向量的基础知识点
向量的基础知识点
向量是一种数学概念，用来表示有方向和大小的物理量。它表示在空间中物体运动的方向和大小，以及物体彼此之间相互作用的力或能量的方向和大小。它还用于表示由两个点确定的线段的引力或速度的方向和大小。向量可以使用箭头描绘，并由一个开头和一个结尾确定，在箭头上标有方向信息，表示方向，箭头的长度表示大小。向量的核心参数由它的坐标（x，y）构成，可用一对数字表示。比如，(2, 3)表示在x轴正方向上2个单位，在y轴向正方向上3个单位（即2
和3是方向和大小）。向量也可以用大小表达，表示为一下公式：|v| = √（x^2 + y^2）。由矢量的定义，矢量可以进行分加法和定义几何意义的向量的乘法，其中标量对乘法和定义几何意义的除法起着重要作用。在科学领域，矢量还被用于表示电磁场和重力场等更多复杂的量，可以使用物理量来分解，用更加抽象的概念来表示，其中矩阵成为处理矢量的重要工具。
向量知识点大全
向量的各个知识点及对应分析 向量的基本概念与运算 一、基本理论 1、向量概念 （1）向 量：既有方向，又有大小的量叫做向量 （2）向量的模：向量的大小称为向量的模，向量的大小即，记作|AB |或｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，记为0 。 （4）单位向量：长度等于单位1的向量叫单位向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 2、共线向量 （1）基 线：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线 （2）共线向量第一定义：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。 共线向量第二定义：方向相同或相反的向量 （3）零向量与任何向量共线。 （4）共线向量可以分为以下四种： ()A 方向相同，模相等 ()B 方向相同，模不等 ()C 方向相反，模相等 ()D 方向相反，模不等 注意：向量的共线与平行是等价的，要注意与直线的平行与共线相区别。 3、向量的表示 （1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB 。 （2）整体法：用一个小写的英文字母来表示，如a 。 （3）坐标法：用坐标来表示向量。 4、向量的向量加法 （1）平行四边形法则：使两个已知向量始点重合，和向量就是两向量所夹的对角线，而差 向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则：其特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和；当两个向量的起点公共时，用平行 四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量的基本知识
向量的概念：有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对 向量的来源：物理上速度、力 数学上的复数的几何表示 向量的代数表示：印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来 表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示几 何表示和坐标表示 向量表示：有向线段 坐标表示：1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 2）在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z） ，使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, z）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y, z），也就是点P 的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 向量简介 1、平行向量与相等向量 2、模和数量 3、单位向量：长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向或反向，且长度为单位1的向量，叫单位向量做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|
4、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 向量运算 设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” 向量的减法 a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的表示： （1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。 （2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。 （3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。 A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为 3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。记作： 4、零向量：长度为0的向量。记作： 5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。 关注重点：（1）方向（2）长度 二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 记作：，或 规定：零向量与任一向量平行。 2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。 记作：，或 零向量与零向量相等。 3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作 的相反向量是。 注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。 1、判断下列命题的正误： （1）零向量与非零向量平行； （2）长度相等方向相反的向量共线； （3）若与是两个单位向量，则与相等； （4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量； （5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量； （7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”； （9）共线的向量一定相等； （10）相等的向量一定共线。 解：（1）正确 （2）正确 （3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。 （4）正确因为零向量与任意向量共线 （5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。 （6）错误方向不定。 （7）错误线段AB可与线段CD平行。 （8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 小结： [1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。 [2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。如下图： [3]对零向量的规定。 三、向量的线性运算 1、向量的加法：求两个向量和的运算。 设：，，则 加法法则： （1）三角形法则：即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线 段所表示的向量。有： 推广：n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的 向量。（多边形法则） （2）平行四边形法则：如图 加法交换律：； 加法结合律： 2、向量的减法：求两个向量差的运算。（可看作加法的逆运算）
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理 1．向量： 既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的几何表示： 以A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念： （1）零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． （2）单位向量：长度为______的向量叫做单位向量． （3）相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． （4）平行向量（共线向量）：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作________． ②规定：零向量与__________平行． 1．向量的加法法则 （1）三角形法则 如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r ＝a ，BC u u u r ＝b ，则向量________叫做a 与 b 的和（或和向量），记作__________，即a ＋b ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＝________．上述求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______． （2）平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______ 为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 （1）交换律：a ＋b ＝______________． （2）结合律：（a ＋b ）＋c ＝______________________．
