2022届高考数学圆锥曲线重难点专题19 圆锥曲线与垂心问题(解析版)

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高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53，同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53，故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|，由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23，故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29．【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3．因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0，则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率．若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ，解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|．若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ．若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上．【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

重难点专题圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)

重难点专题圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。

2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)

高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题例1 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√32，直线x+√3y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑：（1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式（3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。

变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率（2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.题型二最值问题例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值.例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）.经过点（1，√22（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值.思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解.变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .变式3 椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值.题型三定点问题例4 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（−√3，0），F2（√3，0），且经过点A（√3，12）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点B（4，0）的一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.思维总结：求圆锥曲线综合问题的一般步骤（1）求出圆锥曲线方程（一般根据待定系数法或定义法）；（2）设直线方程并于曲线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系（或求出交点坐标）；（4）将第三步得出的关系式代入，解决范围、最值或定点、定值等问题；（5）反思回顾，考虑方程有解条件和图形的完备性.变式4 已知椭圆C：x 22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.（1）求四边形QAHB（O为坐标原点）的面积的取值范围；（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.题型四定值问题例5 设F1，F2为椭圆x 24+y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足M F1⊥M F2，已知△M F1F2的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设C的上顶点为H，过点（2，-1）的直线与椭圆交于R，S两点（异于H），求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.思维总结：圆锥曲线定值问题的常见类型及解题思路（1）求代数式为定值：根据题意设出条件，得到与代数式中参数相关的等式，代入代数式中，从而化简得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得到相关的解析式，利用题设条件化简、变形得出定值.（3）求线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再根据题目中的条件对解析式进行化简、变形得出定值.变式5 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.题型五证明问题例6 设椭圆E：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为√22，△AB F2的周长为4√6. （1）求椭圆E的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.思维总结：圆锥曲线中证明问题常见的有以下两种：（1）位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行，垂直，直线过定点等；（2）数量关系：如存在定值，恒成立，相等等。

高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结

高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线4x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

圆锥曲线中的定值问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题6 圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一) 定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2022届河北省张家口市高三上学期期末)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2,右顶点D（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于,A B两点,且0,OA OB O⋅=为坐标原点,点O到直线l的距离是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）结合双曲线的离心率,顶点到渐近线的距离求得,a b,由此求得双曲线C的方程.（2）根据直线l 与坐标轴平行或不平行两种情况进行分析,结合根与系数关系以及0OA OB ⋅=列方程,化简后根据点到直线距离公式求得O 点到直线l 的距离. 【解析】（1）由题意,得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±, 右顶点为(),0D a .又222+=a b c ,,2ab c e c a====, 所以12a c =,故b = 又2234a a +=,解得21a =, 所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线l 和轴线平行时,1122,x y x y ==,解得1122x y x y ====, 所以点O 到直线l当直线l 和轴线不平行时, 设直线l 的方程为x my t =+,由221,3y x x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330m y mty t -++-=, ()()()22222Δ(6)4313312310mt m t m t =---=+->,所以2121222633,3131mt t y y y y m m --+==--. 又1122,x my t x my t =+=+,所以()()()()2212121212121210OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++=,得()()()2222222133631031m t m t t m m +--+-=-,解得22233t m =+.又点O 到直线l的距离为d ,则222312tdm==+,故d=所以点O到直线l【例2】（2022届上海市松江区高三一模）2222Γ:1(0,0).x ya b y xa b-=>>=已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R∈,直线y kx m=+与双曲线Γ总有公共点,求实数k的取值范围；（3）若过点()1,0的直线l与双曲线Γ交于M N､两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PM PN⋅为常数？若存在,求出点P的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由.【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出,a b即可得双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;（3）假设存在P, 计算PM PN⋅,根据韦达定理化简,当满足7202a-=时,PM PN⋅为常数.【解析】（1）由题意可知,bca==因为222c a b=+,所以1a b==,所以双曲线的方程为2212xy-=；（2）联立221,2xyy kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)42(1)0k x kmx m---+=,当2120k-=时,此时易知0m=时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意,所以2120-≠k,且0∆≥,即222(4)8(12)(1)0km k m+-+≥,所以2221m k≥-,所以2210k-<,解得k<<所以k<<（3）设1122(,),(,)(,)，M x y N x y P a b , 所以1122(,),(,)PM x a y PN x a y =-=-,当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线(1)y k x =-, 所以2121212()PM PN x x a x x a y y ⋅=-+++ 22221212(1)()()k x x a k x x a k =+-++++,①联立2212(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(12)42(1)0k x k x k -+-+=, 所以22121222422,2121k k x x x x k k ++==-- ②, 把②代入①化简得：2222227234232221221ak k a PM PN a a a k k --+⋅=+=-++--, 所以当7202a -=时,得74a =,此时1716PM PN ⋅=. (二) 与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,点⎭在椭圆C 上,过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形12A DA E 的面积为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线()()22y k x m m =--<<与椭圆C 相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若22PM PN +的值与m 无关,求斜率k 的值．【分析】（1）根据题干条件可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程,设点()11,M x y 、()22,N x y ,列出韦达定理,可得出22PM PN +的表达式并化简,结合已知条件可求得k 的值. 【解析】（1）由题意知122A A a =．将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±,所以22bDE a=, 所以由四边形12A DA E 的面积为6,得2121122622b A A DE a a ⋅=⨯⨯=,所以b =又点⎭在椭圆C 上,所以222312a b +=,所以,2a =. 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222223484120k x k mx k m +-+-=, 则()()()422222226443441248430k m k k m k k m ∆=-+-=+->．设()11,M x y 、()22,N x y ,则2122834k mx x k +=+,2212241234k m x x k -=+, 易知(),0P m ,所以()()()22212221P k x m x N m M P ⎡⎤=+-+-+⎣⎦()()()2221212121222k x x x x m x x m ⎡⎤=++--++⎣⎦()2222222222841281222343434k m k m k m k m m k k k ⎡⎤⎛⎫-=+-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2222221643243434k m k k k +⎡⎤=--++⎣⎦+．由上式可知要使22PM PN +的值与m 无关,必有2430k -=,解得k = 所以直线()y k x m =-的斜率k的值为 (三)与面积有关的定值问题【例4】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知O 为坐标原点,椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ,动直线l ：()11y x m =-与Γ相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B ',点B '到Γ的两焦点的距离之和为4．（1）求Γ的标准方程．（2）若直线B C '与x 轴交于点M ,OAC ,AMC 的面积分别为1S ,2S ,问12S S 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；（2）利用“设而不求法”表示出OAC ,AMC 的面积,即可求出12S S . 【解析】（1）由对称性得点B '在椭圆Γ上,根据点B '到Γ的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得24a =,解得2a =．因为Γ所以c a =所以c =所以222431b a c =-=-=所以Γ的标准方程为2214x y +=．（2）12S S 是定值,且该定值为1．理由如下：由()221,411,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=．设()11,B x y ,()22,C x y ,则()11,B x y '-,且12224m y y m +=-+,12234y y m =-+．易得直线B C '的方程为112121y y x x y y x x +-=+-, 令0y =,得211121x x x y x y y -=++ ()1211211my y y my y y -=+++22121112211my y my my my y y y -++=++121221my y y y =++223241424m m m m -⨯+=+=-+．所以当m 变化时,直线B C '与x 轴交于定点()4,0M ．所以1222114212CCOA OA S S AM AM y y ⨯⨯=⨯=-⨯==, 即12S S 是定值,且定值为1．(四) 与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线21y x =-与抛物线交于M ,N 两点,且||||4MF NF +=．（1）求抛物线C 的方程；（2）若(4P ,)(0)m m >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与抛物线C 交于A ,B 两点（均与点P 不重合）,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证：12k k 为定值．【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到12||||22p pMF NF x x +=+++,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点P 坐标可得到参数m 的值,设直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,联立该直线和抛物线方程,34123434343444161644(4)(4)4()16y y k k x x y y y y y y --=⨯==--+++++,代入韦达定理可得到最终结果.【解析】（1）设点1(M x ,1)y ,点2(N x ,2)y ,联立2221y pxy x ⎧=⎨=-⎩,整理得24(42)10x p x -++=, ∴1242142p px x ++==+, 由抛物线的定义知12||||14222p p pMF NF x x p +=+++=++=, 解得2p =,∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）(4P ,)(0)m m >为抛物线C 上一点,4m ∴=,即(4,4)P ,设3(A x ,3)y ,4(B x ,4)y ,直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,由21(1)4x t y y x-=+⎧⎨=⎩,消去x 得241640y ty t ---=, 344y y t ∴+=,34164y y t =--,34123434343444161616444(4)(4)4()1616444163y y k k x x y y y y y y t t --=⨯====--+++++--+⨯+, 即12k k 为定值．(五) 与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.【例6】（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,M 为椭圆C 上一点,12MF F △的周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,判断PA PB ⋅是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由,【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,a c ,结合关系式得出b ,即可得出椭圆C 的方程；（2）由PB 平行于y 轴特殊情况求出0PA PB ⋅=,即1PA PB k k ⋅=-；当PB 平行于y 轴时,设过P 的直线为()00y k x x y =-+,联立椭圆方程,令0∆=化简得关于k 的二次方程,由韦达定理即可求解. 【解析】（1）由题可知,224c e a c a ==+=+解得2,a c ==又222a b c =+,解得1b =,故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）如图所示,当PB 平行于y 轴时,PA 恰好平行于x 轴,()()()0,12,0,2,1A B P ,()()2,0,0,1PA PB =-=-,0PA PB ⋅=；当PB 不平行于y 轴时,设()00,P x y ,设过点P 的直线为()00y k x x y =-+, 联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 令0∆=得()()()2222000064164110k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,化简得 ()22200004210x k x y k y --+-=,设12,PA PB k k k k ==,则20122014y k k x -⋅=-,又22005x y +=,故220012220014144y x k k x x --⋅===---,即0PA PB ⋅=. 综上所述,0PA PB ⋅=.【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知()0,1P 为椭圆C ：22143x y +=内一定点,Q 为直线l ：3y =上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点（点B 位于P ､Q 两点之间）,O 为坐标原点.（1）当直线PQ 的倾斜角为4π时,求直线OQ 的斜率；（2）当AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；（3）设AP PB λ=,AB BQ μ=,试问λμ-是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）先得到直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩得到Q 的坐标求解；（2）设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,结合韦达定理求得12x x -,再由121322AOB S OP x x =⋅-=求解.（3）设直线PQ 的方程为()1x m y =-,由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得到()()()224318180m y y +-+--=,,有()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++,再根据AP PB λ=,AB BQ μ=,得到12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----求解.【解析】（1）因为直线PQ 的倾斜角为4π,且()0,1P , 所以直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩,得()2,3Q , 所以直线OQ 的斜率是32OQ k =；（2）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2234880k x kx ++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12122288,3434k x x x x k k +=-⋅=-++,所以12x x -==所以121322AOBSOP x x =⋅-==, 解得214k =,即12k =±, 所以直线PQ 的方程为112y x =+或112y x =-+, 由1123y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q ；由1123y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q -；（3）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为()1x m y =-, 由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()()()224318180m y y +-+--=,设()()1122,,,A x y B x y ,则()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++, 所以()()12121111y y y y -+-=-⋅-, 因为AP PB λ=,AB BQ μ=, 所以12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----, 所以112213113y y y y λμ---=++--, ()()()()()()1111222112111113y y y y y y ⎡⎤-+-+--⎣⎦=+=--.(六) 与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】已知A ,B 是双曲线221:13y C x -=的左、右顶点,P 是双曲线1C 上不同于A ,B 的一点．（1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB ,P A 于点(),M M M x y ,(),N N N x y ,求M N x x -；（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆222:13y C x +=于点Q ,设直线P A ,PB ,QA ,QB 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k ,求22221234k k k k +--的值．【分析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,写出直线PB , P A 的方程,联立求解得N x ,即可求解；（2）由斜率公式结合题意求解即可【解析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1, 又M 是线段PB 的中点,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭ 直线PB 的斜率为001y x -,直线P A 的斜率为001y x +, 又PB MN ⊥,则直线MN 的方程为00001122y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 即2000001122x x y y x y y --=++, 又直线P A 的方程为00(1)1y y x x =++, 联立得()2220000011(1)221x y y x x x x --++=++, 代入()220031y x =-,消去2y ,解得0214x x -=, 即0214N x x -=,则001213244M N x x x x +--=-=．（2）设()11,Q x y ,则0000111112342200110122111111y y x y y y x y k k k k x x x x x x +++=+++=++-+---, 易知220013y x -=,221113y x +=,化简得011234016x x k k k k y y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭,因为O ,P ,Q 三点共线,所以0101y y x x =, 所以12340k k k k +++=．易知20001220003111y y y k k x x x =⋅==+--,同理可得343k k =-, 由12340k k k k +++=,得22221212343422k k k k k k k k ++=++,所以2222123412k k k k +--=-．(六) 与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=-；2.若点A ,B 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=. 3.设点是椭圆C ：上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,则直线AB 斜率为定值；4. 设点是双曲线C ：一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值； 5. 设点是抛物线C ：一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值. 6.设,,A B C 是椭圆上不同3点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点,M N ,则2OM ON a =.7.点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上动点,O 为坐标原点,若OA OB ⊥,则2211OA OB+=2211a b +（即点O 到直线AB 为定值）8. 经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则212||||PA PA b ⋅=.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,交直线by x a=-于,Q R ,记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,则：(),P m n ()222210x y a b a b+=>>()220bm n an ≠(),P m n ()222210,0x y a b a b-=>>()220bm n an-≠(),P m n ()220y px p =>()0pn n-≠()222210x y a b a b+=>>122ab S S +=. 【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数0m >且1m ≠,椭圆Γ：2221x y m +=,点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0,求Γ的焦点坐标；（2）设3m =,若定点A 的坐标为()2,0,求PA 的最大值与最小值；（3）设12m =,若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点）,求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【分析】（1）由题可得2m =,c =即得；（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+,利用二次函数的性质即得；（3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,联立椭圆方程可得()2224210k x ktx t +++-=,利用韦达定理及条件可得2215k t +=,进而可得O 到直线PQ 的距离为定值,当直线PQ 斜率不存在时,可得x =易得O 到直线PQ 的距离为定值,即证.【解析】（1）∵椭圆Γ：2221x y m +=,点P 的坐标为()2,0,∵2m =,c∵Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ,又()2,0A ,由题知2219x y +=,即2219x y =-,∵()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭,又33x -≤≤,∵当3x =-时,2PA 取得最大值为25；当94x =时,2PA 取得最小值为12；∵PA 的最大值为5,. （3）当12m =时,椭圆Γ：2241x y +=, 设()()1122,,,P x y Q x y ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得()2224210k x ktx t +++-=, ∵()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++, 由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,即12120x x y y +=,∵()()12120x x kx t kx t +++=,即()()22121210k x x kt x x t ++++=,∵()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++,可得2215k t +=,满足0∆>,∵O 到直线PQ 的距离为d ==为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP OQ ⊥,可得直线方程为x =,O 到直线PQ综上,O 到直线PQ 的距离是定值．三、跟踪检测1．如图,点M 是圆22:(1)16A x y ++=上任意点,点(0,1)B ,线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）//BQ x 轴,交轨迹E 于Q 点（Q 点在y 轴的右侧）,直线:l x my n =+与E 交于,C D （l 不过Q 点）两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ∵直线l 恒过定点；∵m 为定值；∵n 为定值．【分析】（1）根据题意得P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而根据椭圆的定义求解即可；（2）根据题意0CQ DQ k k +=,再设1122()()C x y D x y ，，，,进而直线l 与椭圆联立方程,结合韦达定理得整理得(21)(223)0m m n -+-=,再根据C ,D ,Q 三点不共线得12m =. 【解析】（1）如图,由A 方程,得(0,1)A -,半径4r =,∵P 在BM 的垂直平分线上,∵PM PB =, 所以||||||||||4||2PA PB PA PM AM AB +=+==>=, ∵P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由24a =,则2a =,1c =,23b =,∵点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=．（2）解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设1122()()C x y D x y ，，，,如图22143x my n y x=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x ,得22()143y my n ++=, 整理,得222(34)84120m y mny n +++-=,122834mn y y m +=-+，212241234n y y m -=+,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,//BQ x 轴, 所以0CQ DQ k k +=,312Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,132x ≠,232x ≠, 12121103322y y x x --+=--,即122133(1)(1)022y x y x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵11x my n =+,22x my n =+,∵整理：121232()2302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭,22241238223034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 即24(48)230m n m n +--+=, 即(21)(223)0m m n -+-=,若2230m n +-=,点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足:l x my n =+,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意, ∵210m -=,即12m =, ∵直线l 中m 为定值12．2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：2:C x y =,()0,1M ,()0,1N -,过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ,C ,点D ,E 满足CE CN λ=,()01ND NB λλ=<<.（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ,记BCQ △与DEN 的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的值. 【解析】（1）易知()()1,1,1,1B C -,设(),D x y ,由ND NB λ=,可得()(),11,2x y λ+=, 故有(),21D λλ-,同理()1,12E λλ--,于是直线DE 的方程是()()()2142y x λλλ--=--,即()()24221y x λλ=---∵与抛物线方程联立,即()()224221y x x y λλ⎧=---⎪⎨=⎪⎩得到()()2210x λ--=,此方程有两个相等的根：)1(2x λ=-代入∵,得()221y λ=-, 故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()2,2121Q λλ--（2）()()()()2211112*********BCQ Q S S BC h y λλλ==⋅=⨯⨯-=⨯⨯--=-△ 设直线DE 与y 轴交于G ,则()()20,21G λ--, 于是()()()()()222112122211DEN D E S S NG x x λλλλλ==⋅-=⋅---=⋅--+△ 故有122S S =.3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ,作MD x ⊥轴于点D ,作NQ MD ⊥于点Q .（1）令MOD α∠=,若4a =,1b =,3πα=,求点Q 的坐标；（2）若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；（3）设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点1B ,2B ,若点E ､F 分别满足3AE OE =-,243AF OB =,设直线1B E 和2B F 的交点为K ,设直线l ：2ax c=及点(),0H c ,（其中c ,证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】（1）设(),Q x y ,则由题知4cos 23sin 3x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,因此Q ⎛ ⎝⎭（2）（2）设MOD α∠=及(),Q x y ,则由题知cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：()222210x y a b a b +=>>. （3）设(),K x y ,由题知,()10,B b ,,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20,B b -,3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1B E l ：14x ya b +=,即4bx ay ab +=,2B F l ：34y b xa b b +=-+,即44bx ay ab -=,联列上述直线方程,解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.KH =817a c =-令点K 到直线l 的距离为PM ,则2881717c c a PM a a c a a c ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.因此有KH cPMa=.4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ,直线1x my =+交C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作l 上的垂线,垂足分别为A ',B '.（1）若梯形ABB A ''的面积为求实数m 的值；（2）是否存在常数λ,使得2A B AF BF λ''=⋅成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由? 【解析】（1）由题得准线:1l x =-,直线1x my =+过焦点(1,0)F . 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,A y '-,()21,B y '-,联立21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,所以()21212242x x m y y m +=++=+,221212116y y x x ==,12y y -===而梯形ABB A ''的面积()()1212111122S AA BB A B x x y y '''=+'=+++- (2244m =+=解得m .（2）()()12||||11AF BF AF BF x x ⋅=-⋅=-++()()()2212121142141x x x x m m =-+++=-+++=-+,又()222212161A B A B y y m ''''==-=+,所以24A B AF BFλ''==-⋅为常数.5．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .∵是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.∵求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【解析】（1）当l x ⊥轴时,易得2AB p =, 所以22p =,解得1p =,所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）∵解：易知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为()102x my m =+≠, 代入抛物线C 的方程22y x =,并整理得2210y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,由根与系数的关系得12=2y y m +,121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==,所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,连接QM ,若四边形AQBM 为平行四边形,则N 是QM 的中点, 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设直线PQ 的方程为12x ty =+,代入抛物线C 的方程22y x =,整理得2210y ty --=,所以112P Q Q y y y m=-⋅=-, 故2Q y m =,因此()22,2Q m m ,故可得22212212M m x m +=⨯-=,220M y m m =-=,故点M 的坐标为()1,0M ,因此存在定点()1,0M ,使得四边形AQBM 为平行四边形；∵证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d =由()11,A x y ,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,可得1AF =,因此11124QAF S AF d y =⋅=△, 同理可得214QBFS y =, 所以12111616QAF QBFSSy y ⋅==,为定值.6．已知过点()0,1A -且斜率大于零的直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>及圆22670x y x +-+=都相切.（1）求p 的值；（2）过点()0,2B 的动直线2l 与抛物线C 交于点P ,Q ,以BP 为直径的圆与直线0y y =交于点M ,N ,若MN 为定值,求0y 的值.【解析】（1）解法一：由22x py =,得22x y p=,x y p '=. 设直线1l 与抛物线C 切于点2,2t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,易知0t >,则1l 的斜率212t t p k p t+==,得t =k ∵直线1l的方程为1y =-. 圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=,∵圆心为()3,0,其到直线1l的距离d ==得2p =.解法二：由题设直线1l 的方程为()10y kx k =->, 由直线1l 与圆22670x y x +-+=即圆()2232x y -+=相切,=得1k =,故直线1l 的方程为1y x =-,将其代入()220x py p =>,得2220x px p -+=.∵直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>相切,∵2480p p ∆=-=,∵2p =.（2）设()11,P x y ,则2114x y =,以BP 为直径的圆的圆心11,122x y E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()2222221111112444BP x y y x y y =+-=+-+=+.连接EM ,过E 作直线0y y =的垂线,垂足为G ,则10,2x G y ⎛⎫⎪⎝⎭,MN ====当01y =时,2MN =,为定值,故01y =.7．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,126F F =,P 是C 上一点,112PF F F ⊥,且12PF PF +=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点2F 的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,过点A 作直线2x =的垂线,垂足为D ,过点O 作OM BD ⊥(O 为坐标原点),垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由题意得212PF PF a -=, ∵112PF F F ⊥,1226F F c ==, ∵222136PF PF -=,又12PF PF +=236a ⋅=,解得a = ∵26a =,2293b a =-=,∵双曲线C 的标准方程为22163x y -=.（2）由(1)得()23,0F ,设()11,A x y ,()22,B x y ,则()12,D y , 易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为3x ty =+,t ≠,联立直线l 与双曲线C 的方程,消去x 得()222630t y ty -++=,∵()22410t ∆=+>,∵12262t y y t +=--,12232y y t =-. ∵直线BD 的斜率21212221y y y y k x ty --==-+, ∵直线BD 的方程为()211221y y y y x ty --=-+, 设BD 交x 轴于E 点,如图,∵OM ∵BD ,∵若在x 轴上存在定点N ,使得MN 为定值,则E 为定点,N 为OE 中点,12MN OE =,即直线BD 过x 轴上的定点E .在直线BD 的方程()211221y y y y x ty --=-+中,令0y =,得()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭, ∵直线BD 过定点5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.∵5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,则1524MN OE ==.综上,在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,使得MN 为定值54.8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ,2B ,且122B B =,过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1k =时,求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解析】（1）因为122B B =,所以22b =,即1b =,,所以c a 设c m =,则a =,0m >,又222c a b =-,即2222m m b =-,解得1m =或1-（舍去）,所以a =1b =,1c =,所以椭圆的标准方程为2212x y += （2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=,284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在．（3）由题意知,直线l 的方程为2y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210∆=-+>k k ,则232k >, 设(),T m n ,因为1B ,T ,M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+, 因为2B ,T ,N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+, 由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上,故交点T 的纵坐标为定值12. 9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点T 的直线l 与动点P 的轨迹C 交于,A B 两点,问11AT BT+是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.【解析】（1）方法一：设动点(),P x y ,()112y ++*.若1y ≥-,则()*32y =+,两边平方并化简可得：26x y =；若1y <-,则()*12y =--,两边平方并化简可得：242x y =-,显然不成立.∴动点P 的轨迹C 的方程为26x y =.方法二：由动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12,知动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =-的距离相等,满足抛物线定义；由抛物线的定义知：动点P 的轨迹C 的方程为：26x y =.（2）易知直线l 斜率存在,设直线l 的方程为：32y kx =+,由2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2690x kx --=,则236360k ∆=+>, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则126x x k +=,129x x =-,21263y y k ∴+=+,1294y y =. 抛物线26x y =焦点为T ,由抛物线定义知：132AT y =+,232BT y =+, ()121212121212331111333933222422y y y y AT BT y y y y y y y y ++++∴+=+==⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22226666293999363424k k k k ++===++⨯++, ∴11AT BT +为定值23. 10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点0(,2)M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上,C 的焦点为F ,2MF =．（1）求抛物线C 的方程及0x ；（2）经过点(2,2)-的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A ,B 异于点M ,若直线MA 与MB 的斜率存在且不为零,证明：直线MA 与MB 的斜率之积为定值．【解析】（1）由题知：000422122px p px x =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩. 所以抛物线C 的方程：24y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时,直线l 为2x =,联立224x y x =⎧⎨=⎩,得(2,A,(2,B -.2MA k ==,2MB k ==-,则()()224MA MB k k ⋅=-=-.当直线l 的斜率存在时,设直线l 为2(2)+=-y k x ,设11(,)A x y ,22(,)B x y , 则：1121MA y k x -=-,2221MB y k x -=-. 联立22(2)4y k x y x+=-⎧⎨=⎩得：22204ky y k ---=因为2112()022k ∆=++>,所以124y y k+=,1288y y k =--．所以121222121212121222(2)(2)161611(2)(2)2()4(1)(1)44y y y y y y x x y y y y y y ----⋅===--+++++--,所以121222164881184y yx xk k--⋅==-----++,所以直线MA与MB的斜率之积为定值4-．。

