13.4最短路径问题的教学设计一等奖
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
13.4《最短路径问题(1)》教案
13.4《最短路径问题（1）》教案13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1 将军饮马问题一、教学目标(一) 学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和“两点之间，线段最短”，则师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC 的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:●活动②整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l 上找到一点C，使AC与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动③大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：⑴若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小；⑵现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′ ?⑶你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4．证明AC +BC“最短”●活动④反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+C B′=AB′，AC′+ C′B= AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴AC+BC﹤AC′+BC′，即AC +BC 最短．●活动⑤集思广益，理解新知追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.●活动⑥反思总结，归纳新知【方法归纳】1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，则点E就是所求的点.师：海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：探究二“一点两线型”的最短周长问题问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A 建在河流和草地所成的∠MON 内部.牧马人某一天要从A 牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A . 请你帮他确定马这一天行走的最短路线. 【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短 【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点A 关于OM 、ON 的对称点A ′、A ′′，连接A ′A ′′分别交OM 、ON 于E 、F ，此时△AEF 周长有最小值；【思路点拨】（1）将OM ，ON 抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点；（2）抽象为数学问题：如图，点A 在∠MON 内部，试在OM 、ON 上分别找出两点E 、F ，使△AEF 周长最短；（3）当AE 、EF 和AF 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE +EF +AF 的最小值为A ′A ′′的值，根据轴对称的性质得AE =A ′E ，AF =A ′′F ，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”. 【答案】作图如图1， 则此时点E 、F 使△AEF 周长有最小值．图1E D CA''A'ONM A图2FED CA''A'O NM AE'F'师：能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：【理由简要分析】如图2，在OM 上任取一个异于E 的点E′，在ON 上任取一个异于F 的点F′，连接A E′，A ′E′，E′F′，A ″F′，A F′，则A E′＝A ′E′，A F′＝A ″F′，且A ′E′＋E′F′＋F′A ″＞A ′A ″=A ′E ＋EF ＋FA ″= AE ＋EF ＋FA ，所以△AEF 的周长最小，故E ，F 就是我们所求使△AEF 周长最短的点． 练习 如图所示，点P 为∠AOB 内一点，P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点E ，交OB 于点F .若P 1P 2=9，则△PEF 的周长是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【知识点】轴对称知识【解题过程】因为P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，根据轴对称的性F质得PE= P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，故答案选C.【答案】C师：回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？探究三“两点两线型”的最短路径问题问题4 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1) 作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；(2)连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB 的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.练习某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图1所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹，不写作法)图1图2【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D 的路线行走时，所走的总路程最短.【思路点拨】“两点两线型”求路径最短，所求CP+PQ+QD的最小值为线段C1D1的值.【答案】作图如图2，小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短. 【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的综合能力.【方法归纳】“一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.3. 课堂总结师：让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题”，总结一下他所解决“最短路径问题”的所用的原理与方法.知识梳理1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲问题作法图形原理类型一lAB直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P.lPABPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短lBA⑴作点B关于直线l 的对称点B′；PA+PB的最类型二直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小.⑵连接AB′，与直线l相交于点P．则点P即为所求．（同样可作点A的对称点）lPB'BA小值为AB′的值，PB=PB′，两点之间，线段最短类型三O BAP两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小.⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′；⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．则点E、F为所求的点．FEDCP''P'O BAPPE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF=FP′′，两点之间，线段最短.类型四PABOQ两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小.⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′；⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．则点M、N为所求的点．NMQ'P'PABOQPM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.（三）课后作业基础型自主突破1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在l上的某处修建一个水泵站，分别向P、Q两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）作点P关于直线l 的对称点P′；（2）连接QP′，与直线l相交于点M；则在l上的点M修建一个水泵站所需管道最短．【思路点拨】根据“两点一线型”的最短路径模型，故选D.【答案】D2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A. （-2 ，0）B.（4 ，0）C. （2 ，0）D.（0 ，0）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】如图，作点B 关于x轴的对称点B′（4，-2），过点A作AC⊥x 轴，B′C⊥y轴于E，AC和B′C相交于点C，连接A B′ 交x轴于点P，交y轴于点D∵A（-2，4），B′（4，-2）∴C（-2，-2），E（0，-2），AC=B′C=6. 又∵AC⊥B′C，∴∠CA B′=∠A B′C=45°. ∵DE∥AC，∠DE B′=90°，∴∠ED B′ =∠DB′E=45°，∴DE =EB′=4，D（0，2）.同理可得∠OD P =∠OP D =45°，OP=OD=2 ，∴P（2，0）【思路点拨】在直角坐标系中抽出“两点一线型”的最短路径模型：在直线x轴的同侧有点A和点B点，在直线x轴上找一点P，使PA+PB最小.作图如图，再由图可构造得等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】C3.如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的一点.若AF=3，当EF+EC取得最小值时，∠ECF的度数是（）A.15°B.22.5°C.30°D.45°【知识点】等腰三角形的“三线合一”、轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）因为等边△ABC的边长为6，又AF=3，所以点F为AC中点.取AB中点F′，则点F与点F′关于直线AD对称；（2）连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.（做题前应先忽略原图中的点E，如图1，再根据“两点一线型”的最短距离的模型作图，如图2：）【思路点拨】分离出点F、点C和直线AD，找出“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键.连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【答案】C4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，且BD⊥CD，∠ADB=∠C. 若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为. 【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短【解题过程】过点D作DP⊥BC于P，∵∠A=90°，BD⊥CD，∴△BAD和△BDC都是直角三角形. 又∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠DBC. ∴BD是∠ABC 的平分线，∴垂线段DP=DA=3.【思路点拨】由题意可得△BAD和△BDC都是直角三角形，又因为∠ADB=∠C，所以∠ABD=∠DBC，则BD是∠ABC的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP长的最小值为3.【答案】35.如图，要在河道l边上建立一个水泵站，分别向A、B两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将村庄A、B两地抽象为两个点，将河道l抽象为一条直线；（2）作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l相交于点C.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点C，使AC+CB′最小，AC+CB′的最小值为线段AB′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，点C即为水泵站建所在的位置：6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA于E、交OB于F，此时△PEF周长有最小值，即乙站在E处、丙站在F处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题.在OA、OB上分别找点E、点F，PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，根据轴对称的性质得PE=P′E，PF=FP′′，再由“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图所示，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以当乙站在OA上的E处，丙站在OB上的F处时，才能使传球所用时间最少．能力型师生共研7.八年级（6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作“小明”关于小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交直线OP于点B，则按“小明”→B→A的线路跑，去捡B处的球，才能最快拿到球跑到目的地A.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点B，使AB+BA′最小，AB+BA′的最小值为线段AA′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，小明行走的路线是:“小明”→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.8.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=6cm，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN周长有最小值= P1P2，∵根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB= 2×30°=60°，∴△P1OP2为等边三角形，∴P1P2= OP1 =O P2 =6cm，即△PMN周长的最小值为6cm.【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△PMN周长PM+MN+PN的最小值为P1P2的值；根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=60°，OP1 = OP =O P2，△P1OP2为等边三角形，P1P2=6cm.【答案】6cm探究型多维突破9、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；(保留作图痕迹，不写作法)(2)求出最短路程.