐标． 28.（1）解：设A （0，t ）（t ＞0），根据题意，x n =2n ﹣1．由 θ3=arctan 13 ，知 tanθ3=13，而tanθ3=tan （∠OAP 4﹣∠OAP 3）= x 4t−x 3t 1+x 4t ⋅x 3t= 4t t 2+32 ，所以 4tt 2+32=13 ，解得t=4或t=8．故点A 的坐标为（0，4）或（0，8）．…………○…………订…：___________班级：___________考号：…………○…………订…（2）解：由题意，点P n 的坐标为（2n ﹣1，0），tan∠OAP n = n−18√2 ．∴tanθn =tan （∠OAP n+1﹣∠OAP n ）= 2n 8√2−2n−18√21+n 8√2⋅n−18√2= 16√22n +2n 8√2 ．因为 16√22n +n8√2 ≥ 2√2 ，所以tanθn ≤ 2√2 = √24 ，当且仅当 16√22n=n82，即n=4时等号成立．∵0＜θn ＜ π2 ，y=tanx 在（0， π2 ）上为增函数， ∴当n=4时，θn 最大，其最大值为 arctan√24．【解析】28.（1）利用{x n } 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A 的坐标；（2）表示出tanθn =tan （∠OAP n+1﹣∠OAP n ），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．【考点精析】关于本题考查的基本不等式和两角和与差的正切公式，需要了解基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；两角和与差的正切公式：才能得出正确答案． 29.（1）解：平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x 3﹣3x ，由于函数y=x 3﹣3x 是奇函数，由题设真命题知，函数g （x ）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）解：设h （x ）= log 22x4−x 的对称中心为P （a ，b ），由题设知函数h （x+a ）﹣b 是奇函数．设f （x ）=h （x+a ）﹣b ，则f （x ）= log 22(x+a)4−(x+a) ﹣b ，即f （x ）= log 22x+2a4−x−a −b ．由不等式 2x+2a4−x−a >0 的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a ）=0，得a=2．此时f （x ）= log 22(x+a)4−(x+a) ﹣b ，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f （﹣x ）+f （x ）=0，得b=1，所以函数h （x ）= log 22x 图象对称中心的坐标是（2，1）．答案第14页，总14页（3）解：此命题是假命题．举反例说明：函数f （x ）=x 的图象关于直线y=﹣x 成轴对称图象，但是对任意实数a 和b ，函数y=f （x+a ）﹣b ，即y=x+a ﹣b 总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f （x ）的图象关于直线x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f （x+a ）是偶函数”．【解析】29.（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x 3﹣3x ，由于函数y=x 3﹣3x 是奇函数，利用题设真命题知，函数g （x ）图象对称中心．（2）设h （x ）= log 22x4−x 的对称中心为P （a ，b ），由题设知函数h （x+a ）﹣b 是奇函数，从而求出a ，b 的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f （x ）=x 的图象关于直线y=﹣x 成轴对称图象，但是对任意实数a 和b ，函数y=f （x+a ）﹣b ，即y=x+a ﹣b 总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f （x ）的图象关于直线x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f （x+a ）是偶函数”．【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较．。

2013年上海高考数学理科试卷(带详解)

2013 年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
一、填空题
1．计算： lim n 20 ______ . n 3n 13
【测量目标】数列极限的运算.
【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限.
【难易程度】容易
1 【参考答案】 3
【试题解析】根据极限运算法则，
lim
n
故它们的体积相等，即 Ω 的体积值为 π 12 2π 2 8π 2π2 16π ．
14．对区间 I 上有定义的函数 g(x) ，记 g(I ) {y | y g(x), x I}，已知定义域为[0,3]的
函数 y f (x) 有反函数 y f 1(x) ，且 f 1([0,1)) [1,2), f 1((2, 4]) [0,1)，若方程
又
… 0 ，故所求为 1
2
5
．（步骤 2）
8．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案
n 3n
20 13
1 20
lim n3
n 13
1 3
．
n
2．设 m R ， m2 m 2 (m2 1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则 m
【测量目标】复数的基本概念.
【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出 m 的值.
【难易程度】容易
【参考答案】 m 2
________ .
m2 m 2 0 【试题解析】 m

