二次函数和幂函数
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数,它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先,我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为:f(x) = ax^2 + bx + c其中,a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中,x是自变量,f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a,其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线,并且根据a的不同取值,可以得到不同的曲线形状。
接下来,我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数,它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小,可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时,抛物线开口向上;当 a 小于0时,抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如,当 a 大于0且顶点位于y轴上方时,抛物线开口向上且顶点为最低点;当 a 小于0且顶点位于y轴下方时,抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时,函数的图像呈现出上升的斜线;当 a 等于1时,函数的图像是一条直线;当 0 小于 a 小于 1 时,函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是,幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而,二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上,我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说,二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式,其中 h 和 k 是实数,代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时,即 h = 0 且 k = 0 时,二次函数变为f(x) = ax^2,这就是一个幂函数。
理科数学学霸笔记06 二次函数与幂函数
选择规律如下:
(1)已知三个点的坐标,选用一般式;
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值,选用顶点式;
(3)已知与x轴两交点的坐标,选用零点式。
2.求幂函数解析式的方法
幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足:
(1)指数为常数;
(2)底数为自变量;
(3)系数为 1.
3.幂函数y=xα的图象与性质,由于α值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
①α的正负:当α>0时,图象过原点,在第一象限的
图象上升;当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
②幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.
(3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
4.二次函数的图象及性质的应用
(1)图象识别问题。
高三数学知识点总结9:二次函数和幂函数
(十一)二次函数一.二次函数解析式(1)一般式:).0()(2≠++=a c bx ax x f(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f(3)交点式:若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二.二次函数的对称轴(1)对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += (2)对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立,那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为:a x =.三.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值(1)0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-,;2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<,;3.)(2min n f y n ab =≥-,. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-;2.)(22max m f y n m a b =+>-,. (2)0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-,;2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<,;3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-;2.)(22min m f y n m a b =+>-,. 四.三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布(1)数的角度:① 两实根异号等价于0<a c ;② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ;③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b (2)形的角度:画出满足要求的图像,用“内有无,内无有”(开口内有端点则不需要考虑对称轴和,∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆)。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=x α的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=x y=x2y=x3y=12x y=x-1定义域R R R[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x=-b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)当α>0时,y =x α在[0,+∞)上为增函数; 当α<0时,y =x α在(0,+∞)上为减函数. 2.若f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0时恒有f (x )>0,当⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0时,恒有f (x )<0.二、基础检验题组一:思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b 24a.( ) (2)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈R 不可能是偶函数.( )(3)在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数y =212x 是幂函数.( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( ) (6)当n <0时,幂函数y =x n 是定义域上的减函数.( ) 题组二:教材改编2.已知幂函数f (x )=k ·x α的图象过点)22,21(,则k +α等于( ) A.12 B .1 C.32D .2 3.已知函数f (x )=x 2+4ax 在区间(-∞,6)内单调递减,则a 的取值范围是( ) A .a ≥3 B .a ≤3 C .a <-3 D .a ≤-3题组三:易错自纠 4.幂函数f (x )=21023a a x-+(a ∈Z )为偶函数,且f (x )在区间(0,+∞)上是减函数,则a 等于( )A .3B .4C .5D .65.已知函数y =ax 2+bx +c ,如果a >b >c 且a +b +c =0,则它的图象可能是( )6.已知函数y =x 2-2x +3在闭区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围为_____.三、典型例题1.幂函数y=f(x)经过点(3,3),则f(x)是()A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数2.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c3.若12(21)m >122(1)m m+-,则实数m的取值范围是思维升华:(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.题型二:二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.思维升华:求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.题型三:二次函数的图象和性质命题点1:二次函数的图象典例:对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2:二次函数的单调性典例 函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1的单调减区间是[-1,+∞),则a =________. 命题点3:二次函数的最值典例 已知函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a 的值. 引申探究将本例改为:求函数f (x )=x 2+2ax +1在区间[-1,2]上的最大值. 命题点4:二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )=x 2-x +1,在区间[-1,1]上,不等式f (x )>2x +m 恒成立,则实数m 的取值范围是____. (2)已知a 是实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3在x ∈[-1,1]上恒小于零,则实数a 的取值范围为________. 思维升华:解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练 (1)设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )=x 2-2ax +2a +4的定义域为R ,值域为[1,+∞),则a 的值为________.(3)设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________.四、反馈练习1.幂函数y =24m mx-(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A .0B .1C .2D .3 2.若幂函数f (x )=(m 2-4m +4)·268m m x-+在(0,+∞)上为增函数,则m 的值为( )A .1或3B .1C .3D .23.若命题“ax 2-2ax +3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .a <0或a ≥3 B .a ≤0或a ≥3 C .a <0或a >3D .0<a <34.已知二次函数f (x )=2ax 2-ax +1(a <0),若x 1<x 2,x 1+x 2=0,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A .f (x 1)=f (x 2) B .f (x 1)>f (x 2) C .f (x 1)<f (x 2)D .与a 值有关5.若关于x 的不等式x 2-4x -2-a >0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-2) B .(-2,+∞) C .(-6,+∞)D .(-∞,-6)6.已知幂函数f (x )=x α,当x >1时,恒有f (x )<x ,则α的取值范围是____________. 7.若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ],值域为]4,425[--,则m 的取值范围是__________. 8.若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________. 9.已知y =f (x )是偶函数,当x >0时,f (x )=(x -1)2,若当x ∈]212[--,时,n ≤f (x )≤m 恒成立,则m -n 的最小值为________.10.已知函数f (x )=x 2+(2a -1)x -3.(1)当a =2,x ∈[-2,3]时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )在[-1,3]上的最大值为1,求实数a 的值.11.已知在(-∞,1]上递减的函数f (x )=x 2-2tx +1,且对任意的x 1,x 2∈[0,t +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤2,则实数t 的取值范围为( ) A .[-2,2] B .[1,2] C .[2,3]D .[1,2]12.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围是________. 13.若函数f (x )=x 2-a |x -1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.14.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象: (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )-2ax +2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.。
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数,其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线,称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数,其中a是常数,n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状,取决于指数n的值。
首先,我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况:开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时,二次函数的图像是开口向上的抛物线,对称轴是x=-b/2a,最低点坐标为:(-b/2a, -△/(4a)),其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增,在对称轴下方递减。