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】(1)作法：①如图作点A关于CD的对称点A′；②连接A′B交CD 于点M. (2)由(1)可得直线CD是点A与点A′的对称轴，M在CD上，∴AM＝A′M，A′C＝AC，又∵AC＝BD，∠A′CM=∠BDM=90°，∠A′MC=∠BMD，∴△A′CM≌△BDM，∴CM＝DM，A′M＝BM，∴M为CD的中点，且A′B＝2AM，∵AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程1000 m. 【思路点拨】⑴该题为“两点(直线同侧)一线型”求最短路径问题，在直线l上找一点M，使A′M+MB最小，A′M+MB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM ≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m【答案】(1)如图，点M即为所求的点; (2) 最短路程为1000 m.10.如图，在五边形ABCDE中，①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹，不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】①取点A关于BC的对称点P、关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，如图1，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，如图2；②如图3，∵∠BAE＝125°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°，∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°【思路点拨】①转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△AMN周长AM+MN+AN的最小值为线段PQ的值. ②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】①作图如图2，此时△AMN周长最小；②∠AMN＋∠ANM＝110°.自助餐1. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A.（0，0）B.（0，2）C.（0，4）D.（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′交y轴于点C′，当点C在C′处时△ABC的周长最小. 过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），∴B′点坐标为（﹣6，0），E（2，0），AE=8，OE=2. ∴B′E=8，∴B′E =AE ，O B′=B′E－OE=6.又∵AE⊥B′B，∴∠A B′E=∠B′AE =45°，∵C′O∥AE，∠C′O B′=90°，∴∠C′B′O =∠B′C′O =45°，∴C′O = B′O =6，∴点C′的坐标是（0，6），当点C在C′处时△ABC的周长最小，故选D．【思路点拨】分离出“两点一线型”的最短路径模型：在y轴的同侧有点A和点B，点，在y轴上找一点C，使AC+CB最小.作图时应忽略图中的点C，再由图可构造等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】D2. 如图所示，点P为∠AOB内一点，OP=9，P1、P2分别是点P关于OA、OB 的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.当△PEF的周长是9时，∠AOB 的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的知识、P2分别是点P关于OA、OB的对【解题过程】连接O P1，O P2. ∵OP=9 ，P1称点，∴根据轴对称知识O P1=O P2=OP=9，PE= P1E，PF=FP2 .∴PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9，∴O P1=O P2= P1 P2，∴△OP1 P2是等边三角形.又∵由轴对称知识得∠P 1 OP 2=∠P 1 OP +∠POP 2=2（∠AOP +∠POB ）=2∠AOB ，∴2∠AOB=60°，∴∠AOB=30°【思路点拨】根据轴对称知识，PE +EF +PF = P 1E +EF + P 2F = P 1 P 2，如图连接O P 1， O P 2易得证△OP 1 P 2是等边三角形，故答案选B【答案】B3.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】垂直平分线的知识，轴对称知识，两点之间线段最短【解题过程】(1)作线段AB 的垂直平分线，与EF 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 作AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【思路点拨】 ⑴到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又在河边EF 上，所以作AB 的垂直平分线与EF 的交点即为符合条件的点．⑵要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，结合 “两点一线型”的最短路径模型，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点 (或A )，与EF 的交点即为所求．【答案】(1)如图1，自来水厂部建在点P 处，到A ，B 村的距离相等．(2)如图2，自来水厂部建在点P 处，到A 、B 的距离和最短．4.公园内两条小河MO ，NO 在O 处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P (如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′分别交OM、ON于Q、R，此时△PQR周长有最小值，即此时使在半岛上修建的三段小路路程和最小，才能使修路费用最少.【思路点拨】要使修路费用最少，则应使三段路程和最小，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题.【答案】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置，修路费用最少．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，Q，R就是我们所求的小桥的位置．5．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR 的周长最小．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1)作点P关于直线BC的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点，如图所示．【思路点拨】P，Q为△ABC边上的两个定点，所以PQ长为定值，使△PQR的周长最小，只需要PR+QR最小.故分离出“一点两线型”的模型：在直线BC的同侧有点P和点Q，在直线BC上找一点R，使PR+QR最小.【答案】如图所示，点R就是所求作的点.6．如图，一艘游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上某处，再返回P 处，请画出游船航行的最短路径．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化思想【解题过程】如图1，作点P关于直线BC 的对称点P′，连接QP′，与直线BC 相交于点R. 则游船航行路线是：P→Q→R→P，即将游客送到河岸BC的R，游船航行的路径最短.（或作点Q关于直线BC 的对称点Q′同样得解，如图2）. 【思路点拨】将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”.由于P、Q为。
