高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(十)
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
高三数学冲刺试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f'(x)$的零点个数是（）。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若$a, b, c$是等差数列的连续三项，且$a + b + c = 12$，则$ab + bc +ca$的值是（）。
A. 36B. 24C. 18D. 123. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值是（）。
A. 13B. 23C. 5D. 14. 函数$y = \frac{1}{x}$的图像在（）象限。
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限5. 下列不等式中正确的是（）。
A. $x^2 > 4$B. $x^2 < 4$C. $x^2 \leq 4$D. $x^2 \geq 4$6. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点$B$的坐标是（）。
A. $(3, 2)$B. $(1, 4)$C. $(4, 1)$D. $(5, 0)$7. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列的前$n$项和$S_n$是（）。
A. $2^n - n - 2$B. $2^n - n - 1$C. $2^n - n$D. $2^n - n + 2$8. 若直线$y = kx + b$经过点$(1, 2)$和$(2, 3)$，则$k$的值是（）。
A. 1B. 2C. 0.5D. -19. 已知函数$y = \log_2(x - 1)$，则函数的定义域是（）。
A. $x > 1$B. $x \geq 1$C. $x < 1$D. $x \leq 1$10. 下列命题中正确的是（）。
A. 两个等差数列一定是等比数列B. 两个等比数列一定是等差数列C. 两个等差数列的公差一定相等D. 两个等比数列的公比一定相等二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的对称轴方程是__________。
高三数学模拟冲刺试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心为（）A. (0, -1)B. (0, 2)C. (1, 0)D. (1, 2)答案：A解析：函数f(x) = x^3 - 3x + 2的对称中心可以通过求导找到极值点，然后求出对称中心。
f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
由于f(x)在x = 0处取得极小值，故对称中心为(0, -1)。
2. 下列不等式中正确的是（）A. a > b 且 c > d 则 ac > bdB. a > b 且 c < d 则 ac > bdC. a > b 且 c > d 则 ac < bdD. a > b 且 c < d 则 ac < bd答案：A解析：由不等式的乘法性质，当a > b且c > d时，两边同时乘以正数，不等号方向不变，故ac > bd。
3. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第10项与第15项之和为（）A. 10a1 + 14dB. 15a1 + 14dC. 10a1 + 15dD. 15a1 + 15d答案：C解析：等差数列的第n项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项与第15项之和为a10 + a15 = (a1 + 9d) + (a1 + 14d) = 2a1 + 23d = 10a1 + 15d。
4. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = e^x答案：D解析：函数y = e^x在定义域内是单调递增的，因为其导数y' = e^x始终大于0。
5. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第5项与第8项之比为（）A. q^4B. q^3C. q^2D. q^5答案：A解析：等比数列的第n项公式为bn = b1 q^(n-1)，所以第5项与第8项之比为b5 / b8 = b1 q^4 / (b1 q^7) = q^4。
新高考冲刺卷数学试卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：题目给出函数f(x) = 2x + 3，求函数的图像，由于函数为一次函数，图像为一条直线，斜率为2，y轴截距为3，所以正确答案为A。
2. 答案：C解析：题目给出数列{an}的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求第10项an的值。
根据数列的前n项和与第n项的关系，有an = Sn - Sn-1，代入n=10，得an = 310^2 + 210 - (39^2 + 29) = 310。
所以正确答案为C。
3. 答案：D解析：题目给出复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = 1，求|a - bi|的值。
由于|z| = 1，所以a^2 + b^2 = 1，而|a - bi| = √(a^2 + (-b)^2) = √(a^2 + b^2) = 1。
所以正确答案为D。
4. 答案：B解析：题目给出数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求前10项的和S10。
根据数列的通项公式，S10 = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^10 - 1) = (2^1 + 2^2 + ... + 2^10) - 10 = (2^11 - 2) - 10 = 2046。
所以正确答案为B。
5. 答案：A解析：题目给出平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求Q的坐标。
由于直线y = x是45度角的直线，点P(2, 3)关于y = x的对称点Q的坐标可以通过交换横纵坐标得到，即Q(3, 2)。
所以正确答案为A。
二、填空题6. 答案：-3解析：题目给出函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值。
由于函数为二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入a = 1，b = -4，c = 4，得顶点坐标为(2, 0)，所以函数的最小值为0，而题目要求求的是最小值对应的x值，即x = 2 - 2 = -3。
(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)
高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。
高三冲刺数学试题及答案
高三冲刺数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(2,1)和向量b=(1,-1)，求向量a与向量b的数量积：A. -1B. 0C. 1D. 23. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,5)在直线l上，则直线l的斜率k为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求该数列的第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 385. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为：A. 1B. √2C. 2D. √36. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/27. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，求抛物线C的焦点坐标：A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)8. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞,1)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (-∞,1)∪(2,+∞)9. 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且a=2，b=1，求该双曲线的渐近线方程：A. y=±2xB. y=±xC. y=±1/2xD. y=±2/x10. 若三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求角C的大小：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=3，公比q=2，求该数列的前5项和S5。
12. 若直线l1的方程为3x-4y+5=0，直线l2的方程为6x+8y-15=0，则直线l1与l2的位置关系为。
数学试卷高三冲刺卷附答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0,2]上的最大值为5，则f'(x)在区间[0,2]上的零点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. y = -x^2 + 4xB. y = 2x - x^2C. y = x^2 + 2x + 1D. y = -x^2 - 2x - 13. 已知数列{an}满足an+1 = an^2 - 2an，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为：A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 24. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 > 0C. x^2 + 2x + 1 < 0D. x^2 - 2x + 1 < 05. 在三角形ABC中，若a = 3, b = 4, c = 5，则sinA + sinB + sinC的值为：A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为：A. 2B. 4C. 6D. 87. 下列各式中，表示圆的方程的是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 168. 下列函数中，在定义域内有两个不同零点的函数是：A. y = x^2 - 4B. y = x^2 + 4C. y = x^2 - 2x + 1D. y =x^2 + 2x + 19. 若向量a = (1, 2), b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/510. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，且f(0) = 0，f(1) = 1，则a、b、c的取值范围分别为：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = x^3 - 6x + 9的极值点为______。
【原创】(新高考)2021届高考考前冲刺卷 数学(十) 解析版