当a<0时,二次函数的图像是开口向下的抛物线,对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时,二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行,斜率为b。
接下来,我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时,幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界,图像随着x的增大而增大。
当n<0时,幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界,图像随着x的增大而减小。
当n=1时,幂函数就变成了y=ax,它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时,幂函数就变成了y=a,它的图像是一条水平直线,与x轴平行。
根据常数a的值,直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时,幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界,其余部分无上下界。
当n为偶数时,函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大,形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时,函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小,形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时,幂函数图像没有上下界,且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负,函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来,二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
二次函数与幂函数的比较
二次函数与幂函数的比较在数学中,二次函数和幂函数都是常见的函数类型。
它们在图像、性质以及在实际问题中的应用上有着显著的区别。
本文将对二次函数和幂函数进行比较,以便更好地理解它们的特点。
一、定义与表达式二次函数的定义为:$y=ax^2+bx+c$,其中$a, b, c$为常数,且$a\neq0$。
幂函数的定义为:$y=kx^n$,其中$k$为常数,$n$为正整数且$n\neq1$。
从表达式上来看,二次函数的最高次项是2次,幂函数的最高次项是$n$次。
这意味着二次函数的图像一般是一个抛物线,而幂函数的图像则以指数方式增长或衰减。
二、图像特点1. 二次函数二次函数的图像是一条平滑的曲线,称为抛物线。
具体的图像形状取决于二次项系数$a$的正负和开口方向。
- 当$a>0$时,抛物线开口向上,称为凹向上的抛物线;- 当$a<0$时,抛物线开口向下,称为凹向下的抛物线。
2. 幂函数幂函数的图像可以分为三类:增长型、减小型和奇偶型。
取决于指数$n$的正负和奇偶性。
- 当指数$n>0$时,幂函数随着$x$的增大而增大,图像呈现递增趋势;- 当指数$n<0$时,幂函数随着$x$的增大而减小,图像呈现递减趋势;- 当指数$n$为偶数时,幂函数图像关于$y$轴对称,称为偶函数;- 当指数$n$为奇数时,幂函数图像关于原点对称,称为奇函数。
三、性质与应用1. 二次函数二次函数常见的性质包括顶点坐标、对称轴和判别式。
- 顶点坐标:若二次函数为$y=ax^2+bx+c$,则顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$,纵坐标为$y=-\frac{\Delta}{4a}$,其中$\Delta=b^2-4ac$为判别式。
- 对称轴:二次函数的对称轴与顶点坐标的横坐标相同,即$x=-\frac{b}{2a}$。
- 判别式:二次函数的判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断二次函数的图像与$x$轴的交点个数和位置。
第4节幂函数与二次函数
第4节幂函数与二次函数幂函数和二次函数是数学中的两个重要概念,它们在不同的场景中起着不同的作用。
本文将介绍这两个函数的定义、性质以及它们的关系。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指由x的正整数幂次构成的函数,其一般形式可以表示为f(x)=ax^n,其中a为非零实数,n为正整数。
幂数n决定了函数图像的性质,下面我们来看几个不同幂次的幂函数。
1. 当n=1时,幂函数就是一次函数,即f(x)=ax。
它的图像是一条斜率为a的直线。
2. 当n=2时,幂函数就是二次函数,即f(x)=ax^2、它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 当n=3时,幂函数就是三次函数,即f(x)=ax^3、它的图像是一个类似于字母"S"形状的曲线。
幂函数的性质如下:1.当n为奇数时,函数图像关于y轴对称;当n为偶数时,函数图像关于原点对称。
2.当a>0时,函数递增;当a<0时,函数递减。
3.当n>1时,函数在原点附近增长或下降得非常快;当n=1时,函数图像为一条直线,增长或下降速度相对较慢。
二、二次函数的定义与性质二次函数是指由x的二次幂和一次幂构成的函数,其一般形式可以表示为f(x)=ax^2+bx+c,其中a、b、c为实数且a不为0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的性质如下:1.当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a),其中b^2-4ac<0时,抛物线没有实根;b^2-4ac=0时,抛物线与x轴相切;b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点。
3.如果a>0,则抛物线的最小值为c-b^2/4a;如果a<0,则抛物线的最大值为c-b^2/4a。
三、幂函数与二次函数的关系从上面的定义与性质可以看出,二次函数是幂函数的一个特例,即二次函数是幂函数在幂次n=2时的情况。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1.幂函数 (1)幂函数的定义形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式:y=a(x+h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(-h,k)).③两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限.(√)(4)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.(×)(5)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是4ac-b24a.(×)(6)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(×)(7)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.(√)(8)当n>0时,幂函数y=x n是定义域上的增函数.(×)(9)若函数f(x)=(k2-1)x2+2x-3在(-∞,2)上单调递增,则k=±22.(×)(10)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析:由于f (x )有两个零点0和-2,所以可设f (x )=ax (x +2)(a ≠0), 这时f (x )=ax (x +2)=a (x +1)2-a , 由于f (x )有最小值-1, 所以必有⎩⎨⎧a >0,-a =-1.解得a =1.因此f (x )的解析式是f (x )=x (x +2)=x 2+2x . 答案:x 2+2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解:法一:(利用一般式) 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎨⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:(利用顶点式)设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).∵f (2)=f (-1), ∴拋物线的对称轴为x =2+(-1)2=12. ∴m =12.又根据题意函数有最大值8,∴n =8.∴y =f (x )=a 2)21(-x +8.∵f (2)=-1,∴a 2)212(-+8=-1,解得a =-4,∴f (x )=-42)21(-x +8=-4x 2+4x +7.法三:(利用零点式)由已知f (x )+1=0两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max =8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:1.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式是________. 解析:设y =a (x -2)2-1,当x =0时,4a -1=1,a =12,∴y =12(x -2)2-1. 答案:y =12(x -2)2-12.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a ,b ∈R )是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f (x )=________.解析:∵f (x )=bx 2+(ab +2a )x +2a 2是偶函数, ∴ab +2a =0(a ≠0),∴b =-2,当x =0时,2a 2=4,∴a 2=2,∴f (x )=-2x 2+4. 答案:-2x 2+4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a =-2时,求f (x )的最值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; 解:(1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6], ∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解;(3)对于二次函数的综合应用,要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1.若本例已知条件不变,求f (x )的最小值. 解:f (x )=(x +a )2+3-a 2,关于x =-a 对称, ∵x ∈[-4,6].①当-a ≤-4,即a ≥4时,f (x )在[-4,6]上为增函数, ∴f (x )min =f (-4)=16-8a +3=19-8a②当-4<-a ≤6,即-6≤a <4时,只有当x =-a 时,f (x )min =3-a 2, ③当-a >6时,即a <-6时,f (x )在[-4,6]上为减函数, ∴f (x )min =f (6)=36+12a +3=39+12a . 综上,当a ≥4时,f (x )min =19-8a . 当-6≤a ≤4时,f (x )min =3-a 2. 当a <-6时,f (x )min =39+12a .2.若本例已知条件不变,f (x )=0在[-4,6]上有两个不相等实根,求a 的取值范围. 解:要使f (x )=0,在[-4,6]上有两个不等实根,需⎩⎨⎧f (-a )<0-4≤-a ≤6f (-4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3-a 2<0,-6≤a ≤4,19-8a ≥0,36+12a ≥0.解得,-134≤a <-3或3<a ≤198.3.若本例中f (x )>0在x ∈(0,6]上恒成立,求a 的取值范围. 解:x 2+2ax +3>0,在x ∈(0,6]上恒成立,即2a >-)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立,只需求u =-)3(xx +,x ∈(0,6]的最大值.∵x +3x ≥23,当且仅当x =3时,取等号.∴u max =-23, ∴2a >-23,∴a >- 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )解析:∵幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),∴f (x )=.答案:C(2)已知函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,则m 的值为( )A .-1B .2C .-1或2D .3 解析:∵函数f (x )=(m 2-m -1)·xm 2+m -3是幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =-1或m =2. 又∵函数f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴m 2+m -3>0,∴m =2. 答案:B(3)已知f (x )=21x ,若0<a <b <1,则下列各式正确的是( )A .f (a )<f (b )<f )1(a <f )1(bB .f )1(a <f )1(b<f (b )<f (a )C .f (a )<f (b )<f )1(b <f )1(aD .f )1(a <f (a )<f )1(b<f (b )解析:∵0<a <b <1,∴0<a <b <1b <1a ,又f (x )=21x 为增函数, ∴f (a )<f (b )<f )1(b <f )1(a.答案:C[方法引航] (1)若幂函数y =x α(α∈R )是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.(2)若幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.,(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.1.若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d 在同一坐标系中的图 象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( )A .d >c >b >aB .a >b >c >dC .d >c >a >bD .a >b >d >c解析:选B.幂函数a =2,b =12,c =-13,d =-1的图象,正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x =1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a >b >c >d .故选B. 2.若3131)23()1(---<+a a ,则实数a 的取值范围是________.解析:不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a . 解得a <-1或23<a <32.