2022届高考数学圆锥曲线重难点专题19 圆锥曲线与垂心问题(解析版)

AOB的垂心恰好是此抛

=

【解析】如图所示，F为AOB的垂心，

垂直平分线段AB

)

2

2,2

pt pt

-，其中F为垂心，1

AF

=-，

1-

，解得2

5

4

t=，AB的方程为

2

OA BF

⋅=，即

2

a∴2c=

24

y x

=的焦点为

MNF的垂心在抛物线C上，则MNF的面积为（

．1B．2

MNF 的垂心为的横坐标为1，可得点MH FN ⊥0HM FN ⋅=，2

04y HM ⎛= ⎝(2,FN =-())2

2

0002122202y HM FN y y ⎫⋅=--+-=--=⎪⎭

，解得所以，点M 的坐标为()1,2，所以，MN 1

222

⨯⨯=4．已知双曲线22x y

若OAB ∆的垂心为抛物线AF OB ⊥得到：(22

221x y a b

-=C 的一条渐近线上，则

显然不可能，

F F P的垂心为

12

．2

【解析】椭圆

由题意，易知直线

⎛

12F F P 的垂心为PH x ⊥轴，则1F H PF ⊥

ABC，AB 相切，则下列结论正确的是（

的取值范围是

AOB 的垂心恰是此抛物,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

2p x x ⎛=- ⎝

AO BC

⋅=0，即（

所以C的坐标为：

OAB

S=

恰为PQM的垂心，则

1，

333

PF MQ

⋅=，又()(

112

1

PF x y MQ x

，，，

=--=

2121

PF MQ x m x x y y

⋅=++--

22

4222

333

m m

m m

--

-+--

2

4

33

m

m

-+=

2

34

m m

+-=，经检验满足m2＜3

∴存在满足条件直线

2

BD DA

=，则

2

3

BD BA

=，即

的左焦点为G，连接BG．

3

MF BN

⋅=，又(1

1

MF x

-(2,

BN x

=

)

2

30

y-=，又

11

3

3

y x

=+

2

3

3

x

=+

)

212

4

30

3

x x x m

+--+=

3

3

m

⎫⎛

--

⎪⎪

⎭⎝

OAB 的面积为PMN 的面积为，求证：PMN 的垂心在定直线上)1y ，)(22,B x y 2

4y =得y (1

112

x y x x -=

-，整理得12x x -

AOB

S=

，同理

PMN

S=

）仿照（1）知

22

y

--

PMN的垂心，

MH x

⎛

=

⎝

2

2

x

PN

⎛

=

⎝

MH PN

⎛

⋅=⇒

⎝

212

04

x x

x

--0

20

2

x

x

⇒⋅-，

PMN的垂心在定直线1

y=-上

．已知①如图，长AB，宽为1

2

的矩形A､B为焦点的椭圆

SD SC =MS MD =+所以根据椭圆的定义可得轴不重合，故点的轨迹方程为：2(0,1)B 21B B k =-，于是设直线m +，联立直线和椭圆方程可得：(81)0∴∆=->，21(,B P x =2(BQ x =21(B P BQ x x =根据113y x =23x =+代入得到12121((1)(31)(x x y y x m -=++-12143()(x x m x m m ++将韦达定理代入上式可得1214)(1)x x x m m +++-1AF FB ⋅=，|1OF =．两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM 的垂心？

|1OF =，所以1AF FB ⋅=，所以21b =， 2

2

2,1,a b ==）假设存在直线PQM 的垂心()(112,,,x y Q x 1=，所以设直线y x m =+)(283-=-PQM 的垂心，所以(1MP FQ x ⋅=)()210x m ++=，所以2(22

203m m m m -⎫++-=⎪⎭，解得所以存在直线l 交椭圆于两点，使点F PQM 的垂心，且直线相交于两点

()110CA CB ⋅=.又(1CA x =(2CB x =()11CA CB x ⋅=()()

(22

111y y =--+

)()211y --⋅⎡⎣，所以)12122y y y y +++20t -+=，所以所以直线: AB x =(1)0m y -+=，所以它经过定点)1-.