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结 一、向量的定义和表示 向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为 a=
若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得 k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。其中，n表示向量的个数。 四、向量的投影和正交分解 1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。公式为projba=(a·b/|b|^2)b。 2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba， a⊥=a−projba。 五、平面几何中的应用 1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。 2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。 3. 平面内角度：两个非零平面内角度为θ的向量a和b， cosθ=a·b/|a||b|。 4. 平面内点到直线距离：设P为平面内一点，L为平面内一条直线，则P到L的距离为|projL P⃗ |。 5. 平面内两直线夹角：设L1和L2为平面内两条直线，它们的夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a、b分别为L1和L2的方向向量。
向量知识点总结
向量知识点总结 最新向量知识点总结 一、向量的概念、向量的基本定理 了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 二、向量的运算 向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的'坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 三、定比分点 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 四、向量与三角函数的综合问题 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 五、平面向量与函数问题的交汇
向量的知识点归纳总结
向量的知识点总结 1. 概述 向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。 2. 定义 向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。向量有大小和方向两个重要属性。 3. 向量的表示 向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。 - 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。 - 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。 4. 向量的性质 向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。 - 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。 - 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。 - 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。 - 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+ (b⃗⃗+c⃗)。 5. 向量的运算 向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。 - 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。 - 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性 向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 - 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。 7. 内积 向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。内积有以下性质： - 结合律： (a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗ 内积的计算公式为：a ⃗⋅b ⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长 向量的模长（长度）是指向量的大小。对于一个 n 维向量 a ⃗，其模长的计算公式 为：|a ⃗|=√a 12+a 22+⋯+a n 2 9. 单位向量和方向向量 单位向量是模长为 1 的向量，方向向量是指向特定方向的向量。单位向量可以通过将向量除以其模长得到。 10. 向量的投影 向量的投影可以将一个向量投影到另一个向量上，得到的投影向量与目标向量垂直。投影的计算公式为：proj b ⃗⃗a ⃗=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| 11. 向量的夹角 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。夹角的计算公式为：cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|
向量知识点总结(最新)
最新向量知识点总结 一、向量的概念、向量的基本定理 了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 二、向量的运算 向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的'坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 三、定比分点 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 四、向量与三角函数的综合问题 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 五、平面向量与函数问题的交汇 平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全 向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。 本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线 段表示。向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。 2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。 3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。 4. 单位向量：单位向量是模长为 1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。 二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。 2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法 是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。若k为实数，向量AB→的数 量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。 3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个 向量的对应分量相乘后相加。向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。 4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2- x2y1)。 三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、 多边形等几何图形的性质和关系。 2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形 学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。 4. 数 据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。 通过以上的介绍，相信读者对数学向量有了更清晰的认识。数学向量作为数学 的基础概念之一，在数学及其应用领域都有着重要作用。希望本文对读者理解和掌握数学向量有所帮助。