答案:(-∞,-1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象将其贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决. [典例] (本题满分12分)已知f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值;(2)若f (x )≥-1恒成立,求a 的范围; (3)若f (x )=0的两根都在[0,1]内,求a 的范围.[规范解答] (1)①当a =0时,f (x )=-2x 在[0,1]上递减, ∴f (x )min =f (1)=-2.②当a >0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 的图象的对称轴在[0,1]内,∴f (x )在]1,0[a上递减,在]1,1[a上递增. ∴f (x )min =f )1(a=1a -2a =-1a .4分ⅱ.当1a >1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f (x )在[0,1]上递减.∴f (x )min =f (1)=a -2.6分③当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下, 且对称轴x =1a <0,在y 轴的左侧, ∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min =f (1)=a -2.综上所述,f (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧a -2,a <1,-1a ,a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥-1,即可.由(1)知,当a <1时,a -2≥-1,∴a ≥1(舍去); 当a ≥1时,-1a ≥-1恒成立,∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )=0时,x =0,x =2a (a ≠0), 0∈[0,1],∴0<2a ≤1,∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层:函数类型a =0和a ≠0. 第二层:开口方向a >0和a <0.第三层:对称轴x =1a 与区间[0,1]的位置关系,左、内、右. (2)讨论后要有总结答案.[高考真题体验]1.(2016·高考全国丙卷)已知342=a ,323=b ,3125=c 则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <a D .c <a <b解析:选A.,323442==a ,3231525==c 而函数32x y =在(0,+∞)上单调递增,所以323232543<<,即b <a <c ,故选A.2.(2015·高考山东卷)设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .b <c <a解析:选C.由指数函数y =0.6x 在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6,所以b <a <c ,故选C.3.(2013·高考北京卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A .y =1x B .y =e -x C .y =-x 2+1 D .y =lg|x |解析:选C.A 中y =1x 是奇函数,A 不正确;B 中y =e -x =x e )1(是非奇非偶函数,B 不正确;C中y =-x 2+1是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确;D 中y =lg|x |在(0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选C.4.(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析:f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x <1,e x -1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x <1,x ≤ln 2+1或⎩⎨⎧x ≥1,x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8,故填(-∞,8].答案:(-∞,8]5.(2015·高考天津卷)已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为________时,log 2a ·log 2(2b )取得最大值.解析:由已知条件得b =8a ,令f (a )=log 2a ·log 2(2b ),则f (a )=log 2a ·log 216a =log 2a (log 216-log 2a )=log 2a (4-log 2a )=-(log 2a )2+4log 2a =-(log 2a -2)2+4, 当log 2a =2,即a =4时,f (a )取得最大值. 答案:4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析式可能是( )A .y =-x 2+2x +1B .y =-x 2-2x -1C .y =-x 2-2x +1D .y =x 2+2x +1解析:选C.设二次函数的解析式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由题图象得:a <0,b <0,c >0.选C.2.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析:选A.设f (x )=x a, 又f (4)=3f (2),∴4a =3×2a ,解得a =log 23,∴)21(f =3log 2)21(3.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析:选C.若a >0,则一次函数y =ax +b 为增函数,二次函数y =ax 2+bx +c 的开口向上,故可排除A ;若a <0,一次函数y =ax +b 为减函数,二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下,故可排除D ;对于选项B ,看直线可知a >0,b >0,从而-b 2a <0,而二次函数的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B ,因此选C.4.如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),那么( )A .f (-2)<f (0)<f (2)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (2)<f (0)<f (-2)D .f (0)<f (2)<f (-2)解析:选D.由f (1+x )=f (-x )知f (x )的图象关于x =12对称,又抛物线开口向上,结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (-2).5.若f (x )=x 2-ax +1有负值,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤-2B .-2<a <2C .a >2或a <-2D .1<a <3解析:选C.∵f (x )=x 2-ax +1有负值,∴Δ=a 2-4>0,则a >2或a <-2.6.若方程x 2-11x +30+a =0的两根均大于5,则实数a 的取值范围是________. 解析:令f (x )=x 2-11x +30+a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)>0,∴0<a ≤14. 答案:0<a ≤147.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,4ac -164a=0,⇒⎩⎨⎧a >0,ac -4=0. 答案:a >0,ac =48.已知f (x )=4x 2-mx +5在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数f (x )=4x 2-mx +5的单调递增区间为),8[+∞m ,所以m 8≤2,即m ≤16. 答案:(-∞,16]9.已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a 在x ∈[0,1]时有最大值2,求a 的值.解:函数f (x )=-x 2+2ax +1-a =-(x -a )2+a 2-a +1,对称轴方程为x =a .(1)当a <0时,f (x )max =f (0)=1-a ,∴1-a =2,∴a =-1.(2)当0≤a ≤1时,f (x )max =a 2-a +1,∴a 2-a +1=2,∴a 2-a -1=0,∴a =1±52(舍).(3)当a >1时,f (x )max =f (1)=a ,∴a =2.综上可知,a =-1或a =2.10.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过点(-2,1),且方程f (x )=0有且只有一个根,求f (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围. 解:(1)因为f (-2)=1,即4a -2b +1=1,所以b =2a .因为方程f (x )=0有且只有一个根,所以Δ=b 2-4a =0.所以4a 2-4a =0,所以a =1,所以b =2.所以f (x )=(x +1)2.(2)g (x )=f (x )-kx =x 2+2x +1-kx =x 2-(k -2)x +1=2)22(--k x +1-(k -2)24. 由g (x )的图象知:要满足题意,则k -22≥2或k -22≤-1,即k ≥6或k ≤0,∴所求实数k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).B 组 能力突破1.若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2 B .m =1或m =2 C .m =2 D .m =1解析:选B.由幂函数性质可知m 2-3m +3=1,∴m =2或m =1.又幂函数图象不过原点,∴m 2-m -2≤0,即-1≤m ≤2,∴m =2或m =1.2.已知函数f (x )=x 2+x +c .若f (0)>0,f (p )<0,则必有( )A .f (p +1)>0B .f (p +1)<0C .f (p +1)=0D .f (p +1)的符号不能确定解析:选A.函数f (x )=x 2+x +c 的图象的对称轴为直线x =-12,又∵f (0)>0,f (p )<0,∴-1<p <0,p +1>0,∴f (p +1)>0.3.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的是( )A .②④B .①④C .②③D .①③解析:选B.由函数图象知,a <0,与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac >0,即b 2>4ac .对称轴x =-b 2a=-1,∴2a -b =0. 当x =-1时,对应最大值,f (-1)=a -b +c >0.∵b =2a ,a <0,∴5a <2a ,即5a <b .4.已知幂函数f (x )=21-x ,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.解析:∵f (x )=21-x =1x(x >0),易知x ∈(0,+∞)时为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ), ∴⎩⎨⎧ a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得⎩⎨⎧ a >-1,a <5,a >3,∴3<a <5.答案:(3,5) 5.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0,b ∈R ,c ∈R ).(1)若函数f (x )的最小值是f (-1)=0,且c =1,F (x )=⎩⎨⎧ f (x ),x >0,-f (x ),x <0,求F (2)+F (-2)的值;(2)若a =1,c =0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围.解:(1)由已知c =1,a -b +c =0,且-b 2a =-1,解得a =1,b =2.∴f (x )=(x +1)2.∴F (x )=⎩⎨⎧(x +1)2,x >0,-(x +1)2,x <0. ∴F (2)+F (-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f (x )=x 2+bx ,原命题等价于-1≤x 2+bx ≤1在(0,1]上恒成立,即b≤1x-x且b≥-1x-x在(0,1]上恒成立.又1x-x的最小值为0,-1x-x的最大值为-2.∴-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数介绍:二次函数与幂函数是数学中重要的函数类型,它们在各个领域具有广泛的应用。
本文将从定义、图像、性质等方面介绍二次函数与幂函数,帮助读者全面了解这两种函数。
一、二次函数二次函数是指函数表达式中含有$x^2$项的函数,其一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$,其中$a \neq 0$,$a$、$b$、$c$为常数。
1. 定义二次函数可以通过改变系数$a$、$b$、$c$的值来改变函数的形状和特点。
其中,系数$a$决定二次函数的开口方向,若$a>0$,二次函数开口向上;若$a<0$,二次函数开口向下。
2. 图像二次函数的图像呈现抛物线的形状,称为二次曲线。
图像在平面$x$轴上对称,其中顶点为$(h, k)$,其中$h=-\frac{b}{2a}$,$k=c-\frac{b^2}{4a}$。
根据顶点的坐标,可以确定二次函数的平移和缩放变换。
3. 性质二次函数的性质包括:定义域、值域、奇偶性、单调性等。
其定义域为实数集,值域的范围取决于二次函数开口的方向。
奇偶性与二次函数的对称性相关,若$f(x)=-f(-x)$,则为奇函数;若$f(x)=f(-x)$,则为偶函数。
二次函数在开区间上可以是增函数或减函数。
二、幂函数幂函数是指函数表达式形式为$f(x)=ax^k$的函数,其中$a$和$k$为常数,$a \neq 0$,$k$为实数。
1. 定义幂函数以$x$的幂次为变量,其图像形状随参数$a$和$k$的取值而变化。
常见的幂函数有正幂函数($a>0$)、负幂函数($a<0$)和倒数函数($k=-1$)。
2. 图像幂函数的图像可以是直线、曲线或者曲线段。
具体的形状取决于参数$a$和$k$的取值。
幂函数的图像可在平面上进行平移、压缩和扭曲操作。
3. 性质幂函数的性质包括:定义域、值域、奇偶性、单调性等。
其定义域为正实数集或者整个实数集,取决于指数$k$的值。
值域的范围取决于参数$a$和$k$的正负。
二次函数与幂函数的关系与性质
二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念,它们在数学中有着广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一条U形曲线,被称为抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值,即f(x) = 0的解。
