ch7-3空间曲线与曲面的参数方程
大学课件高等数学空间曲线及其方程
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
第四节-空间曲线及其方程
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P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
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内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
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例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
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例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0
第二章第二节曲面的参数方程
第二章 曲面论第二节 曲面的参数方程一、 曲面的参数方程设曲面∑是由显式D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。
设),,(z y x 是曲面∑上的点， 记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。
于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示，也可以写为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(,,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参数∆∈),(v u ，这里∆是2R 中的一个区域。
我们称由3),(R v u r r ∈= ，∆∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。
）记为∆∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1）把（1）用分量表示出来，就是 ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，∆∈),(v u （2）通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。
显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个常见曲面的参数方程表示例1 平面的参数方程设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点，),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。
这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,Rv u b v a u p r ∈++=来表示；写成分量表示为v b u a x x 110++=，v b u a y y 220++=，v b u a z z 330++=，即方程组0)()(1)(110=-+-+⋅-v b u a x x ，0)()(1)(220=-+-+⋅-v b u a y y ，0)()(1)(330=-+-+⋅-v b u a z z有非零解),,1(v u --，所以，有0321321000=---b b b a a a z z y y x x 。
空间曲线与曲面的参数方程
空间曲线与曲面的参数方程空间曲线和曲面是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
曲线和曲面的参数方程是一种描述它们的有效方法。
本文将介绍空间曲线和曲面的概念，并详细讨论它们的参数方程表示。
一、空间曲线的参数方程空间曲线是由一系列点组成的，这些点在三维坐标系中具有一定的规律和特点。
为了描述和研究这些曲线，我们需要引入参数方程。
一个常见的空间曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示点在三维坐标系中的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是一个或多个关于参数t的函数。
例如，我们考虑描述一个处于平面上的圆的参数方程：x = r*cos(t)y = r*sin(t)z = 0其中，r是圆的半径，t是参数，范围一般取决于所研究的具体问题。
二、空间曲面的参数方程空间曲面是可以用曲面方程描述的几何实体，它由一系列点构成，这些点与曲面方程满足一定的关系。
为了研究和描述曲面，我们引入曲面的参数方程。
一个常见的空间曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示点在三维坐标系中的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是一个或多个关于参数u和v的函数。
例如，我们考虑描述一个球体的参数方程：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R是球体的半径，u和v是参数，u的范围一般取[0,π]，v的范围一般取[0,2π]。
三、应用举例1. 机械工程中的齿轮曲面齿轮是机械传动中常用的装置，它的曲面形状可以用参数方程描述。
齿轮的曲面参数方程可以根据其几何特性和设计要求进行推导和计算。
2. 物理学中的光学曲面在光学研究中，曲面的形状对于光的传播有着重要的影响。
光学曲面的参数方程可以帮助我们计算光的传播路径和光线的反射、折射等特性。
高等数学方明亮64空间曲线及其方程资料
第四节 空间曲线及其方程
（Space Curve and Its Equations)
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、曲面的参数方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
2019年8月26日星期一
1
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一、空间曲线的一般方程
(General Equation of Space Curve)
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
x C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
2019年8月26日星期一
10
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例如,
x2 y2 z2 1
C
:
x2
(y
1)2
2019年8月26日星期一
4
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例1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
2019年8月26日星期一
5
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三、曲面的参数方程
(The Parametric Equation of Surface)
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二、空间曲线的参数方程
(The Parametric Equation of Space Curve)
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
空间曲线的参数方程
MA z
亦即 ( x 4) y z
z
( x 4) 2 y 2 0
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 ( x 4) y 0
2 2
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解： （1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 (a,0,0), (a,0,0) ，设动点 M ( x, y, z ) ， 所求的轨迹为 C ，则
解：上述二图形的公共点的坐标满足
x 2 y 2 2x 0 y 2 c( 2 c) x c x c
从而： （Ⅰ）当 0 c 2 时，公共点的轨迹为：
y c(2 c) x c
即为两条平行轴的直线； （Ⅱ）当 c 0 时，公共点的轨迹为：
及
y c(2 c) x c
y 0 x 0
（Ⅲ）当 c 2 时，公共点的轨迹为：
即为 z 轴；
y 0 x 2
即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；
（Ⅳ）当 c 2 或 c 0 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1） x y 16 z 64 ；
（* ）
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（2）由已知，球面半径 R 所以类似上题，得球面方程为
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
ch7-3空间曲线与曲面的参数方程
x2 y2 3, 4
在 xOy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 zOx 面上的投影为线段.
