项目十相关与回归分析——相关关系的测定及回归模型的建立
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
相关性与回归分析
相关性与回归分析在我们的日常生活和各种科学研究中，经常会遇到需要分析两个或多个变量之间关系的情况。
这时候，相关性与回归分析就成为了非常有用的工具。
它们能够帮助我们理解变量之间的相互影响，预测未来的趋势，以及为决策提供有力的依据。
让我们先来聊聊相关性。
相关性主要是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度。
比如说，我们想知道一个人的身高和体重之间有没有关系，或者学习时间和考试成绩之间是不是存在关联。
相关性分析会给出一个数值，这个数值通常在－1 到 1 之间。
如果相关性数值接近 1，那就表示两个变量之间存在很强的正相关关系，也就是说，一个变量增加，另一个变量也会随之增加。
相反，如果相关性数值接近－1，就是很强的负相关关系，一个变量增加，另一个变量会减少。
而当相关性数值接近 0 时，则表示两个变量之间几乎没有线性关系。
举个例子，我们发现气温和冰淇淋销量之间存在正相关关系。
天气越热，人们购买冰淇淋的数量往往就越多。
但是要注意，相关性并不意味着因果关系。
虽然气温和冰淇淋销量高度相关，但气温升高并不是导致人们购买冰淇淋的唯一原因，可能还有其他因素，比如人们的消费习惯、促销活动等。
接下来，我们再深入了解一下回归分析。
回归分析实际上是在相关性分析的基础上更进一步，它不仅能够告诉我们变量之间的关系强度，还能建立一个数学模型来预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。
比如说，我们通过收集数据，发现房子的面积和价格之间存在一定的关系。
然后，我们可以使用回归分析建立一个方程，比如“价格＝ a×面积＋b”，其中 a 和 b 是通过数据分析计算出来的系数。
这样，当我们知道一个房子的面积时，就可以用这个方程来预测它大概的价格。
回归分析有很多种类型，常见的有线性回归和非线性回归。
线性回归假设变量之间的关系是直线的，就像我们刚才提到的房子面积和价格的例子。
但在很多实际情况中，变量之间的关系并不是直线，而是曲线，这时候就需要用到非线性回归。
相关和回归的数学模型区别和联系
相关和回归的数学模型区别和联系在统计学和数据分析领域，相关和回归是两种常用的数学模型，用以揭示变量之间的关系。
本文将详细阐述相关和回归的数学模型的区别与联系，帮助读者更好地理解这两种模型的应用场景和特点。
一、相关和回归的数学模型概述1.相关分析相关分析是指衡量两个变量之间线性关系紧密程度的统计分析方法。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
相关分析主要用于描述两个变量之间的相关性，但不能确定变量间的因果关系。
2.回归分析回归分析是指研究一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间线性或非线性关系的方法。
根据自变量的个数，回归分析可分为一元回归和多元回归。
回归分析可以用于预测因变量的值，并分析自变量对因变量的影响程度。
二、相关和回归的数学模型区别1.目的性区别相关分析的目的是衡量两个变量之间的线性关系程度，但不能判断因果关系；回归分析的目的则是建立变量间的预测模型，分析自变量对因变量的影响程度，并预测因变量的值。
2.数学表达区别相关分析通常使用相关系数（如皮尔逊相关系数）来表示两个变量之间的线性关系程度；回归分析则使用回归方程（如线性回归方程）来描述自变量与因变量之间的关系。
3.结果解释区别相关分析的结果是一个介于-1和1之间的数值，表示两个变量之间的线性相关程度；回归分析的结果是一组回归系数，表示自变量对因变量的影响程度。
三、相关和回归的数学模型联系1.研究对象相同相关分析和回归分析都是研究两个或多个变量之间关系的统计分析方法，可以揭示变量间的相互作用。
2.数据类型相似相关分析和回归分析通常应用于数值型数据，且都需要满足一定的数据分布特征，如正态分布、线性关系等。
3.相互补充在实际应用中，相关分析和回归分析可以相互补充。
通过相关分析，我们可以初步判断变量间是否存在线性关系，进而决定是否采用回归分析建立预测模型。
四、总结相关和回归的数学模型在研究变量关系方面有着广泛的应用。
spss教程第三章--相关分析与回归模型的建立与分析
第三章相关分析与回归模型的建立与分析相关分析和回归分析是统计分析方法中最重要内容之一，是多元统计分析方法的基础。
相关分析和回归分析主要用于研究和分析变量之间的相关关系，在变量之间寻求合适的函数关系式，特别是线性表达式。