二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线,它与抛物线的顶点重合。
二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a,顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数的增减性当a > 0时,二次函数是开口向上的,即函数的图像在对称轴的两侧递增;当a < 0时,二次函数是开口向下的,即函数的图像在对称轴的两侧递减。
4. 函数的最值当a > 0时,二次函数的最小值为f(-b/2a);当a < 0时,二次函数的最大值为f(-b/2a)。
二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数,其中a为非零实数,b为实数。
幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。
1. 底数和指数幂函数中的x称为底数,b称为指数。
不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。
2. 增减性与奇偶性当b > 0时,幂函数是递增的;当b < 0时,幂函数是递减的。
当b为偶数时,幂函数的图像关于y轴对称;当b为奇数时,幂函数的图像不对称。
3. 渐近线和极限当b > 1时,幂函数的图像会趋近于x轴正半轴;当b < 1时,幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。
幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。
三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况,即当指数b为2时。
因此,二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式,二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数,其中a eq0,a、b和c为常数,x为自变量。
2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线,开口方向由二次项的系数a决定:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是一个直线,其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
•二次函数的顶点是对称轴上的点,坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。
•当a>0时,二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$;当a<0时,二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作,可以得到不同形状的图像。
•平移:设二次函数为f(x)=x2,当向右平移ℎ个单位,得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2;当向上平移k个单位,得到f(x)+k=x2+k。
•伸缩:设二次函数为f(x)=x2,当横坐标伸缩为原来的m倍,纵坐标伸缩为原来的n倍,得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。
•翻转:设二次函数为f(x)=x2,当横坐标翻转,得到f(−x)= (−x)2=x2;当纵坐标翻转,得到−f(x)=−x2。
二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数,其中a eq0,a和b为常数,x为自变量。
2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。
当b>0且a>0时,幂函数图像在第一象限上递增;当b>0且a<0时,幂函数图像在第一象限上递减;当b<0时,幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ②顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ③零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图象和性质解析式 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0)图象定义域 (-∞,+∞)(-∞,+∞)值域⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤-∞,4ac -b 24a 单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤-∞,-b 2a 上单调递减; 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤-∞,-b 2a 上单调递增;在x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递增在x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递减对称性 函数的图象关于x =-b2a对称2.幂函数(1)定义:形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b24a.( × )(2)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈R ,不可能是偶函数.( × ) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).( × )(4)当n >0时,幂函数y =x n 是定义域上的增函数.( × ) (5)若函数f (x )=(k 2-1)x 2+2x -3在(-∞,2)上单调递增,则k =±22.( ×)(6)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2.( ×)1.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的值为( )C.1 D.-1答案 D解析因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1,故选D.2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.答案[1,2]解析y=x2-2x+3的对称轴为x=1.当m<1时,y=f(x)在[0,m]上为减函数.∴y max =f (0)=3,y min =f (m )=m 2-2m +3=2. ∴m =1与m <1矛盾,舍去.当1≤m ≤2时,y min =f (1)=12-2×1+3=2,y max =f (0)=3. 当m >2时,y max =f (m )=m 2-2m +3=3, ∴m =0或m =2,与m >2矛盾,舍去. 综上所述,1≤m ≤2. 3.若幂函数y =(m 2-3m +3)x22m m --的图象不经过原点,则实数m 的值为________. 答案 1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1m 2-m -2≤0,解得m =1或2.经检验m =1或2都适合.4.(2014·江苏)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________. 答案 (-22,0)解析 作出二次函数f (x )的草图,对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0,则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0,f (m +1)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m 2-1<0,(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-22<m <0.题型一 二次函数的图象和性质例1 已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6]. (1)当a =-2时,求f (x )的最值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a =1时,求f (|x |)的单调区间.解 (1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6], ∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4. (3)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-6,6], 且f (x )=错误!∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键都是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.(1)如果函数f (x )=x 2+(a +2)x +b (x ∈[a ,b ])的图象关于直线x =1对称,则函数f (x )的最小值为________.(2)若函数f (x )=2x 2+mx -1在区间[-1,+∞)上递增,则f (-1)的取值范围是________. 答案 (1)5 (2)(-∞,-3] 解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-a +22=1,a +b =2,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =6.则f (x )=x 2-2x +6=(x -1)2+5≥5. (2)∵抛物线开口向上,对称轴为x =-m4,∴-m4≤-1,∴m ≥4.又f (-1)=1-m ≤-3,∴f (-1)∈(-∞,-3]. 题型二 二次函数的应用例2 已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围.解(1)由题意得f(-1)=a-b+1=0,a≠0,且-b2a=-1,∴a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,转化为x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减.∴g(x)min=g(-1)=1.∴k<1,即k的取值范围为(-∞,1).思维升华有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],所以当x=1时,f(x)取得最小值1;当x =-5时,f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )=(x +a )2+2-a 2的图象的对称轴为直线x =-a , 因为y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a ≤-5或-a ≥5,即a ≤-5或a ≥5. 故a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 题型三 幂函数的图象和性质例3 (1)已知幂函数f (x )=(n 2+2n -2)·23n nx-(n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( ) A .-3 B .1 C .2 D .1或2(2)若(2m +1)12>(m 2+m -1) 12,则实数m 的取值范围是( )C .(-1,2)答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1, 解得n =1或n =-3,经检验只有n =1适合题意,故选B. (2)因为函数y =x 12的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数,所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m +1≥0,m 2+m -1≥0,2m +1>m 2+m -1.解2m +1≥0,得m ≥-12;解m 2+m -1≥0,得m ≤-5-12或m ≥5-12.解2m +1>m 2+m -1,得-1<m <2, 综上所述,5-12≤m <2.思维升华 (1)幂函数的形式是y =x α(α∈R ),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)若幂函数y =x α(α∈R )是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.(3)若幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.(1)已知幂函数f (x )=(m 2-m -1)·x -5m -3在(0,+∞)上是增函数,则m =________.(2)若(a +1)12<(3-2a )12,则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)-1 (2)[-1,23)解析 (1)∵函数f (x )=(m 2-m -1)·x -5m -3是幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1.当m =2时,-5m -3=-13,函数y =x -13在(0,+∞)上是减函数; 当m =-1时,-5m -3=2,函数y =x 2在(0,+∞)上是增函数.∴m =-1.(2)易知函数y =x 12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a +1≥0,3-2a ≥0,a +1<3-2a ,解之得-1≤a <23.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例:(12分)已知f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1),求f (x )的最小值. 思维点拨 参数a 的值确定f (x )图象的形状;a ≠0时,函数f (x )的图象为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴位置. 规范解答解 (1)当a =0时,f (x )=-2x 在[0,1]上递减, ∴f (x )min =f (1)=-2.[2分](2)当a >0时,f (x )=ax 2-2x 图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a.[3分]①当1a≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]内,∴f (x )在[0,1a ]上递减,在[1a,1]上递增.∴f (x )min =f (1a )=1a -2a =-1a.[6分]②当1a>1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min =f (1)=a -2.[9分](3)当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下, 且对称轴x =1a<0,在y 轴的左侧,∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min =f (1)=a -2.