z
1 2
,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yOz面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
空间立体或曲面在坐标面上的投影.
部点.
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2上以
角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
t
o
M
•
x A M
取时间t为参数，动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点
M 在 xOy面的投影M ( x, y,0)
范围: 0 r ,0 ,0 2
( x, y, z)与(r, , )之间
的 关 系:
z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r
x2 y2 z2 r2 r x2 y2 z2
xo x
M(x,y,z)
M(r,, )
y
M'( x, y,0)
三 组 坐 标 面 是:
x
0.
zOx面上的投影曲线,
T ( x, z) 0,
y
0.
例如,
x2 y2 z2 1,
C
:
x2
(
y
1)2
(z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
线性代数ch7-3
则 f 被进一步变为
z1 2 z2 pz2 p 1 zr 2
称上式为实二次型的规范形。
定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性变换化为规范形，且规范形唯一，即规范 形中的正项的个数p和负项的个数r－p是唯一的。
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 EA0 1 1 ,2 4 ,3 6 .
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x y 4 xz
的正定性.
解
f的矩阵为
5 A 2
2 6
2 0 ,
2 0 4
a1 1 50,
a11 a125
2 26 0,
a21 a22 2 6
A80 0, 根据定 1知 3理 f为负. 定
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
解 考虑二次型
f(x1,x2)XTAX x12x222x1x2
对其作可逆线性替换
x1 y1 y2
x2
y2
则
f(x1,x2)y1 22y2 2
由此得 f 的正、负惯性指数均为1。
而二次型
g 1 X T B 1 X ,g 2 X T B 2 X ,g 3 X T B 3 X 中，只有 g 2 的正、负惯性指数均为1。所以，f 只能
0 B
思考题解答
解 C是正定.的 因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其 量中 x,y分
线性代数7-3 曲面与空间曲线
第三节 曲面与空间曲线
一、曲面
1、曲面方程的概念 定义 空间点集S = {(x, y, z)| F(x, y, z) = 0}称为由方程 F(x, y, z) = 0 所确定的曲面S. 特点： (1) S 上的点都满足 F(x, y, z) = 0； (2) 满足 F(x, y, z) = 0 的点都在 S 上.
z
解
yOz 面上直线方程为 z y cot
x
2 2
圆锥面方程
o o
y
z x y cot
如果半顶角 圆锥面方程为 z x2 y2 或 z x y .
2 2 2
4
, 则 cot 1.
注意区别
(1) z
x 2 y 2 , 圆锥面
(2) z x 2 y 2 , 旋 转 抛 物 面 .
( x1 , y1 , z1 )，当 t 取遍允许取的全部值时，就得到曲
线上的所有点.
例 11 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
二、空间曲线
1、一般方程
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
z
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
上式称为空间曲线的一般方程.