◆本章主要内容：1、对变量之间的相关关系进行分析（Correlate）。
其中包括简单相关分析（Bivariate）和偏相关分析（Partial）。
2、建立因变量和自变量之间回归模型（Regression），其中包括线性回归分析（Linear）和曲线估计（Curve Estimation）。
◆数据条件：参与分析的变量数据是数值型变量或有序变量。
§3.1 相关分析在SPSS中，可以通过Analyze菜单进行相关分析（Correlate），Correlate菜单如图3.1所示。
图3.1Correlate 相关分析菜单§3.1.1 简单相关分析两个变量之间的相关关系称简单相关关系。
有两种方法可以反映简单相关关系。
一是通过散点图直观地显示变量之间关系，二是通过相关系数准确地反映两变量的关系程度。
§3.1.1.1 散点图SPSS软件的绘图命令集中在Graphs菜单。
下面通过例题来介绍具体操作方法。
例1：数据库SY-8中的变量X表示山东省人均国内生产总值，Y表示山东省城镇居民的消费额（资料来源：山东省2003年统计年鉴），现画出散点图来观察两个变量的关联程度。
具体操作步骤如下：首先打开数据SY-8，然后单击Graphs Scatter,打开Scatter plot散点图对话框，如图3.2所示。
然后选择需要的散点图，图中的四个选项依次是：Simple 简单散点图Matrix 矩阵散点图Overlay 重叠散点图3-D 三维散点图图3.2 散点图对话框如果只考虑两个变量，可选择简单的散点图Simple，然后点击Define，打开Simple Scatterplot 对话框,如图3.3所示。
相关分析与回归分析
这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地
纳入回归方程。
二强行剔除Remove一次性剔除
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合
使用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用
将意味着没有哪个变量进入方程。
三逐步进入Stepwise
▪ 回归分析是研究客观事物变量间的关系，它是建立在对客
观事物进行大量试验和观察的基础上，通过建立数模型寻
找不确定现象中所存在的统计规律的方法。回归分析所研
究的主要问题就是研究因变量y和自变量x之间数量变化规
律，如何利用变量X，Y的观察值样本，对回归函数进行
统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
差
▪ “Plots”
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
• “DEPENDNT”因变量。
• “ZPRED”标准化预测值。
• “ZRESID”标准化残差。
• “DRESID”删除残差。
• “ADJPRED”调节预测值。
• “SRESID”声氏化残差。
利用的是非参数检验的方法。
定序变量又称为有序ordinal变量顺序变
量，它取值的大小能够表示观测对象的某种顺
序关系等级方位或大小等，也是基于“质”因
素的变量。例如，“最高历”变量的取值是：
一—小及以下二—初中三—高中中专技校四—
大专科五—大本科六—研究声以上。由小到大
的取值能够代表历由低到高。
Spearman等级相关系数为
– 四. Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
【毕业论文】相关分析和回归分析
相关分析和回归分析客观事物之间的关系分为函数关系和统计关系，函数关系也就是我们通常所说的一一对应的关系，而统计关系是指两事物之间的一种非一一对应的关系，即当一个变量x取一定值时，另一变量y无法依确定的函数取唯一确定的值。
事物之间的统计关系是普遍存在，且有的关系强，有的关系弱。
相关分析和回归分析都是以不同方式测度事物之间统计关系的有效工具。
实际应用中。
这两种分析方法经常互相结合渗透。
一、相关分析相关分析通过图形和数值两种方式，能够有效的揭示事物之间统计关系的强弱程度。
1、散点图能直观的显示数据之间的相关关系,可以利用曲线将点散布的主要轮廓描述出来，使数据的主要特征更突出。
如下图：研究04年四层金指的报废面积与入仓面积的相关关系上图看出：数据集中分布在直线周围，说明是高度正相关的。
2、相关系数散点图能直观的展现变量之间的统计关系，但并不精确。
相关系数以数值的方式精确的反映了两个变量间线形相关的强弱程度。