[11分]综上所述,f (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧a -2, a <1,-1a, a ≥1.[12分]温馨提醒 (1)本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对系数a 的符号进行了讨论,又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍应对区间进行分类讨论.方法与技巧1.二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式.(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解.3.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.失误与防范1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.A组专项基础训练(时间:45分钟)1.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a 满足的条件是( )A.a≥8 B.a≤8C.a≥4 D.a≥-4答案 A解析函数图象的对称轴为x=a2,由题意得a2≥4,解得a≥8.2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )答案 C解析若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx +c的开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-b2a<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,因此选C.3.幂函数y=x-1,y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则m 与n的取值情况为( )A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<mC.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1答案 D解析可作直线x=2,观察直线x=2和各图象交点的纵坐标可知2-1<2n<20<2m<21,∴-1<n<0<m<1.4.已知f(x)=12x,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是( )A .f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)B .f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )C .f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)D .f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )=12x 在(0,+∞)上是增函数, 又0<a <b <1b <1a,故选C.5.若函数f (x )=x 2-ax -a 在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 等于( ) A .-1 B .1 C .2 D .-2答案 B解析 ∵函数f (x )=x 2-ax -a 的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点取得. ∵f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ -a ≥4-3a ,-a =1,或⎩⎪⎨⎪⎧-a ≤4-3a ,4-3a =1,解得a =1.6.“a =1”是“函数f (x )=x 2-4ax +3在区间[2,+∞)上为增函数”的________条件. 答案 充分不必要解析 函数f (x )=x 2-4ax +3在区间[2,+∞)上为增函数,则满足对称轴--4a 2=2a ≤2,即a ≤1,所以“a =1”是“函数f (x )=x 2-4ax +3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.7.对于任意实数x ,函数f (x )=(5-a )x 2-6x +a +5恒为正值,则a 的取值范围是________. 答案 (-4,4)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5-a >0,36-4(5-a )(a +5)<0,解得-4<a <4.8.当α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-1,12,1,3时,幂函数y =x α的图象不可能经过第________象限. 答案 二、四解析 当α=-1、1、3时,y =x α的图象经过第一、三象限;当α=12时,y =x α的图象经过第一象限.9.设函数y =x 2-2x ,x ∈[-2,a ],求函数的最小值g (a ).解 ∵函数y =x 2-2x =(x -1)2-1.∴对称轴为直线x =1,而x =1不一定在区间[-2,a ]内,应进行讨论. 当-2<a <1时,函数在[-2,a ]上单调递减. 则当x =a 时,y min =a 2-2a ;当a ≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a ]上单调递增,则当x =1时,y min =-1.综上,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a , -2<a <1,-1, a ≥1.10.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3).若方程f (x )+6a =0有两个相等的根,求f (x )的单调区间. 解 ∵f (x )+2x >0的解集为(1,3), 设f (x )+2x =a (x -1)(x -3),且a <0, ∴f (x )=a (x -1)(x -3)-2x =ax 2-(2+4a )x +3a .①由方程f (x )+6a =0得ax 2-(2+4a )x +9a =0.② ∵方程②有两个相等的根, ∴Δ=[-(2+4a )]2-4a ·9a =0,解得a =1或a =-15.由于a <0,舍去a =1.将a =-15代入①式得f (x )=-15x 2-65x -35=-15(x +3)2+65,∴函数f (x )的单调增区间是(-∞,-3], 单调减区间是[-3,+∞). B 组 专项能力提升 (时间:20分钟)11.设二次函数f (x )=ax 2-2ax +c 在区间[0,1]上单调递减,且f (m )≤f (0),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,0]B .[2,+∞)C .(-∞,0]∪[2,+∞)D .[0,2] 答案 D解析 二次函数f (x )=ax 2-2ax +c 在区间[0,1]上单调递减,则a ≠0,f ′(x )=2a (x -1)<0,x ∈[0,1],所以a >0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x =1. 所以f (0)=f (2),则当f (m )≤f (0)时,有0≤m ≤2.12.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R ),若a =c ,则函数f (x )的图象不可能是( )答案 D解析 由A ,B ,C ,D 四个选项知,图象与x 轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x 1,x 2,若只有一个交点,则x 1=x 2.因为a =c ,所以x 1x 2=ca=1,比较四个选项,可知选项D 的x 1<-1,x 2<-1,所以D 不满足.13.已知函数f (x )=223n n x -++(n =2k ,k ∈N )在(0,+∞)上单调递增,则n =________.答案 0或2解析 由题意知:-n 2+2n +3>0,解得-1<n <3.因为n 为非负偶数,所以n =0或2.14.对于实数a 和b ,定义运算“*”:a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a 2-ab , a ≤b ,b 2-ab , a >b .设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则m 的取值范围是________. 答案 (0,14)解析 由题意得f (x )=(2x -1)*(x -1)=⎩⎪⎨⎪⎧(2x -1)2-(2x -1)(x -1), x ≤0,(x -1)2-(2x -1)(x -1), x >0.即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2-x , x ≤0,-x 2+x , x >0.如图所示,关于x 的方程f (x )=m 恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,即函数f (x )的图象与直线y =m 有三个不同的交点,则0<m <14.15.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0,b ∈R ,c ∈R ).(1)若函数f (x )的最小值是f (-1)=0,且c =1,F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0,求F (2)+F (-2)的值;(2)若a =1,c =0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围.解 (1)由已知c =1,a -b +c =0,且-b 2a=-1, 解得a =1,b =2.∴f (x )=(x +1)2.∴F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2,x >0,-(x +1)2,x <0. ∴F (2)+F (-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f (x )=x 2+bx ,原命题等价于-1≤x 2+bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b ≤1x -x 且b ≥-1x-x 在(0,1]上恒成立.又x ∈(0,1]时,1x -x 的最小值为0,-1x-x 的最大值为-2. ∴-2≤b ≤0.故b 的取值范围是[-2,0].。
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种常见解析式①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标;③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac-b24a,+∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤-∞,4ac-b24a对称轴x=-b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,4ac-b24a奇偶性b=0⇔y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,+∞⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-b2a⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,+∞最值当x=-b2a时,y有最小值y min=4ac-b24a当x=-b2a时,y有最大值y max=4ac-b24a辨析感悟1.对幂函数的认识(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).( )(3)幂函数的图象不经过第四象限.( )2.对二次函数的理解(4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( )(5)(教材习题改编)函数f(x)=12x2+4x+6,x∈[0,2]的最大值为16,最小值为-2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不经过第四象限,若与坐标轴相交,则交点一定是原点,但并不是都经过(0,0)点,如(2)、(3).二是二次函数的最值一定要注意区间的限制,不要盲目配方求得结论,如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域.考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12,22,则log4f(2)的值为________.(2)函数y=13x的图象是________.规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数)的形式;(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】比较下列各组数的大小:⑴121.1,120.9,1;⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭,23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭,()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是________.规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法:(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;(2)讨论函数图象,依据图象特征,得到参数间的关系.【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)=1x,g(x)=-x2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2________0,y1+y2________0(比较大小).教学效果分析教学过程1.对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形结合思想与分类讨论思想.3.对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用.答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值.[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.(2)部分学生易出现两点错误:①找不到分类的标准,无从入手;②书写格式不规范,漏掉结论答题模板第一步:配方,求对称轴.第二步:分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步:求最值.第四步:下结论.【自主体验】已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有一个最大值-5,求a的值.教学效果分析。
2-4二次函数幂函数
1
x
法二:
m 2 4( m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
例2: (1)关于x的方程2kx 2 2 x 3k 2 0有两实根, 一个根小于1,另一个根大于1,求实数k的范围.