o
x
S1
S2
C
y
x2 y2 1 例10 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
解
z 轴，x 轴旋转； x2 y2 z2 绕z轴： 2 1 2 a c
高等数学课件-曲线与曲面的参数方程
曲线和曲面的包络的应用
1
导数的几何意义
说明导数在曲线和曲面包络中的几何意
曲线、曲面的包络条件
2
义。
探讨求解曲线和曲面包络时使用的条件。
总结
在这份课件中，我们深入学习了曲线与曲面的参数方程。希望这些知识对你 有所帮助，并引发你在未来的研究中进一步探索。
旋转曲面
探讨旋转曲面的参数方程和应用。
双曲面
解释双曲面的参数方程以及其几何特征。
抛物面
说明抛物面的参数方程和用途。
转移轴曲面的参数方程的应用
球面的性质证明
使用参数方程证明球面的一些性质。
旋转曲面的面积和体积
通过参数方程计算旋转曲面的面积和体积。
曲面族的参数方程
二次曲面族
讲解二次曲面族的参数方程和几何特性。
极坐标参数方程
介绍使用极坐标参数方程描述曲线的方法。
曲线的参数方程的应用
1
曲率
2
探讨如何利用参数方程求解曲线的曲率。
3
曲线的长度
讲解如何使用参数方程计算曲线的长度。
切线和法线
说明如何通过参பைடு நூலகம்方程获得曲线的切线 和法线。
曲面的参数方程
一般式参数方程
介绍用一般式参数方程表达曲面的方法。
极坐标参数方程
高等数学课件-曲线与曲 面的参数方程
这是一份关于曲线与曲面的参数方程的高等数学课件。我们将了解参数方程 的概念和应用，并探索曲线和曲面的各种参数方程及其应用。
曲线的参数方程
一阶参数方程
介绍一阶参数方程的定义和例子。
三阶参数方程
解释三阶参数方程的构成和应用。
二阶参数方程
探讨二阶参数方程的特点和用途。
空间曲线与曲面的参数方程
空间曲线与曲面的参数方程在数学中，空间曲线和曲面的参数方程用于描述曲线和曲面上的点的位置。
参数方程给出了曲线或曲面上的点的坐标与参数之间的关系，对于研究物体的形状和运动具有重要的意义。
一、空间曲线的参数方程空间曲线是在三维空间中的一条曲线，可以用参数方程来进行描述。
设曲线上一点的坐标为(x,y,z)，参数为t，则坐标与参数之间的关系可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)这样，随着参数t的取值变化，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。
常见的参数方程包括直线、圆等。
以直线为例，如果我们知道直线上一点的坐标为(x1,y1,z1)，并且直线的方向向量为(a,b,c)，则直线的参数方程可以表示为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct二、曲面的参数方程曲面是在三维空间中的一个二维曲面，同样可以用参数方程进行描述。
设曲面上一点的坐标为(x,y,z)，参数为(u,v)，则坐标与参数之间的关系可以表示为：x = x(u,v)y = y(u,v)z = z(u,v)通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的各个点的坐标。
常见的曲面参数方程包括球面、圆柱面、锥面等。
以球面为例，如果球心坐标为(x0,y0,z0)，半径为r，则球面的参数方程可以表示为：x = x0 + r*sin(u)*cos(v)y = y0 + r*sin(u)*sin(v)z = z0 + r*cos(u)其中，u的取值范围为[0,π]，v的取值范围为[0,2π]，通过改变u和v的取值，我们可以得到球面上的各个点的坐标。
综上所述，空间曲线和曲面的参数方程是描述曲线和曲面上点的位置的一种数学工具。
通过确定合适的参数方程，我们可以对曲线和曲面进行研究和分析，揭示它们的几何性质和运动规律。
曲面的参数方程1
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
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二、曲面的参数方程
1、双参数向量函数
设在两个变量u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2.2-4) (2.2-5)
称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的坐标，它们都是变数u，v的函数。
在空间建立了球坐标系后，空间的某些曲面 在球坐标系里的方程非常简单，例如在直角坐 2 2 2 2 标系里球面方程为 x y z a 在球坐标系里的方程是
坐标面分别为
常数
常数
球面
M ( , , )
a
半平面 锥面（只有一腔）
常数
3 例 设点的球坐标为(2，4 ， 4 )，求它的直角坐标.