（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（十）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}3,2,0,2,3U =--，{}3,3A =-，()(){}320B x x x =--=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}3,2,3-B ．{}3,2,0,2--C ．{}3D ．{}2,0-2．设z 是复数z 的共轭复数，若10i 5z z z ⋅+=，则2i z=+（ ） A ．2 B ．34i 55+ C ．2或43i 55+ D ．2或34i 55+ 3．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，若45S =，232S =，则公差d =（ ）A ．14B ．1C ．34D ．124．设m ∈R ，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆()()22:123C x y m -+-=-有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知抛物线2:(0)E y ax a =≠的焦点为F ，准线为l ，一圆以F 为圆心且与l 相切，若该圆与抛物线E 交于点00(,)M x y ，则0y x 的值为（ ） A ．2a -或2aB ．2-或2C ．2-D ．2a6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E 为AF 的中点，EG AB AD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．12B ．35C ．23D ．457．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B -的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．30,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．12,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意x 都满足(2)()f x f x +=，且当11x -≤≤时2()2f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中，与sin π6的值相等的是（ ） A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan 30tan151tan 30tan15︒︒-︒+︒此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p = B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<≤=- D ．若某次考试的标准分X 服从正态分布()90,900N ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为3811．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则（ ）A ．以正八面体各面中心为顶点的几何为正方体B ．直线AE 与CF 是异面直线C ．平面ABF ⊥平面ABED ．平面//ABF 平面CDE12．已知曲线2()(0)x f x ae a -=>与曲线2()(0)g x x m m =->有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e 是自然对数的底数)，则当m 变化时，实数a 取以下哪些值能满足以上要求（ ） A ．1 B ．eC ．2eD ．2e第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在二项式()51x +的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是_____． 14．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于_________． 15．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A 离地面a 米，树上另一点B 离地面b 米，在离地面()c c b <米的C 处看此树，离此树的水平距离为_________米时看A ，B 的视角最大．16．已知区域D 表示不在直线()212223m x my m -+=+(m ∈R )上的点构成的集合，则区域D的面积为________，若在区域D 内任取一点(),P x y 22x y +的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c )22232sin a c b bc A +-=．（1）求B ；（2）若ABC △23，2c a =，求b ．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，且122n n n A B +-=-．（1）求{}n n a b -的通项公式；（2）若n n a b n +={}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．（12分）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表， ①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x ；②若该同学的接球训练成绩X 近似地服从正态分布(),100N μ，其中μ近似为样本平均数x ， 求()5464P X <<的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y ．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求()E Y ．参考数据：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，()220.9545P μσξμσ-<<+≈，()330.9973P μσξμσ-<<+≈．20．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是菱形，AB BC ⊥，1C 在底面ABC上的射影是BC 的中点． （1）证明：1CB ⊥平面1ABC ；（2）若2BC AB =，求1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆(22:12C x y+=，动圆M过点)D且与圆C相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数()212ln2f x x mx x=++在点()()1,1f处的切线垂直于y轴．（1）求()f x的单调区间；（2）若存在a，b，c()0a b c<<<使得()()()f a f b f c==，求证：2c a-<．（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（十）答 案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》学生版
2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》一、选择题1.已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11=－33，b 1＋b 6＋b 11=7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A.－ 3 B.－1 C.－33D. 3 2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a=507B.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c=507C.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a=507D.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c=5073.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，其前n 项和为S n ，若S 4=2S 2＋1，则S 6的最小值为( )A.9B.3－2 3C.3＋2 3D.3＋ 64.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( B )A.210B.220C.216D.2155.定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n =a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11=( ) A.111 B.112 C.1011 D.11126.已知正项等比数列{a n }满足a 3=1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( ) A.4 B.2 C.12 D.14 7.等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n+1（n ∈N*），其中a 是常数，则a=（ ）A.﹣2B.﹣1C.1D.28. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=( )A.－4B.－6C.－8D.－1010.在数列{a n }中，已知a 1=3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 D.(－∞，1] 11.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2=0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A.－2＋22B.－ 2C. 2D.－2或 2 12.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1·a n =2n (n ∈N *)，则S 2 018=( )A.22 018－1B.3×21 009－3C.3×21 009－1D.3×21 008－213.已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6=( )A.80B.85C.90D.9514.数列{a n }满足a 1=1，na n ＋1=(n ＋1)a n ＋n(n ＋1)，且b n =a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24=( )A.294B.174C.470D.304二、填空题15.设f(x)=4x 4x ＋2，若S=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S= . 16.已知数列{a n }中，a 1=－1，a n ＋1=2a n ＋3n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n =________.17.各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1=1，a 2=3，则数列{a n }的通项公式为 a n = .18.已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12=7S 4，则S 8S 4= . 19.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =2·3n －1(n ∈N *)，若b n =a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n = . 20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n ＋a n ＋1=12n (n=1,2,3，…)，则S 2n ＋3= .。
2020高考理科数学冲刺卷解析版 (10)
B 的轨迹为 .
（1）求曲线 的方程; （2）设 C(2,1), D(2, 1) , E, F 是曲线 上位于直线 CD 两侧的两动点,当 E, F 运动时,始终满
设点 A3, 0 关于直线 x y 4 的对称点 A (a,b) ，
AA
中点
M
(
a
2
3
,
b 2
)
在直线
x
y
4
上，
a
b a
2
3
0 3
b 2
1
4
解得：
a b
4 1
，即
A(4,1)
，设将军饮马点为
P
，到达营区点为
B
，则总路程
PB PA PB PA ，要使路程最短，只需 PB PA 最短，即点 A 到军营的最短距离，即
n
AB 中点时，令数列 an ( Mi Ni ) OC ，记{an}的前 n 项和为 Tn ，则Tn _______. i 1
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考 题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。
A． 13 14
B． 14 15
C． 15 16
1
D． 16 17
2．为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量
的影响，西安市人民政府决定：自 2019 年 3 月 18 日至 2020 年 3 月 13 日在相关区域实施工
高考冲刺押题数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像关于点(1,0)对称。
（）A. 正确B. 错误2. 若实数a，b满足a+b=1，则a^2+b^2的取值范围是（）A. (0,1)B. [0,1]C. (0,4)D. [0,4]3. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n的通项公式是（）A. S_n = 3^n - 2^nB. S_n = 3^n - 2^(n+1)C. S_n = 2^n - 3^nD. S_n = 2^(n+1) - 3^n4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定5. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则向量a·b的值是（）A. 5B. -5C. 3D. -36. 已知函数f(x) = log_2(x+1)，则f(-3)的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若等差数列{an}的首项a_1=1，公差d=2，则第10项a_10是（）A. 19B. 20C. 21D. 228. 若平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,5)，则直线AB的斜率是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等比数列{an}的首项a_1=1，公比q=2，则第5项a_5是（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(1)的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，若f(x)在x=1处取得最小值，则f(1)的值为______。
12. 已知等差数列{an}的首项a_1=3，公差d=2，则第10项a_10的值为______。
13. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部是______。
四川省眉山市重点中学2024年高考临考冲刺数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i2．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 4．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．3B 3C ．12-D ．127．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9918．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦9．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.1511．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)(共15套)
高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且3457++=n n B A n n ,则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.5 解析:nn n n n n n n b a b a b b n a a n B A ==+•-+•-=----222)()12(2)()12(1211211212, ∴31245)12(71212+-+-==--n n B A b a n n n n ＝11271197++=++n n n . 当n ＝1,2,3,5,11时,n n b a 是正整数. 答案:D2.已知数列{a n }的前n 项和21++=n n S n (n∈N *),则a 4等于（ ） A.301 B.341 C.201 D.321 解析：由已知,得a 4＝S 4-S 3＝3015465=-. 答案：A3.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ,则sinA+cosA 等于( ) A.315 B.315- C.35 D.35-解析:在△ABC 中,032cos sin 2>=A A , ∴sinA＞0,cosA ＞0. ∴2)cos (sin cos sin A A A A +=+A A A A cos sin 2cos sin 22++=31535321==+=. 答案:A4.若a ＜0,则( )A.2a ＞(21)a ＞(0.2)a B.(0.2)a ＞(21)a ＞2a C.(21)a ＞(0.2)a ＞2a D.2a ＞(0.2)a ＞(21)a 解析:∵a＜0,∴2a＜0,(21)a ＞1,0.2a ＞1. 而a a)2.0()21(＝(25)a ∈(0,1), ∴(21)a ＜0.2a . 答案:B5.下列各组向量中不平行的是( )A.a ＝(1,2,-2),b ＝(-2,-4,4)B.c ＝(1,0,0),d ＝(-3,0,0)C.e ＝(2,3,0),f ＝(0,0,0)D.g ＝(-2,3,5),h ＝(16,24,40)解析:向量平行的充要条件是:存在实数λ,使a ＝λb.g,h 不满足要求,故D 中的两个向量不平行.答案:D6.由等式x 3+a 1x 2+a 2x+a 3＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,定义一个映射:f(a 1,a 2,a 3)＝(b 1,b 2,b 3),则f(2,1,-1)等于( )A.(-1,0,-1)B.(-1,-1,0)C.(-1,0,1)D.(-1,1,0)解析:由题意知x 3+2x 2+x-1＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,令x ＝-1,得-1＝b 3,即b 3＝-1;再令x ＝0与x ＝1,得⎩⎨⎧+++=+++=-,2483,11321321b b b b b b 解得b 1＝-1,b 2＝0,故选A.答案:A7.下列两个变量之间是相关关系的是( )A.圆的面积与半径B.球的体积与半径C.角度与它的正弦值D.一个考生的数学成绩与物理成绩 解析:相关关系不是确定的函数关系，这里A 、B 、C 都是确定的函数关系.答案:D8.已知集合A ＝{x|x 2-x-2＞0},B ＝{x||x-a|≤1}，若A∩B＝∅,则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（-∞,1)C.(0,＋∞)D.［0,1］ 解析：A ＝{x|x ＞2或x ＜-1},B ＝{x|a-1≤x≤a+1}.又A∩B＝∅,∴⎩⎨⎧-≥-≤+.11,21a a ∴0≤a≤1.答案：D9.已知（ax ＋1）n 的展开式中,二项式系数和为32,各项系数和为243,则a 等于（ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：由二项式系数和为2n ＝32,得n ＝5,又令x ＝1,得各项系数和为（a ＋1）5＝243,所以a ＋1＝3,故a ＝2.答案：B10.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.答案:A、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________.解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,∴y＝［f(x)］2+f(x 2)的定义域为⎩⎨⎧≤≤≤≤.91,912x x解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.∴0≤log 3x ≤1.又y ＝［f(x)］2+f(x 2)＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2＝(log 3x)2+6log 3x+6＝(log 3x+3)2-3,∵0≤log 3x ≤1,∴6≤y ≤13.故函数的值域为［6,13］.答案:［6,13］12.过抛物线x 2=2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧),则=||||FB AF ______________. 解析:由已知,得直线方程为y=233p x +与x 2=2py 联立消x,得12y 2-20py+3p 2=0, ∵A 在y 轴左侧,∴p y P y B A 23,6==.如图所示,过A 、B 分别作准线的垂线AM 、BN,由抛物线定义知|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 故3123222||||||||==++==p p p y p y BN AM FB AF B A . 答案:31 13.下列四个命题中的真命题是____________.①经过定点P 0（x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示②经过任意两个不同的点P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)·(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示③不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 ④经过定点A （0,b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示答案:②14.给出下列5个命题:①函数f(x)=-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数;②函数f(x)=tanx 的图象关于点( ,0)(k ∈Z)对称;③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数;④设θ是第二象限角,则 ＞ ,且 ＞ ;⑤函数y=cos2x+sinx 的最小值是-1.其中正确的命题是___________.解析:∵y=-sin(k π+x)(n∈Z),故f(x)是奇函数,∴①正确;对f(x)=tanx,(kπ,0)、( ,0)都是对称中心(前者在曲线上,后者不在),∴②正确;f(x)=sin|x|不是周期函数,∴③不正确;对④, 必满足＞ ,但是第三象限角时, ＜ ,∴④不正确;∵y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx,当sinx=-1时,ymin=-1,∴⑤正确.答案:①②⑤15.函数y=f(x)的图象与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在［a,b］上的面积.已知函数y=sinnx在［0, ］上的面积为 (n∈N*),则(1)函数y=sin3x在［0, ］上的面积为____________;(2)函数y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为________.解析:(1)令n=3,则y=sin3x在［0, ］上的面积为 .又∵y=sin3x在［0, ］和［ , ］上的面积相等,∴y=sin3x在［0, ］上的面积为 .(2)由y=sin(3x-π)+1,设3φ=3x-π,∴y=sin3φ+1.又∵x∈［ , ］,∴3φ∈［0,3π］.∴φ∈［0,π］.由(1)y=sin3φ在［0, ］上的面积为 ,y=sin3φ在［0,π］上的面积为S1+S2+S3-S4 ,∵ ,∴y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为 .答案:(1) (2)。
河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(冲刺卷)完整试卷
河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知、是两个不同平面，、是两条不同直线.若，，则下列命题，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题若函数在上单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．第(3)题已知均为锐角，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知样本数据的平均数为､方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．B．C．D．第(7)题为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（）A．B．C．D．第(8)题如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．12种B．16种C．20种D．24种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（）A．曲线C只有两条对称轴B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2第(2)题已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（）A．平面B．存在点，使得平面C．四棱锥体积的最大值为D．存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内第(3)题已知圆台上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）A．与底面所成的角为60°B．二面角小于60°C．正四棱台的外接球的表面积为D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，，为圆：上三点，且，，若点在优弧上，点在直线上，满足，则______，______．第(2)题已知，且，则的最小值是___________.第(3)题已知向量，，若，则__________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.（1）证明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.第(2)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在不相等的实数，，使得，证明：．第(3)题已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）若，当时，设，求的取值范围.第(4)题某工厂有甲、乙两条流水线加工同种产品，加工出来的产品全部为合格品. 产品可分为一级品、二级品两个级别. 产品贴上等级标识后，每件产品装一箱. 根据以往的统计数据，甲流水线生产的产品，每箱中含有件、件、件二级品的概率为，乙流水线生产的产品，每箱中含有件、件、件二级品的概率为.若箱中产品全部为一级品，则可称该箱产品为“星级产品”.(1)从甲、乙两条生产线生产的产品中各任取箱，以产品是否为“星级产品”为标准，根据以往的统计数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品为“星级产品”与生产线是否有关？流水线产品级别合计星级产品非星级产品甲流水线乙流水线合计附：(2)任取甲流水线生产的箱产品，设二级产品的件数为，求的分布列及期望;(3)从乙流水线生产的产品中任选一箱.若箱中产品分成三层放置，层与层隔开，每层件. 首先打开第一层，求该层件产品都为一级品的概率.第(5)题已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.。
高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(十)
A. 1
B.