2022届高考数学圆锥曲线重难点专题17 圆锥曲线与内心问题(解析版)

1ΔMPF S =121(22PF F Sa =+222a b a ==，即(1e +又12121325PF F SF F a an ==，解得4．已知A 、B 是抛物线2(0)Px P >的两点，ABO 的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．2P x = ．(221)2x -=【解析】因为A |OB ，ABO 的内心恰是此抛物线的焦点，所以所以由三角形角平分线的性质得化简得, 24m0m >,所以22的大致图像，120GP GF GF ++=，若(12GI F F R λλ=∈ ） B ．2 C 【解析】设()()()0102,0,,,0,F c F c P x y -，由题意得120GP GF GF ++=，所以点()12GI F F R λλ=∈，所以//GI x 轴，则12F PF S =m =，则222PF m a m =+=+， ()120121211232F PF y SPF PF F F =++⋅=(012222y m a =++，则2c m =2PI IQ=，所以椭圆的离心率12IQPI=.故选：二、多选题2ac=23=的内切圆半径为r ，则15y ， 1,F G 为12PF F △的重心，则下列说法正确的是（的离心率为3212PI xPF yPF =+，则12//IG F F 【解析】由题意，双曲线22:145x y C ，可得，所以A 正确；的内切圆与边PF 12=PF F12215(2,),(7,15),(1,3PI PF PF=--=--=--12PI xPF yPF=+，可得1515yx y-=--，解得24,99x y==，可得29y x-=，所以C正确；0000(,)(0,0)P x y x y>>12=PF FS2cym n++，即m+(1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈PH 垂直x 轴于点H ，则【解析】A. 2122b F F c a==，故有(1221IPF IP F F IF S SSλλ=+∈121122PF r PF r F F λ⋅=⋅+121a c e==-，故C 对121212111,,2222IPF IPF IF FS PF r S PF r S c r ===⋅⋅，因为121232IPF IPF IF FS S S-=△△△，所以11122PF r PF-可得1232c PF PF a=-=，故2223334c a b=+=PEF的内心在【解析】设直线l：y=()22,F x y，则211x tx-，直线12x x+=15．已知椭圆的方程为I为1PF△PQ IQλ=，则λ【解析】如图所示，分别是12PF F∠和1IQ FQ+13IQPI=.所以3PI IQ=，所以4PQ IQ=，故λ，求12F F，求点P1）设1PF m=，cos60，解得1sin60532mn⋅=)(0000,0,x y x y>的内切圆半径为r，112F F知，12PF PF-=P在第一象限，解得1FQM ，2F QP 的面积分别为【解析】（1）因为离心率为()12,0F -，(22,0F 2，3a =，1b =，所以椭圆1FQM 以2F QP 以1212QM PQ =，∵12F h h F =()00,P x y ，∴203y +=+AB K K +BAC ∠=12⎫-⎪⎭,同理可得12Rt ABC S AB ∆=⨯32322r ∴=22．在双曲线。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。

圆锥曲线(选填题)压轴题系列专题(一)：圆锥曲线与“四心”问题(第4讲)(解析版)