➢ R=yyxx xy L L L ，其中xx L =∑=--ni ix x12)(，∑=----=ni i i xy y y x x L 1))((，∑=--=ni i yy y y L 12)(.➢ 相关系数R 的取值在-1~+1之间。
➢ R>0表示两变量之间存在正的线性相关关系；R<0表示两变量之间存在负的线性相关关系。
➢ R=1表示两变量存在完全正相关；R=-1表示两变量存在完全负相关；R=0表示两变量不存在线性相关关系。
➢ |R|>0.8表示两变量之间具有较强的线性关系；|R|<0.3表示两变量之间的线性相关关系较弱。
上例中，R=0.974,说明报废面积与入仓面积之间是强正相关的。
二、一元线性回归在实际应用中，我们常常需要考虑某一现象与影响它的最主要因素的关系，回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
一元线性回归是最简单的回归模型。
第七章__相关与回归分析
第九章 相关与回归分析
第一节 相关分析的一般问题 第二节 相关关系的判断 第三节 回归分析的一般问题 第四节 回归模型的建立与检测
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1
统 计
学 第一节 相关分析
一、相关分析的意义 二、相关关系的测定
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变量间的关系
变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。 函数关系—— 是一一对应的确定关系。
按模型形态分，有线性回归和非线性回归。
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二、一元线性回归方程的确定
具有线性相关关系的两个变量的关系可 表示为：
y = α+ bx
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化.
α 和 b 称为模型的两个待定参数。
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（总体）回归方程
x
y
a
x
+
b
x
2
b
nxy x y n x 2 ( x)2
a
y
bx
y n
b
x n
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三、回归估计标准误差 S yx
（一）回归估计标准误差的概念
实际观察值y与估计值 yˆ 之间差异的平
均程度，是用来说明回归方程推算结果
分
4
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
第十章相关与回归分析
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
• （三）相关关系种类
• 1 按变量的多少，分单相关和复相关
• 2 按相关形式不同，分线性相关和非线性 相关(曲线相关)
• 3 按相关方向不同，分正相关和负相关
• 4 按相关程度的高低，分完全相关、不完 全相关和不相关
总体一元线性 回归方程:
Y ˆE YX
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ abx
（一元线性回归方程）
截距（回归 系数）
斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的影响；回归系数b 表明自
变量x每变动一个单位，因变量y变动b个单 位。
当变量 x 取某个值时，
y
变量 y 的取值可能有几
个
x
4. 各观测点分布在直线周
围
变量间的关系
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系
销售额X
111 102 90 85 66 62 58 51 48 43
利润额Y
25 22 24 21 25 13 18 12 10 9
合计
716
179
10个大型工业企业销售额与利润额散点图（亿元）
Y
25
20
利 润 15 额
10
5
40 50 60
70 80
销售额
相关 分析与回归分析
第二节 相关关系的判断
2.相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表