教学设计2：13.4课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想二、教学过程（一）预习内容自学课本85页，完成下列问题：追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．（二）探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求三、巩固测评（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘（三）综合训练：子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a图b四、课堂小结。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
人教版八年级数学上册13.4最短路径问题优秀教学案例
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。
八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的实际应用背景，认识到最短路径问题在生活中的重要性。
2.掌握利用图的性质寻找最短路径的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解最短路径问题的基本概念，如路径、权重、最短路径等。
4.学会使用图论中的算法求解最短路径问题，如迪杰斯特拉算法。
（二）过程与方法
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境引入：通过展示城市交通网络图，引导学生关注实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
2.创设问题情境：提出问题：“如何在城市交通网络中找到从一个地点到另一个地点的最短路径？”引导学生思考和提出解决问题的方法。
（二）讲授新知
1.图的基本概念：介绍图的定义、图的节点和边等基本概念，为学生理解最短路径问题打下基础。
5.知识拓展与延伸：在教学过程中，不仅关注学生对知识的掌握程度，还注重引导学生思考最短路径问题在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣和拓展思维。通过知识拓展与延伸，学生能够更好地将所学知识应用于实际生活中，提高他们的数学应用能力。
在教学过程中，我以城市交通网络为背景，设计了一系列具有挑战性的问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的探究兴趣。同时，我充分发挥学生的主体作用，组织学生进行合作探究，引导他们通过画图、讨论等方式，寻找解决问题的策略。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，不仅关注学生对知识的掌握程度，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过本节课的教学，使学生能够运用所学的知识解决实际生活中的最短路径问题，提高他们的数学应用意识。
3.评价原则：评价应具有客观性、发展性、指导性，能够激发学生的学习动力和自我提升意识。
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个最短路径问题进行研究和探究；
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，提供适当的帮助和指导，促进学生的思考和发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上进行学习的。八年级的学生思维活跃，好奇心强，具备一定的探究能力，但同时在学习过程中容易忽视数学与实际生活的联系，对最短路径问题的理解停留在理论层面。因此，本节课的教学案例旨在通过生活实例，引导学生感受最短路径问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
2.组织学生进行评价，让学生互相评价，提高学生的自我认知和评价能力；
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的全面发展，给予极的反馈和鼓励。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的基础性作业和拓展性作业，巩固学生对最短路径问题的理解和掌握；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际生活中的最短路径问题，提高学生的数学应用意识；
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际生活中的最短路径问题，如快递员送快递、旅行家规划旅行路线等，让学生感受到最短路径问题在现实生活中的重要性；
2.设计具有挑战性的问题，如学校到图书馆的最短路径是什么？引导学生思考并尝试解决；
3.创设情境，让学生扮演不同角色，如导演、导游等，规划最短路径，提高学生的参与度和积极性。
课题学习 最短路径问题 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
13．4课题学习最短路径问题1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】两点的所有连线中，线段最短如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】运用轴对称解决距离最短问题在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．三、板书设计课题学习最短路径问题1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB . 解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD ＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB . 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.4节主要讲述最短路径问题，这是学生对图论初步了解后的进一步深化。在学习了图的定义、表示和遍历等基础知识后，最短路径问题既是对前面知识的综合运用，又是向更为复杂图论问题的过渡。
本节课内容对于学生来说具有一定的难度，需要他们能够理解并掌握最短路径的算法，并能够运用到具体的问题中。同时，这也是对学生逻辑思维能力和问题解决能力的考查。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用PPT展示生活中的最短路径问题，如旅行中最短路线的选择、网络数据传输的最短路径等，引导学生关注最短路径问题在现实生活中的应用。
2.向学生提出问题：“如何找到两点之间的最短路径？”让学生思考并发表自己的观点，为导入新课做好铺垫。
3.教师总结：今天我们将学习图论中的一个重要问题——最短路径问题，希望通过本节课的学习，大家能够掌握最短路径的求解方法，并能够运用到实际问题中。
4.在解决问题的过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分配具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高解决问题的效率。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自主学习和反思能力。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，及时给予帮助和引导。
在教学过程中，我通过设计丰富多样的教学活动，引导学生主动探究、合作交流，从而提高他们对最短路径问题的理解和运用能力。同时，注重培养学生的数学素养，让他们在学习过程中感受到数学的趣味性和实用性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的概念，掌握基本的最短路径算法。