专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．专题目录：第1讲、圆锥曲线与内心问题第2讲、圆锥曲线与重心问题第3讲、圆锥曲线与垂心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题：三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点知识储备：(1)、O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222OC OB OA ==)；(2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0.(3)、若O 是ABC ∆的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ⋅+⋅+⋅=; (4)、多心组合：ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH 经典例题例1．（2019年成都七中半期16题）1F ,2F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为12，则该双曲线的离心率为_______ .1 【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，122PF PF a -=，则()()2222212121224PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，()()2222121212484PFPF PFPF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =，=，整理得24c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1e =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.例2．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点P 的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为____.1- 【解析】由120PF PF ⋅=，知1290PPF ∠=︒.设12,PF m PF n ==，又122F F c =，则可得()1,22R c r m n c ==+-， 2224m n c +=， ① 2m n a -=. ②设rk R=，则()122r kR kc m n c ===+-，即有()22m n k c +=+. ③由①②③可得()22222248k c a c ++=，所以()22222213122c a k c e -+==-=，解得1k =-.故12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R1- 例3.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，则2ABGF 的值为 .【答案】4【解析】由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++，所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212221213434m AB y m m +=-=-++. 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++，所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题.例4.（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（） ABC ．2D【答案】D【解析】由题,因为()0OD OI λλ=≠,所以O 、D 、I 三点共线,因为点D 为线段FP 的中点,∆POF 的外心为I ,所以DI PF ⊥,即OD PF ⊥, 设双曲线的左焦点为(),0F c '-,则点O 为线段F F '的中点,则在PFF '中,//PF OD ',即PF PF '⊥,所以PFF '是直角三角形,所以222F F F P PF ''=+,因为PF b =,由双曲线定义可得2PF PF a '-=,所以2PF a b '=+, 则()()22222c a b b =++,因为222c a b =+,整理可得2b a =,所以c =,则ce a==,故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例5.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）AB ．3CD ．5【答案】C【解析】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =，将212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241aca a c c--=，化简可得225c a =，即e =当点M 在第三象限时，同理可得e =故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例6.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，若OAB ∆的外心为(M O 为坐标原点）,则当AB MO最大时，AB =____.【答案】.【解析】由题意知,MO 为OAB 外接圆的半径，在OAB 中,由正弦定理可知,2sin AB R AOB=∠(R 为OAB 外接圆的半径),当sin 1AOB ∠=,即90AOB ∠=︒时,AB MO取得最大值2.设()11,A x y ,()22,B x y ,易知10y ≠,20y ≠,则12120x x y y +=,得221212016y y y y ⋅+=,即12160y y +=.设直线AB 的方程为y x t =+,即x y t =-,代入24y x =得,2440y y t -+=,则124y y +=,124y y t =,所以4160t +=,解得4t =-.故12AB y y =-==.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.课后训练：变式1．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为（） AB ．2CD ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 为右支上的点，则122PF PF a -=，设双曲线的半焦距为c ，则22b PF a=，212b PF a a =+，又12Rt PF F 外接圆半径为21122b PF a a=+. 12Rt PF F 内切圆的半径为222222-22b bc ac a a a r c a+---===，因为12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，故252=2b aac a +-，故22560c ac a -+=，所以2c a =或3c a =，即2e =或3e =.故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．变式2．（2018上海市高三模拟）已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为△ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____. 【答案】16.【解析】已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，焦距相等所以焦点相同，设(,0),(,0),B c C c c -=A 为两曲线在第二象限的交点，||||AB AC <，84AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，||2AB =，设000(,),42A x y x -<<-，220016m y m x =-，||AB ==0424c x ===+=，08x c ∴=-，因为O 为BC 中点，△ABC 的外心T 在y 轴上，0OT BC ⋅=，08()(,)(2,0•)16AT B OT OA BC OA BC y c cC =-⋅=-⋅=--⋅=【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.变式3. P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C 的离心率为（）A．3 B．4 C．3或3 D．4或4-【答案】C【解析】212PF F F ⊥，∴点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b PF a =,则212b PF a a =+12PF F ∆的外接圆半径21122PF b r a a==+ 其内切圆半径222222b bc a a a r c a +--==- 12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，123r r ∴=,即()232b a c a a+=-化简可得22670c ac a --=即2670e e --=解得3e =±C【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题.变式4．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为__________．【答案】4【解析】由G 是△PF 1F 2的外心，则G 在y 轴的正半轴上，120GF GF GP λ++=，则1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点，则△PF 1F 2的面积S=12×b×2c=bc=8，由a 2=b 2+c 2≥2bc=16，则a ≥4，当且仅当时取等号， ∴a 的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，得到P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点.变式5．F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ，b >0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足12PF PF ⋅=0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为13，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】120PF PF =，12PF PF ∴⊥．∴12PF F ∆的外接圆半径为1212F F c =，∴12PF F ∆的内切圆的半径为3c．设12PF F ∆的内切圆的圆心为M ，过M 作x 轴的垂线MN ，连接1MF ，2MF ，则3cMN =，设1NF m =，2NF n =，则2m n c +=，①不妨设P 在第一象限，由双曲线的定义可知122PF PF m na -=-=，② 由①②可得m a c =+，n c a =-，12PF PF ⊥，且1MF ，2MF 分别是12PF F ∠，21PF F ∠的角平分线，12214MF F MF F π∴∠+∠=，又121tan 33()MN c c MF F NF m a c ∠===+，2123()MN cMF F NF c a ∠==-， ∴2223()3()119()c c c a c a c c a ++-=--，化简可得2292a c =，故292e =，32e ∴=．故答案为：322．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题变式6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点)4,0(),0,2(B A ，若其欧拉线方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标是．【答案】()4,0-【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得，ABC ∆的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭, 代入欧拉线方程得：242033m n++-+=,整理得：40m n -+= ① AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，AB 的中垂线方程为()1212y x -=-，即230x y -+=．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩.．ABC ∴∆的外心为()1,1-．则()()22221131m n ∴++-=+，整理得：22228m n m n ++-= ②联立①②得：4,0m n =-=或0,4m n ==．当0,4m n ==时,B C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是()4,0-．考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心.。

圆锥曲线中的定点问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题5 圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。

此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。

常见的变形方向如下：① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2．处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点．【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程为()1y k x =+或1x ty =-，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M 的坐标写出点P 的坐标，从而求出直线PN 的方程，证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可. 【解析】（1）因为122F F =，12124MF MF F F +=>，所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以2a =，1c =，b =所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）解法一：因为直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为()1y k x =+ 由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222348430k x k x k +++-=，因为点1F 在曲线C 内，所以0∆>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=-+，()21224334k x x k -=+．因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -．所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--．令0y =，得()211211212121x x y x y x y x xy y y y -+=+=++()()()211221112x k x x k x k x x ⋅++⋅+=++()12122122x x x x x x ++++=()2222224382343448234k k k k k k -⎛⎫⨯+- ⎪++⎝⎭==--++．所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-．综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．解法二：当MN 不与x 轴重合时，设直线MN 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，()()()()2226434914410t t t ∆=--⨯+⨯-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，设122634ty y t +=+，122934y y t =-+．因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -．所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，得()()()211211112121111ty ty y x x y x xty y y y y ---⎡⎤-⎣⎦=+=+-++122121ty y y y =-+ 22923414634t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-+，所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-．综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．【例2】椭圆C的焦点为()1F，)2F，且点)M在椭圆C 上．过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）计算1224a MF MF =+=，得到椭圆方程.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为2(0)Q ，，再计算斜率相等得到证明.【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得124c a MF MF ==+=.所以2a =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -，则()22122122Δ16821042122k k k x x k x x k x ⎧=++>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩，特殊地，当A 的坐标为(2)0，时，12k =-，所以2423x =-，223x =-，143y =，即24,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点B 关于y 轴的对称点为24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ，则直线AD 的方程为2y x =-+.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为0x =. 如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点2(0)Q ，， 111112111QA y y k k x x x ---===-，22221QD y k k x x -==-+-，又因为121212112()2220.QA QD x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-= 所以QA QD k k =，即,,A D Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0)2，． (二) 直线过定点问题 1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y kx b =+，然后利用题中条件整理出,k b 的关系，若(),b km n m n =+为常数，代入y kx b =+得()y k x m n =++，则该直线过定点(),m n -。

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析一、有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O 的两条弦AB 、PC 相交于圆内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅.2. 切割线定理:如下右图，PT 为圆O 的切线，P AB 、PCD 为割线，则2PT PA PB =⋅（）;3.割线定理：如下右图，P AB 、PCD 为圆O 的割线，则PA PB PC PD ⋅=⋅.说明：上述三个定理可以统一为22PA PB PO R ⋅=-(其中R 是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点，点P 是圆O ：上的任意一点，过点作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【答案】【分析】从题中已知寻求P A 、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 (1,0)A -224x y +=(1,0)B 93221862PT PA PA+=+≥=22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB +CA ODPBTPOACD，则在中，，即所以时取等）【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC，由切割线定理得：所以时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2，所以sinA =√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，222cos 2PA PB AB P PA PB+-=⋅3cos P PA PB =⋅Rt PBT ∆cos PT PB P =3PT PA=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =23PC PA PT =⋅=9232PA PT PA PA+=+≥=PA =其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为．【答案】y ＝x －1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt △OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12，则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.【解法二】由2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+ 由相交弦定理得()()225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）.【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k1＋k 2，y 1·y 2＝－4k 21＋k2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k1＋k 2，y 2＝－4k1＋k2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限，所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．3. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是．6.已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上且PA PB =，则0x 的取值范围为 .222()x m y r -+=【答案与提示】1.【答案】 2.【答案】【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴，化简得，即cos ∠OCD ＝＝，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝，∴直线l 1的斜率为．设OD ＝t (又∴直线l 13.244164416OC ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 5±22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=-2222215()44r m r m r -=--=222254r m m r -=-r m =CDOC 3r m=55±2m t =Rt COE ∆过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，r = 【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”. 由5344OC OA OB =+，即153288OC OA OB =+ 得A B D 、、三点共线（其中D 是AB 的中点），且:3:5AD BD =，设，5BD x =思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224r x r x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩，解之得r =思路二：相交弦定理，()22335224r r x x r x ⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r =. 4.【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.【答案】[【提示】易知OA OB ⊥，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】 (1,0)(0,2)-⋃二、抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. 3AD x =(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A B x x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝（） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.【答案与提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65 【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）.三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+（其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角）. 说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.【典型题示例】例1 已知椭圆方程为2214x y +=，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则的最小值||2||AF FB ∴+F xA BO为．【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，① 设的倾斜角为，则，② 联立①②，可得，同理可得，．令，，，．．当且仅当时上式取等号．的最小值为． 2214x y +=2a =c =e =:l x =A AM l ⊥M ||||AF AM =AB θ||||||cos ||cos ||cos AM CF AF AF AF θθθ=-==||AF =||BF ||2||AF BF ∴++==cos t θ=[1t ∈-1]1||2||32(6)12AF FB ∴+==-+-322(6)1263t-+++326363t =+t ||2||AF FB ∴+34+故答案为：．例 2 （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．2【答案】D【解析】22cos b AF a c θ=-，22cos b BF a c θ=+，2222122122230124b AB AF BF AF a AF BF a a e e ac =+==+⇒=⇒=⇒--=⇒+2e =．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.【答案】2【解析】如右图，设l 为椭圆的右准线，过A 、B3224+分别向l 作垂线AA /、BB /，A /、B /分别是垂足，过B 作AA /垂线BD ，D 是垂足设BF =t ，AF =3t则t BB e '=，3t AA e'= Rt ABD 中，2,4tAD AB t e==故11cos 23AD AB e θ=== 又k >0，所以tan 2k θ==.xDF B BAyO B / A /【巩固训练】1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的离心率为________．2.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．3. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．4.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1，1)B ．1)-C ．(2-，1)D ．(0,2【答案与提示】1.【解析】如右图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以cos θ=由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：31cos1cosep epe eθθ=-+，化简得：2cos1eθ=1=，即4e===解之得：213e（负值已舍），所以33e.2.【答案】333.【答案】3+4.【答案】C【解析】延长1AF交椭圆于1A，根据椭圆的对称性，则211F B A F=，1113F A A F=，由12F A F Bλ=，且1||1cosepF Aeθ=-，11||1cosepA Feθ=+，由112A F F B=，所以1cos1cosep epe eλθθ=-+，整理得1cos1eλθλ-=+，其中[0θ∈，2)π，由A，B不重合，所以0θ≠，cose eθ=<，解得2e>，所以，椭圆的离心率的取值范围(2，1)．。

新高考Ⅰ卷2022高考数学一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化含解析

2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助．【2022新高考1卷21题】已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【答案】（1）1-（2）9方法一：直线双参+韦达法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m -+++=2121222422,2121km m x x x x k k +∴+=-=--，由121211022AP BP y y k k x x --+=+=--可得1221(1)(2)(1)(2)0y x y x --+--= 即1221(1)(2)(1)(2)0kx m x kx m x +--++--= 展开整理得12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=即2222242(12)()4(1)02121m kmk m k m k k +⋅+--⋅---=-- 即2(1)210m k k k +++-=，(1)(21)0k m k ++-=故1k =-或12m k =-当12m k =-时的方程为12y kx k =+-，其恒过定点(2,1)A ，与题意不符故直线PQ 的斜率1k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=±因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ=因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP的方程为12)y x -=-，直线AP的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以2Q x +=，Q x =于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=.【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线PQ 的双参方程y kx m =+，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到(1)(21)0k m k ++-=这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．方法二：直线单参+设点求点【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的倾斜角为θ，不妨设其斜率0k >，则直线AQ 的斜率为k -直线AP 的方程为1(2)y k x -=-，代入2212x y -=整理得 222(21)4(21)2(21)20k x k k x k ---+-+=点,A P 的横坐标为方程的两根，故2122(21)2221k x k -+=-，22122(21)14422121k k k x k k -+-+∴==--，2112241(2)121k k y k x k -+-=-+=-于是点P 坐标为2222442241(,)2121k k k k P k k -+-+---，用k -代换k 可得2222442241(,)2121k k k k Q k k ++----- 故22222222241241212114424422121PQk k k k k k k k k k k k k ----+----==-++-+--- (2)由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ=因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在,P Q的坐标中令k =1010,33P Q x x -+==于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线AP 的单参方程1(2)y k x -=-，可直接求出点P 的坐标，用k -代换k 立即可得点Q 的坐标，从而顺利求得PQ 的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊方法技巧．方法三：点差法+整体代换【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--，代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y +----+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=-+即12122()PQ x xk y y +=+同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y ++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑤①-⑤得12122()4()0x x y y +++=，所以12122()x x y y +=-+所以1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=±因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 2PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式进行整体变形，轻松求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．方法四：齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -=双曲线可化为22[(2)2][(1)1]12x y -+--+=即22(2)2(1)4[(2)(1)]0x y x y ---+---=设直线PQ 的方程为(2)(1)1a x b y -+-=联立22(2)2(1)4[(2)(1)]0(2)(1)1x y x y a x b y ⎧---+---=⎨-+-=⎩可得22(2)24[(2)(1)][(2)(1)]0x y x y a x b y --+----+-= 即22(41)(2)4()(2)(1)(42)(1)0a x b a x y b y +-+----+-= 两边同除2(2)x -整理得211(42)()4()(41)022y y b a b a x x --++--+=-- 其中12y x --表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于4()024AP AQ a b k k b-+=-=+所以a b =，直线PQ 的斜率为1ak b=-=-. (2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ=因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP 的方程为12)y x -=-，直线AP 的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以1623Q x ++=，103Q x +=于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．本题直线,AP AQ 的斜率具有相同的结构，即12y x --的形式，于是可考虑构造关于1y -与2x -的二次齐次方程．直接将直线PQ 的方程设为(2)(1)1a x b y -+-=，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！方法五：坐标平移+齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 对坐标系进行平移，使坐标原点与点A 重合，在新坐标系下：双曲线方程为22(2)(1)12x y ---=即2224()0x y x y -+-= 设直线PQ 的方程为1ax by +=联立2224()01x y x y ax by ⎧-+-=⎨+=⎩可得2224()()0x y x y ax by -+-+=即22(41)4()(42)0a x b a xy b y ++--+= 两边同除2x 得2(42)()4()(41)0y yb a b a xx++--+= 其中yx表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于平移不改变直线的斜率，故4()024AP AQ a b k k b-+=-=+所以a b =，直线PQ 的斜率为1-.(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ=因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在新坐标系下，直线,AP BP的方程分别为,y y ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13P x =，于是|||1)P AP x ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13Q x =-，于是|||1)Q AQ x ==而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】坐标平移后，在新坐标系下的齐次化过程更加直观自然．运算也变得简单明了了．方法六：参数方程法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线AP ：112cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为AP 的倾斜角则直线AQ ：222cos()1sin()x t y t πθπθ=+-⎧⎨=+-⎩，即222cos 1sin x t y t θθ=-⎧⎨=+⎩代入双曲线方程得22112222(2cos )2(1sin )2(2cos )2(1sin )2t t t t θθθθ+-+=--+=解得1222224cos 4sin 4cos 4sin ,cos 2sin cos 2sin t t θθθθθθθθ-++==-- 直线PQ 的斜率12121212sin 1cos y y t t k x x t t θθ--==⋅=--+(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，其倾斜角为θ 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=可得sin θθ==于是12t t ==而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以121||||sin 29PAQ S t t PAQ ∆=∠=. 【点评】直线参数方程的介入，使问题转化为对两参数12,t t 的讨论，思路自然，运算量适中．新教材《选择性必修第一册》68P 探究与发现栏目，对直线的参数方程进行了简单的介绍．所以新高考使用直线参数方程解题是被允许的．此方法同样需要考生付出大量训练才能掌握精髓和技巧！方法七：点差法+分式合分比定理【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--，点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x xx x y y -+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+⑤同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++由0AP BP k k +=可得121212*********(1)2(1)AP y y x x k x x y y --++==-==---++ 由分式合分比定理可得12121212121212121442(2)2()AP y y y y x x x x k x x x x y y y y -+--++====+--++-变形得1212121242(2)y y x x x x y y -+-=-++结合⑤得121212121212121212124(4)()12(2)2()2(2)2()y y x x x x x x x x x x y y y y y y y y -+-++--+====--+++++-+即1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ= 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式，结合分式合分比定理进行整体变形，求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．但要求考生对分式合分比定理有较深刻的认识并能较熟练的应用．【总结】解决解析几何压轴题的方法策略主要有三种：1、根与系数的关系法（主流方法）．设出动直线的方程：①y kx m =+，②x my n =+，③00()y y k x x -=-， ④{00cos sin x x t y y t αα=+=+（t 为参数），与圆锥曲线方程联立消元得到关于(x y t ）或参数的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾0,0∆>∆=或的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．2、多变量多参数联动变换法．此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．同构问题齐次化处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．3、设点求点法．方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线y kx =与椭圆22221x y a b+=的交点易求出．以上七种解决方案中，本人最青睐的是方法三点差整体变形法，轻巧灵动四两拔千斤！其次是方法二设点求点法，思路清晰自然运算简单明了！。