格。如某地区工业劳动者人数和增加值的历史资料对应排列 如表8-1所示。 相关表中的两行数据叫相关数列，它有别于变量数列。相关 表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它 是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈 现一定的规律性，则表明现象间存在相关关系。如随着一个 变量数值的增加或减少，另一个变量的值也大致以某一固定 的速率和数量增加或减少，这就可以初步判别现象间存在相 关关系。如果两个变量的观测值不表现出任何规律性，则可 以判定现象间不存在相关关系。
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第一节 相关分析的一般问题
2.判定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间
确实存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对社 会经济现象进行预测、推算和决策。因此，判定现象间存在相 关关系后，需要进一步确定相关关系的表现形态和密切程度。 统计上，一般是通过编制相关表、绘制相关图和计算相关系数 来做出判断的。根据相关图表可对相关关系的表现形态和密切 程度做出一般性的判断，依据相关系数则能做出数量上的具体 分析。在我们判断中学生的学习成绩和身高之间有无相关性时， 如果我们发现有部分相关联的点，我们还要进行相关程度的判 断，看两种现象之间的相关程度的高低，以此来判定其是否具 有研究相关性的必要。
除上例外，在其他方面也都可以编制类似的双变量分组相关 表。如工业企业按产量和成本水平同时分组；对同行业的商 业企业，按企业规模和流通费水平同时分组等。这种双变量 分组相关表，可作为探寻最佳方案、提高经济效益的一种工 具。但是，根据双变量分组表的资料来计算相关分析指标比 较复杂，所以，在相关分析中较少使用。
相关分析与回归分析教案课件
它通过分析数据中的变量来预 测或解释因变量的值，并评估 预测的可靠性和精确度。
回归分析可以帮助我们理解变 量之间的关系，并预测未来趋 势。
回归分析的分类
线性回归分析
研究自变量和因变量之间的线 性关系，即因变量的值随着自 变量的增加或减少而按固定比
例变化。
非线性回归分析
研究自变量和因变量之间的非 线性关系，即因变量的值随着 自变量的变化而以不同的方式 变化。
详细描述
例如，在社会科学中，相关分析可以用于研究教育程度与收 入之间的关系；在医学中，可以用于研究血压和心脏病风险 之间的关系；在经济学中，可以用于研究股票价格和通货膨 胀率之间的关系。
02
回归分析概述
回归分析的定义
回归分析是一种统计学方法， 用于研究自变量和因变量之间 的相关关系，并建立数学模型 来描述这种关系。
解释相关系数的显著性
说明相关系数显著性的含义和意义，如是否具有统计学上的意义。
推断结论
根据相关系数的大小和显著性水平，推断研究问题的结论。
05
回归分析的步骤和方法
确定因变量和自变量
总结词
明确研究目标
详细描述
在回归分析中，首先需要明确因变量和自变量，即我们希望预测的结果变量和 可能影响结果变量的因素。明确这些变量有助于我们构建回归模型，并理解数 据之间的关系。
模型检验与优化
总结词
评估模型性能并进行优化
详细描述
通过计算模型的残差、判定系数、调整判定系数等统计量，对回归模型的性能进行评估。如果模型性 能不佳，需要对模型进行优化，如增加或减少自变量、改变模型形式等。此外，还可以使用交叉验证 等方法来评估模型的泛化能力。
06
相关分析与回归分析的实例展示
相关与回归分析课件
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
4
11
16
121
44
3
6
11
36
121
66
4
8
14
64
196
112
5
10
22
100
484
220
6
12
23
144
529
276
7
14
32
196
1024
448
8
16
29
256
841
464
9
18
32
324
1024
576
10
20
34
400
1156
680
11
22
33
484
1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
相关分析与回归分析方案
明X是影响Y的主要因素
相关分析 与
回归分析
弱负相关关系，其特点是变量X增加，导致Y减少，但 减少幅度不明显，说明X是Y的影响因素，但不是唯一 因素。
非线性相关关系，其特点是X、Y之间没有明显的线性 关系，却存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的 因素。
3、具体判断相关是否显著,要看显著性水平
相关分析 与
回归分析
相关系数的计算
样本的相关系数一般用r表示，总体的相关系数一般用p表 示。