解:( 1) 令f (x)= 2kx 2 x 3k 2, k 0
2
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, ( k k 4)>0即 k 0或k 4.
m 6或m 2 0 (2) 得 得:m 3. x1 x2 0 m 3 0
1、m为何实数值时,关于x的方程 x2 mx (3 m) 0 有两个大于1的根.
法一:
f ( x) x2 mx (3 m)
f(x)
x1
x2
0
函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2), x1+x2 那么函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称. 2 (2)对于函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a -x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称 (a 为常数).
其图象如图所示:
又∵x∈[ -4,6] , ∴f(|x|)在区间[ -4, -1)和[0,1)上为减函数, 在区间[ -1,0)和[1,6] 上为增函数.
幂函数与二次函数
因为 f(x)=k· x 是幂函数,所以 k=1.又
2 1 1 3 2 ,所以 α=2,所以 k+α=1+2=2.
答案 C
10
基础诊断
考点突破
3.(2016· 全国Ⅲ卷)已知 a=23,b=33,c=253,则( A.b<a<c C.b<c<a
解析
4 2
4
2
1
)
B.a<b<c D.c<a<b
2 2 2
B.与a有关,但与b无关
D.与a无关,但与b有关
解析 设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,
2 ∴M-m=x2 2-x1+a(x2-x1),显然此值与 a 有关,与 b 无关.
答案 B
12
基础诊断
考点突破
5.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a的取值范围是 ________. 解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x=1-a,由题意知1-a≥3,∴a≤-2.
图象 (抛物线) 定义域 值域
4ac-b2 ,+∞ 4a
R
2 4 ac - b -∞, 4a
5
基础诊断
考点突破
对称轴
b x=-2a
2 4 ac - b b - , 2a 4a
顶点坐标 奇偶性
当 b=0 时是偶函数,当 b≠0 时是非奇非偶函数
b 在-∞,-2a上是减函数; b 在-2a,+∞上是增函数 b 在-∞,-2a上是增函数; b 在-2a,+∞上是减函数
单调性
6
基础诊断
考点突破
第4讲 幂函数与二次函数
第4讲 幂函数与二次函数基础知识整合1.幂函数(1)定义:形如□01y =x α的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y =x ,y =x 2,y =x3,y =x 12,y =x -1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义.②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增. ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数的图象和性质 解析式f (x )=ax 2+bx +c (a >0)f (x )=ax 2+bx +c (a <0)图象定义域 (-∞,+∞)(-∞,+∞)值域□02⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ □03⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a 单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a 上单调递减;在x ∈□05⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a 上单调递增;在x ∈□04⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递减对称性函数的图象关于x =-b2a 对称1.幂函数图象特征(1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x 轴(简记为“指大图低”); (2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x 轴. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). (2)顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). (3)两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 3.一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”. (2)“ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0且Δ<0”. 4.二次函数的对称轴二次函数y =f (x )对定义域内的所有x ,都有f (a +x )=f (a -x )成立的充要条件是函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(a 为常数).5.设f (x )=ax 2+bx +c (a >0),则二次函数在闭区间[m ,n ]上的最大、最小值的分布情况(1)若-b 2a ∈[m ,n ],则f (x )max =max{f (m ),f (n )},f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a .(2)若-b2a ∉[m ,n ],则f (x )max =max{f (m ),f (n )},f (x )min =min{f (m ),f (n )}. 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越小.1.已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22,则f (x )为( )A .偶函数B .奇函数C .定义域内的增函数D .定义域内的减函数答案 D解析 设幂函数f (x )=x α,∵其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2,22,∴2α=22=2-12 ,解得α=-12,∴f (x )=x -12,∴f (x )在(0,+∞)上为减函数.故选D .2.若函数y =x 2-2tx +3在[1,+∞)上为增函数,则t 的取值范围是( ) A .t ≤1 B .t ≥1 C .t ≤-1 D .t ≥-1答案 A解析 ∵函数y =x 2-2tx +3的图象关于直线x =t 对称,且开口向上,∴t ≤1. 3.(2019·河南安阳模拟)已知函数f (x )=-x 2+4x +a ,x ∈[0,1],若f (x )有最小值-2,则f (x )的最大值为( )A .1B .0C .-1D .2答案 A解析 ∵f (x )=-x 2+4x +a =-(x -2)2+a +4,∴函数f (x )=-x 2+4x +a 在[0,1]上单调递增,∴当x =0时,f (x )取得最小值,当x =1时,f (x )取得最大值,∴f (0)=a =-2,f (1)=3+a =3-2=1,故选A .4.函数g (x )=x 2-2x (x ∈[0,3])的值域是________. 答案 [-1,3]解析 ∵g (x )=(x -1)2-1,∴g (x )min =g (1)=-1,g (x )max =g (3)=3.∴所求值域为[-1,3].5.已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=________.答案 -1解析 ∵幂函数f (x )=x α为奇函数,∴α可取-1,1,3,又f (x )=x α在(0,+∞)上递减,∴α<0,故α=-1.6.若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则m 的取值范围为________.答案 (-∞,-3]解析 只需要在x ∈(0,1]时,(x 2-4x )min ≥m 即可.因为函数f (x )=x 2-4x 在(0,1]上为减函数,所以当x =1时,(x 2-4x )min =1-4=-3,所以m ≤-3.核心考向突破考向一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f (x )=(m 2-4m +4)x m 2-6m +8在(0,+∞)上为增函数,则m 的值为( )A .1或3B .1C .3D .2答案 B解析 由题意知⎩⎨⎧m 2-4m +4=1,m 2-6m +8>0,解得m =1.故选B .(2)若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d ,在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( )A .d >c >b >aB .a >b >c >dC .d >c >a >bD.a>b>d>c答案 B解析由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a>b>c>d,故选B.幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.[即时训练]1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)x n2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为()A.-3 B.1C.2 D.1或2答案 B解析由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.故选B.2.(2019·昆明模拟)设a=20.3,b=30.2,c=70.1,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.c<b<a答案 B解析由已知得a=80.1,b=90.1,c=70.1,构造幂函数y=x0.1,x∈(0,+∞),根据幂函数的单调性,知c<a<b.考向二求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解 解法一:(利用一般式) 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由题意得⎩⎨⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b24a =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7. 解法二:(利用顶点式) 设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ∵f (2)=f (-1), ∴抛物线的对称轴为x =2+(-1)2=12. ∴m =12.又根据题意函数有最大值8,∴n =8. ∴y =f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+8.∵f (2)=-1,∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-122+8=-1,解得a =-4,∴f (x )=-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+8=-4x 2+4x +7.解法三:(利用两根式)由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1, 故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1)(a ≠0), 即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值f (x )max =8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:[即时训练] 3.已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,求f(x)的解析式.解解法一:(一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧c=0,a+b+c=1,-b2a=1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a=-1,b=2,c=0,∴f(x)=-x2+2x.解法二:(两根式)∵f(x)图象的对称轴方程为x=1,∴f(2)=f(0)=0,f(x)=0的两根分别为0,2.∴可设其解析式为f(x)=ax(x-2).又f(1)=1,可得a=-1,∴f(x)=-x(x-2)=-x2+2x.解法三:(顶点式)由已知,可得顶点为(1,1),∴可设其解析式为f(x)=a(x-1)2+1.又由f(0)=0,可得a=-1,∴f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x.精准设计考向,多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度1 二次函数的单调性例3 (1)函数f (x )=ax 2-2x +3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是( ) A .a =0 B .a <0 C .0<a ≤13 D .a ≥1答案 D解析 当a =0时,f (x )为减函数,不符合题意;当a ≠0时,函数f (x )=ax 2-2x +3图象的对称轴方程为x =1a ,要使f (x )在区间[1,3]上为增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧a <0,1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1a≤1,解得a ≥1.