2022届北师大版高考数学—圆锥曲线相关习题汇总含答案

圆的方程[A 组基础保分练]1．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4（2a 2＋a －1）＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23．又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，所以仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆．答案：B 2．（2021·河北省九校第二次联考）圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（） A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：由题意设所求圆的方程为（x －m ）2＋y 2＝4（m >0），则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143（舍去），故所求圆的方程为（x －2）2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0．答案：C3．已知圆C 1：（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为（） A ．（x ＋2）2＋（y －2）2＝1 B ．（x －2）2＋（y ＋2）2＝1 C ．（x ＋2）2＋（y ＋2）2＝1 D ．（x －2）2＋（y －2）2＝1 解析：圆C 1的圆心坐标为（－1，1），半径为1，设圆C 2的圆心坐标为（a ，b ），由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为（2，－2），又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为（x －2）2＋（y ＋2）2＝1．答案：B 4．（2020·高考全国卷Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为（）A ．55B ．255C ．355D ．455解析：由题意可知圆心在第一象限，设为（a ，b ）． ∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ， ∴圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －a ）2＝a 2．∵点（2，1）在圆上，∴（2－a ）2＋（1－a ）2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5．当a ＝1时，圆心坐标为（1，1），此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当a ＝5时，圆心坐标为（5，5），此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255．综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255．答案：B5．已知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，4）C ．（－4，＋∞）D ．（4，＋∞）解析：根据圆的一般方程中D 2＋E 2－4F ＞0得（－2）2＋62－4×5a ＞0，解得a ＜2，由圆关于直线y ＝x ＋2b 对称可知圆心（1，－3）在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，得b ＝－2，故a －b ＜4．答案：B6．（2021·河北五个一名校联盟一诊）已知点P 为圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝4上一点，A （0，－6），B （4，0），则|P A →＋PB →|的最大值为（） A ．26＋2 B ．26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2解析：取AB 的中点D （2，－3），则P A →＋PB →＝2PD →，|P A →＋PB →|＝|2PD →|，|PD →|的最大值为圆心C （1，2）与D （2，－3）的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，所以d ＋r ＝26＋2．所以|P A →＋PB →|的最大值为226＋4．答案：C7．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4），B （0，－2），则圆C 的方程为_________．解析：圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E （2，－3），r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为（x －2）2＋（y ＋3）2＝r 2＝5．答案：（x －2）2＋（y ＋3）2＝5 8．（2021·银川模拟）已知圆x 2＋y 2＝4，B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若∠PBQ ＝90°，则线段PQ 中点的轨迹方程为_________．解析：设PQ 的中点为N （x ′，y ′）．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON （图略），则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋（x ′－1）2＋（y ′－1）2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．答案：x 2＋y 2－x －y －1＝0 9．一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）．令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D ．令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E ．由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0．①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0．② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0．③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．（1）求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程．解析：（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2），则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1），即x ＋y －3＝0．（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210，所以（a ＋1）2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）．所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40．[B 组能力提升练] 1．圆（x －2）2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是（）A ．（x －3）2＋（y －1）2＝4B ．（x －1）2＋（y －3）2＝4C ．x 2＋（y －2）2＝4D ．（x －2）2＋（y －2）2＝4解析：设圆（x －2）2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A （a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，∴a ＝1，b ＝3，∴A （1，3），从而所求圆的方程为（x －1）2＋（y －3）2＝4．答案：B2．若直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是（）A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12C ．⎝⎛⎭⎫－∞，14D ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析：∵直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心（－1，2）在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a ，∴ab ＝a （1－a ）＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，当且仅当a ＝12时等号成立，因此ab 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14．答案：D3．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 将圆C 分为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝（） A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5 D ．±5解析：结合图形（图略）及题意知，圆心C （1，2）到y 轴的距离与到直线y ＝2x ＋b 的距离相等，易知C （1，2）到y 轴的距离为1，则|2×1－2＋b |22＋（－1）2＝1，解得b ＝±5．答案：D4．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6（其中O 为坐标原点），则圆M 的半径为（） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．22解析：圆M 的标准方程为（x －1）2＋y 2＝1－a ，圆心M （1，0），则|OM |＝1，圆的半径r ＝1－a（a ＜1）．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝（OM →＋MA →）·（OM →＋MB →）＝（OM →－MB →）·（OM →＋MB →）＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7．答案：C 5．（2021·临沂模拟）已知圆心在直线x －3y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的标准方程为_________．解析：设圆C 的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（a ＞0，b ＞0），由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，a ＝r ，b 2＋8＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，所以圆C 的标准方程为（x －3）2＋（y －1）2＝9．答案：（x －3）2＋（y －1）2＝96．（2021·福建厦门模拟）在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，A ＝π3，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB →·PC →的最小值为_________．解析：如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A （0，0），B （4，0），C （1，3），设P （x ，y ），则PB →＝（4－x ，－y ），PC →＝（1－x ，3－y ），所以PB →·PC →＝（4－x ）（1－x ）－y （3－y ）＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －322－3，其中⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M ⎝⎛⎭⎫52，32之间距离|PM |的平方，由几何图形可得|PM |min ＝|AM |－1＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－1＝7－1，所以（PB →·PC →）min ＝（7－1）2－3＝5－27．答案：5－277．设m ∈R ，已知直线x ＋my ＝0过定点A ，直线mx －y －2m ＋4＝0过定点B ，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0交于点P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）求|P A |·|PB |的最大值．解析：（1）由已知可知，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0分别过定点A （0，0），B （2，4），又m ×1＋m ×（－1）＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P （x ，y ）的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点（1，2），半径r ＝|AB |2＝5，故动点P 的轨迹方程为（x－1）2＋（y －2）2＝5．（2）由（1）可知定点A （0，0），B （2，4），且两直线垂直，P 为圆（x －1）2＋（y －2）2＝5上的点，则P A ⊥PB ，|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝22＋42＝20，则|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝10，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立，所以|P A |·|PB |的最大值为10．[C 组创新应用练]1．（2021·海口模拟）已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4（y ≥0），则m ＝3x ＋y 的取值范围是（） A ．（－23，4） B ．[－23，4] C ．[－4，4] D ．[－4，23]解析：x 2＋y 2＝4（y ≥0）表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m ．当直线3x ＋y －m ＝0过点（－2，0）时，m ＝－23．设圆心（0，0）到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2.解得m ∈[－23，4]．答案：B2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12（x ，y ，k ∈R 且k ＞0）；命题q ：（x －3）2＋y 2≤25（x ，y ∈R ）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是_________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部（含边界），命题q 表示的范围是以点（3，0）为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内（或圆上）即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25，解得0＜k ≤6．答案：（0，6]3．如果直线2ax －by ＋14＝0（a ＞0，b ＞0）和函数f （x ）＝m x ＋1＋1（m ＞0，m ≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x －a ＋1）2＋（y ＋b －2）2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围为_________．解析：易知函数f （x ）＝m x ＋1＋1（m ＞0，m ≠1）的图像过定点（－1，2），∴直线2ax －by ＋14＝0（a ＞0，b ＞0）过定点（－1，2），∴a ＋b ＝7 ①，又定点（－1，2）在圆（x －a ＋1）2＋（y ＋b －2）2＝25的内部或圆上， ∴a 2＋b 2≤25 ②，由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13，∴b a ＝7－a a ＝7a－1∈⎣⎡⎦⎤34，43．答案：⎣⎡⎦⎤34，43椭圆[A 组基础保分练]1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5解析：连接PF 2（图略），由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4．答案：A2．过点A （3，－2）且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为（）A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为（±5，0），设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1（λ＞0），将点A （3，－2）代入，得9λ＋5＋4λ＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．答案：A3．（2021·衡水模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为13，则ab＝（）A ．98B ．322C ．43D ．324解析：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324．答案：D4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1解析：由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1．答案：A5．（2020·石家庄质检）倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．23C ．22D ．33解析：由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得（b 2＋a 2）y 2＋2b 2cy－b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，所以（c －x 1，－y 1）＝2（x 2－c ，y 2），所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b 4a 2＋b 2.所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e ＝23．答案：B6．（2021·惠州调研）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为（）A ．514B ．59C ．49D ．513解析：如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513．答案：D7．（2021·郑州模拟）已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为 _________．解析：因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A （1，0），所以b ＝1，焦点坐标为（0，c ），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1．答案：y24＋x 2＝18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解析：（1）由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1．（2）由条件可知F 1（－3，0），直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．（1）若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；（2）若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解析：（1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c ．所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22．（2）由题知A （0，b ），F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝a 2－b 2，设B （x ，y ）．由AF 2→＝2F 2B →，得（c ，－b ）＝2（x －c ，y ），解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2．①又由AF 1→·AB →＝（－c ，－b ）·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1．②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．[B 组能力提升练]1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）A ．22 B ．33 C ．32 D ．13解析：设圆柱的底面圆的直径为d ，则椭圆的短轴长为d ．因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2d ，所以椭圆的半焦距为 ⎝⎛⎭⎫22d 2－⎝⎛⎭⎫d 22＝d 2，则e ＝c a ＝d 222d ＝22．答案：A2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（）A ．13B ．12C ．33D ．32解析：因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，因为P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝|PF 2||PF 1|＝12．答案：B3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为（）A ．32B ．332C ．94D ．154解析：由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1（－1，0），F 2（1，0），由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3× 1－14＝±32，不妨设A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32．设P （m ，n ），则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝（m ＋1，n ）·⎝⎛⎭⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332．答案：B4．（2021·温州模拟）正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ．又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1＞c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1＞0，e 2＜3－52＝（5－1）24，∴0＜e ＜5－12．答案：B5．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________．解析：设点A 在点B 上方，F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝1－b 2，则可设A （c ，b 2），B （x 0，y 0），由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1．答案：x 2＋3y22＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |－|PF 1|的最小值为_________．解析：由椭圆的方程可知F 2（3，0），由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|．所以|PM |－|PF 1|＝|PM |－（2a －|PF 2|）＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，所以|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．答案：－57．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．解析：（1）由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2．不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c ．由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2．解得c a ＝－2（舍去）或c a ＝12．所以C 1的离心率为12．（2）由（1）知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1．设M （x 0，y 0），则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1． ① 因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c 2＋4（5－c ）3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1（舍去）或c ＝3．所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x ．[C 组创新应用练]1．有一个高为12 cm ，底面圆半径为3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎝⎛⎦⎤0，55B ．⎣⎡⎭⎫55，1C ．⎝⎛⎦⎤0，255D ．⎣⎡⎭⎫255，1解析：由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为122＋62＝65，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫3352＝255，所以e ∈⎝⎛⎦⎤0，255．答案：C2．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点B 和左焦点F ，并被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是_________．解析：依题意，知b ＝2，kc ＝2．设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165．又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14．于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255．答案：⎝⎛⎦⎤0，2553．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为千米．解析：设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85．即椭圆形轨道的焦距为85千米．答案：85抛物线[A 组基础保分练]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：设A （x ，y ），由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12．又因为点A到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6．答案：C2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′．若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′．设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2．四边形AA ′PF 的面积S＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．答案：C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（）A ．4B ．92C ．5D ．6解析：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k （x －1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2（x B＋1），即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．答案：B5．（2021·合肥检测）已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为（） A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝2．答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（）A ．118B ．54C ．32D ．1解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b 2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b ．因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故（1＋4y 0－4b ）（y 0＋b ）＝9，即（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝36．由基本不等式得，（1＋4y 0－4b ）＋（4y 0＋4b ）≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118．答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－p2＝－2，解得p ＝4．故所求的抛物线的标准方程为x 2＝－8y ．答案：x 2＝－8y 8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），且与C 交于A ，B 两点，则p ＝，1|AF |＋1|BF |＝_________．解析：由p2＝1，得p ＝2．当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x －1）（k ≠0），代入抛物线方程，得k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1．综上，1|AF |＋1|BF |＝1．答案：2 19．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：（1）抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2）．又∵F （1，0），∴k F A ＝43．∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34．又F A 的方程为y ＝43（x －1），故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45． 10．（2021·襄阳联考）动点P 到定点F （0，1）的距离比它到直线y ＝－2的距离小1．设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M ．（1）求曲线C 的方程；（2）求证：AB →·MF →＝0．解析：（1）由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y ．（2）证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ．∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A （x －x A ），①直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B （x －x B ）．② ①－②，得14（x 2B －x 2A ）＝12（x A －x B ）x ＋12（x 2B －x 2A ）， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k ．将x ＝x A ＋x B2代入①，得y －14x 2A ＝12x Ax B －x A 2＝14x A x B －14x 2A， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M （2k ，－1）．∵MF →＝（－2k ，2），AB →＝（x B －x A ，k （x B －x A ））， ∴AB →·MF →＝－2k （x B －x A ）＋2k （x B －x A ）＝0．[B 组能力提升练]1．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（） A ．y 2＝4x B ．y 2＝36x C ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x 解析：因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P （x 0，±6）．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以根据抛物线的定义得x 0＋p 2＝10．① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ．答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：由题意知，当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值即|MA |＋|MD |的最小值．根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －（－1）＝5＋1＝6．又|F A |＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11．答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________．解析：设满足题意的圆的圆心为M ．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p2．又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8．∴抛物线方程为y 2＝16x ．答案：y 2＝16x4．（2021·成都摸底）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为_________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p ．由抛物线的定义知|BE |＝|BF |．设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pm p －m．由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x ．答案：y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解析：（1）因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b （b ≥0），代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2b 3＋b 2（0＜b ≤1）．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2．6．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）和定点M （0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N ．（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②．（1）由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p ＝－1，所以p ＝2．（2）易得直线AN ：y －y 1＝x 1p （x －x 1），直线BN ：y －y 2＝x 2p（x －x 2），联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p（x －x 1），y －y 2＝x 2p（x －x 2），结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N （pk ，－1）．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y ．[C 组创新应用练]1．（2021·兰州模拟）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M （4，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝（）A ．34B ．45C ．56D ．25解析：由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为（2，0），准线方程为x ＝－2．如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N ．设直线AB 的方程为y ＝k （x －4）（k ≠0），则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－（8k 2＋8）x ＋16k 2＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝16．由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10．因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25．答案：D2．已知抛物线x ＝18y 2的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），抛物线的准线交x 轴于点K ，则|AF ||AK |最小时，直线AK 的斜率为（）A ．1B ．2C ． 3D ．22解析：x ＝18y 2可化为y 2＝8x ．如图，过A 作准线的垂线，垂足为A 1．因为|AF |＝|AA 1|，所以|AF ||AK |＝|AA 1||AK |＝sin ∠AKA 1．若|AF ||AK |最小，则sin ∠AKA 1最小，即∠AKA 1最小．数形结合可得，直线AK 与抛物线y 2＝8x 相切时，∠AKA 1最小．设直线AK 的方程为y ＝k （x ＋2），且k ＞0，与y 2＝8x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x ，得ky 2－8y ＋16k ＝0，由Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝1．答案：A双曲线[A 组基础保分练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以（25－k ）（k －9）<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（－2b ，a ），则该双曲线的离心率为（）A ．32B ．2C ．3D ．62解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则a ＝－b a ×（－2b ），得a 2＝2b 2，得e ＝ca＝a 2＋b 2a ＝62．答案：D3．（2020·高考全国卷Ⅲ）设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝25a ．∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2．不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a ．∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P ||F 2P |＝8．∴（|F 1P |－|F 2P |）2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P |＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1．答案：A4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1（b ＞0）的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（） A ． 5 B ．3 C ．5 D ．42解析：由题意知a 2＝4，4＋b 2＝32，故b ＝5，所以渐近线的方程为y ＝±52x ，则焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪±3521＋54＝5．答案：A5．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（）A ．12B ．1C ．2D ．4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A （x 1，x 1），B （x 2，－x 2），所以AB中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，所以⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222－⎝⎛⎭⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2．答案：C6．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（）A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°．又直线MN 过点F （2，0），所以直线MN 的方程为y ＝－3（x －2）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3．答案：B7．（2021·昆明调研）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x ＋2y ＝0垂直，则双曲线C 的离心率为_________．解析：易知直线x ＋2y ＝0的斜率为－12，所以双曲线的一条渐近线的斜率为2，即ba ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．答案：58．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为_________．解析：由题设易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ．∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b ． ∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1．答案：±19．（2021·湛江模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1．（2）设点A 的坐标为（x 0，y 0），所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·（－3）＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2．② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，所以（3e 2－2）（e 2－2）＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为2．[B 组能力提升练]1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）上一点M （－3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为（）A ．x 25－y 220＝1B ．x 220－y 25＝1C ．x 25－y 225＝1D ．x 225－y 220＝1解析：点M （－3，4）与双曲线的右焦点F 2（c ，0）关于渐近线y ＝ba x 对称，则⎩⎨⎧4－3－c ·ba ＝－1，2＝b a ·c －32，得c ＝5，b a ＝2，所以b 2＝25－a 2＝4a 2，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1．答案：A2．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y ＝±23xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由题意可设|AB |＝3k ，则|BF 1|＝4k ，|AF 1|＝5k ，则易得BF 1⊥BF 2，由双曲线的定义可知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，则可得|AF 2|＝5k －2a ，|BF 2|＝8k －2a ，再根据双曲线的定义得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得k ＝a ，则|BF 1|＝4a ，|BF 2|＝6a ．又|F 1F 2|＝2c ，所以在直角三角形BF 1F 2中，16a 2＋36a 2＝4c 2＝4（a 2＋b 2），则ba＝23，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ．答案：A3．（2021·厦门模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F ，点A ，B 是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为（）A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形，所以S △ABF ＝S △ABF ′，即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b2＝1，可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c＝2，即b 2＝c ，所以b ＝2，c ＝4，所以a ＝c 2－b 2＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x ．答案：B4．（2021·衡水模拟）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （5，0）作斜率为k （k＜－1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF＝53（O 为坐标原点），则k 的值为（） A ．－ 2 B ．－2 C ．－ 3 D ．－5解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1kx ，过第二象限的渐近线的方程为y＝1k x ，直线FB 的方程为y ＝k （x －5），联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1k x ⇒x ＝5k 2k 2－1，所以y ＝5kk 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝⎛⎭⎫－k k 2－1．令52⎝⎛⎭⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12（舍）．答案：B5．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为_________．解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1（图略），由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3．设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3．又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2．又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为22．答案：226．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是_________．解析：设双曲线的右焦点为F （c ，0），易知，|AB |＝2b 2a ．该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bc a ．由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c a ＝54．。