对于不同类型的变量，相关系数的计算公式不同。在相关 分析中，常用的相关系数有： Pearson简单相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。 如测度收入和储蓄，身高和体重。 Spearman等级相关系数：用于度量定序变量间的线性相关 关系。如军队教员的军衔与职称。 Kendall r相关系数：用非参数检验方法来度量定序变量间 的线性相关关系。计算基于数据的秩。
（1）
最小二乘估计就是寻找参数β0 、β1、… βp的估计值β̂0 、β ̂ 1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过求极值原理（偏导为零） 和解方程组，可求得估计值，SPSS将自动完成。
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归方程的拟合优度检验（相关系数检验） 一元线性回归的拟合优度检验采用R2统计量，称为判定 系数或决定系数，数学定义为
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归系数的显著性检验（t检验）
多元线性回归方程的回归系数显著性检验的零假设是βi=0， 检验采用t统计量，其数学定义为：
ti
ˆi ˆ
统计学：相关分析与回归分析.docx
统计学：相关分析与回归分析1.相关分析的主要内容相关分析的目的在于分析现象间相关关系的形式和亲密程度以及依存变动的规律性，在实际工作中，有特别广泛的应用。
主要内容如下。
（1）确定变量之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式。
这是相关分析的动身点，有相关关系才能用相应的方法去分析，否则，只会得出错误的结论。
相关关系表现为何种形式就用什么样的方法分析，若把本属于直线相关的变量用曲线的方法来分析，就会产生熟悉上的偏差。
（2）确定相关关系的亲密程度。
对于这个问题，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，相关系数的用途很广泛。
（3）选择合适的数学方程式。
确定了变量之间的确有相关关系及其亲密程度，就要选择合适的数学方程式来对变量之间的关系近似描述，并用自变量的数值去推想因变量的数值，称之为回归分析。
假如变量之间为直线相关，则采用直线方程，称之为线性回归；假如变量之间为曲线相关，则采用曲线方程，称之为非线性回归。
（4）测定变量估计值的精确程度。
在相关分析中，第三步建立了数学方程式，并用方程式对因变量进行估值。
因变量的估计值和实际值之间进行对比，因变量估计值的精确程度可以用估计标准误差来衡量。
（5）对回归方程进行显著性检验。
对前几步变量之间建立的回归方程，要进行显著性检验。
检验变量之间是否真的具备这样的关系，这种关系是不是因为数据的选取而偶然形成的。
2.回归分析的主要内容回归分析是在研究现象之间相关关系的基础上，对自变量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行测量和推算的一种统计分析方法。
进行回归分析，要以现象之间存在相关关系为前提；然后对自变量和因变量的变动拟合回归方程，确定其定量关系式；再对拟合的回归方程进行显著性检验；最终利用所求得的关系式进行推算和预估。
相关分析与回归分析在实际应用中有亲密关系。
然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量y对另一个（或一组）随机变量x的依靠关系的函数形式。
而在相关分析中，所争论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。
相关分析与回归分析
相关分析和回归分析一、相关分析（一）相关的概念两个变量之间不精确、不稳定的变化关系称为相关关系。
两个变量之间的变化关系，既表现在变化方向上，又表现在密切程度上。
（二）相关的种类1、从变化方向上划分正相关：一个变量增大，另一个变量对应值也随之增大；或另一个变量值减小，另一个变量对应值也随之减小，两列变量变化方向相同。
负相关：一个变量增大，另一个变量对应值也随之减少；或一个变量值减小，另一个变量对应值也随之增大，两列变量变化方向相反。
零相关：两变量值的变化方向无规律。
2、从变量相互关系的程度上划分无论两个变量的变化方向是否一致，凡密切程度高的称为强相关或高度相关；密切程度一般的称为中度相关；密切程度弱的称为弱相关或低度相关。
（三）相关散布图它是表示两种事物之间的相关性及联系的模式。