故选D .(2)已知函数f (x )=-2x 2+bx ,若对任意的实数t 都有f (4+t )=f (4-t ),则f (-2),f (4),f (5)的大小关系为( )A .f (5)>f (-2)>f (4)B .f (4)>f (5)>f (-2)C .f (4)>f (-2)>f (5)D .f (-2)>f (4)>f (5)答案 B解析 因为对任意的实数t 都有f (4+t )=f (4-t ),所以函数f (x )=-2x 2+bx 的图象关于直线x =4对称,所以f (-2)=f (10),又函数f (x )=-2x 2+bx 的图象开口向下,所以函数f (x )在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f (4)>f (5)>f (10),即f (4)>f (5)>f (-2).(1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.[即时训练] 4.已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6].(1)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当a =1时,求f (|x |)的单调区间.解 (1)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.(2)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-4,6], 且f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x +3,x ∈(0,6],x 2-2x +3,x ∈[-4,0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-4,0]. 角度2 二次函数的最值问题例4 (1)(2019·南昌模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -a 在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a =________.答案 1解析 因为函数f (x )=x 2-ax -a 的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,所以⎩⎨⎧ -a >4-3a ,-a =1或⎩⎨⎧-a ≤4-3a ,4-3a =1,解得a =1.(2)已知函数f (x )=x 2-2x -3,x ∈[t ,t +2]. ①求f (x )的最值;②当f (x )的最大值为5时,求t 的值.解 f (x )=x 2-2x -3=(x -1)2-4,其图象的对称轴为直线x =1.①ⅰ.若t >1,则当x =t 时,f (x )min =f (t )=t 2-2t -3;当x =t +2时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3.ⅱ.若t ≤1<t +1,即0<t ≤1,则当x =1时,f (x )min =f (1)=-4;当x =t +2时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3.ⅲ.若t +1≤1<t +2,即-1<t ≤0,则当x =1时,f (x )min =f (1)=-4;当x =t 时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3.ⅳ.若t +2≤1,即t ≤-1,则当x =t 时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3;当x =t +2时,f (x )min =f (t +2)=t 2+2t -3.②由①,可知当t ≤0时,f (x )max =t 2-2t -3;当t >0时,f (x )max =t 2+2t -3, 设f (x )的最大值为g (t ),则g (t )=⎩⎨⎧t 2-2t -3,t ≤0,t 2+2t -3,t >0,因为g (t )=5,所以⎩⎨⎧t ≤0,t 2-2t -3=5⇒⎩⎨⎧t ≤0,t =-2或t =4⇒t =-2;⎩⎨⎧ t >0,t 2+2t -3=5⇒⎩⎨⎧t >0,t =2或t =-4⇒t =2. 故当f (x )的最大值为5时,t =2或t =-2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.[即时训练] 5.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a 的值.解 f (x )=a (x +1)2+1-a .(1)当a =0时,函数f (x )在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去. (2)当a >0时,函数f (x )在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a +1=4,解得a =38.(3)当a <0时,函数f (x )在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f (-1)=1-a =4,解得a =-3.综上可知,a 的值为38或-3.角度3 与二次函数有关的恒成立问题例5 (1)(2019·合肥模拟)设函数f (x )=mx 2-mx -1,若对于x ∈[1,3],f (x )<-m +4恒成立,则实数m 的取值范围为( )A .(-∞,0]B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,57C .(-∞,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,57D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,57答案 D解析 由题意,f (x )<-m +4对于x ∈[1,3]恒成立即m (x 2-x +1)<5对于x ∈[1,3]恒成立.∵当x ∈[1,3]时,x 2-x +1∈[1,7],∴不等式f (x )<-m +4等价于m <5x 2-x +1.∵当x =3时,5x 2-x +1取最小值57, ∴若要不等式m <5x 2-x +1对于x ∈[1,3]恒成立,则必须满足m <57,因此,实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,57,故选D .(2)已知函数f (x )=x 2+2(a -2)x +4,若∀x ∈[-3,1],f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,4解析 因为f (x )=x 2+2(a -2)x +4,其图象的对称轴为x =-(a -2),∀x ∈[-3,1],f (x )>0恒成立,所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得⎩⎨⎧-(a -2)<-3,f (-3)>0或⎩⎨⎧-3≤-(a -2)≤1,Δ<0或⎩⎨⎧-(a -2)>1,f (1)>0,解得a ∈∅或1≤a <4或-12<a <1,所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ,a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[即时训练] 6.已知两函数f (x )=8x 2+16x -k ,g (x )=2x 2+4x +4,其中k 为实数.(1)对任意x ∈[-3,3],都有f (x )≤g (x )成立,求k 的取值范围; (2)存在x ∈[-3,3],使f (x )≤g (x )成立,求k 的取值范围; (3)对任意x 1,x 2∈[-3,3],都有f (x 1)≤g (x 2),求k 的取值范围.解 (1)设h (x )=f (x )-g (x )=6x 2+12x -4-k ,问题转化为x ∈[-3,3]时,h (x )≤0恒成立,故h (x )max ≤0.由二次函数的性质可知h (x )max =h (3)=86-k ,有86-k ≤0,得k ≥86.(2)由题意,存在x ∈[-3,3],使f (x )≤g (x )成立,即h (x )=f (x )-g (x )=6x 2+12x -4-k ≤0在x ∈[-3,3]时有解,故h (x )min ≤0.由二次函数的性质可知h (x )min =h (-1)=-10-k ,有-10-k ≤0,得k ≥-10.(3)对任意x 1,x 2∈[-3,3],都有f (x 1)≤g (x 2)成立,所以f (x )max ≤g (x )min ,x ∈[-3,3].由二次函数的性质可得f (x )max =f (3)=120-k ,g (x )min =g (-1)=2.故有120-k ≤2,得k ≥118.课时作业1.(2019·福州模拟)若f (x )是幂函数,且满足f (4)f (2)=3,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .3B .-3C .13D .-13答案 C解析 设f (x )=x α,则4α2α=3,即2α=3,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12α=12α=13.2.当x ∈(1,+∞)时,下列函数中图象全在直线y =x 下方的增函数是( )A .y =x 12B .y =x 2C .y =x 3D .y =x -1答案 A解析 结合常用幂函数的图象可知y =x 12的图象满足条件.3.若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .[-2,2]C .(-2,2]D .(-∞,-2)答案 C解析 当a -2=0即a =2时,不等式为-4<0,恒成立.当a -2≠0时,⎩⎨⎧a -2<0,Δ<0,解得-2<a <2,所以a 的取值范围是-2<a ≤2.故选C . 4.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,1,3时,幂函数y =x α的图象不可能经过( )A .第二象限B .第三象限C .第四象限D .第二、四象限答案 D 解析 y =x-1的图象经过第一、三象限,y =x 12的图象经过第一象限,y =x的图象经过第一、三象限,y =x 3的图象经过第一、三象限.故选D .5.(2020·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,12在幂函数f (x )=(a -1)x b 的图象上,则函数f (x )是( )A .奇函数B .偶函数C .定义域内的减函数D .定义域内的增函数答案 A解析 ∵函数f (x )=(a -1)x b 是幂函数,∴a -1=1,解得a =2,又点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,12在该函数的图象上,∴2b=12,∴b =-1,∴f (x )=x -1,∴函数f (x )是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且在每一个区间内是减函数.故选A .6.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +5(a ≠0)的图象过点P (-1,11),且其对称轴是直线x =1,则a +b 的值是( )A .-2B .0C .1D .2答案 A解析 因为二次函数f (x )=ax 2+bx +5(a ≠0)的图象的对称轴是直线x =1,所以-b2a =1 ①.又f (-1)=a -b +5=11,所以a -b =6 ②.联立①②,解得a =2,b =-4,所以a +b =-2,故选A .7.(2019·唐山模拟)已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),且f (x )在[0,2]上是增函数,若f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是( )A .[0,+∞)B .(-∞,0]C .[0,4]D .(-∞,0]∪[4,+∞) 答案 C解析 由f (2+x )=f (2-x )可知,函数f (x )图象的对称轴为直线x =2+x +2-x2=2,又函数f (x )在[0,2]上单调递增,所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.8.(2019·成都模拟)已知幂函数f (x )=x α,当x >1时,恒有f (x )<x ,则α的取值范围是( )A .(0,1)B .(-∞,1)C .(0,+∞)D .(-∞,0) 答案 B解析当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方,作出幂函数f(x)=xα在第一象限的图象,由图象可知α<1时满足题意.故选B.9.已知函数f(x)=-x2+4x在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的取值范围是()A.[1,7] B.[1,6]C.[-1,1] D.[0,6]答案 A解析∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴f(2)=4.又由f(x)=-5,得x=-1或5.由f(x)的图象知,-1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m+n≤7.10.(2019·西安模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是()A.②④B.①④C.②③D.①③答案 B解析因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.对称轴为直线x=-1,即-b=-1,2a-b=0,②错误.2a结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.由对称轴为直线x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a <2a ,即5a <b ,④正确.11.