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．〔4分〕〔2013•上海〕计算：=．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：此题考查数列极限的求法，属基础题．2．〔4分〕〔2013•上海〕设m∈R，m2+m﹣2+〔m2﹣1〕i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=〔m2+m﹣2〕+〔m﹣1〕i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：此题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．〔4分〕〔2013•上海〕假设=，x+y=0．考二阶行列式的定义．点：专常规题型．题：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．分析：解答：解：∵=，∴x2+y2=﹣2xy∴〔x+y〕2=0∴x+y=0故答案为0此题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．点评：4．〔4分〕〔2013•上海〕已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，假设3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．余弦定理．考点：专解三角形．题：分把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理析：即可得出．解解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，答：∴==．∴C=．故答案为．熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．点评：5．〔4分〕〔2013•上海〕设常数a∈R，假设的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r〔〕r=C5r x10﹣3r a r 令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．〔4分〕〔2013•上海〕方程+=3x﹣1的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即〔3x﹣4〕〔3x+2〕=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1〔3x+1﹣3〕，化简可得32x﹣2•3x﹣8=0，即〔3x﹣4〕〔3x+2〕=0．解得3x=4，或3x=﹣2〔舍去〕，∴x=log34，故答案为log34．点评：此题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．〔4分〕〔2013•上海〕在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．点：专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ〔ρ﹣1〕=1，解得ρ=或ρ=〔舍〕，所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：此题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．〔4分〕〔2013•上海〕盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是〔结果用最简分数表示〕．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．〔4分〕〔2013•上海〕设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，假设AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C〔﹣1，1〕，因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点此题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．评：10．〔4分〕〔2013•上海〕设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．极差、方差与标准差．考点：专概率与统计．题：分利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算析：公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+〔n﹣1〕d﹣〔x1+9d〕=〔n﹣10〕d，∴Dξ=+…+〔﹣d〕2+0+d2+〔2d〕2+…+〔9d〕2]===30d2．故答案为：30d2．熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．点评：11．〔4分〕〔2013•上海〕假设cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin〔x+y〕=．三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．考点：三角函数的求值．专题：分利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos〔x﹣y〕=，再利用和差化析：积公式sin2x+sin2y=，得到2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕=，即可得出sin〔x+y〕．解解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos〔x﹣y〕=．答：∵sin2x+sin2y=，∴sin[〔x+y〕+〔x﹣y〕]+sin[〔x+y〕﹣〔x﹣y〕]=，∴2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕=，∴，∴sin〔x+y〕=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．〔4分〕〔2013•上海〕设a为实常数，y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f 〔x〕=9x++7．假设f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f〔x〕是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f〔x〕的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f〔x〕=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f〔﹣x〕=﹣9x﹣+7 因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔x〕=9x+﹣7；因为f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．点评：此题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．〔4分〕〔2013•上海〕在xOy平面上，将两个半圆弧〔x﹣1〕2+y2=1〔x≥1〕和〔x﹣3〕2+y2=1〔x≥3〕，两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过〔0，y〕〔|y|≤1〕作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；压轴题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如下图，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点此题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放评：置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．〔4分〕〔2013•上海〕对区间I上有定义的函数g〔x〕，记g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f〔x〕有反函数y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，4]〕=[0，1〕．假设方程f〔x〕﹣x=0有解x0，则x0=2．考点：反函数；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1〕时，x∈[1，2〕时f 〔x〕的值域，进而可判断此时f〔x〕=x无解；由f〔x〕在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f〔x〕的取值集合，再根据方程f〔x〕=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}，f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔2，4]〕=[0，1〕，所以对于函数f〔x〕，当x∈[0，1〕时，f〔x〕∈〔2，4]，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解；当x∈[1，2〕时，f〔x〕∈[0，1〕，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解；所以当x∈[0，2〕时方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解，又因为方程f〔x〕﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f〔x〕的取值应属于集合〔﹣∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假设f〔x0〕=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：此题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．〔5分〕〔2013•上海〕设常数a∈R，集合A={x|〔x﹣1〕〔x﹣a〕≥0}，B={x|x≥a﹣1}，假设A∪B=R，则a的取值范围为〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，2]C．〔2，+∞〕D．[2，+∞〕考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=〔﹣∞，1]∪[a，+∞〕，B=[a﹣1，+∞〕，假设A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=〔﹣∞，a]∪[1，+∞〕，B=[a﹣1，+∞〕，假设A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是〔﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解此题的关键．16．〔5分〕〔2013•上海〕钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的〔〕A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不廉价”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不廉价”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不廉价”是真命题．所以“好货”⇒“不廉价”，所以“不廉价”是“好货”的必要条件，故选B点评：此题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．〔5分〕〔2013•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，要使a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．18．〔5分〕〔2013•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．〔12分〕〔2013•上海〕如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．点：专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC．所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=〔2，1，﹣2〕，再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B 到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，于是直线BC′平行于平面D′AC．直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==，而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，故△CAD′的面积S△CAD′=••=，所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A〔1，0，1 〕、B〔1，2，1〕、C〔0，2，1〕、C′〔0，2，0〕、D′〔0，0，0〕．设平面D′AC的一个法向量为=〔u，v，w〕，则由⊥，⊥，可得，．∵=〔1，0，1〕，=〔0，2，1〕，∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=〔2，1，﹣2〕．由于=〔﹣1，0，﹣1〕，∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=〔1，0，0〕，可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：此题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，表达了转化的数学思想，属于中档题．20．〔14分〕〔2013•上海〕甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品〔生产条件要求1≤x≤10〕，每小时可获得的利润是100〔5x+1﹣〕元．〔1〕要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；〔2〕要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；〔2〕确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：〔1〕生产该产品2小时获得的利润为100〔5x+1﹣〕×2=200〔5x+1﹣〕根据题意，200〔5x+1﹣〕≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；〔2〕设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100〔5x+1﹣〕×=90000〔〕=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：此题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．〔14分〕〔2013•上海〕已知函数f〔x〕=2sin〔ωx〕，其中常数ω＞0 〔1〕假设y=f〔x〕在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；〔2〕令ω=2，将函数y=f〔x〕的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g〔x〕的图象，区间[a，b]〔a，b∈R，且a＜b〕满足：y=g〔x〕在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．考点：三角函数的图像与性质．专题：分〔1〕已知函数y=f〔x〕在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单析：调性可得，且，解出即可；〔2〕利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g〔x〕=2．令g〔x〕=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．假设b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]〔m∈N*〕恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间〔14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解解：〔1〕∵函数y=f〔x〕在上单调递增，且ω＞0，答：∴，且，解得．〔2〕f〔x〕=2sin2x，∴把y=f〔x〕的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g〔x〕=，令g〔x〕=0，得，或x=〔k∈Z〕．∴相邻两个零点之间的距离为或．假设b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]〔m∈N*〕分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间〔14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：此题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．〔16分〕〔2013•上海〕如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，假设存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”〔1〕在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程〔不要求验证〕；〔2〕设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；〔3〕求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为〔〕，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与〔0，1〕连线的斜率；〔2〕由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；〔3〕由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：〔1〕解：C1的左焦点为〔〕，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．〔2〕证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．假设原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx〔|k|＞1〕．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx〔|k|＞1〕，则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx〔|k|＞1〕与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．〔3〕证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．假设|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得〔1﹣2k2〕x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=〔4kb〕2﹣4〔1﹣2k2〕〔﹣2b2﹣2〕=8〔b2+1﹣2k2〕≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心〔0，0〕到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：此题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．〔18分〕〔2013•上海〕给定常数c＞0，定义函数f〔x〕=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f〔a n〕，n∈N*．〔1〕假设a1=﹣c﹣2，求a2及a3；〔2〕求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；〔3〕是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？假设存在，求出所有这样的a1；假设不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系确实定；数列与函数的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：〔1〕对于分别取n=1，2，a n+1=f〔a n〕，n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；〔2〕由已知可得f〔x〕=，分三种情况讨论即可证明；〔3〕由〔2〕及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：〔1〕a2=f〔a1〕=f〔﹣c﹣2〕=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f〔a2〕=f〔2〕=2|2+c+4|﹣|2+c|=2〔6+c〕﹣〔c+2〕=10+c．〔2〕由已知可得f〔x〕=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2〔﹣c﹣4〕+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8＞﹣2〔﹣c﹣4〕﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；〔3〕假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由〔2〕及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f〔a1〕=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②假设﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f〔a1〕=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③假设a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞〕．点评：此题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。