以直角坐标的横轴表示x列变量，纵轴表示y列变量，在相关的两变量对应值的垂直相交处画点，构成相关散布图。
相关散布图的用途： 1、判断相关是否直线式2、判断相关密切程度高低3、判断相关变化方向（四）相关系数用来描述两个变量相互之间变化方向及密切程度的数字特征量称为相关系数。
一般用r 表示。
注：（1）相关系数的数值范围是1r 0≤≤。
（2）从r 的正负以及绝对值的大小，可以表明两个变量之间变化的方向及密切程度。
“+”、“—”号表示变化方向（“+”号表示图5-3（a ） 高度相关图5-3b 低度相关图5-4（a ） 正相关图5-4（b ） 负相关图5-2(a) 曲线相关图5-2(b) 直线相关变化方向一致，即正相关；“—”号表示变化方向相反，即负相关）r 的绝对值表示两变量之间的密切程度（即强度）。
绝对值越接近1，表示两个变量之间关系越密切；越接近0，表示两个变量之间关系越不密切。
（3）相关系数只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，并不能揭示两者之间的内在本质联系。
另外若两变量相关系数为0，只能表示两变量间没有线性关系，也可能存在曲线关系，即r=0，并不意味着两变量是独立的。
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析数据分析是现代社会中不可或缺的一部分，它帮助我们了解事物之间的相互关系。
在数据分析中，相关系数与线性回归分析是常用的统计工具，它们可以揭示变量之间的关联和预测未来的趋势。
本文将以深入浅出的方式介绍相关系数与线性回归分析的原理、应用和局限性。
相关系数是用来衡量两个变量之间的统计依赖性的指标。
它的取值范围从-1到1，其中0表示没有线性关系，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数是用来衡量两个连续变量之间线性关系的强弱的指标。
它的计算公式为cov(X,Y)/(σX σY)，其中cov(X,Y)代表X和Y的协方差，σX和σY分别代表X和Y的标准差。
如果相关系数接近于1，则表示两个变量之间存在强正相关关系；如果接近于-1，则表示存在强负相关关系；如果接近于0，则表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼等级相关系数是用来衡量两个有序变量之间的相关性的指标。
它通过将每个变量的原始值转换为等级值，并计算等级之间的差异来确定相关性。
斯皮尔曼等级相关系数的取值范围与皮尔逊相关系数相同，但它不要求变量之间呈现线性关系。
相关系数的应用非常广泛。
在金融领域中，相关系数可以用来衡量不同证券之间的关联性，帮助投资者构建更稳健的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用来分析不同变量对疾病风险的影响，为医生提供指导性建议。
在社会科学中，相关系数可以帮助研究者了解不同因素对人们态度和行为的影响，从而改善政策和社会管理的决策。
除了相关系数，线性回归分析也是一种常用的统计方法。
线性回归分析通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，它的基本形式为Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳拟合线，使得回归系数能够准确地预测Y的变化。
线性回归分析的应用广泛。
在市场营销中，线性回归分析可以帮助企业了解消费者购买意愿与价格、促销活动等因素之间的关系，从而制定更有效的营销策略。
相关分析与回归分析实现
相关分析与回归分析实现相关分析和回归分析是统计学中经常使用的两种方法，用于研究和分析变量之间的关系。
相关分析用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向，而回归分析则用于建立一个或多个自变量和一个因变量之间的数学关系。
首先，我们来了解相关分析。
相关分析是一种用于衡量两个变量之间关系的方法。
常用的方法有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数用于衡量两个连续变量之间的线性关系的强度和方向。
它的取值范围在-1到1之间，-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数用于测量两个变量之间的排序关系。
它对变量的数值大小不敏感，只关注变量之间的排序。
取值范围也是-1到1之间。
相关分析的步骤包括：收集数据、计算相关系数、检验相关系数的显著性。
在进行相关分析之前，我们需要确定两个变量是否满足线性关系的假设，这可以通过绘制散点图进行初步判断。
