二次函数与直线一元二次方程的关系

二次函数与直线、一元二次方程的关系

一、二次函数与直线的关系

（1）抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点是()0,c ；

（2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点，因为x 轴上的点的纵坐标都为0，

所以令0y =，代入得2

0ax bx c ++=，解这个一元二次方程得x =，所

以抛物线与x 轴的交点坐标是2b a ⎛⎫--

⎪ ⎪⎝⎭和2b a ⎛⎫

-+ ⎪ ⎪⎝⎭

； （3）一次函数()0y kx b k =+≠的图象与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象

的交点的个数，由方程组2

y kx b

y ax bx c

=+⎧⎨=++⎩的解的数目确定： ①方程组有两组不同的解⇔两函数图象有两个交点； ②方程组只有一组解⇔两函数图象只有一个交点； ③方程组无解⇔两函数图象没有交点。

例1、已知：抛物线的解析式为()2

2

21y x m x m m =--+-。

（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线34y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值。

变式1-1、在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数()2

14y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ，

与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ∆=。

（1）求点A 与点B 的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P 在x 轴上，且ABP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标。

二、二次函数与一元二次方程的关系

方程20ax bx c ++=的两个实数根为12x x 、，与x 轴的交点为A B 、，如下表： 判别式的情况

抛物线2y ax bx c

=++与x 轴的交点 有两个交点

有一个交点 无交点

二次方程

20ax bx c ++=的实根

有两个不相等的实根1212,x x AB x x =-、

有两个相等的实

根12x x =

无实根

例2、（2011•潍坊）已知一元二次方程()2

00ax bx c a ++=>的两个实数根12x x 、满足124

x x +=和123x x •=，那么二次函数()2

0y ax bx c a =++>的图象有可能是（ ）。

变式2-1、（2011•呼和浩特）已知一元二次方程2

30x bx +-=的一根为3-，在二次函数

23y x bx =+-的图象上有三点123451,,,546y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-- ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

、、，则123y y y 、、的大小关系是 。

例3、如图所示，抛物线()2213y x m x m =-++++与x 轴交于A B 、两点，则:3:1OB OA =，则m = 。

变式3-1、设函数()()2145y x k x k =-+-+的图象如图所示，它与x 轴交

于A B 、两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则k = 。

例4、已知抛物线()221423y k x kx k =+++-。求： （1）k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点；

（2）k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧？ 变式4-1、已知抛物线2

5y x mx m =++-。

（1）求证：不论m 为何实数，抛物线与x 轴都有两个不同的交点？ （2）当m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别都在原点左侧？ （3）当m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别在()1,0两侧？

例5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,3--，对称轴是直线2x =，在x 轴上截得的

线段长为210，求这个二次函数的解析式。

变式5-1、已知二次函数2

y ax bx c =++的顶点为()1,4-，且抛物线在x 轴上截得的线段长为4，求

抛物线的解析式。

变式5-2、如图，二次函数的图象经过点70,

39D ⎛

⎫

⎪⎝⎭

，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA PD +最小，求出点P 的坐标。

例6、关于x 的一元二次方程()

()2212210m x m x ---+=。

（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点()1,1A

--是抛物线()()221221y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。

思考：

1、函数2

31y ax ax x =-++的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值和交点坐标。

2、已知抛物线2

234

y x kx k =+-

（k 为常数，且0k >）。

（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；

（2）设抛物线与x 轴交于M N 、两点，若这两点到原点的距离分别为OM ON 、，且1123

ON

OM

-

=

，

求k 的值。

二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习

1、在二次函数2

y ax bx c =++中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 。

2、不论m 为何实数，抛物线2

2y x mx m =-+-（ ）。

.A 在x 轴上方 .B 与x 轴只有一个交点 .C 与x 轴有两个交点 .D 在x 轴下方

3、若抛物线2

21y kx x =-+与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 。

4、已知函数2

77y kx x =--的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 。

5、如果一个二次函数的图象经过点()6,10A ，与x 轴交于B C 、两点，点B C 、的横坐标分别为

12x x 、，且12126,5x x x x +==，求这个二次函数的解析式。