2
3
C.
2
1
D.
3
2
2
解析 :sin480 °＝ sin(360 °+120°) ＝ sin1 20°＝ 3 . 2
选 D. 答案 :D
2. 已知正方形 ABCD的边长为 1, AB a , BC b , AC c , 则 a+b+c 的模等于 ( )
A.0
B. 2 2
C. 2
D. 2 2
面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A— BCD.则在三棱锥 A— BCD中, 下列命题正确的是 ( )
A. 平面 ABD⊥平面 ABC
B.
平面 ADC⊥平面 BDC
C.平面 ABC⊥平面 BDC
D.
平面 ADC⊥平面 ABC
解析 : ∵在四边形 ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°, ∠BAD＝90°, ∴BD⊥CD.
设 x=x 0 为大于 0 的极值点 ,
C.a
3
.
a
＞- 1 3
D.a
＜- 1
3
∴ eax0
3
. ∴ a＜ 0,ax 0＜ 0.
a
∴0＜ eax0＜ 1, 即 0
3 1 . ∴a＜ -3. a
答案： B
8. 将 1,2, … ,9 这 9 个数平均分成三组 , 则每组的三个数都成等差数列的概率为（
）
y2 1 恒有公共点， 则实数 m的取值范围是 （
）
5m
A.(0 ， 1)
B.(0
， 5)
C.［ 1，5) ∪(5,+ ∞）
D.
［ 1,5)
解析 : 直线 y-kx-1=0 恒过点 (0,1) ，仅当点 (0 ， 1) 在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭
高中数学冲刺真题答案解析
高中数学冲刺真题答案解析高中数学是学生们备考高考的一门重要科目，但很多学生在备考过程中常常遇到难以理解和解答的问题。
为了帮助大家更好地应对高中数学冲刺阶段的考试，本文通过解析一些真题，提供有针对性的答案解析。
一、选择题解析1. 已知曲线C的方程为y=2x^2-3x+4，若点A（2，7）在C上，那么点B（0，___ ）在C上。
解析：首先，我们希望通过已知的点A求出曲线C的横坐标，这样我们就可以求出纵坐标。
将点A的横坐标代入C的方程中，得到7=2(2)^2-3(2)+4，计算得到7=5。
由此可知，点A并不在曲线C上。
因此，我们找不出点B在曲线C上的纵坐标。
2. 已知函数y=2^x，若y的值为16，则x的值为___。
解析：我们将已知的y值代入函数中，得到16=2^x。
为了解出x，我们可以将等式转化为指数方程的形式，即2^4=2^x，由此可得x=4。
二、填空题解析1. 直角三角形中，已知一直角边的长为6，斜边上的高为8，则直角边的长度为___。
解析：根据勾股定理，我们可以利用斜边和直角边的关系来解答这道题目。
我们可以将已知的斜边长度和直角边长度代入勾股定理中，得到6^2+x^2=8^2。
通过计算，我们可以得到直角边的长度x=√28。
三、解答题解析1. 设序列{an}满足a1=1，an+1=an+2n+1，则数列中的第n项为___。
解析：根据题意，我们可以列出数列的前几项来推测数列的通项公式。
根据给定的条件，我们可以得到a2=a1+2*1+1=4，a3=a2+2*2+1=9，a4=a3+2*3+1=16，以此类推。
观察数列的前几项，我们可以发现数列中的第n项为n^2。
综上所述，通过上述的真题解析，我们可以看到高中数学冲刺阶段所遇到的题目种类繁多，需要我们对不同的题型有深入的理解和熟练的解答方法。
通过多做真题和理解解题思路，我们可以更好地备考高中数学，提高我们的解题能力。
希望本文对大家有所帮助。
高三数学下学期冲刺试题含解析 试题
HY 中学2021届高三数学下学期冲刺试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{20}A x x =-<，{}2log (1)1B x x =-<，那么A B =〔 〕A. (,2)-∞B. (1,3)C. (,3)-∞D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】根据一次不等式和对数函数单调性得到{}2A x x =<，{}13B x x =<<，求交集得到答案.【详解】{}{20}2A x x x x =-<=<，{}{}2log (1)113B x x x x =-<=<<， 故(1,2)A B ⋂=. 应选：D.【点睛】此题考察了交集运算，根据对数函数单调性解不等式，意在考察学生的计算才能和应用才能.2.复数2017i 12iz =-，那么复数z 的虚部为 〔 〕A. 25-B. 1i 5C.15D. 15-【答案】C 【解析】分析：由复数的乘除法法那么计算出复数z ，再由定义可得．详解：2017(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i +-====-+--+，虚部为15． 应选C ．点睛：此题考察的运算复数的概念，解题时根据复数运算法那么化复数为简单形式(,)a bi a b R +∈，可得虚部与实部．3.na x ⎫⎪⎭展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为84-，那么实数a 的值是〔 〕 A. 1 B. 1-C. ±1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和得到9n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】na x ⎫⎪⎭展开式中所有二项式系数之和是2512n =，故9n =，9ax ⎫⎪⎭的展开式的通项为：()9392199rrrr rrr a T C C a x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 获得3r =到常数项为：()33984C a ⋅-=-，解得1a =.应选：A.【点睛】此题考察了二项式系数和，根据常数项求参数，意在考察学生的计算才能和应用才能.4.设0.40.5a =，0.4log 0.3b =，8log 0.4c =，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜b ＜aC. c ＜a ＜bD. b ＜c ＜a【答案】C【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵0＜a=0=1， b=log ＞log0.4=1， c=log 80.4＜log 81=0，∴a ，b ，c 的大小关系是c ＜a ＜b ． 应选C ．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比拟实数或者式子的大小，一方面要比拟两个实数或者式子形式的异同，底数一样，考虑指数函数增减性，指数一样考虑幂函数的增减性，当都不一样时，考虑分析数或者式子的大致范围，来进展比拟大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁〞作用，来比拟大小． 5.执行如下列图所示程序框图，假设输出的46S，那么①处填入的条件可以是〔 〕A. 4?k <B. 5?k <C. 4?k >D. 5?k >【答案】B 【解析】第一次循环得到：1,2S K ==，不输出； 第二次循环得到：4,3S K =-=，不输出； 第三次循环得到：17,4S K =-=，不输出； 第四次循环得到：46,5S K =-=，退出循环； 因此判断框中的条件为：5?k <，应选B.6.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设222a b c bc =+-，4bc =，那么ABC 的面积〔 〕A.12B. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理得1cos 2A =，进而可得sin C =，再由三角形的面积公式求得答案.. 【详解】222a b c bc =+-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，由()0,A π∈可得3A π=，∴sin 2A =，∴1sin 2ABCbc SA ==应选：C.【点睛】此题考察了余弦定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，属于容易题. 7.圆22:9C x y +=，一个直径为1的小圆E 与是圆C 相内切且在圆C 内滚动，假设在圆C内任取一点P ，那么P 能被小圆E 覆盖的概率为〔 〕 A.13B.23C.49D.59【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，找出小圆E 能覆盖的区域为圆环，并计算出圆环的面积与圆C 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】如下列图所示：由题意可知，点P 所在的区域为小圆E 覆盖的区域，即由圆224x y +=和圆C 构成的圆环， 圆环的面积为()22325S ππ'=-=，圆C 的面积为239S ππ=⨯=.因此，P 能被小圆E 覆盖的概率为5599S S ππ'==. 应选：D.【点睛】此题考察几何概型概率的计算，解答的关键就是确定点P 运动的区域，考察计算才能，属于根底题.8.实数,x y 满足20{24032120x y x y x y --≤-+≥++≥，直线(2)(1)80x y λλλ++-++=()R λ∈过定点00(,)A x y ，那么0y y z x x -=-的取值范围为〔 〕 A. 4[,2]11 B. [2,)+∞C. 4(,]11-∞ D.4(,][2,)11-∞+∞【答案】D 【解析】【详解】由直线()()2180x y λλλ++-++=可得()2810x y x y λ-++++=，可知10{280x y x y ，，++=-+=解得3{2x y =-=，，即直线过定点()32A -，，作出可行域如图， 所以目的函数23y z x -=+，目的函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率， ∴][4(211z ，，∈-∞⋃ )+∞， 应选D ．9.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知几何体的形状如图：1AC=，2CD=，3BC=，AC CD⊥，BCDE是矩形，AC BC⊥，所以几何体的体积为：12312 3⨯⨯⨯=．应选B．【点睛】此题考察几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．10.焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上有一点(A m ，以A 为圆心，||AF 为半径的圆被y 轴截得的弦长为m =〔 〕 A. 2或者2-B. 2C. 1D. 1或者1-【答案】B 【解析】 【分析】把A 点坐标代入抛物线方程得出,m p 的关系,利用抛物线的定义求出圆A 的半径,利用垂径定理列方程解出m .【详解】由点(A m 在抛物线上，那么82pm =，得4p m=，0m >， 抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-，那么半径r =||AF =22p m m m +=+，A 到y 轴的间隔 d m =那么222r d -=，得222()5m m m +-=，解得2m =.应选：B.【点睛】此题考察了抛物线的定义和垂径定理，学生的运算才能，属于容易题. 11.数列{}n a 的首项13a =，对任意*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=，那么当1n ≥时，3132321log log log n a a a -+++= ( )A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD.2(1)n -【答案】C 【解析】【详解】令1m ，=得到113n n n a a a a +⋅==，故数列是等比数列， 13?33n n n a -==， 21n a - 213n -= 23133212log log log 13...21.n a a a n n -+++=+++-=故答案为C ．12.函数2log ,02()sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，假设存在实数1234x x x x ,，,，满足1234x x x x ＜＜＜，且()()()()1234f x f x f x f x ===，那么()()341222x x x x -⋅-⋅的取值范围是〔 〕A.()0,12 B. ()4,16 C. ()9,21D.() 15,25【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，由图像可确定121=x x ，3412x x +=，324x <<，由此可将所求式子转化为2331220x x -+-，根据二次函数单调性求得取值范围．【详解】函数的图象如下图：()()12f x f x = 2122log log x x ∴-= 212log 0x x ∴=121x x ∴=()()34f x f x = 342612x x ∴+=⨯= 4312x x ∴=-又34210x x <<<()()()34234343433122224201220x x x xx x x x x x x x -⋅-∴=-++=-=-+-⋅设()21220f x x x =-+- 当(),6x ∈-∞时，()f x 单调递增324x <<()()()24f f x f ∴<<，又()416482012f =-+-=，()2424200f =-+-=()()0,12f x ∴∈ ()()341222x x x x -⋅-∴⋅的取值范围是()0,12此题正确选项：A【点睛】本小题主要考察分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等根底知识，考察运算求解才能，数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(),1a x =，()1,2b =，()1,5c =-，假设()2//a b c +，那么a =__________．【解析】∵(),1a x =，()1,2b =， ∴()2x 2,5a b +=+ 又()2//a b c +，∴5(2)5x +=-，解得3x =-， ∴(3,1)a =-， ∴||10a =．14.22x dx -⎛+= ⎝⎰__________． 【答案】2 【解析】【分析】利用微积分根本定理及定积分的几何意义计算可得；【详解】解：221π--=⎰⎰，2-⎰表示以()0,0为圆心，2为半径的圆在x 轴上方局部的面积，所以221222ππ-=⨯=⎰222222222111(|2222x dx xdx x ππ----∴=+=+⨯⨯⨯=⎰⎰⎰． 故答案为：2【点睛】此题考察微积分根本定理以及定积分几何意义的应用，属于根底题. 15.函数()sin 22f x A x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()(7)g x k x =-，(0)k >，1A =时，函数()()()h x f x g x =-的所有零点和为21，那么当2A =时，函数()()()h x f x g x =-的所有零点的和为__________． 【答案】35 【解析】【分析】确定三角函数和一次函数函数的对称中心为()7,0，根据零点和得到()h x 有三个零点，画出图象得到答案.【详解】1A =时，()sin cos 222f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()7,0是函数的对称中心，周期为4T=，()(7)g x k x =-，那么()7,0是函数的对称中心，()()()h x f x g x =-的所有零点和为21，故()h x 有三个零点，直线与三角函数相切，画出函数图象，如下图： 当2A =时，()2cos 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()7,0是函数的对称中心， 根据图象知()()()h x f x g x =-有五个零点，故所有零点和为5735⨯=. 故答案为：35.【点睛】此题考察了三角函数零点问题，意在考察学生的计算才能和应用才能，确定对称中心画出图象是解题的关键.16.我国古代数学名著?九章算术?的轮割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不能割，那么与圆合体而无所失矣〞它表达了一种无限与有限转化过程．比方在表达式11111+++⋯“…〞即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11(0)x x x +=>求得12x +=，类似上述过程，那么=__________．【答案】2021 【解析】 【分析】根据题意得到方程x =.【详解】设x =，那么x =，即220182017x x =+，解得2018x =或者1x =-〔舍去〕. 故答案为：2018.【点睛】此题考察了类比推理，意在考察学生的计算才能和推理才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选做题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分17.在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.〔1〕求数列{}n a 的通项公式:〔2〕设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<对任意*n N ∈恒成立.假设存在,求出正整数k 的最小值;假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕12n n a +=〔2〕3.【解析】试题分析：〔1〕由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，因此可得12n n a +=．〔2〕由〔1〕得12n n b +=，所以()34n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和可得123111141111141122113231233239n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以可得229k ≥，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析：〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵15a a ，的等比中项为16． ∴316a =， 又328a a -=，28a ∴=，∴322a q a ==， ∴21822n n n a -+=⨯==． 〔2〕由〔1〕得141log 22n n n b ++==， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =．∴()113224n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==， ∴()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239⎛⎫<⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229k ≥， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 点睛：用裂项法求和的原那么及规律〔1〕裂项原那么：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 〔2〕消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余局部具有对称性．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在-举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高变成如右所示的茎叶图〔单位： cm 〕：假设身高在175cm 以上〔包括175cm 〕定义为“高个子〞，身高在175cm 以下〔不包括175cm 〕定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐〞．〔1〕假如分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子〞的概率是多少？〔2〕假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【答案】〔1〕710〔2〕见解析，1【解析】【分析】〔1〕先根据分层抽样确定5人中“高个子〞和“非高个子〞人数，再先求对立事件〔都不是“高个子〞〕概率，最后根据对立事件概率公式求结果；〔2〕先确定随机变量，再分别求对应概率，写出分布列，最后根据数学期望公式得结果. 【详解】解：〔1〕根据茎叶图，有“高个子〞12人，“非高个子〞18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306=，所以选中的“高个子〞有11226⨯=人，“非高个子〞有11836⨯=人．