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,1]C .[-1,2]D .(0,2]答案 A解析 不等式xy ≤ax 2+2y 2对x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,即a ≥y x -2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对x∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,令t =yx ,则1≤t ≤3,∴a ≥t -2t 2在[1,3]上恒成立,设y =-2t 2+t =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142+18(t ∈[1,3]),∴y max =-1,∴a ≥-1.故选A .12.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关答案 B解析 解法一:设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b .∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关.故选B .解法二:由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b 的变动,相当于图象上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图象左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关.故选B .13.(2019·南昌模拟)若x >1时,x a -1<1,则a 的取值范围是________. 答案 (-∞,1)解析 因为x >1,x a -1<1,所以a -1<0,得a <1.14.已知幂函数f (x )=x -12,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.答案 (3,5)解析 ∵f (x )=x -12=1x(x >0),易知x ∈(0,+∞)时为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a >-1,a <5,a >3,∴3<a <5.15.(2019·武汉模拟)方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有根,则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235,1解析 解法一:由于方程x 2+ax -2=0有解,设它的两个解分别为x 1,x 2,则x 1·x 2=-2<0,故方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有唯一解. 设f (x )=x 2+ax -2,则f (1)·f (5)≤0, 即(a -1)(5a +23)≤0,解得-235≤a ≤1.解法二:方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有根,即方程x +a -2x =0,也即方程a =2x -x 在区间[1,5]上有根,而函数y =2x -x 在区间[1,5]上是减函数,所以-235≤y ≤1,则-235≤a ≤1.16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 12,0≤x ≤c ,x 2+x ,-2≤x <0,其中c >0.那么f (x )的零点是________;若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,2,则c 的取值范围是________.答案 -1和0 (0,4] 解析 当0≤x ≤c 时,由x 12=0得x =0.当-2≤x <0时,由x 2+x =0,得x=-1,所以函数f (x )的零点为-1和0.当0≤x ≤c 时,f (x )=x 12,所以0≤f (x )≤c ;当-2≤x <0时,f (x )=x 2+x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122-14,所以此时-14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,2,则有c ≤2,即0<c ≤4,即c 的取值范围是(0,4].。
2.4二次函数与幂函数
f(x)=x +2x
2
g(x)=-x +2x
2
(-∞,0]变式训练3 Nhomakorabea(2) 已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1. ①若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实 数b的取值范围; ②设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2, 且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围.
b<0或b>4
[-1,0]∪[2,+∞)
变式训练3
(3) (2010· 广东)已知函数f(x)对任意实数x均 有f(x)=kf(x+2),其中k为负数,且f(x)在 区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). 3 ①求f(-1),f(2.5)的值;(1)f(-1)=-k,f(2.5)=-4k ②写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函 数f(x)在[-3,3]上的单调性.
3
2
C.[3,12]
思想方法·感悟提高
1.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时 , 常借助于二次函数的图象 数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端 点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的 图象、性质求解.
变式训练3
(1)(P17) 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点 (1,3), 且 f( - 1 + x) = f( - 1 - x) 对任意实数都成 立, 函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. ①求 f(x)与 g(x)的解析式; ②若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求 实数 λ 的取值范围.
【2014年高考浙江会这样考】
1.常以集合为载体,考查二次方程的解
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二次函数与幂函数
自我检测:
1.若f (x )既是幂函数又是二次函数,则f (x )可以是( )
A .f (x )=x 2-1
B .f (x )=5x 2
C .f (x )=-x 2
D .f (x )=x 2
2.(教材习题改编)设α∈⎩
⎨⎧⎭⎬⎫-1,1,12,3,则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )
A .1,3
B .-1,1
C .-1,3
D .-1,1,3
3.(教材习题改编)已知函数f (x )=ax 2+x +5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,120
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-120
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120,+∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫-120,0 4.(教材习题改编)已知点M ⎝
⎛⎭⎪⎫33,3在幂函数f (x )的图象上,则f (x )的表达式为________. 5.如果函数f (x )=x 2+(a +2)x +b (x ∈[a ,b ])的图象关于直线x =1对称,则函数f (x )的
最小值为________.
[例1] 已知幂函数m =________.
练习1.(1)如图给出4个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )
A .①y =x 13,②y =x 2,③y =x 12,④y =x -1
B .①y =x 3,②y =x 2,③y =x 12
,④y =x -1 C .①y =x 2,②y =x 3,③y =x 12,④y =x -1 D .①y =x 13,②y =x 12
,③y =x 2,④y =x -1
(2)(2013·淄博模拟)若a <0,则下列不等式成立的是( )
A .2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a
B .(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >2ª C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a >2a D .2a >(0.2)a >⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
例2.设f (x )y =f (x )的图象是
顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;
(3)写出函数f(x)的值域.
[例3] 已知函数
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.
本例条件不变,求当a=1时,f(|x|)的单调区间.
练习3.(2012·泰安调研)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为________.
例4.若二次函数f f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
幂函数与二次函数作业
1.已知幂函数y =f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4,12,则f (2)=( ) A.14 B .4 C.22 D. 2 2.若函数f (x )是幂函数,且满足f 4f 2=3,则f (12)的值为( ) A .-3 B .-13
C .3 D.13 3.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3,若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为( ).
A .[2-2,2+2]
B .(2-2,2+2)
C .[1,3]
D .(1,3)
4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于 ( ). A .-3
B .-1
C .1
D .3 5 .函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象关于直线x =-b 2a 对称.据此可推测,对任意的非零实数a ,b ,c ,m ,n ,p ,关于x 的方程m [f (x )]2+nf (x )+p =0的解集都不可能是( ).
A .{1,2}
B .{1,4}
C .{1,2,3,4}
D .{1,4,16,64}
6.二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,a 为正整数,c ≥1,a +b +c ≥1,方程ax 2+bx +c =0有两个小于1的不等正根,则a 的最小值是
( ). A .3
B .4
C .5
D .6 7.对于函数y =x 2,y =x 12有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内
都单调递增;③它们的图像关于直线y =x 对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图像都是抛物线型.
其中正确的有________.
8.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________.
9.方程x 2
-mx +1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m 的取值范围是________.
10.设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数.当-1≤x <1时,y =f (x )的表达式
是幂函数,且经过点⎝⎛⎭⎫12,18.求函数在[2k -1,2k +1)(k ∈Z)上的表达式.
11.已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4, 6].
(1)当a =-2时,求f (x )的最值;
(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数;
(3)[理]当a =1时,求f (|x |)的单调区间.
12.设函数f (x )=ax 2
-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,求实数a 的取值范围.
13.已知函数f (x )=x 2-k 2+k +2(k ∈Z)满足f (2)<f (3).
(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式;
(2)对于(1)中得到的函数f (x ),试判断是否存在q >0,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q -1)x 在
区间[-1,2]上的值域为⎣
⎡⎦⎤-4,178?若存在,求出q ;若不存在,请说明理由.。