专题：计算题。

分析：根据数列极限的定义即可求解。

解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。

点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。

2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。

考点：复数的基本概念。

专题：计算题。

分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。

解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。

therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。

故答案为：$-2$。

点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。

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2013年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．
1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．
2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．
3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．
=2，可得=2
4．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．
=
5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=
．
，得﹣
故答案为：
，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．
（sinx+cosx==
7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．
，代入计算即可得出复数
=
故答案为：
8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．
9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．
10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选
出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．
人中只有男同学或只有女同学的概率为：，
﹣．
故答案为：．
11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和
S n=．
，
，
12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．
B
解：根据
由题意得，
﹣1
的反函数，
的反函数，
15．（3分）（2013•上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）
，即可得到它的一个方向向量（
k=，
=）
16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．
解：因为﹣＜
B
=，∴
18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，
，则
10
•
•
）上是减函数，在（
根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
==，解之得（舍负）
因此，这两个球的体积之比为=）
23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒
24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（）
，
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
C=
C=．
×=2，
=3，
×6=18
26．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
，求得﹣
﹣
27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．
时，
=公比为
=．
28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
系写出两个交点的横坐标的和，把
的方程为．
根据题意知，解得
的方程为
的方程为
由
因为，所以，即
=
=
=，解得
的方程为
29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
的坐标，由
，所以，
，解得
，解得
或
）和（
30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．
，知
==
，解得
=
≥，
当且仅当
，）上为增函数，
最大，其最大值为
31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
=
=
由不等式
=。

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