用事件A表示“至少有一名高个子〞被选中〞，那么它的对立事件A-表示“没有一名“高个子〞被选中〞，那么23257()110c P A c =-=，因此，至少有一人是“高个子〞的概率是710． 〔2〕依题意，ξ的取值为0，1，2，3．3831214(0)55c P c ξ===，124831228(1)55c c P c ξ===，224831212(2)55c c P c ξ===，343121(3)55c P c ξ===．因此，ξ的分布列如下：∴14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】此题考察分层抽样、茎叶图、古典概型概率、分布列、数学期望，考察根本分析求解才能，属中档题. 19.在四棱锥p ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，ADC ∠=90°,1AB AD PD ===，2CD =．〔I 〕求证：BE //平面PAD ； 〔II 〕求证：BC ⊥平面PBD ；〔III 〕设Q 为侧棱PC 上一点，λ=PQ PC ，试确定λ的值，使得二面角--Q BD P 为45°．【答案】〔I〕证明见解析．〔II〕证明见解析．〔III〕【解析】【详解】〔I〕取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，所以EF//CD，且在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE//AF，BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE//平面PAD．〔II〕平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz．那么A 〔1，0，0〕，B 〔1，1，0〕，C 〔0，2，0〕，P 〔0，0，1〕.所以又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBD ． 〔III 〕平面PBD 的法向量为所以Q(0,2,1)λλ-，设平面QBD 的法向量为n =〔a ，b ，c 〕，，由n ，n，得所以n =所以222cos 452||||2221BCBC n n λλ︒⋅===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭注意到，得21λ=．20.过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点．〔1〕证明：A 、B 两点的纵坐标之积为定值；〔2〕假设点N 是定直线:l x m =-上的任一点，设三条直线AN ，MN ，BN 的斜率分别为AN k ，MN k ，BN k ，证明2AN BN MN k k k +=【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】(1)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为:x ty m =+ 与 22y px = 联立方程组，再根据根与系数的关系可证得12y y ⋅为定值；(2) 将AN k ，MN k ，BN k 表示出，并化简AN BN k k +可证得2AN BN MN k k k += 【详解】〔1〕证明：由题意设直线AB 的方程为x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，22x ty m y px=+⎧⎨=⎩消x 得：2220y pty pm --=． ∴122y y pm =-为定值．〔2〕解：三条直线AN ，MN ，BN 的斜率成差数列，下证之： 设点(,)N m n -，那么直线AN 的斜率为11AN y nk x m-=+，直线BN 的斜率为22BN y n k x m -=+，∴()()121222221212222222AN BN p y n p y n y n y nk k y y y pm y pm m m p p----+=+=+++++()()()21121212121212212222y y n y y n y n y n p p y y y y y y y y y y ---⎛⎫--=+=⋅ ⎪---⎝⎭ ()()121212122222n y y n n np p p y y y y y y pm m-=⋅=⋅=⋅=---又∵直线MN 的斜率为02MN n nk m m m-==---，∴2AN BN MN k k k +=．【点睛】此题考察直线和圆雉曲线的位置美系，斜率公式，考察了根本技巧：设而不解，联立方程组，根与系数的关系，还考察了学生的运算才能，属于中档题.21.设函数()2xf x e ax ex b =--+，其中e 为自然对数的底数．()1假设曲线()f x 在y 轴上的截距为1-，且在点1x =处的切线垂直于直线12y x =，务实数a ，b 的值；()2记()f x 的导函数为()g x ，求()g x 在区间[]0,1上的最小值()h a ．【答案】〔1〕实数a ，b 的值分别为1，2-；〔2〕()112122ln22222e a e h a a a a e a e a a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，，，【解析】 【分析】(Ⅰ)将()0,1-，代入()f x ，即可求得b 的值，求导，由()'12f =-，即可求得a 的值； (Ⅱ)求导，()'2x g x e a =-，分类分别获得()g x 在区间[]0,1上的最小值()h a 解析式．【详解】解：(Ⅰ)曲线()f x 在y 轴上的截距为1-，那么过点()0,1-， 代入()2xf x e ax ex b =--+，那么11b +=-，那么2b =-，求导()'2xf x e ax e =--，由()'12f =-，即22e a e --=-，那么1a =，∴实数a ，b 的值分别为1，2-；(Ⅱ()2)x f x e ax ex b =--+，()()'2x g x f x e ax e ==--，()'2x g x e a =-，()1当12a ≤时，[]0,1x ∈，1x e e ≤≤，2x a e ∴≤恒成立，即()'20xg x e a =-≥，()g x 在[]0,1上单调递增， ()()01g x g e ∴≥=-．()2当2e a >时，[]0,1x ∈，1x e e ≤≤，2x a e ∴>恒成立，即()'20xg x e a =-<，()g x 在[]0,1上单调递减，()()12g x g a ∴≥=-()3当122e a <≤时，()'20x g x e a =-=，得()ln 2x a =，()g x 在[]0,ln2a 上单调递减，在[]ln2,1a 上单调递增，所以()()ln222ln2g x g a a a a e ≥=--，()11212222222e a e h a a aln a e a e a a ⎧-≤⎪⎪⎪∴=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，，，【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.考察发现问题解决问题的才能．〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中选一题答题． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为cos {sin x a y b ϕϕ==〔a ＞b ＞0，ϕ为参数〕，以Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，曲线C 1上的点(2,3)M 对应的参数3πϕ=．4πθ=与曲线C 2交于点(2,)4D π．〔1〕求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； 〔2〕1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+是曲线C 1上的两点，求221211ρρ+的值．【答案】〔1〕22(1)1x y -+=〔2〕．【解析】试题分析：〔1〕利用同角三角函数平方关系，消去参数ϕ，得曲线C 1普通方程，先确定曲线C 2极坐标方程ρ=2cosθ，再利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标方程：22(1)1x y -+=〔2〕由题意得：222211cos sin 1164ρθρθ+=222222sin cos 1164ρθρθ+=，∴+=〔+〕+〔+〕=．．试题解析：〔1〕将M 〔2，〕及对应的参数ϕ=；θ=；代入cos {sin x a y b ϕϕ==得：得：∴曲线C 1的方程为：4cos {2sin x y ϕϕ==〔ϕ为参数〕即：．设圆C 2的半径R ，那么圆C 2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D 〔，〕代入得：=2R∴R=1∴圆C 2的方程为：ρ=2cosθ即：22(1)1x y -+=． 将A 〔ρ1，θ〕，Β〔ρ2，θ+〕代入C 1得：222211cos sin 1164ρθρθ+=222222sin cos 1164ρθρθ+=∴+=〔+〕+〔+〕=．考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程 选修4-5：不等式选讲 23. 选修4-5：不等式选讲函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． 〔1〕假设当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值； 〔2〕假设当x R ∈时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【答案】〔1〕1；〔2〕[)2,+∞． 【解析】试题分析：〔1〕根据()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，转化为绝对值不等式，即可求解a 的取值范围，得出a 的最大值；〔2〕利用绝对值的几何意义，可得()()1f x g x a a +≥-+，得出不等式13a a -+≥，即可求解a 的取值范围．试题解析：〔1〕()5215521523g x x x x ≤⇔-≤⇔-≤-≤⇔-≤≤；()62662633f x x a a a x a a a x ≤⇔-≤-⇔-≤-≤-⇔-≤≤．依题意有，32a -≤-，1a ≤． 故a 的最大值为1．〔2〕()()2212211f x g x x a x a x a x a a a +=-+-+≥--++≥-+， 当且仅当()()2210x a x --≥时等号成立．解不等式13a a -+≥，得a 的取值范围是[)2,+∞． 考点：绝对值不等式．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