“圆锥曲线”高考解析及2022年备考建议(解析版)

2021年高考概率与统计试题分析及备考建议一、考查内容分析 (2)1、考查特点分析 (2)2、试题的三大变化 (3)二、命题思路分析 (3)1.“低起点”考查基础性，突出圆锥曲线的几何本质 (3)2.“多层次”考查综合性，突出圆锥曲线的多元联系 (6)3.“多模型”考查应用性，突出圆锥曲线的育人价值 (12)4.“高落差”考查创新性，突出圆锥曲线的丰富内涵 (20)复习备考建议 (23)1、深化特征，注重回归教材内容的教学 (24)2、类化解法，注重建构知识体系的引导. (24)2021年高考概率与统计试题分析及备考建议2021年高考数学圆锥曲线部分以标准方程和几何性质为载体,贯彻“低起点、宽入口、多层次、高落差”的命题原则,突出对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查,对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用.本文通过对2021年圆锥曲线真题分析,总结考查特点,为今后的高考复习备考提出建议。

一、考查内容分析2021年各份高考数学试卷均重视数学的本质，突出了对必备知识、关键能力和学科素养的考查.各份试卷中涉及圆锥曲线的试题，题型结构稳定，命题立意鲜明，主要考查基础题和中档题，综合考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及位置关系下对有关几何性质的研究，涉及距离问题、范围问题、面积问题、最值问题、定点定值问题等，通常是与平面向量、数列、函数与方程等知识的综合应用.1、考查特点分析2021年各份高考数学试卷中涉及圆锥曲线内容的试题，与往年相比，在题型、题量和分值比例上差距不大，体现了对主干内容考查的稳定性、统一性和连贯性。

从表中可以看出：2021年高考数学对圆锥曲线的考查呈现如下三个特点.①题型结构相对稳定.从题型、题量和分值比例方面来看，各份试卷均采用兼顾客观题和主观题的做法，分值在20~25分之间.其中，题量与分值最少的上海卷和天津卷，都是一道客观题和一道主观题，分值为20分，占全卷总分值的13.3%；分值最高的是浙江卷，为25分，占全卷总分值的16.7%，其次是北京卷，为24分，占全卷总分值的16.0%；6份全国卷均为两道客观题加一道主观题的组合形式，分值均为22分，占全卷总分值的14.7%.②几何直观相对突出.2021年各份高考数学试卷的考查仍以数形结合的思想方法、直观想象素养和数学运算素养为主，以函数与方程、转化与化归、分类讨论和从特殊到一般的思想方法，以及逻辑推理素养等为辅.而数形结合思想主要体现在如何把圆锥曲线的几何特征简化为代数运算上。

高中数学轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(解析版)

轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a -c ,a +c ；F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c -a ．3、利用角度长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若∠F 1PF 2=θ，则椭圆离心率e 的取值范围为sin θ2≤e <1．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式题型二：圆锥曲线第一定义题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)题型五：利用数形结合求解题型六：利用正弦定理题型七：利用余弦定理题型八：内切圆问题题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ题型十一：基本不等式题型十二：已知PF 1 ⋅PF 2范围题型十三：PF 1=λPF 2题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角题型十六：利用渐近线的斜率题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围题型十九：四心问题【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，双曲线C的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足∠AFB =120°，且BF=2AF ，则双曲线C 的离心率是________．【答案】3【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，由条件可得BF -AF =AF -AF =2AF -AF =2a ，则AF =2a ，BF =4a ，∠F AF =60°，所以FF 2=AF 2+AF 2-2AF ⋅AF ⋅cos ∠F AF ，即4c 2=16a 2+4a 2-16a 2×12，即4c 2=12a 2，c =3a所以双曲线的离心率为：e =ca=3，故答案为3.例2.(2022·四川·高三阶段练习(理))已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若AF 1⊥AB ，且AB =2AF 1 ，则C 的离心率为( )A.2B.1+2C.3D.1+3【答案】C【解析】如图，设AF 1 =m ，则AF 2 =m -2a ．又AB =2AF 1 ，所以BF 2 =m +2a ，所以BF 1 =m +4a ．又AF 1⊥AB ，所以BF 1 =5m ，由m +4a =5m ，得m =5+1 a =AF 1 ，则AF 2 =m -2a =5-1 a ，而F 1F 2 =2c ，则4c 2=5+1 2a 2+5-1 2a 2，化简得c 2=3a 2，所以e =c a=3．例3.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1作直线l 与C 的左、右两支分别交于M ,N 两点，且△MNF 2是以∠MNF 2为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则e 2=( )A.5+33 B.5+32C.5+22D.5+23【答案】C【解析】设|MN |=|NF 2|=m ,|MF 2|=2m ，由双曲线的定义得|MF 1|=2m -2a ，又|NF 1|-|NF 2|=2a ,∴m +2m -2a -m =2a ，∴m =22a .又|NF 1|2+|NF 2|2=|F 1F 2|2,所以(22a +2a )2+(22a )2=4c 2，所以c 2a 2=5+22,∴e 2=5+22.故选：C例4.(2022·甘肃·瓜州一中高三期中(文))若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2m=1的离心率是( )A.32或5 B.5 C.32D.32或52【答案】A【解析】∵m 是2和8的等比中项，∴m =4或m =-4，当m =4时，方程为x 2+y 24=1，表示椭圆，∴a =2,b =1,c =a 2-b 2=3，∴离心率为32，当m =-4时，方程为x 2-y 24=1，表示双曲线，∴a =1,b =2,c =a 2+b 2=5，∴离心率为5，故选：A例5.(2022·江西·高三开学考试(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上(M 位于第一象限)，且点M ，N 关于原点O 对称，若MN =F 1F 2 ，22MF 2 =NF 2 ，则C 的离心率为( )A.24B.12C.62-37D.32-37【答案】C【解析】依题意作下图，由于MN =F 1F 2 ，并且线段MN ，F 1F 2互相平分，∴四边形MF 1NF 2是矩形，其中∠F 1MF 2=π2，NF 1 =MF 2 ，设MF 2 =x ，则MF 1 =2a -x ，根据勾股定理，MF 1 2+MF 2 2=F 1F 2 2，2a -x 2+x 2=4c 2，整理得x 2-2ax +2b 2=0，由于点M 在第一象限，x =a -a 2-2b 2，由22MF 2 =NF 2 ，得MN =3MF 2 ，即3a -a 2-2b 2 =2c ，整理得7c 2+6ac -9a 2=0，即7e 2+6e -9=0，解得e =62-37.故选：C ．题型二：圆锥曲线第一定义例6.(2022·重庆八中高三开学考试(理))设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A(-c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|PA |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为()A.12,1B.13,12C.12,23D.15,14【答案】D【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为F 1(-c ,0)，因为|PF 1|≤|PA |+|AF 1|，所以2a =|PF 1|+|PF |≤|PA |+|AF 1|+|PF |=c +9c =10c 由|PF 1|≥|PA |-|AF 1|，所以2a =|PF 1|+|PF |≥|PA |-|AF 1|+|PF |=9c -c =8c ，所以8c ≤2a ≤10c ，即4c ≤a ≤5c ，所以15≤e ≤14.因为点A 在椭圆内，所以c <b 2a ，所以ac <a 2-c 2，所以e 2+e -1<0，解得e <5-12，因为5-12>14，所以15≤e ≤14.故选：D例7.(2022·浙江·高三开学考试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，过F 1的直线与C 交于P ,Q 两点，若PF 1 =2PF 2 =5F 1Q ，则C 的离心率是( )A.35B.34C.54D.53【答案】D 【解析】由已知，可根据条件做出下图：因为PF 1 =2PF 2 =5F 1Q ，令F 1Q =t ，所以PF 1 =5t ，PF 2 =52t ，由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =2a =5t +52t =152t ，所以t =415a ，所以PF 1 =43a ，PF 2 =23a ，F 1Q =415a ，PQ =PF 1 +F 1Q =43a +415a =2415a ，由椭圆的定义可知QF 1 +QF 2 =2a ⇒QF 2 =2615a ，在△PQF 2中，QF 2 2=QP 2+PF 2 2，所以∠QPF 2=π2,在△PF 1F 2中， F 1F 2 =2c ，所以F 1F 2 2=F 1P 2+PF 22所以169a 2+49a 2=4c 2⇒c 2a2=59⇒e =c a =53.所以C 的离心率是53.故选：D .例8.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)设双曲线C :x 2-y 2b2=1的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ，若△PF 1F 2的面积为4，则双曲线C 的离心率为( )A.2B.2C.3D.5【答案】D【解析】由题意，双曲线C :x 2-y 2b2=1，可知a =1，设PF 2 =m ,PF 1 =n ，可得m -n =2，又因为F 1P ⊥F 2P ，若△PF 1F 2的面积为4，所以12mn =4，且m 2+n 2=4c 2，联立方程组，可得c 2=5，所以双曲线的离心率为e =ca=5.故选：D .例9.(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知双曲线C :x 2a2-y 25=1(a >0)的左焦点为F (-c ,0)，点P 在双曲线C 的右支上，A (0,4)．若|PA |+|PF |的最小值是9，则双曲线C 的离心率是_____．【答案】32【解析】设双曲线的右焦点为F ，双曲线x 2a2-y 25=1的b =5，则c =a 2+5，可得F (-c ,0)，F (c ,0)，由双曲线的定义可得|PF |-|PF |=2a ，可得|PF |=2a +|PF |，则|PA |+|PF |=|PA |+|PF |+2a ≥2a +|AF |，当A ，P ，F 共线时，取得等号．2a +|AF |=2a +(0-c )2+(4-0)2=9，则2a +a 2+21=9整理得：a 2-12a +20=0解得a =2或a =10，由于2a +a 2+21=9，则0<2a <9，故a =10不符合所以a =2，c =3则双曲线的离心率为e =c a =32．故答案为：32．例10.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设△PF 1F 2的面积为S ，若PF 1+ PF 2 2=12S ，则双曲线C 的离心率为( )A.2 B.62C.2D.22【答案】C【解析】依题意，PF 1⊥PF 2，令F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，则有|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，由(|PF 1|+|PF 2|)2=12S 得：|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=6|PF 1||PF 2|，即有|PF 1||PF 2|=c 2，而4a 2=(|PF 1|-|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=2c 2，所以e =ca=2.故选：C题型三：圆锥曲线第二定义例11.(2022·全国·高三专题练习(文))古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e <1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e >1时，轨迹为双曲线.则方程(x -4)2+y 225-4x =15表示的圆锥曲线的离心率e 等于( )A.15B.45C.54D.5【答案】B 【解析】因为(x -4)2+y 225-4x=(x -4)2+y 24x -254=15，所以(x -4)2+y 2x -254 =45，表示点x ,y 到定点4,0 的距离与到定直线x =254的距离比为45，所以e =45.故选：B例12.(2022·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的左、右焦点分别为F 1F 2，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、|PF 1|、|PF 2|成等比数列，则其离心率的取值范围是( )A.[2，+∞)B.(1，2]C.[1+2，+∞)D.(1，1+2]【答案】D【解析】∵|PF 1|2=d ⋅|PF 2|，∴|PF 1|d =|PF 2||PF 1|=e ，即|PF 2|=e |PF 1|⋯①，又|PF 2|-|PF 1|=2a ⋯②．由①②解得：|PF 1|=2a e -1，|PF 2|=2aee -1，又在焦点三角形F 1PF 2中：|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，即：2a (e +1)e -1≥2c ，即e 2-2e -1≤0，解得：1-2≤e ≤1+2，又e >1，∴1<e ≤1+2，故选：D ．例13.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为( )A.58B.65C.75D.95【答案】B【解析】设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右准线为l ，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，BD ⊥AM 于D ，如图所示：因为直线AB 的斜率为3，所以直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD =60°，AD =12AB ，由双曲线的第二定义得：AM -BN =AD =1e AF -FB =12AB =12AF+FB ，又∵AF =4FB ，∴3e FB =52FB ，∴e =65故选：B例14.(2022·四川遂宁·二模(理))已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M ,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =10，则HF =( )A.14B.16C.18D.20【答案】D【解析】由题意双曲线的离心率e =4，如图，设双曲线右准线为l ，分别作MM ,NN 垂直于l ，垂足为M ,N ，作ME ⊥NN ,垂足为E ，设|MM |=m ,|NN |=n ，则|NE |=n -m ，由题意得|MF |=e |MM |=4m ,|NF |=e |NN |=4n ，|MN |=4m +4n ，则|DF |=|MD |-|MF |=2m +2n -4m =2n -2m ，所以|DF |=2|NE |.又∠HFD =∠MFO ,∠MFO =∠MNE .则∠HFD =∠MNE ，故Rt △DHF ∽Rt △EMN ，所以|HF ||MN |=|DF ||EN |=21，∴|HF |=2|MN |=20，故选：D .例15.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =5FB，则C 的离心率为( )A.43B.53C.2D.85【答案】A【解析】设BF =x ，则AF =5x ，过A 、B 作双曲线右准线x =a 2c的垂线，垂足分别为D 、C ，过B 作AD 的垂线，垂足为E .根据双曲线的第二定义可得AD =5x e ，BC =xe，∴AE =4x e，由直线的斜率为3，可得在Rt △ABE 中，∠ABE =30°，∴AB =2AE ，∴AB =AF +BF =6x =2AE =2×4xe，∴e =43.故选：A .题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)例16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使k AP ⋅k BP ∈-13,0 ，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．【答案】63,1 【解析】由题可知A -a ,0 ，B a ,0 ，设P x 0,y 0 ，由点P 在椭圆上，得y 20=b 2a2a 2-x 20 ，所以k AP ⋅k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=b 2a 2a 2-x 20 x 20-a 2=-b 2a2∈-13,0 ，可得c 2-a 2a2=e 2-1∈-13,0 ，所以e ∈63,1 ．故答案为：63,1 .例17.(2022·全国·高三专题练习)已知点A 、B 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线PA ，PB 的斜率之积的范围为-34,-23，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.12,33B.33,22C.14,33D.14,13【答案】A【解析】由题得：k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1∈-34,-23 ，所以e ∈12,33 故选：A ．例18.(2022·全国·高三专题练习(理))椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】解法1：设而不求设P x 1,y 1 ，则Q -x 1,y 1则由k AP⋅k AQ=14得：k AP⋅k AQ=y1x1+a⋅y1-x1+a=y12-x12+a2=14，由x12a2+y12b2=1，得y12=b2a2-x12a2，所以b2a2-x12a2-x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32，故选A.解法2：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：k PB=-k AQ故k AP⋅k AQ=k PA⋅-k AQ=-1 4，由椭圆第三定义得：k PA⋅k AQ=-b2 a2，故b2a2=14所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32，故选A.例19.(2022·湖南郴州·高二期末)双曲线C:x2a2-y2b2=1a,b>0的左右顶点为A,B，过原点的直线l与双曲线C交于M,N两点，若AM,AN的斜率满足k AM⋅k AN=2，则双曲线C的离心率为_________．【答案】3【解析】由题意知：A-a,0，B a,0，若O为坐标原点，则OA=OB，OM=ON，∴四边形AMBN为平行四边形，∴AN⎳BM，即k AN=k BM，∴k AM⋅k AN=k AM⋅k BM=2；设M x0,y0，则x20a2-y20b2=1a,b>0，∴k AM⋅k BM=y0x0+a⋅y0x0-a=y20x20-a2=b2x20a2-1x20-a2=b2a2=2，∴双曲线C的离心率e=1+b2a2=3.故答案为：3.例20.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率为k1，k2，若k1⋅k2=8，则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.3【答案】D【解析】设P(x0,y0)，x0≠±a，A(-a,0)，B(a,0)，∴x20a2-y20b2=1，∴x20-a2=a2b2y20，∴k1⋅k2=y0x0+a⋅y0x0-a=y02x02-a2=b2a2=8，∴e=c a=1+b2a2=1+8=3．故选：D．例21.(2022·全国·高二课时练习)已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为( )A.22B.62C.2D.213【答案】D【解析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D.题型五：利用数形结合求解例22.(2022·广西·模拟预测(文))如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB= -125，|BD|2=AD·BD，则双曲线E的离心率为( )A.65B.375C.2105 D.143【答案】B【解析】如图，由|BD|2=AD⋅BD，有BD2+DA⋅BD=0，可得BD⋅BD+DA=0，可得BD⋅BA=0，有BD⊥AB.在Rt△ABD中，由tan∠F1AB=125，不妨设BF1=12m(m>0)，则AB=5m，由勾股定理得AF1=13m，又由双曲线的定义可得AF2=13m-2a，BF2=12m-2a，根据BF 1 +BF 2 =AB 可得13m -2a +12m -2a =5m ，解得a =5m ，所以BF 2 =2m ，在Rt △F 1BF 2中，2c =F 1F 2 =144m 2+4m 2=237m ，可得c =37m ，故双曲线E 的离心率为e =c a =37m 5m =375.故选：B .例23.(2022·广西柳州·模拟预测(理))如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且cos ∠BAC =-35，AB ⊥BD ，则E 的离心率为( )A.52B.173C.102D.5【答案】B【解析】依题意，直线CA ,DB 都过点F1，如图，有AB ⊥BF 1，cos ∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan ∠BAF 1=43，|AB |=34|BF 1|=34(2a +m )，|AF 2|=32a -14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a -14m ，在Rt △ABF 1，|AB |2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m )2+(2a +m )2=72a -14m 2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a ,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即23a 2+83a 2=(2c )2，解得c a =173，所以E 的离心率为173.故选：B 例24.(2022·四川·成都七中模拟预测(理))已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x =a 上，且满足PH =λPF 1 PF 1 +PF 2PF 2，λ∈R .若5HP +4HF 2 +3HF 1 =0 ，则双曲线C 的离心率为( )A.3 B.4C.5D.6【答案】C【解析】因为PH =λPF 1 PF 1 +PF 2PF 2，所以PH 是∠F 1PF 2的角平分线，又因为点H 在直线x =a 上，且在双曲线中，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，则△PF 1F 2的内切圆圆心在直线x =a 上，即点H 是△PF 1F 2的内心，如图，作出△PF 1F 2，并分别延长HP 、HF 1、HF 2至点P 、F 1、F 2，使得HP =5HP ，HF 1=3HF 1，HF 2=4HF 2，可知H 为△P F 1F 2的重心，设S △HPF 1=m ，S △HPF 2=n ，S △HF 1F 2=p ，由重心性质可得15m =20n=12p ，即m :n :p =4:3:5，又H 为△PF 1F 2的内心，所以F 1F 2 :PF 1 :PF 2 =5:4:3，因为F 1F 2 =2c ，所以PF 1 =45F 1F 2 =8c 5，PF 2 =35F 1F 2=6c 5，则2a =PF 1 -PF 2 =2c 5，所以双曲线C 的离心率e =c a =2c 2a =2c2c5=5.故选：C .例25.(2022·全国·二模(理))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.132B.13C.32D.3【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为y =±b ax ，设切线方程为y -32=k x +1 ，联立x 24+y 23=1得：3+4k 2 x 2+8k k +32 x +4k 2+12k -3=0，由Δ=64k 2k +32 2-43+4k 2 4k 2+12k -3 =0得：2k -1 2=0，解得：k =12，所以切线方程为y =12x +2，令y =0得：x =-4，所以M -4,0 ，联立y =b a x 与y =12x +2，解得：x Q =4a2b -a ，联立y =-b a x 与y =12x +2，解得：x N =-4a2b +a，因为N 为MQ 的中点，所以-4a 2b +a=124a2b -a -4 ，解得：b a =32，所以离心率为1+b a 2=132故选：A例26.(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P =0，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为( )A.33 B.2C.102 D.3【答案】C【解析】如图所示：因为F 1A +F 2P =0 ，所以四边形PF 1AF 2是平行四边形，因为PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，PF 1 -PF 22+2PF 1 PF 2 1-cos ∠F 1PF 2 =F 1F 2 2，4a 2+2PF 1 PF 2 1-cos ∠F 1PF 2 =4c 2PF 1 PF 2 =2b 21-cos ∠F 1PF 2.所以S △AF 2P =S △F 1F 2P =12×2b 21-cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF=b 2sin ∠F 1PF 1-cos ∠F 1PF 2=b 2×2sin ∠F 1PF 2cos ∠F 1PF 22sin 2∠F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=b 2可得∠F 1PF 2=π2．过点A 作x 轴的平行线交PQ 于点B ，可知四边形F 1F 2BA 是平行四边形，因为F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，所以AB =23AF 2 +13AQ =23AF 2 +13AF 2 +F 2Q =AF 2 +13F 2Q，又AB =AF 2 +F 2B ，所以有F 2B =13F 2Q ．设PF 2 =m ，则PF 1 =m +2a ，AF 1 =F 2B =m ，F 2Q =3m ，F 1Q =3m +2a ，PQ =4m ．在Rt △PF 1Q 中，由PF 1 2+PQ 2=F 1Q 2，解得m =a ．在Rt △PF 1F 2中，由PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2，得10a 2=4c 2，所以离心率e =c a =102，故选：C例27.(2022·山东潍坊·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P ，若△MPA 2是等腰三角形，且∠PA 2M 的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为( )A.2 B.2C.3D.5【答案】B【解析】联立y =b a x x 2+y 2=a2且M 在第一象限，可得M a 2c ,ab c ，而A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)，所以|MA 1|2=a 2c +a 2+ab c 2=2a 21+a c ，|MA 2|2=a 2c-a 2+ab c 2=2a 21-a c ，由题设，∠A 1MA 2=∠PMA 2=90°，故△MPA 2是等腰直角三角形，所以∠MA 2P =45°，而∠PA 2M 的内角平分线与y 轴平行，所以∠MA 1A 2=22.5°，又tan45°=2tan22.5°1-tan 222.5°=1，可得tan22.5°=2-1，则tan 2∠MA 1A 2=|MA 2||MA 1|2=1-a c 1+a c=(2-1)2，可得e -1e +1=3-22，所以e =2.故选：B例28.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若|AB |=BF 2 ，△BF 1F 2的面积为33b 2，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=( )A.3B.2C.2+3D.5+23【答案】D【解析】如图，由双曲线的定义可知：BF 1 -BF 2 =2a ，AF 2 -AF 1 =2a ，因为|AB |=BF 2 ，所以AF 1 =2a ，代入AF 2 -AF 1 =2a 中，可得：AF 2 =4a ，因为F 1F 2 =2c ，所以在三角形AF 1F 2中，由余弦定理得：cos ∠F 1AF 2=AF 12+F 2A 2-F 1F 2 22AF 1 ⋅F 2A=4a 2+16a 2-4c 22×2a ×4a =5a 2-c 24a 2，因为∠F 1AF 2+∠BAF 2=π，所以cos ∠BAF 2=c 2-5a 24a 2，则sin ∠BAF 2=1-c 2-5a 24a 22，tan ∠BAF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2取AF 2的中点M ，连接BM ，因为|AB |=BF 2 ，所以BM ⊥AF 2，AM =MF 2 =2a ，所以BM =2a 10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，S ABF 2=12AF 2 ⋅BM =4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，又因为S AF 1F 2=12AF 2 ⋅AF 1 sin ∠F 1AF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4，所以4a210a2c2-c4-9a4c2-5a2+10a2c2-c4-9a4=33b2，化简得：13a4+c4-10a2c2=0，同除以a4得：e4-10e2+13=0，解得：e2=5+23或e2=5-23<0(舍去)故选：D题型六：利用正弦定理例29.(2022·全国·高三专题练习)已知F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为( )A.102B.104C.52D.54【答案】B【解析】由题意及正弦定理得：PF1=3PF2，令PF1=3PF2=3n，则3n+n=2a，9n2+n2=4c2，可得52a2=4c2，所以椭圆的离心率为：e=ca=524=104.故选：B例30.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为π6和π3的两条直线l1，l2．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为( )A.22B.3-1C.3-12 D.5-1 2【答案】C【解析】在△PF1F2中，由正弦定理可得F1F2sin∠F1PF2=|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|+|PF2|sin∠PF2F1+sin∠PF1F2所以F1F2PF1+PF2=sin∠F1PF2sin∠PF2F1+sin∠PF1F2，所以该椭圆的离心率e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2=sin∠F1PF2sin∠PF2F1+sin∠PF1F2=sin30°sin120°+sin30°=3-12，故选：C．例31.(2022·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得c sin∠PF1F2=a sin∠PF2F1，则该椭圆离心率e的取值范围是______．【答案】2-1,1【解析】由已知，得e=ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2，由正弦定理，得PF1PF2=sin∠PF2F1sin∠PF1F2，所以e=PF1PF2=2a-PF2PF2=2aPF2-1．由椭圆的几何性质，知a -c <PF 2 <a +c ，所以2a PF 2 -1>a -c a +c 且2a PF 2-1<a +c a -c ，所以e >1-e 1+e 且e <1+e1-e，即e 2+2e -1>0且e 2+1>0，结合0<e <1，可解得e ∈2-1,1 ．故答案为：2-1,1 .例32.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点F 1，F 2作倾斜角分别为π6和π3的两条直线l 1，l 2．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为( )A.22B.3-1C.3-12D.5-12【答案】C【解析】在△PF 1F 2中，由正弦定理可得F 1F 2sin ∠F 1PF 2=|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2=|PF 1|+|PF 2|sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2所以F 1F 2 PF 1 +PF 2 =sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2，所以该椭圆的离心率e =c a =2c 2a =F 1F 2 PF 1 +PF 2=sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 2F 1+sin ∠PF 1F 2=sin30°sin120°+sin30°=3-12，故选：C ．题型七：利用余弦定理例33.(2022·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，若|F 1F 2|=|AF 2|，AF 1 =2F 1B，则椭圆C 的离心率为( )A.57B.22C.53D.13【答案】D【解析】因为|F 1F 2|=|AF 2|=2c ，由椭圆定义知|AF 1|=2a -2c ，又AF 1 =2F 1B ，所以|BF 1|=a -c ，再由椭圆定义|BF 2|=2a -(a -c )=a +c ，因为∠AF 1F 2+∠BF 1F 2=π，所以cos ∠AF 1F 2=-cos ∠BF 1F 2，所以由余弦定理可得|AF 1|2+|F 1F 2|2-|AF 2|22|AF 1|⋅|F 1F 2|=-|BF 1|2+|F 1F 2|2-|BF 2|22|BF 1|⋅|F 1F 2|，即(2a -2c )2+(2c )2-(2c )22(2a -2c )⋅2c =-(a -c )2+(2c )2-(a +c )22(a -c )⋅2c，化简可得a 2+3c 2-4ac =0，即3e 2-4e +1=0，解得e =13或e =1(舍去).故选：D例34.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，且cos ∠F 1PF 2=79，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.【答案】33【解析】设F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点为Q ，则P ,F 2,Q 三点共线，设PF 1 =m ，则PQ =m ，又cos ∠F 1PF 2=79，所以在△PF 1Q 中，由余弦定理有：F 1Q 2=m 2+m 2-2m 2×79=49m 2，即F 1Q =2m 3由椭圆定义可知PF 1 +PQ +QF 1 =m +m +2m3=4a ，可得m =32a 所以PF 1 =32a ,PF 2 =12a在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：F 1F 22=PF 12+PF 22-2PF 1⋅PF 2⋅cos ∠F 1PF 2，即4c 2=94a 2+14a 2-2×34a 2×79=43a 2，所以c 2=13a 2，所以e =c a =33.故答案为：33例35.(2022·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，若|F 1F 2|=|AF 2|，AF 1 =2F 1B，则椭圆C 的离心率为( )A.57B.22C.53D.13【答案】D【解析】因为|F 1F 2|=|AF 2|=2c ，由椭圆定义知|AF 1|=2a -2c ，又AF 1 =2F 1B ，所以|BF 1|=a -c ，再由椭圆定义|BF 2|=2a -(a -c )=a +c ，因为∠AF 1F 2+∠BF 1F 2=π，所以cos ∠AF 1F 2=-cos ∠BF 1F 2，所以由余弦定理可得|AF 1|2+|F 1F 2|2-|AF 2|22|AF 1|⋅|F 1F 2|=-|BF 1|2+|F 1F 2|2-|BF 2|22|BF 1|⋅|F 1F 2|，即(2a -2c )2+(2c )2-(2c )22(2a -2c )⋅2c =-(a -c )2+(2c )2-(a +c )22(a -c )⋅2c，化简可得a 2+3c 2-4ac =0，即3e 2-4e +1=0，解得e =13或e =1(舍去).故选：D例36.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若|AB |=BF 2 ，△BF 1F 2的面积为33b 2，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=( )A.3B.2C.2+3D.5+23【答案】D【解析】如图，由双曲线的定义可知：BF 1 -BF 2 =2a ，AF 2 -AF 1 =2a ，因为|AB |=BF 2 ，所以AF 1 =2a ，代入AF 2 -AF 1 =2a 中，可得：AF 2 =4a ，因为F 1F 2 =2c ，所以在三角形AF 1F 2中，由余弦定理得：cos ∠F 1AF 2=AF 12+F 2A 2-F 1F 2 22AF 1 ⋅F 2A=4a 2+16a 2-4c 22×2a ×4a =5a 2-c 24a 2，因为∠F 1AF 2+∠BAF 2=π，所以cos ∠BAF 2=c 2-5a 24a 2，则sin ∠BAF 2=1-c 2-5a 24a 22，tan ∠BAF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2取AF 2的中点M ，连接BM ，因为|AB |=BF2 ，所以BM ⊥AF 2，AM =MF 2 =2a ，所以BM =2a 10a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，S ABF 2=12AF 2 ⋅BM =4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2，又因为S AF 1F 2=12AF 2 ⋅AF 1 sin ∠F 1AF 2=10a 2c 2-c 4-9a 4，所以4a 210a 2c 2-c 4-9a 4c 2-5a 2+10a 2c 2-c 4-9a 4=33b 2，化简得：13a 4+c 4-10a 2c 2=0，同除以a 4得：e 4-10e 2+13=0，解得：e 2=5+23或e 2=5-23<0(舍去)故选：D例37.(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A ,B ，若△ABF 2是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为( )A.3 B.7 C.5 D.2【答案】B 【解析】∵AB =BF 2 =AF 2 =4，∴BF 1 -BF 2 =AF 1 =2a ，又AF 2 -AF 1 =2a ，∴AF 2 =4a =4，解得：a =1，∴BF 1 =6，在△BF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cosπ3=28，解得：F 1F 2 =27，即2c =27，∴c =7，∴双曲线C 的离心率e =ca=7.故选：B .题型八：内切圆问题例38.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，且(OP +OF 2 )⋅F 2P=0(O 为坐标原点)，若△PF 1F 2内切圆的半径为a 2，则C 的离心率是( )A.3+1B.3+12C.6+12D.6+1【答案】C【解析】(OP +OF 2 )⋅F 2P =0，即为(OP +OF 2 )⋅(OP -OF 2)=0，即为OP 2=OF 22，可得|OP |=c ．所以PF 1⊥PF 2．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，如图所示，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边分别于G ，D ，E 三点，则|PG |=|PE |，GF 1 =DF 1 ，EF 2 =DF 2 ．又PF 1 -PF 2 =2a ，所以GF 1 -EF 2 =DF 1 -DF 2 ．设D (x 0,0)，则x 0+c -(c -x 0)=2a ，所以x 0=a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，所以PF 1 =|GP |+GF 1 =a 2+DF 1 =a 2+c +a =3a2+c ，PF 2 =|PE |+EF 2 =a 2+DF 2 =a 2+c -a =c -a 2．在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得3a 2+c 2+c -a 22=(2c )2，整理得4c 2-4ac -5a 2=0，即4e 2-4e -5=0，解得e =1±62，又因为e >1，所以C 的离心率为e =6+12，故选：C ．例39.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，经过F 1的直线交椭圆于A ，B ，△ABF 2的内切圆的圆心为I ，若3IB +4IA +5IF 2 =0，则该椭圆的离心率是( )A.55B.23C.34D.12【答案】A【解析】因为3IB +4IA +5IF 2 =0 ，所以38IB +58IF 2 =-12IA ，如图，在BF 2上取一点M ，使得BM :MF 2 =5:3，连接IM ，则IM =-12IA，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以S △IAF 2:S △IBF 2:S △IBA =3:4:5，所以AF 2 :BF 2 :AB =3:4:5，设AF 2 =3x ，则BF 2 =4x ,AB =5x ，由椭圆定义可知：AF 2 +BF 2 +AB =4a ，即12x =4a ，所以x =a3，所以AF 2 =a ，BF 2 =43a ,AB =53a ，AF 1 =a 故点A 与上顶点重合，在△ABF 2中，由余弦定理得：cos ∠BAF 2=AB 2+F 2A 2-F 2B 22AB ⋅F 2A =259a 2+a 2-169a 22×53a 2=35，在△AF 1F 2中，cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=35，解得：c a =55，所以椭圆离心率为55.故选：A例40.(2022·江苏苏州·模拟预测)已知F 1,F 2是椭圆x 2m +y 2m -1=1(m >1)的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若△AF 1F 2的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为( )A.2-1B.12C.22D.3-1【答案】B【解析】由椭圆x 2m +y 2m -1=1(m >1)，可得a 2=m ，b 2=m -1，∴c 2=a 2-b 2=1，则c =1，如图，设△AF 1F 2内切圆的半径为r ，∵S △AF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y A |=12(|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|)⋅r ，∴2c ⋅|y A |=(2a +2c )⋅r ，则r =1m +1|y A |，要使△AF 1F 2内切圆半径最大，则需|y A |最大，∵|y A |≤b =m -1，又△AF 1F 2内切圆半径的最大值为33，即33=m -1m +1，解得m =4，所以a =2．则椭圆的离心率e =c a =12故选：B ．例41.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1a >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF 1与双曲线的左支交于点Q ，△PQF 2的内切圆与QF 2相切于点M .若QM =4，则双曲线C 的离心率为( )A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】设PF 1,PF 2分别切内切圆交于A ,B ，则由双曲线的定义可得PF 1 -PF 2 =2a QF 2 -QF 1 =2a ，即PA +AQ +QF 1 -PB -BF 2 =2a QM +MF 2 -QF 1 =2a，根据内切圆的性质可得PA =PB ,QA =QM ,PA =PB ，故AQ +QF 1 -BF 2 =2aQM +MF 2 -QF 1 =2a，两式相加化简可得2QM =4a ，即QM =2a =4，故a =2.故双曲线的离心率为22+42=2故选：A例42.(2022·浙江·模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，M 为右支上一点，∠MF 2F 1=120°,△MF 1F 2的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，|MQ |=2|QN |，则双曲线的离心率为( )A.54B.43C.3D.2【答案】A 【解析】如图，设内切圆Q 与△MF 1F 2的三边分别切于D ,E ,G 三点，过M 作MP ⊥x 轴于P 点，易得MD =MG ,F 1D =F 1E ,F 2E =F 2G ，又由双曲线定义得MF 1 -MF 2 =2a ，即MD +DF 1 -MG -GF 2 =MD =F 1E -F 2E =2a ，又F 1E +F 2E =2c ，故F 1E =a +c ，即Q 点横坐标为a ，又∠MF 2F 1=120°，则∠QF 2P =120°，故直线QF 2的方程为y =-3(x -c )，代入x =a ，解得y =-3(a -c )=3(c -a )，即QE =3(c -a )，又|MQ |=2|QN |，则MP QE =MNQN=3，故MP =33(c -a )，又∠MF 2P =60°，则MF 2 =6(c -a )，MF 1 =6(c -a )+2a =6c -4a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠MF 2F 1=F 2M 2+F 2F 1 2-F 1M22F 2M F 2F 1，即-12=2c 2+6c -6a 2-6c -4a 222c ⋅6c -6a ，化简得4c 2-9ac +5a 2=0，即4⋅c a 2-9⋅c a +5=0，解得ca =1或c a =54，又离心率大于1，故离心率为54.故选：A .例43.(2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测(文))已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，F 1F 2 =7，P 是y 轴正半轴上一点，线段PF 1交双曲线左支于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是( )A.72B.143C.7D.14【答案】A【解析】设△APF 2的内切圆B 分别切线段PA 、PF 2、AF 2于点M 、N 、Q ，连接BM 、BN 、BQ ，如下图所示：由切线长定理可知，PM =PN ，AM =AQ ，F2N =F 2Q ，因为MA ⊥AQ ，BM ⊥AM ，BQ ⊥AQ ，BM =BQ =1，则四边形AMBQ 是边长为1的正方形，则AM =AQ =1，因为PO ⊥F 1F 2且O 为F 1F 2的中点，则PF 1 =PF 2 ，因为PA +AF 2 -PF 1 =PA +AF 2 -PF 2 =AM +PM +AQ +F 2Q -PN +F 2N=AM +AQ =2，即PA +AF 2 -PA +AF 1 =AF 2 -AF 1 =2a =2，又因为F 1F 2 =2c =7，因此，该双曲线的离心率为e =2c 2a =72.故选：A .例44.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)已知点P 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一点(点P 在第一象限)，点F 1,F 2分别为双曲线的左，右焦点，△PF 1F 2的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若∠F 1IF 2=34π,OI =3，则双曲线的离心率为( )A.52B.322C.3D.5【答案】B【解析】设△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2,PF 1,PF 2、相切的切点分别为M ，N ，Q ，F 1M =F 1N ,F 2M =F 2Q ，PN =PQ ，所以F 1M -F 2M =F 1N -F 2Q =F 1N +|PN | -F 2Q +|PQ | =PF 1 -PF 2 =2a ,又因为F 1M +F 2M =2c ，所以F 1M =a +c ,F 2M =c -a ，即M a ,0 ，所以I a ,1 ,|OI |=a 2+1=3,a =2，tan ∠F 1IM =c +2,tan ∠F 2IM =c -2，∴tan ∠F 1IF 2=tan ∠F 1IM +∠F 2IM =-1，2c1-c 2-2=-1∴c 2-2c -3=0,c =3或c =-1(舍)，∴e =c a =322．故选：B例45.(2022·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xoy 中，F 1,F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点A ,B ，点T 在x 轴上，满足BT=3AF 2 ，且BF 2经过△BF 1T 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.7D.13【答案】C【解析】BT=3AF 2 ，∴AF 2∥BT ，∴∠AF 2B =∠TB F 2,AB =2AF 1，∵BF 2经过△BF 1T 内切圆圆心，∴BF 2为∠F 1BT 的角平分线，∴∠F 1BF 2=∠TB F 2．∴∠ABF 2=∠BF 2A ，∴AB =AF 2，2a =AF 2-AF 1=AB -AF 1=AF 1，∴AF 1=2a ,AF 2=4a ，2a =BF 1-BF 2=3AF 1-BF 2=6a -BF 2∴BF 2=4a ，于是AB =AF 2=BF 2=4a ，∴△ABF 2为正三角形，∠F 1AF 2=23π．△F 1AF 2中，由余弦定理，4c 2=4a 2+16a 2-2⋅2a ⋅4a ⋅-12∴e =7.故选：C .题型九：椭圆与双曲线共焦点例46.(2022·甘肃省民乐县第一中学三模(理))设F 1，F 2为椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，F 1，F 2分别为左､右焦点，C 1与C 2在第一象限的交点为M .若△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且双曲线C 2的离心率e ∈2,72，则椭圆C 1离心率的取值范围是( )。

