数学高三二轮专题突破专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题讲义

本 讲
(1)求轨迹方程的基本步骤：
栏 目
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标
开 关
——解析法(坐标法)．
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．
④化简整理方程——简化．
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
主干知识梳理
专题五 第3讲
本
讲 (2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以
栏
目 用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方
开
关 面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个 动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即 根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后 代入联动点所在曲线方程求解．
(2)求轨迹方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系 数法求方程；
本
讲 ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
栏
目 ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直
开
关 线交点的轨迹； (3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方 程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达 式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变 形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.
因为点M(1－
2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
目 开 关
y0＝－12(2－ 2)＋14＝－3－42 2，
①
y0＝－1－2p 22＝－3－22p
2 .
②
由①②得p＝2.
热点分类突破
专题五 第3讲
(2)设 N(x，y)，Ax1，x421，B(x2，x422)，x1≠x2，
由 N 为线段 AB 中点知
开
关 (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元 方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
主干知识梳理 2．有关弦长问题
专题五 第3讲
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B 重合于O时，中点为O)．
热点分类突破
专题五 第3讲
解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率
为y′＝x2，且切线MA的斜率为－12，
本 所以A点坐标为－1，14，故切线MA的方程为y＝－12(x＋1)＋14.
讲 栏
主干知识梳理
专题五 第3讲
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元 方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线
本
讲 与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
栏
目 ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
数学高三二轮专题突破专题 五第3讲圆锥曲线中的热点
问题讲义
主干知识梳理
专题五 第3讲
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
本 讲
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个
栏 目
一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则
开 关
直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
所以x1x2＝－x21＋6 x22.
⑦
本
讲 栏
由③④⑦得x2＝43y，x≠0.
目
开 关
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足
x2＝43y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝43y.
热点分类突破
专题五 第3讲
(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若 能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数 法求解．
x＝x1＋2 x2，
③
本 讲 栏 目
y＝x21＋8 x22. 切线MA、MB的方程分别为
④
开 关
y＝x21(x－x1)＋x421.
⑤
y＝x22(x－x2)＋x422.
⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2.
热点分类突破
专题五 第3讲
因为点M(x0，y0)在C2上，即x20＝－4y0，
目 开 关
时，求B点坐标． 解 (1)设 N(x，y)，则由M→N＝2M→P，得 P 为 MN 的中点，
所以 M(－x,0)，P(0，2y)． 又P→M⊥P→F得P→M·P→F＝0，P→M＝(－x，－2y)， P→F＝(1，－2y)，所以y2＝4x(x≠0)．
热点分类突破
专题五 第3讲
(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上
热点分类突破
专题五 第3讲
考点一 求轨迹方程
例1 (2013·辽宁)如图，抛物线C1：x2＝4y，
本 讲
C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物
栏 目
线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M
开 关
为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－ 2
时，切线MA的斜率为－12.
(1)求p的值；
“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义
的运用，以简化运算．
本
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，
讲 栏 目
y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12
开 关
. |y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关
热点分类突破
专题五 第3讲
设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且
→ MN
＝
2M→P，P→M⊥P→F.
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
本 讲 栏
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且|
→ AF
|，
|
→ BF
|，|
→ DF
|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)
系，即作如下变形：
|x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2， |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两
点间距离公式)．
主干知识梳理
专题五 第3讲
3．弦的中点问题Fra Baidu bibliotek
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求
法”来简化运算．
4．轨迹方程问题