河北省沧州市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(冲刺卷)完整试卷
河北省沧州市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列比较大小正确的是（）A．B．C．D．第(2)题中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（）A．B．C．D．第(3)题镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（）A．6m B．5m C．4m D．3m第(4)题已知抛物线的焦点关于直线的对称点为，为坐标原点, 点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（）A．4B．8C．16D．20第(5)题已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（）A．7B．8C．9D．11第(6)题映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：等级原始分占比赋分区间A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]转换对应赋分T的公式：其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（）A．91B．92C．93D．94第(7)题已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（）A．30B．31C．32D．33二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（）A．，B．C．的离心率等于D．的渐近线方程为第(2)题已知函数，则以下结论正确的是（）A．为的一个周期B．在上有2个零点C ．在处取得极小值D．对，，第(3)题抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则平分C．若，则D．若，延长交直线于点，则，，三点共线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知一个圆锥的母线长为3，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为________．第(2)题已知函数，则在处的切线方程为___________.第(3)题已知角顶点为原点，始边与轴非负半轴重合，点在终边上，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知正数满足．求证：(1)；(2)．第(2)题在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)动点D 在曲线C 上，动点A ，B 均在直线l 上，且，求△ABD 面积的最小值．第(3)题已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)证明：，并求数列的前项和.第(4)题书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该桌平均值之差存在着较大的关系.（注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，个人值类似.）为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：个人值与平均值之差0369得分(1)①计算的相关系数，并判断之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.②求出与的经验回归方程.③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：角色宫永照园城寺怜花田煌松实玄雀力值249104能力值241636试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分（近似至百位）(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在（1）②问当中方程斜率存在的标准差；另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现“个人值”X 符合正态分布规律.（为评估得出的个人值.）已知松实玄实际表现个人值满足，求（1）③中其得分的标准差.（四舍五入到百位）(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的.我们设进行了i 轮之后，在前i轮内该参赛者的总得分为；若园城寺怜参加了此比赛，求参考数据和公式：①； .②相关系数；经验回归方程，，；，其中为回归数据组数.③对于随机变量，，，.④时，，；⑤对间接计算得出的值有标准差满足.⑥；；第(5)题已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.(1)求椭圆的方程；(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）。
山东省东营市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(冲刺卷)完整试卷
山东省东营市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则复数的虚部为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（）A．B．C．D．第(3)题“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则比赛进行三次且小华获胜的概率是（）A．B．C．D．第(4)题已知，向量与向量垂直，，，2成等比数列，则与的等差中项为（）A．B．C．D．1第(5)题某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A．360种B．420种C．480种D．540种第(6)题柏拉图多面体是由柏拉图及其追随者研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．经研究，世界上只有五种柏拉图多面体．如图，将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一个正八面体，这个正八面体即为柏拉图多面体的一种．则这个正八面体的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（）A．B．1C．2D．第(8)题“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．若，则B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件C．已知回归直线方程，且，，则D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称第(2)题将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（）A．B．C．在上单调递增D．函数在的零点为，，，，则第(3)题已知圆，直线．当时，直线与圆有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是（）A．若动点到定点的距离是到定点的距离的2倍，则动点的轨迹为圆B．若直线和圆交于两点，且，则的值为C．设为圆上任意一点，则的取值范围是D．若直线与圆相交于两点，则面积的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在四面体ABCD中，已知，，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为，四面体内切球的球心到点A的距离为，则的值为______．第(2)题如图，在水平放置的平面上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线段的长为______.第(3)题若幂函数的图像经过点，则的值为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在处切线斜率为，，其中．(1)求a的值；(2)若时，，求b的取值范围．第(2)题已知圆：和抛物线：，圆的切线与抛物线相交于不同的两点，.（1）当直线的斜率为1时，求；（2）设点为点关于直线的对称点，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.第(3)题椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.第(4)题已知函数.(1)若，求的极值；(2)，若函数有两个零点，且，求证：.第(5)题2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，根据测试数据制成如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）如果抽查的测试平均分超过75分，表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；（3）学校想了解分数较低同学的原因，在测试成绩位于50~60的学生中随机抽查2名学生询问，若学生A和B的成绩在50~60中，求学生和恰有一人被抽到的概率．。
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2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）
高中数学
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的） 1.sin480°的值为( )
A.21-
B.23-
C.21
D.2
3 解析:sin480°＝sin(360°+120°)＝sin120°＝2
3. 选D. 答案:D
2.已知正方形ABCD 的边长为1,a =,b =,c =,则a +b +c 的模等于( )
A.0
B.22+
C.2
D.22
解析:如图,a +b ＝c ,
故a +b +c ＝2c .