专题19圆锥曲线解答题-【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题19 圆锥曲线解答题一、解答题1．(2022年全国甲卷理科·第20题)设抛物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)24y x =；(2):4AB x =+．解析：(1)抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；(2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223344444AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++，当且仅当12k k =即k =的的所以当αβ-最大时，AB k =:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x +．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第20题2．(2022年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P-的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)-解析：设椭圆E 的方程为221m x ny +=，过()30,2,,12AB ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=．【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =．代入22134x y+=，可得(1,M，(1N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T，由MT TH=得到(5,H-．求得HN方程：(22y x=-，过点(0,2)-．②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=．联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x y y x y x y y y-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2022年全国乙卷理科·第20题3．(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为的直线与过Q的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)2213y x -=(2)见解析解析:(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=∴b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =． ∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022k x ky k x =-⇔=-；两渐近线方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y , 则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,的为即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ 的斜率1212y y m x x -==-,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =+-,代入双曲线的方程22330x y --=,即))3y y +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤+-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x x x x x y x y x ⎫-=++-=----∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky kx =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky kx =-，∴①成立．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国II 卷·第21题4．(2022新高考全国I 卷·第21题)已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 斜率；(2)若tan PAQ ∠=，求PAQ △的面积．【答案】(1)1-；．解析：(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．的所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为,2παβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，由(1)知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+-=，解得tan α=(负值舍去)此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α=(负值舍去)，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，Q x =，Q y= 所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d 故PAQ △的面积为11623⨯=．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第21题5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a =2221b ac =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；(2)由(1)得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN ()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN ==,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221b k =+，联立2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN====，化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=-或y x=-+，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题6．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF-=，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点T在直线12x=上，过T两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TB TP TQ⋅=⋅，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【答案】解析：因为12122MF MF F F-=<=所以，轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为()222210,0x ya ba b-=>>，则22a=，可得1a=，4b==，所以，轨迹C的方程为()221116yx x-=≥；(2)设点1,2T t⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的方程为112y t k x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k=+-，联立1122121616y k x t kx y⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭，设点()11,A x y、()22,B x y，则112x>且212x>．由韦达定理可得2111221216k k tx xk-+=-，211221116216t kx xk⎛⎫-+⎪⎝⎭=-，的所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=．因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第21题7．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第22题)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)22163x y +=；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=．(2)设点()()1122,,,M x y N x y ．因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②,,根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭．当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2．代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE =)．由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第22题8．(2020新高考II 卷(海南卷)·第21题)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)2211612x y +=；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y ．当y =0时，解得4x =-=4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12．所以C 的方程：2211612x y +=．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==．所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第21题9．(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】(1)2p =；(2)解析：(1)抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；(2)抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d 所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第21题10．(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．(1)求C ，M 的方程；(2)设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；(2)相切，理由见解析解析：(1)依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；(2)设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A 为3)y x -=-，又1313313131A Ay yk yx x y y-====∴=-+，330,(0,0)x A=，此时直线1323,A A A A关于x轴对称，所以直线23A A与圆M相切；若直线121323,,A A A A A A斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A Ak k ky y y y y y===+++，所以直线12A A方程为()11121y y x xy y-=-+，整理得1212()0x y y y y y-++=，同理直线13A A的方程为1313()0x y y y y y-++=，直线23A A的方程为2323()0x y y y y y-++=，12A A与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y-++-=，13A A与圆M相切，同理22213131(1)230y y y y y-++-=所以23,y y为方程222111(1)230y y y y y-++-=的两根，2112323221123,11y yy y y yy y-+=-⋅=--，M到直线23A A的距离为：2=2121111yy+===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切．【点睛】关键点点睛：(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示，将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关；(2)要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第20题11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)2219x y +=；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =的的∴椭圆方程为：2219x y +=(2)证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭．同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)221:13627x y C +=，22:12C y x =．解析：(1)(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB = ，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<Q ，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；的(2)由(1)知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-(舍去)，由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】(1)221612525x y +=；(2)52．解析：(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，的∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：1522⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点：(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【答案】【答案】(1)见详解；(2)3或．【官方解析】(1)设111(,,(,),2D t A x y -则2112x y =．由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112210tx y -+=．．设22(,),B x y 同理可得222210tx y -+=．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,2．(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+．由21,22y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=．于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()22||21AB x t =-==+．设12,d d 分别为,D E 到直线AB的距离，则12,d d ==．因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+．设M 线段AB 的中点，则21(,2M t t +．由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =±．因此，四边形ADBE 的面积为3或【点评】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量比较大．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第21题)已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．()1求C 的方程，并说明C 是什么曲线；()2过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：POG △是直角三角形；()ii 求POG △面积的最大值．【答案】()1详见解析()2详见解析【官方解析】()1由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得()221242x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．()2()i 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-．由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．()ii 由()i得|2PQ =，PG =，所以PQG △的面积22221818(1)2(12)(2)112k k k k S PQ PG k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭．设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号．因为2812tS t=+在[)2,+∞单调递减，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169．因此，PQG △面积的最大值为169．【分析】()1分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为12-，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；()2()i 设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出,P Q 两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算PQ PG k k ⋅的值，就可以证明出POG △是直角三角形；()ii 由()i 可知三点坐标，POG △是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出POG △的面积，利用导数求出面积的最大值.【解析】()1直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；()2()i 设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P 在第一象限，所以，因此点的坐标为直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，(*)，设点，显然和是方程(*)的解PQ E QE G PG ,,P Q G AM (2)2y x x ≠-+BM (2)2y x x ≠-22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-x ()221,242x y x +=≠±PQ y kx =0k >PQ 2224x y +=22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P Q E QE 2QE kk =QE 2k y x =2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩y 2222128(2)021k k x k ++-=+11(,)G x y Q 1x所以有方程中，得的坐标为，直线的斜率为；，因为1()1PQ PG k k k k⋅=⋅-=-，所以，因此POG △是直角三角形；()ii 由()i 可知：，的坐标为，,，424228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++'=++，因为0k >，所以当01k <<时，0S '>，函数()S k 单调递增，当1k >时，0S '<，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为()1619S =.【点评】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第21题16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第19题)已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若4AF BF +=，求l的方程；22112128212k k x x k +-+=⇒=+QE 1y =G PG 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+PQ PG ⊥P Q G PQ ==PG ==34218()2252PQGk k S k k ∆+==++(2)若3AP PB =，求AB ．【答案】解：设直线11223:,(,),(,)2l y x t A x y B x y =+．(1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故1232A x x F BF =+++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．(2)由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故AB =．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第19题17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷()·第20题)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()1,M m (0m >)．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++= ，证明：FA ，FP ，FB成等差数列，并求该数列的公差．【答案】【官方解析】(1)设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2211143x y +=，2222143x y +=两式相减，并由1212y y k x x -=-，得1212043x x y y k +++⋅=由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-①由题设302m <<，故12k <-(2)由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=由(1)及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP =于是122xFA ===-同理222x FB =- 所以1244132x x FA FB ++=-=-= 故2FP FA FB =+ ，即,,FA FP FB成等差数列设该数列的公差为d，则12122d FA FB x x =-=-= 将34m =代入①得1k =-所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=故122x x +=，12128x x =，代入②解得d=或【民间解析】(1)法一：设直线:l y kx n =+，交点()11,A x y ，()22,B x y 则有122x x +=，1222M y y y m+==联立方程22143y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理可得()2223484120k x knx n +++-=所以()()()1222122222222823441234644412343430kn x x kn x x k k n n k k n ⎧+=-=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=--+=+->⎪⎩所以2344k n k+=-，代入()223430k n +->可得()22223443016k k k ++->所以()()22431230k k +->，所以214k >，所以12k >或12k <-①又()22221212228834342220343442k n k k k y y k x x n n m k k k k +++=++=-+=⨯-=>++即234320022k k k k k+--=>⇒<②由①②可知12k <-法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2211143x y +=③，2222143x y +=④两式相减可得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=所以1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+依题意122y y m +=，122x x +=，所以323424k m m=-⋅=-又点()1,M m 在椭圆22143x y +=内，所以21143m +<，而0m >，所以302m <<所以323313424242k m m =-⋅=-<-=-⨯．(2)由椭圆的方程可知()1,0F ，()0,FM m =，设()00,P x y 因为0FP FA FB ++= ，所以20FP FM +=，所以()()001,0,20x y m -+=所以0012x y m =⎧⎨=-⎩，故()1,2P m -又因为点P 在椭圆C 上，所以214143m +=，解得34m =，所以314k m=-=-此时直线l 的方程为：()314y x =--+即74y x =-+联立方程2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理可得2285610x x -+=所以122x x +=，12128x x =又2211143x y +=，所以2211314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以122x FA ====-同理222xFB =- 所以1244132x x FA FB ++=-=-= 而322FP m =-=所以2FA FB FP += ，故设公差为d，则有1211222d FA FB x x =-=-===所以d =【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第20题18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题)(12分)设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】解析：(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得222(24)0k x k x k -++=，216160k ∆=+>，故212224k x x k ++=，所以212244||||||(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=，由题设知22448k k +=，解得1k =-(舍去)，1k =．因此直线的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题)(12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】解析：(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A的坐标为或(1,．所以AM的方程为y x =+或y x =．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++．则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故,MA MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第20题)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．【答案】(1);(2)．【分析】(1)根据两点关于轴对称,由椭圆的对称性可知经过,另外知,不经过点,所以在上,因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出的方程;(2)先设直线与直线的斜率分别为,再设直线的方程,当与轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设(),将代入,写出判别式,根与系数的关系,表示出,根2222:1(0)x y C a b a b+=>>()11,1P ()20,1P 3P ⎛- ⎝4P ⎛ ⎝C C l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-l 2214x y +=()2,1-34,P P y C 34,P P 222211134a b a b +>+C 1P 2P C 134,,P P P C 2P A 2P B 12,k k l l x :l y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=12k k +据列出等式,表示出和的关系,判断出直线恒过定点．【解析】(1)由于,两点关于轴对称,故由题设知经过,两点．又由知,不经过点,所以点在上．因此,解得．故的方程为． (2)设直线与直线的斜率分别为,如果与轴垂直,设,由题设知,且,可得的坐标分别为,．则,得,不符合题设．从而可设:()．将代入得由题设可知．设,则,．而．由题设,故．即． 121k k +=-k m 3P 4P y C 3P 4P 222211134a b a b+>+C 1P 2P C 222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2214x y +=2P A 2P B 1k 2k l x :l x t =0t ≠||2t <,A B t ⎛ ⎝,t ⎛ ⎝121k k +=-=-2t =l y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=222(41)8440k x kmx m +++-=22=16(41)0k m ∆-+>1122(,),(,)A x y B x y 122841km x x k +=-+21224441m x x k -=+12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=121k k +=-1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++。

圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题

可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2
＝0，Δ＝(－4k2)2－4(1＋2k2)·(2k2－2)＝8k2＋8>0，x1＋x2＝1＋4k22k2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
解析
2k2－2 x1x2＝1＋2k2，所以|AB|＝
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝
答案
解析因为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± 2 x，所以 b＝ 2a，则双曲线 C 的方程为ax22－2ya22＝1(a>0)，F1(－ 3a，0)，
F2( 3a，0)，所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x－ 3a)，设 M(x1，y1)，N(x2，
y2)，由ax22－2ya22＝1，
A.8
3
3，3
3
C.8
3
2，3
2
B.8
3
2，3
3
D.3
2，8
3
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
答案
解析当直线 l1，l2 有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1 的斜率不存在，则直线 l2 的斜率为 0，此时|AB|＝2ab2＝ 22＝ 2，|CD|＝2 2，所以|AB|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
解析
所以 A 正确，B 错误；对于 C，设 P(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x，y)，因为 P，H 在双曲线 E 上，所以y421－x21＝1 ①，y422－x22＝1 ②，由①－②并整
理，得yx11＋＋yx22·yx11－－yx22＝4，因为 kPH＝xy11－－xy22，kOM＝yx＝xy11＋＋xy22，所以 kOMkPH ＝4，所以 C 错误；对于 D，y421－x21＝1，即 y21－4x21＝4，所以点 P 到两条渐近线的距离之积为|2x1＋y1|·5 |2x1－y1|＝|4x21－5 y21|＝45，所以 D 正确．故选 AD曲线

圆锥曲线与内心问题-(解析版)

例2、（2020·江西高三期中（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件化简方程，即可求出离心率.
所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，
此时方程为，
此时圆心到直线的距离为，解得，
因此内切圆半径，所以选择A.
例5、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（）
例4、（2019年绵阳市高三模拟12题）点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，
根据圆的切线可知：，，，
又根据双曲线定义，
即，
所以，即，
又因为，所以，，
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，则，
从而可得离心率 .综上，双曲线的离心率为或2.故选：D
例6、（2020年山东省济南市高三二模16题）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．

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AOB的垂心恰好是此抛
=
【解析】如图所示，F为AOB的垂心，
垂直平分线段AB
)
2
2,2
pt pt
-，其中F为垂心，1
AF
=-，
1-
，解得2
5
4
t=，AB的方程为
2
OA BF
⋅=，即
2
a∴2c=
24
y x
=的焦点为
MNF的垂心在抛物线C上，则MNF的面积为（
．1B．2
MNF 的垂心为的横坐标为1，可得点MH FN ⊥0HM FN ⋅=，2
04y HM ⎛= ⎝(2,FN =-())2
2
0002122202y HM FN y y ⎫⋅=--+-=--=⎪⎭
，解得所以，点M 的坐标为()1,2，所以，MN 1
222
⨯⨯=4．已知双曲线22x y
若OAB ∆的垂心为抛物线AF OB ⊥得到：(22
221x y a b
-=C 的一条渐近线上，则
显然不可能，
F F P的垂心为
12
．2
【解析】椭圆
由题意，易知直线
⎛
12F F P 的垂心为PH x ⊥轴，则1F H PF ⊥
ABC，AB 相切，则下列结论正确的是（
的取值范围是
AOB 的垂心恰是此抛物,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2p x x ⎛=- ⎝
AO BC
⋅=0，即（
所以C的坐标为：
OAB
S=
恰为PQM的垂心，则
1，
333
PF MQ
⋅=，又()(
112
1
PF x y MQ x
，，，
=--=
2121
PF MQ x m x x y y
⋅=++--
22
4222
333
m m
m m
--
-+--
2
4
33
m
m
-+=
2
34
m m
+-=，经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线
2
BD DA
=，则
2
3
BD BA
=，即
的左焦点为G，连接BG．
3
MF BN
⋅=，又(1
1
MF x
-(2,
BN x
=
)
2
30
y-=，又
11
3
3
y x
=+
2
3
3
x
=+
)
212
4
30
3
x x x m
+--+=
3
3
m
⎫⎛
--
⎪⎪
⎭⎝
OAB 的面积为PMN 的面积为，求证：PMN 的垂心在定直线上)1y ，)(22,B x y 2
4y =得y (1
112
x y x x -=
-，整理得12x x -
AOB
S=
，同理
PMN
S=
）仿照（1）知
22
y
--
PMN的垂心，
MH x
⎛
=
⎝
2
2
x
PN
⎛
=
⎝
MH PN
⎛
⋅=⇒
⎝
212
04
x x
x
--0
20
2
x
x
⇒⋅-，
PMN的垂心在定直线1
y=-上
．已知①如图，长AB，宽为1
2
的矩形A､B为焦点的椭圆
SD SC =MS MD =+所以根据椭圆的定义可得轴不重合，故点的轨迹方程为：2(0,1)B 21B B k =-，于是设直线m +，联立直线和椭圆方程可得：(81)0∴∆=->，21(,B P x =2(BQ x =21(B P BQ x x =根据113y x =23x =+代入得到12121((1)(31)(x x y y x m -=++-12143()(x x m x m m ++将韦达定理代入上式可得1214)(1)x x x m m +++-1AF FB ⋅=，|1OF =．两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM 的垂心？
|1OF =，所以1AF FB ⋅=，所以21b =， 2
2
2,1,a b ==）假设存在直线PQM 的垂心()(112,,,x y Q x 1=，所以设直线y x m =+)(283-=-PQM 的垂心，所以(1MP FQ x ⋅=)()210x m ++=，所以2(22
203m m m m -⎫++-=⎪⎭，解得所以存在直线l 交椭圆于两点，使点F PQM 的垂心，且直线相交于两点
()110CA CB ⋅=.又(1CA x =(2CB x =()11CA CB x ⋅=()()
(22
111y y =--+
)()211y --⋅⎡⎣，所以)12122y y y y +++20t -+=，所以所以直线: AB x =(1)0m y -+=，所以它经过定点)1-.
1m
0AE PB ⋅=，即 EA EP EA EB ⋅=⋅①. ，则()()101011EA EP x x y y ⋅=--+②，
()2
2221
21212224y y y y y m m +=+-=++，x ()()()12121212111EA EB x x y y x x x x ⋅=--+=-++由①②③得：()()1010111x x y y m --+=-，即()01x -同理：由BE PA ⊥可得：(0x ()11, x y ，(x 故此方程表示直线。