3、曲面的坐标式参数方程
向径 r u , v 的坐标为 x u, v , y u, v , z u, v ，所以曲面的参 数方程也可写成
x x u, v , y y u, v , z z u, v .
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
空间曲线与曲面的方程
空间曲线与曲面的方程一、空间曲线的方程空间曲线是在三维空间中的曲线，通常由参数方程给出。
参数方程由参数变量表示曲线上的点的位置，从而描述了曲线的形状。
下面我们来讨论一些常见的空间曲线的方程。
1. 直线的方程直线是最简单的一种空间曲线，可以用一条方程来表示。
直线的方程通常由点斜式或者两点式给出。
- 点斜式：对于一个直线上的点P(x, y, z)，斜率为m，已知直线上另一点Q(x1, y1, z1)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x - x1) = (y - y1) / (y - y1) = (z - z1) / (z - z1)- 两点式：已知直线上两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)2. 圆的方程圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：x = x0 + r * cos(t)y = y0 + r * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
- 一般方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^23. 椭圆的方程椭圆是一个平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的方程也可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个椭圆的中心点C(x0, y0, z0)，长轴a，短轴b，椭圆的方程可以表示为：x = x0 + a * cos(t)y = y0 + b * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
高中几何知识解析空间曲线与曲面的参数方程
高中几何知识解析空间曲线与曲面的参数方程空间曲线与曲面的参数方程是高中几何学中的重要内容，通过参数方程可以精确描述出曲线或曲面上任意一点的坐标，有助于我们研究几何图形的性质和特点。
接下来，我们将对空间曲线与曲面的参数方程进行解析和探讨。
1. 空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一个曲线，可以通过参数方程来描述。
参数方程是用一个或多个参数来表示曲线上的各个点。
以一条曲线L为例，假设点P(x, y, z)为曲线上的一点，我们可以用参数t来表示这个点的坐标，记作P(t)=(x(t), y(t), z(t))。
参数t的取值范围可以是一个区间，使得曲线上的每个点都能得到对应的坐标。
2. 空间曲面的参数方程空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，同样可以用参数方程来表示。
参数方程可以是两个参数或更多参数的组合。
以一个曲面S为例，假设点P(x, y, z)为曲面上的一点，我们可以用参数u和v来表示这个点的坐标，记作P(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
参数u和v的取值范围可以构成一个区域，使得曲面上的每个点都能得到对应的坐标。
3. 参数方程的优势参数方程的优势在于能用较简单的表达式描述曲线或曲面的形态特征。
通过调整参数的取值范围和变化方式，我们可以获得不同形态、大小、位置的曲线或曲面。
这为解决几何问题和图形设计提供了便利，例如在计算机图形学中，通过参数方程可以生成各种真实的三维模型。
4. 参数方程与直角坐标方程的转换在实际问题中，我们有时会遇到直角坐标方程，需要将其转换为参数方程进行求解。
转换的方法一般是找到一个或多个合适的参数，使得直角坐标方程的坐标能够被表示为参数的函数。
然后通过参数方程的描述，我们可以更方便地分析几何图形的性质。
5. 参数方程的具体应用参数方程在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述曲线的弧长、切线方程、曲率等特性，也可以用来表示曲面的切平面、法向量、曲率等信息。
参数方程与空间曲线的方程
参数方程与空间曲线的方程参数方程是一种描述曲线或平面的方法，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
与之对应的是一般方程，使用变量来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程常被用于描述三维空间曲线的方程。
一、参数方程的定义与例子参数方程是由一组关于参数的函数组成，这些函数可以表示曲线或平面上的点的坐标。
一般而言，参数方程使用参数t来表示点的位置，而坐标则使用函数表示。
例如，对于一个二维平面上的曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y为点的坐标，f(t)和g(t)为关于参数t的函数。
这样，当参数t取不同的值时，就可以得到曲线上不同点的坐标。
同样地，在三维空间中，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z为点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)为关于参数t的函数。