接下来，我们来介绍回归分析。
回归分析是一种用于建立一个或多个自变量和一个因变量之间的数学关系的方法。
这种数学关系被称为回归方程。
回归分析可以用于预测和解释因变量的变化。
在回归分析中，自变量可以是分类变量或连续变量。
回归分析根据自变量的类型可以分为线性回归和逻辑回归。
线性回归适用于因变量是连续变量的情况，逻辑回归适用于因变量是二分类或多分类变量的情况。
回归分析的步骤包括：收集数据、选择合适的回归模型、估计回归系数、检验回归系数的显著性、解释结果和预测。
在回归分析中，我们还需要考虑因变量和自变量之间是否存在多重共线性。
多重共线性可能会导致回归系数的估计不准确或难以解释。
我们可以通过计算变量之间的相关系数和方差膨胀因子(VIF)来识别多重共线性。
至此，我们已经了解了相关分析和回归分析的基本概念和步骤。
相关分析可以帮助我们衡量变量之间的关系强度，回归分析可以帮助我们建立和解释变量之间的数学关系。
这两种方法在实际应用中经常被用于解决问题和提供决策支持。
项目十相关与回归分析--相关关系的测定及回归模型的建立课件.ppt
※ 回归系数b和相关系数r不但含义不同，取值
也不同，但符号必须是
x
r b 一致的。相关系数与
回归系数之间的关系：
y
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（一）一元回归分析（续2）
2.二次曲线回归分析 将自变量的观察值按由小到大依次排列，然后计算自变量的 一次差和因变量的二次差，若自变量的一次差和因变量的二次 差分别接近一个常数，则现象之间的关系属二次曲线形式：
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★ 直线相关系数的计算实例
相关系数计算表
x y 企业 月产量 生产费用
2
2
编号 （千吨）x （万元）y
xy y c ( y yc )2
1
1.2
2
2.0
3
3.1
4
3.8
5
5.1
6
6.1
7
7.2
8
8.0
62
1.44 3844 74.4 66.8
23.04
86
4.00 7396 172.0 77.13
相关分析的作用：通过相关分析，可以确定现象 相关关系的形式、方向和程度；为回归分析奠定 基础；为回归预测提供参考数据。
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※ 相关分析方法之相关表
相关表是根据相关变量的原始数据，按自变量和因变量的 对应关系平行排列在一张表格上而形成的统计表。它是相 关分析的一种最简单的方法，可以粗略地反映变量之间相 关关系的形式和密切程度。在相关表中，自变量数值按从 小到大顺序排列。
★ 曲线相关系数
曲线相关系数 又称为相关指 数，是测定两 变量之间曲线 相关密切程度 的统计指标。
R
2 yc
2 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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※ 相关分析方法之相关系数
相关系数是表明现象之间相关关系的密切程度的 指标。它是相关分析的重要指标。
由于不同现象所涉及的相关因素多少不同以及相 关分析目的的差异，相关系数又可以分为直线相 关系数、曲线相关系数、复相关系数和偏相关系 数四种。
直线相关系数
直线相关系数是测定现象之间直线相关的方 向和密切程度的统计指标。计算公式：
广告费与销售额；受教育年限与收入之间的关系等。 2011年某地区职工受教育程度与收入关系表 学 历 年人均收入（元） 研究生 本科 60262 52692 专科 41131 中专 30038 其他 18600
任务一
理解相关关系的涵义 熟知相关关系的测定
一、相关分析的意义
现象间的依存关系通常有两类：函数关系和相关关系。 （一）函数关系 自变量和因变量
2 xy r x y
( x x)( y y) (x x ) ( y y )
2
2
r
n x
n xy x y
2 2
x . n y y
2
2
★ 直线相关关系的判断
r取值在-1到+1之间，或者|r|≦1。 相关系数r的符号只表示相关的方向。 |r|表示相关的程度。 |r|≦0.3 基本无关 0.3<|r|≦0.5 低度相关 0.5<|r|≦0.8 显著相关 0.8<|r|<1 高度相关 特殊：r=o 无直线相关 |r|=1完全相关
相关与回归分析和经济问题研究
※ 相关与回归分析是数理统计在社会经济统计中的应用，也
属推断统计。它为认识现象间数量关系，寻找影响事物变 化主要原因，进行统计预测等，提供了非常有效的手段。
