必修五正弦定理与余弦定理

中高考名校冲刺教育中心

【我生命中最最最最重要的朋友们，驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力，付出才有回报，相信老师送给你们的是破冰的利锥，是成功的敲门砖，是攀上辉煌殿堂的阶梯。请跟上老师的脚步，我们永远在一起努力.谢谢使用！！！】

正弦定理和余弦定理

高考会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变

形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题．

2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦

定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab

.

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2

(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并

可由此计算R 、r .

4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数

一解

两解

一解

一解

[难点正本 疑点清源]

1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，

即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .

2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________.

2． 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 3． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝5

13

，b ＝3，则c

＝________.

4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．

5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面

积为

( )

A ．2 2

B ．8 2

C. 2

D.

2

2

题型一 利用正弦定理解三角形

例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .

已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，

A ＋C ＝2

B ，则角A 的大小为___________． 题型二 利用余弦定理求解三角形

例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c

.

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2

A

2

＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；

(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用

例3 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .

(1)若c ＝2，C ＝π

3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状

高考中的解三角形问题

典例：(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．

(1)求cos B 的值；

(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．

方法与技巧

1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π

2

中互补和互余的情况，结合

诱导公式可以减少角的种数．

2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －

2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范

1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他

的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．

2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

A 组 专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于

( ) A ．4 3

B ．2 3

C. 3

D.

3

2

2． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B

等于

( )

A ．－1

2

B.12

C ．－1

D ．1

3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是

( )

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

4． △ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于

( )

A.3

2

B.332

C.

3＋6

2

D.

3＋39

4