2007级信息安全数学基础试卷-B-答案

的指数是 叫做模m 的原根。是一个正整数，a 是满足的整数，则存在，使得aa '≡1 (mod p 是一个素数，则min(,s s p α⋅max(,s s p αβ⋅⋅

x ≡ b k (mod m k )

有唯一解。令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1' M 1b 1＋…＋ M k ' M k b k (mod m ) ， 其中 M i ' M i ≡1 (mod m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。

9．正整数n 有标准因数分解式为 k k p p n αα 1

1=，则n 的欧拉函数

10．设G 和G ' 是两个群，f 是G 到G ' 的一个映射。如果对任意的a , b ∈G ，都有 f (ab )=f (a )f (b ) ，那么，f 叫做G 到G ' 的一个同态。

三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）

1．证明：形如4k +3的素数有无穷多个。 （6分）

证明 分两步证明。

先证形如4k ＋3的正整数必含形如4k ＋3的素因数。 由于任一奇素数只能写成4n ＋1或4n ＋3的形式，而 (4n 1＋1)(4n 2＋1)＝16n 1n 2＋4n 1＋4n 2＋1

＝4(4n 1n 2＋n 1＋n 2)＋1, 所以把形如4n ＋1的数相乘的积仍为4n ＋1形式的数。 因此，把形如4k ＋3的整数分解成素数的乘积时， 这些素因数不可能都是4n ＋1的形式的素数，一定含有 4n ＋3形式的素数。

其次，设 N 是任一正整数，并设

p 1, p 2 , … , p s 是不超过N 的形如4k ＋3的所有素数。 令q ＝4p 1 p 2 … p s －1。显然，每个p i (i ＝1, 2, …, s)都 不是 q 的素因数，否则将会导致 p i |1，得到矛盾。 如果 q 是素数，由于

q ＝4p 1 p 2 … p s －1＝4(p 1 p 2 … p s －1)＋3，即 q 也是

1111

)(1)(1)k

p -

形如4k＋3的素数，并且显然q≠p i(i＝1, 2, …, s)，

从而q > N。即q是形如4k＋3的大于N的素数。

如果q 不是素数，由第一步证明知q含有形如4k＋3

的素因数p，同样可证p≠p i(i＝1, 2, …, s)，从而p > N。

即p 是形如4k＋3的大于N的素数。由于N是任意的正整数，因此证明了

形如4k＋3的素数有无穷多个。

2．．设a, b是两个整数，其中b>0。则存在唯一一对整数q, r 使得a = bq + r，0 ≤r < b。（6分）

证明：存在性. 考虑整数序列：

…, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, …

序列的各项把实数轴划分成长度为b的区间，a一定落在其中的一个区间中。

因此，存在一个整数q使得qb≤a< (q+1)b，

即0 ≤a-bq< b。

令r＝a-bq，则有 a = bq + r，0 ≤r < b。

唯一性. 假设还有一对整数q1, r1也满足：

a = bq1+ r1，0 ≤r1 < b。(2)

(1)和(2)两式相减得

b(q - q1)＝- (r - r1)。(3)

当q ≠q1时，(3)式左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值小于b，得到矛盾。故q ＝q1，r ＝r1。

3．设p，q是两个不同的奇素数，n＝pq，a是与pq互素的整数。整数e 和d满足(e, ϕ (n))＝1，ed≡ 1 (mod ϕ (n))，1 < e < ϕ (n)，1 ≤ d< ϕ (n)。

证明：对任意整数c，1 ≤c< n，若a e≡c(mod n)，则有c d≡a(mod n)。（12分）

证明：

因为(e , ϕ (n )) ＝1，根据2.3定理4，存在整数d ， 1≤d < ϕ (n ) , 使得

ed ≡1(mod ϕ (n )) 因此，存在一个正整数 k 使得 ed ＝1＋k ϕ (n ) 。

由， a 与n ＝ pq 互素知，(a , p )＝1根据Euler 定理， a ϕ (p )≡1 (mod p ) 两端作 k (ϕ (n ) / ϕ (p )) 次幂得， a k ϕ (n )≡1 (mod p ) 两端乘以 a 得到 a 1＋k ϕ (n )≡a (mod p ) 即 a ed ≡a (mod p ) 同理， a ed ≡a (mod q )

因为 p 和 q 是不同的素数，根据2.1定理12， a ed ≡a (mod n ) 因此，

c d ≡(a e )d ≡a (mod n )

4．证明：设p 和q 是两个不相等的素数，证明：111(mod )q p p q pq --+=。 （6分）

证明：因为p 和q 是两个不相等的素数，由Euler 定理，()1

1mod p q p -≡，()11mod q p q -≡，

所以

()()11111mod ,1mod q p q p p q p p q q ----+≡+≡，而

(),1

p q =，因此

()111mod q p p q pq --+≡。

四．计算题（写出详细计算过程）：（共30分）

1．用模重复平方法计算12996227 (mod 37909)。 （6分） 设 m =37909, b =12996, 令a =1, 将227写成二进制， 227=1+2+25+26+27

运用模重复平方法，我们依次计算如下: (1) n 0=1,计算

a 0= a ×

b ≡12996 , b 1≡b 2≡11421 (mod 37909)