向量的基础知识
向量的基础知识 1.向量的概念 1.向量的有关概念 ①既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的长度(模)是指向量的大小.③平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.④两向量相等的充要条件是同向等长. 2向量的运算 1.向量的加、减法运算 ①几何法:有三角形法则，平行四边形法则.②坐标法，设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (21x x+,21y y+),a-b=(2121,y y x x- -). 2.实数与向量的积 a与λa同向的充要条件是λ>0. a与λa反向的充要条件是λ<0. λ²(a+b)=λa+λb λ²(a-b)=λa-λb 设a=(x,y),则λa=(λx,λy). 3.向量的坐标运算 设
a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)⇒a +b =),(2121y y x x ++,a -b =),(2121y y x x --,a =b ⇔x 1=x 2且y 1-y 2, a ∥ b (a ≠0,b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 4.三点共线的充要条件 A 、 B 、 C 三点共线⇔存在λ∈R ,使 AB =λAC . 5.平面向量的基本定理 如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2. 3 平面向量的数量积 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |²|b |²cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ²b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ²b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及
向量基础知识点总结
向量基础知识点总结 一、向量的概念与表示方法 向量是指有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。向量用a 或者AB来表示，其中a表示单个向量，而AB表示由点A指向点B的向量。 二、向量的加法与减法 向量的加法可以用三角形法则或者平行四边形法则进行计算。具体地，对于三角形法则，我们在向量A的末端画出向量B的起点，在连接向量A的起点和向量B的末端，得到向量C。而平行四边形法则则是在向量A和B所在的平面内，以向量A和向量B 为邻边，连接两条对角线求出向量C。 向量的减法可以通过加上相反向量的方式进行计算。即A- B=A+(-B)。 三、向量的数量积与点积
向量的数量积（也称为内积）是指两个向量的数量乘积再乘以 它们夹角的余弦值。具体地，设向量A和向量B的夹角为θ，则A·B=|A||B|cosθ。这个值可以表示向量A在向量B方向上的投影长度。如果两个向量垂直，则它们的数量积为0；如果两个向量平行，则它们的数量积为它们长度的积。 向量的点积（也称为外积）是指两个向量中一个向量在另一个 向量的方向上的大小。记向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，则A×B=|A|×|B|×sinθ×n，其中n为单位向量，表示A、B的法向量 方向。具体而言，我们可以用右手法则来确定A、B乘积的方向。 四、向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的数乘、向量的加法以及向量的减法。具体而言，向量的数乘是指对向量的每个分量进行相同的数乘， 即kA=(ka1,ka2,ka3,...,kan)；向量的加法和减法则是对向量的对应 分量进行加和或减和的运算。 五、向量的模长和单位向量
向量的模长是指向量的大小，用|A|表示。如果一个向量的模长为1，则它是一个单位向量。具体而言，我们可以使用向量的数量积来计算向量的模长。设向量A的数量积为A·A，则 |A|=sqrt(A·A)。 六、向量的投影和分解 向量的投影是指向量在另一个向量方向上的长度。具体地，设向量A在向量B上的投影长度为P，则有P=|A|cosθ。在计算中，我们可以先求出向量B的单位向量n，然后计算向量A在向量B 上的投影长度P。 向量的分解是指将一个向量投影到另一个向量方向上得到的两个向量。对于一个向量A和一个单位向量n，则可以表示为 A=(A∙n)n+(A×n)，即将向量A在n方向上的投影作为一个向量，将和n垂直的部分作为一个向量。 七、向量的角度与方向
向量知识点大全
平面向量知识要点 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a； (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量：零向量的方向是任意的。但我们规定：零向量的方向与任一向量平行。零向量的方向不确定，但模的大小确定。a＝O⇔｜a｜＝O. 单位向量：单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。a O为单位向量⇔｜a O｜＝1. (5) 相等向量：大小相等，方向相同 (6) 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量。a=-b⇔b=-a⇔a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 2.两个向量的关系 ⑴平行（共线）：平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 ⑵重合、相交 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 3.向量的运算：三角形法则、平行四边形法则 4.向量的线性组合： 5.分向量
E M N C A B D G E A B 向量训练 1.下列命题中是假命题的是( ) (A) 若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r . (B) () 222a b a b -=-r r r r (C) 若12 a b =-r r ，则a b r r ∥. (D) 若a b =r r ，则a b =r r 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） （A ）12 a e =r r ； （B ）2a e =r r ； （C ）12 a e =-r r ； （D ）2a e =-r r ． 3.下列命题正确是（ ） A ．长度相等的两个非零向量相等 B ．平行向量一定在同一直线上 C ．与零向量相等的向量必定是零向量 D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 4.已知2=a ρ，4=b ρ，且b ρ与a ρ反向，如果用向量b ρ表示向量a ρ，那么a ρ= ． 5.如图，正方形ABCD 中，M 是边BC 上一点，且BM= 4 1 BC ，若a AB =，b AD =，则=DM _______（用a 和b 表示） 6.已知：平行四边形ABCD ，点M ，N 分别是边DC,BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E 。 设：AB =a ，AD =b ，分别求向量AM ，AN ，AE 关于a ，b 的分解式。 7.在三角形ABC 中，已知AB =a ，BC =b ，G 是重心，请写出AG 关于a ，b 的分解式。
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理 1向量： 既有________ ，又有_________ 的量叫向量. 2. 向量的几何表示： 以A为起点，B为终点的向量记作__________ . 3. 向量的有关概念： (1) ________________________ 零向量：长度为________________ 的向量叫做零向量，记作. (2) ______________________ 单位向量：长度为的向量叫做单位向量. (3) ____________________ 相等向量：且的向量叫做相等向量. (4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量. ①记法：向量a平行于b，记作__________ . ②规定：零向量与__________ 平行. - 1. 向量的加法法则 (1)三角形法则 如图所示，已知非零向量a, b,在平面内任取一点A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与 ILU uuu b的和(或和向量)，记作______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的三角形法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有a+ 0= ___________ + _______ = _______ . (2)平行四边形法则 为邻边作__________ ，则对角线上的向量_________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则. 2. 向量加法的运算律 (1) ____________________________ 交换律：a+ b= .