例如，对于一个球体的曲线轨迹，其球心位于原点，半径为r，可以使用参数方程描述为：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)其中，θ和φ为球坐标系下的参数，范围分别为[0,π]和[0,2π]。
二、参数方程与空间曲线的关系参数方程可以将曲线上的每一个点与参数进行对应。
当参数发生变化时，曲线上的点也会相应地发生变化。
通过选择不同的参数值，可以得到曲线上的任意点的坐标。
在空间曲线的描述中，参数方程可以提供更灵活的方式。
通过构造适当的参数方程，可以描述出各种形状的曲线，如直线、圆、椭圆、螺旋线等。
在三维空间中，参数方程可以描述复杂的曲线，例如螺旋线。
螺旋线的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t其中，a和b为常数，t为参数。
当a=b时，螺旋线为等螺线；当a>b时，螺旋线为紧密螺旋线；当a<b时，螺旋线为稀疏螺旋线。
三、从参数方程到一般方程的转换在实际问题中，有时需要将参数方程转换为一般方程，以便更好地分析曲线的性质和特点。
空间曲线的参数方程解析
空间曲线的参数方程解析空间曲线是三维空间中的一条线，通过参数方程可以描述其具体位置和形态。
本文将从参数方程的基本概念和应用入手，深入探讨空间曲线的参数方程解析。
一、参数方程的基本概念参数方程是指在一维参数的基础上描述函数关系的方程，其中参数可以是时间、距离、角度等物理量。
在空间曲线的描述中，参数通常表示曲线上的位置，其取值范围可以是实数、有限区间或无限区间。
如果给出了三个参数方程，可以通过它们的交点确定一条曲线，这种方法适用于任意曲线的描述。
二、当我们知道了空间曲线的点的坐标和方向时，就可以建立参数方程。
一般而言，参数方程包括三个方程，分别对应点的坐标x、y、z。
以直线为例，其坐标可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，x0、y0、z0 表示直线上一点的坐标，a、b、c 表示直线的方向向量，t 是参数。
这些参数是实数，可以取任意值，代入上面的方程中便可以得到直线上不同位置点的坐标。
对于曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(u)y = g(u)z = h(u)其中，x、y、z 各自表示曲线上某一点的坐标，这个点的位置通过参数 u 来确定。
这样，我们可以通过随意取值 u 得到曲线上的任意点坐标。
三、应用举例掌握空间曲线的参数方程对于数学建模和工程设计都非常有用。
以下是两个应用举例：1. 设计光学系统时，需要考虑光线通过各种透镜和反射镜的路径，从而计算出成像的位置和大小。
在这个过程中，可以通过空间曲线的参数方程来计算光线的路径。
比如，可以用经典的光线追迹法仅凭参数方程就计算出光线的路径和成像情况。
2. 空间曲线的参数方程也可以应用在机器人和航空器的路径规划中。
机器人和航空器的行进轨迹为曲线，可以用数学建模的方法来计算它们的运动方程和轨迹，进而控制它们的运动。
四、总结空间曲线的参数方程是描述其形态和位置的一种重要方法，适用于数学、物理、工程等各个领域。
本文从参数方程的基本概念入手，详细讲解了空间曲线的参数方程解析方法和应用。
曲面与空间曲面的总结
曲面与空间曲线的总结椭圆柱面；12222=+yx 122=-y x曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。
解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。
其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。
本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。
此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。
高等数学方明亮64空间曲线及其方程
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
2019年9月14日星期六
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例1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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三、曲面的参数方程
(The Parametric Equation of Surface)
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二、空间曲线的参数方程
(The Parametric Equation of Space Curve)
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M
o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
x C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
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例如,
x2 y2 z2 1
C
:
x2
(y
1)2
(z
1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0 z 0
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z
z 0.
所求立体在xOy面上的投影为
x2 y2 1.
Co
y
x
小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
x x(t),
y
y(t ),
z z(t).