人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
最短路径问题优质课教学设计一等奖及点评
13.4课题学习最短路径问题(第1课时)一、内容和内容解析1、教学内容«最短路径问题»是人教版八年级上册第十三章第4节第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”,“两线两点”等最短路径问题.2、教学内容解析本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.3、教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”.二、教学目标及其解析1、教学目标：（1）理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
（2）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、目标解析：要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
三、学生学情分析八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。
初中八年级数学教案- 课题学习--最短路径问题-“衡水赛”一等奖
微课教学设计作者信息微课设计者庞玉群工作单位广西玉林市玉州区第九初级中学微课信息学科初中数学（人教版）适用对象八年级上册教学内容八年级上册数学《13.4课题学习------最短路径问题》教学背景 1.两点之间，线段最短。
2.轴对称的性质。
3.三角形的任意两边之和大于第三边。
教学目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
过程与方法：之探索问题的过程中体会知识间的联系，感受数学与生活的联系，感悟转化思想。
情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神。
教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。
教学难点如何将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。
教学方法启发式微课教学过程教学过程设计意图一、创设情景引入课题牧马人饮马问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题：这个问题可以抽象为什么数学问题？二、复习旧知回忆学过的有关线段最短的定理及三角形的三边关系从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.为下面解决最短路径问题提供理论依据。
三、新知探究1.问题1 假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到点C，使得AC+BC最短？问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，此时又如何确定点C的位置？问题 3 如何证明此时的AC +BC最短呢？方法总结：在解决最短路径问题时，利用轴对称作点关于线的对称点，再利用“两点之间，线段最短”将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。
四、巩固练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站M，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，正方形ABCD的边长，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )A. 1 B．3C．6 D. 9五、布置作业1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.学以致用，及时巩固问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2.如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．方法应用，及时巩固，及时反馈，感受数学与生活的联系。
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文章标题：探讨13.4最短路径问题的教学设计一等奖
1. 引言
最短路径问题是图论中的一个重要问题，其在各种领域都有着广泛的应用。
本文将结合教学设计的思路，探讨如何在教学中更好地教授13.4最短路径问题，并共享我的个人观点和理解。
2. 概念解释
13.4最短路径问题是指在一个有向图中，寻找两个顶点之间的最短路径的问题。
在教学中，首先需要对最短路径的概念进行清晰的解释，引导学生理解路径长度的定义和最短路径的意义。
3. 教学方法
针对13.4最短路径问题的教学设计，我认为可以采用“由浅入深”的方式进行教学。
可以从简单的无向图和有向图开始，引导学生理解图的基本概念和表示方法。
可以介绍Dijkstra算法和Floyd算法，让学生了解具体的最短路径求解方法。
可以通过实际案例和应用场景，引导学生理解最短路径问题在实际生活中的重要性和应用。
4. 教学案例
以城市道路规划为例，可以设计一个教学案例来帮助学生理解最短路径问题。
通过引导学生分析不同城市之间的道路网络，让他们应用所学的最短路径算法，找出两个城市之间的最短路径，并解释该路径在
实际中的意义。
5. 总结与回顾
通过上述教学设计，我们可以帮助学生全面、深刻地理解13.4最短路径问题。
我个人认为教学设计应该注重理论与实践的结合，让学生在实际问题中应用所学知识，从而更好地掌握知识点。
6. 总结
在13.4最短路径问题的教学设计中，我们可以通过“由浅入深”的教学方法，结合具体案例，帮助学生深入理解最短路径的概念和应用。
教学设计应该注重理论与实践的结合，培养学生的问题解决能力和创新思维。
结尾语：
希望本文的教学设计能够帮助您更好地教授13.4最短路径问题，并对学生的知识学习起到积极的引导作用。
也欢迎各位老师共享自己在教学设计中的经验和理解，让我们共同进步。
13.4最短路径问题是图论中一个非常有趣和实用的问题，它在现实生活中有着广泛的应用。
在教学中，我们需要引导学生深入理解这一问题，并掌握相关的求解方法和技巧。
接下来，我将共享一些教学案例和活动，帮助学生更好地理解和掌握13.4最短路径问题。
让我们回顾一下最短路径问题的基本概念。
在一个有向图中，最短路
径指的是两个顶点之间的路径中，路径长度最短的那条路径。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如城市道路规划、网络通信、物流配送等等。
学会解决最短路径问题对于学生来说是非常重要的。
在教学中，我们可以采用“由浅入深”的方式进行教学。
可以通过简单的例子和图形来引导学生理解图的基本概念，包括顶点、边和路径等。
可以介绍Dijkstra算法和Floyd算法，让学生了解具体的最短路径求解方法。
这些算法不仅可以帮助学生理解最短路径问题的求解思路，也可以训练他们的逻辑思维和问题解决能力。
除了理论知识外，我们也可以设计一些实际案例和应用场景来帮助学生理解最短路径问题。
以城市道路规划为例，我们可以设计一个实地考察的活动，让学生分析不同城市之间的道路网络，然后利用所学的最短路径算法，找出两个城市之间的最短路径。
通过实地考察和实际应用，学生不仅可以更直观地理解最短路径问题，也可以培养他们的实际操作能力和团队合作意识。
教学设计应该注重理论与实践的结合，让学生在实际问题中应用所学知识，从而更好地掌握知识点。
我们可以组织一些小组活动，让学生在小组内分析和解决一些实际问题，比如网络通信中的数据传输路径规划、物流配送中的货物最优路径等等。
通过这些实际问题的训练，学生可以更好地理解最短路径问题的实际应用，并提高他们的问题解决能力和创新思维。
13.4最短路径问题的教学设计应该注重理论与实践的结合，引导学生深入理解问题的概念和求解方法，同时培养他们的实际操作能力和创新思维。
希望通过本文的共享，能够帮助老师更好地教授13.4最短路径问题，也希望能够激发更多老师对教学设计的思考和创新。
让我们共同努力，为学生的知识学习和能力培养而不懈努力。