∴22||2||==++c c b a .
答案:D
3.在等比数列{a n }中,已知a 1a 3a 11＝8,那么a 2a 8等于（ ）
A.4
B.6
C.12
D.16
解析:a 1·a 3·a 11＝a 13·q 12＝(a 1q 4)3＝a 53
＝8,
∴a 5＝2,a 2·a 8＝a 52
＝4. 答案:A
4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.1
1
)(2--=x x x f ,g(x)＝x+1
B.f(x)＝log a (x 2
-1),g(x)＝log a (x+1)+log a (x-1)
C.f(x)＝x 0
+x,g(x)＝1+x
D.x x x f 2
)()(=,2
)
()(x x x g = 解析:对于选项A 、B 、C,f(x)、g(x)定义域不同,不是同一函数;对于选项D,f(x)、g(x)
的定义域都是{x|x ＞0},且f(x)＝g(x)＝1,故选D. 答案:D
5.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0，1) B.(0，5)
C.［1，5)∪(5,+∞)
D.［1,5)
解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点,所以m
1
≤1且m ＞0，得m≥1.故选C. 答案:C 6.若)2ln(2
1)(2
++-
=x b x x f 在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A.［-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1］ D.(-∞,-1)
解析：由题意可知02
)(<++
-='x b
x x f 在x ∈(-1,+∞)上恒成立，即b<x(x+2)在x ∈(-1,+∞)上恒成立.由于x ≠-1,所以b ≤［x(x+2)］min ,即b ≤-1,故C 为正确答案. 答案：C
7.设a ∈R,若函数y=e ax
+3x,x ∈R 有大于零的极值点,则( )
A.a ＞-3
B.a ＜-3
C.a ＞-31
D.a ＜-3
1 解析：∵03=+='ax
ae y ,∴a
e ax
3
-
=. 设x=x 0为大于0的极值点,
∴a
e
ax 3
-
=.∴a ＜0,ax 0＜0. ∴0＜e ax
0＜1,即130<-<a
.∴a ＜-3.
答案：B
8.将1,2,…,9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A ．
561 B ．701 C ．3361 D ．420
1
解析：9个数分成三组,共有3
3
33
3639A C C C 组,其中每组的三个数均成等差数列,有{（1,2,3）,（4,5,6）,（7,8,9）}、{（1,2,3）,（4,6,8）,（5,7,9）}、{（1,3,5）,（2,4,6）,（7,8,9）}、{（1,4,7）,（2,5,8）,（3,6,9）}、{（1,5,9）,（2,3,4）,（6,7,8）},共5组. ∴所求概率为
56
1
5785=⨯⨯.
答案：A
9.如图,四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD 折起,使平
面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A —BCD.则在三棱锥A —BCD 中,下列命题正确的是
( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析:∵在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,∴BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD ＝BD, 故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB. 又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC. ∴平面ABC⊥平面ADC. 答案:D
10.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数
据画出样本的频率分布直方图如下图所示,根据此图,估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5千克的人数为（ ）
A.300
B.360
C.420
D.450 解析：70.5千克以上的人数的频率为（0.04＋0.035＋0.015）×2＝0.18,70.5千克以上的人数为2 000×0.18＝360. 答案：B
、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.圆台的两个底面半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,则这个圆台的体积是
____________.
解析:设这个圆台的高为h,画出截面图,可得4
2
66=-h ,解得h ＝3,所以这个圆台的体积是ππ283)4422(3
1
2
2=⨯+⨯+. 答案:28π 12.当2
1i z --
=时,z 100+z 50
+1的值等于____________.
解析：∵i i
i z -=-=
--
=2
2)2
1(2
, ∴z 100
+z 50
+1＝(-i)50
+(-i)25
+1
＝i 50-i 25+1＝i 2
-i+1＝-i. 答案：-i 13.函数12--=
x x
y 的图象关于点__________对称. 解析:11112-+-=--=x x x y ,12--=x x y 的图象是由x
y 1
=的图象先右移1个单位,再下移1个单位而得到,故对称点为(1,-1).
答案:(1,-1)
14.设有一组圆C k :(x-k+1)2+(y-3k)2＝2k 4(k∈N *
).下列四个命题:
①存在一条定直线与所有的圆均相切 ②存在一条定直线与所有的圆均相交 ③存在一条定直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是____________________ (写出所有真命题的代号)
解析:圆心为(k-1,3k),半径为2
2k ,圆心在直线y ＝3(x+1)上,所以直线y ＝3(x+1)必与所有的圆相交,②正确;由C 1、C 2、C 3的图象可知①③不正确;若存在圆过原点(0,0),则有
(-k+1)2+9k 2＝2k 4⇒10k 2-2k+1＝2k 4(k∈N *
),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k 使上式成立,即所有圆不过原点.填②④. 答案:②④
15.若在二项式（x ＋1）n （n ＞3且n∈N *
）的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是
1，则在二项式（x ＋1）n －1
的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是p ，为偶数的概率是q ，那么p －q ＝_________.
解析：由题意n 为奇数，所以n －1为偶数，并且（x ＋1）n －1
的展开式有n 项，其中奇数
项比偶数项多一项，所以n
n n n p 21
21+=+=,n n n n q 2121
-=-=.
所以n
q p 1=-. 答案：n
1。