※ 诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔逊说过，二战后的经济学是
计量经济学时代。回归分析是计量经济学基本分支和理论 支柱。1969年设诺贝尔经济学奖以来，50多位获奖者中 绝大部分获奖者是统计学家、计量经济学家和数学家。就 他们的著作来看，他们对统计学和回归分析方法的应用都 很娴熟，这充分说明统计方法在现代经济研究中的重要作 用。对错综复杂的宏观经济问题研究常需要涉及几十甚至 上千个变量和方程，需矩阵理论和计算机技术。
※
相关分析方法之相关表
相关表是根据相关变量的原始数据，按自变量和因变量的 对应关系平行排列在一张表格上而形成的统计表。它是相 关分析的一种最简单的方法，可以粗略地反映变量之间相 关关系的形式和密切程度。在相关表中，自变量数值按从 小到大顺序排列。 若因变量的数值也是由小到大发生大致均等的变化，则属 直线正相关；反之，属直线负相关。 若因变量的数值开始时随着自变量的增大而增加，当自变 量增加到一定程度时，因变量数值则随自变量的增加而减 少，则为二次曲线相关； 若因变量的数值开始时随着自变量的增大而逐渐增加，当 自变量增加到一定程度时，因变量随自变量增加的幅度增 大，则这种相关关系为指数曲线相关。
※
相关分析方法之相关图
相关图优点：可直观判断相关关系的类型
相关图的绘制方法：先绘制直角坐标系，横轴 代表自变量X，纵轴代表因变量Y，将X和Y的 对应值在直角坐标系中画出坐标点，所有坐标 点组成的图形，就称相关图。
相关图类型
相关图类型（续）
相关图实例
根据企业月产量和生产费用资料绘制相关图
可以看出，相关点分布近似为一条上升直线，且关系比较密 切，说明月产量与生产费用之间存在直线正相关关系。
系
（三）相关分析法及其作用
相关分析是通过对大量数字资料的观察，消除偶 然因素的影响，探求现象之间相关关系的密切程 度和表现形式的一种统计方法。相关分析的对象 是相关关系。 在研究相关关系时，为了找到现象间数量关系的 内在联系和表现形式，常常要借助于函数关系的 形式加以描述。 相关分析的作用：通过相关分析，可以确定现象 相关关系的形式、方向和程度；为回归分析奠定 基础；为回归预测提供参考数据。
★ 直线相关系数的计算实例
相关系数计算表
企业 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 月产量 （千吨）x 1.2 2.0 3.1 3.8 5.1 6.1 7.2 8.0 36.4 生产费用 （万元）y 62 86 80 110 115 132 135 160 880
出勤率
数学成绩 师生比
统计学成绩
教学学时 等等… 校园环境
学习时间
学风
居民储蓄额的相关影响因素
居民 收入
股市 行情 社会 保障
利率
储居 蓄民 额
失业率
消费 观念
消费 支出
通货 膨胀率
※
相关关系的种类
因素多少
单相关 复相关
正相关 负相关 线性相关 曲线相关 完全相关 不完全相关 零相关
相
关
关
相关方向 相关形式 相关程度
相关表法 实例
企业月产量与生产费用相关表
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 月产量（千吨） 1.2 2.0 3.1 3.8 5.1 6.1 7.2 8.0 36.4 生产费用（万元） 62 86 80 110 115 132 135 160 880
可以看出，生产费用（因变量）随着月产量（自变量） 的增加而逐渐增加，可判断二者是直线正相关关系。
函数关系指现象间存在的严格数量依存关系。即某现象
变化必然引起另一现象的唯一确定的相应变化，这种关 系可用数学表达式反映。如： 圆的面积=π×半径的平方 ；利息额=存款额×利率 等等。
（二）相关关系
相关关系指现象间确实存在的非严格的数量依存关 系。其特征是：一种现象发生变化，会引起另一种 现象的变化，但这种变动关系并非惟一确定。
《统计学》课件
项目十 相关与回归分析——
相关关系的测定及回归模型的建立
教学目的与要求
通过本项目学习，了解相关与回归分析 的概念；掌握相关系数的计算方法；并能够 建立适当的回归模型和进行回归预测。
教学重点与难点
重点：计算相关系数；回归方程的建立； 难点：估计标准误差的计算；相关与回归分 析应注意问题。
本项目的主要任务
相关分析
回归分析
相关与回归分析 应注意的问题
导例 受教育年限与收入的关系
社会经济现象间存在普遍联系。有的事物间关联微弱，以 至事实上可认为无关，如姓氏笔画与寿命。在有联系事物间其 紧密程度也各异，最极端的是一事物能完全决பைடு நூலகம்另一事物。实
际中有不少是事物间有联系但非密切到可完全决定的程度，如