向量基本知识点
向量 一、向量知识框架 1. 向量相关知识 2.向量基本知识点 二、基本概念与原理 1. 向量相关概念 1.1 向量：有大小有方向的量。向量a的大小称为向量a的模，记为a 1.2 有向线段：具有方向的线段。 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 1.3 零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位的向量． 1.4 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 1.5相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2.向量线性运算
2.1 向量加法运算法则： 三角形法则的特点：首尾相连；平行四边形法则的特点：共起点． 2.2 向量减法运算法则： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 2.3 运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． 2.4 向量数乘运算： 实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．且有 a a λλ=；当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． 运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+ 3. 平面向量基本定理： 3.1 如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+。 其中不共线的两个向量1e 和2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底 3.2 已知两个非零向量a 和b ，作a OA =，b OB =。则∠AOB ＝θ （o o 1800≤≤θ）叫做向量a 和b 的夹角。 显然，θ＝o 0时，向量a 和b 同向；θ＝o 180时，向量a 和b 反向 3.3 如果向量a 和b 的夹角是o 90，则向量a 和b 垂直，记作b a ⊥。 4. 向量坐标表示 4.1 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。 b a a b +a b a b a b +三角形法平行四边形法则 a a b +b
数学向量的知识点
数学向量的知识点 数学向量的知识点 在日复一日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的数学向量知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 数学向量的知识点1 1.向量的基本概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点) (5)平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量. 若向量a、b平行，记作a∥b. 规定：0与任一向量平行. (6)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可. ②向量a，b相等记作a=b. ③零向量都相等. ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个
向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小. (2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上. (3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律：α+β=β+α (2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα (4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ 数学向量的知识点2 1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a||b|cos 叫做a 和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a||b|cos ，规定0a=0. 2.向量数量积的运算律 (1)ab=ba (2)(a)b=(ab)=a(b) (3)(a+b)c=ac+bc [探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立. (1)ab=ac，则b=c吗? (2)(ab)c=a(bc)吗? 提示：(1)不一定，a=0时不成立， 另外a0时，ab=ac.由数量积概念可知b与c不能确定; (2)(ab)c=a(bc)不一定相等. (ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点 数学必背向量知识点 在日常的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺收集整理的数学必背向量知识点，欢迎阅读与收藏。 数学必背向量知识点1 1、向量的基本概念 （1）向量 既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中又叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。 向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点） （5）平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共线向量。 若向量a、b平行，记作a∥b。 规定：0与任一向量平行。 （6）相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可。 ②向量a，b相等记作a=b。 ③零向量都相等。 ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关。 2、对于向量概念需注意
（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小。 （2）向量共线与表示它们的有向线段共线不同。向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上。 （3）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 3、向量的运算律 （1）交换律：α+β=β+α （2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ） （3）数量加法的分配律：（λ+μ）α=λα+μα （4）向量加法的分配律：γ（α+β）=γα+γβ 高中数学学习方法 掌握数学学习实践阶段：在高中数学学习过程中，我们需要使用正确的学习方法，以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法，曾经说过，尤其是高阶段的数学学习数学，必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始，一周后的头几天，在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步，最好不要去追求所谓的“困难”除了（感兴趣），不利于解决问题方法掌握连续性。同时，根据时间和课程安排的长度适当的审查，只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识，不要忘记前面的学习。 高中数学学习技巧 不乱买辅导书。 关于数学，我一本辅导书都没买（高三），从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的因为高三复习的时候都
数学向量知识点(10篇)
数学向量知识点(10篇) 数学向量学问点1 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．加法与减法的代数运算： (1)若a=〔x1,y1 〕,b=〔x2,y2 〕则a b=〔x1+x2,y1+y2 〕． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c 〔结合律〕; 3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)｜｜=｜｜｜｜; (2) 当 a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当 a=0时，a=0． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= ． (2) 若 =〔〕,b=〔〕则‖b ． 平面对量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使 = ，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0； 分点坐标公式：若 = ；的坐标分别为〔〕,〔〕,〔〕；则〔－1〕，中点坐标公式：． 5．向量的数量积： 〔1〕．向量的夹角： 已知两个非零向量与b，作 = , =b,则AOB= 〔〕叫做向量与b的夹角。 〔2〕．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则 b=｜｜｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 称为向量b在方向上的投影． 〔3〕．向量的数量积的性质： 若 =〔〕,b=〔〕则e = e=｜｜cos (e为单位向量); b b=0 〔，b为非零向量〕;｜｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律： b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，