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0, R( y, z) 0, T ( x, z) 0,
z
z
z
R
O
yO
x
r 常数 (以O为球心R为 半径的)球面
x
0
常数
— 半
x 常数 (顶点在 O, z轴是对称轴,半顶 角为 )圆锥面.
五、投影柱面和投影曲线
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0, 0.
消去变量 z 后得： H ( x, y) 0
"直坐"与"柱坐"之间的关系：
z
M(x,y,z)
x r cos
y
r sin
r
z z
x2 y2
x
O
M(r, , z)
z
r
y
M'( x, y,0)
柱面坐标系的三组坐标面
z
z
z
O
O
O
y
y
y
x
r 常数 — 圆柱面
x
常数
— 半平面
x
z 常数 — 水平面
2. 球面坐标
设M( x, y, z) M(r, , ) 球面坐标
z
0.
x
0.
y
0.
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x2 z与抛物柱面 2 x 2 z的交线关于 xOy面的投影柱面
和在 xOy面上的投影曲线方程.
思考题解答
2y2 x2 z,
交线方程为
2
x2
z.
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xOy面上的投影为
x2 y2 1,
x
0.
zOx面上的投影曲线,
T ( x, z) 0,
y
0.
例如,
x2 y2 z2 1,
C
:
x2
(
y
1)2
(z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2 y2 2 y 0,
z 0.
z
C
o
1y
x
x2 y2 z2 1,
例5
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量 z 后得
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2
和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xOy
面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
x2 y2 1, 则交线 C 在 xOy 面上的投影为
z 0.
P239-9
x2 z2 a2, (8)
x2 y2 a2.
z
a
oa
y
x
P239-6
z
z
x
x2 y2 ax, z 0.
ay
ay
x
x2 z2 a2, ( x 0, z 0) y 0.
范围: 0 r ,0 ,0 2
( x, y, z)与(r, , )之间
的 关 系:
z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r
x2 y2 z2 r2 r x2 y2 z2
xo x
M(x,y,z)
M(r,, )
y
M'( x, y,0)
三 组 坐 标 面 是:
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
又如, xOz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数,形如
四、点的柱面坐标和球面坐标
1. 柱面坐标
M( x, y, z) M(r, , z) — 柱面坐标 此处规定: 0 r , 0 2 , z .
x acost y a sint
z vt
x a cos
y
a
sin
z b
y
螺旋线的参数方程
(
t，b
v
)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
b v)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
x2 y2 3, 4
在 xOy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 zOx 面上的投影为线段.
z
1 2
,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yOz面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
空间立体或曲面在坐标面上的投影.
二、两种曲线方程的互化
例 2 求例 1 中螺旋线的一般方程．
x a cos ,
解
由
y
a sin ,
消去参数得
z b ,
x2 y2 a2 ,
x a cos z . b
例3. 将下列曲线化为参数方程表示:
x2 y2 1, (1)
2x 3z 6;
(
2)
z x2
a2 y2
曲线关于xOy 的投影柱面 投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，母线垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xOy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0, z 0. 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yOz面上的投影曲线,
R( y, z) 0,
部点.
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2上以
角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
t
o
M
•
x A M
取时间t为参数，动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点
M 在 xOy面的投影M ( x, y,0)
x2 y2 , ax 0.
解: (1) 根据第一方程引入参数, 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
*三、曲面的参数方程
例4 . 求空间曲线 :
时的旋转曲面方程.
解:
转过角度 后到点
则
绕 z 轴旋转 点 M1绕 z 轴旋转,
这就是旋转曲面满足的参数方程.
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
7.3 空间曲线与曲面的参数方程
一、空间曲线的参数方程 二、两种曲线方程的互化 *三、曲面的参数方程 四、点的柱面坐标和球面坐标 五、投影柱面和投影曲线
一、空间曲线的参数方程
x x(t),
y
y(t )
,t
( ,
)
z z(t),
空间曲线的参数方程
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全