RC一阶电路

9 RC 一阶电路（动态特性 频率响应）

一个电阻和一个电容串联起来的RC 电路看起来是很简单的电路。实际上其中的现象已

经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。

9.1 零输入响应

1.电容上电压的过渡过程

先从数学上最简单的情形来看RC 电路的特性。在图9.1 中，描述了问题的物理模型。假定RC 电路接在一个电压值为V 的直流电源上很长的时间了，电容上的电压已与电源相等（关于充电的过程在后面讲解），在某时刻t 0突然将电阻左端S 接地，此后电容上的电压会怎么变化呢？应该是进入了图中表示的放电状态。理论分析时，将时刻t 0取作时间的零点。数学上要解一个满足初值条件的微分方程。

看放电的电路图，设电容上的电压为v C ,则电路中电流 dt

dv C

i C

=，

依据KVL 定律，建立电路方程：

=+dt

dv RC

v C

C

初值条件是 ()

V v C =0

像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。

设其解是一个指数函数： ()

t

C e t v S K = K 和S 是待定常数。

代入齐次方程得 0=KS +K S S t

t

e RC e

约去相同部分得 0=S +1RC 于是

RC 1

-=S

齐次方程通解 ()RC

t C e

t v -K =

还有一个待定常数K 要由初值条件来定： ()

V

K Ke

v C ===00

最后得到： ()

t RC

t C Ve

Ve

t v --

==

在上式中，引入记号RC

=τ，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。

它有什么物理意义呢？

在时间

t = τ 处， ()V V Ve

v 0.368=e

==-1

-C τ

ττ 时间常数 τ是电容上电压下降到初始值的1/e ＝36.8% 经历的时间。

当t = 4 τ 时，()V v 0183.0=4C τ，已经很小，一般认为电路进入稳态。

数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V 到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为：

()()0=S ≤t V t v 对 ；()()00=S ≥t t v 对。

[练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。 仿真分析本专题电路

得到波形图如图9.2 所示。

在0到1m 这时间内，电压源值为V ，在时刻1m 时电压源值突然变到0。仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m 以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V “很长时间”后的持续状态。上面理论分析只适用于1m 以后的时间过程。时刻1m 是理论分析的时间“零”点。图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。由v C 曲线找到电压值为0.368V 的地方，读出它的时刻值(=2m )，即可求到电路的时间常数是1m (1毫秒)。

图中也画出电阻上电压变化曲线。观察，发现在1m 以前，电阻电压为0，在时刻1m ，电阻电压突变到 -V ，然后逐渐升到0。怎样理解这个过程呢？

2.电阻上电压的过渡过程

虽然专题电路图中取电阻的电压时是由电阻直接落地的电路得到的，但电路元件参数是相同的，该电阻上的电压应和电容落地电路中的电阻是一样的。按照这种想法，看图9.1 ，注意电阻的电压的参考方向应是由S 点向右，即应是v(S 点)-v C ，在电源电压为V 的时间内，电容已被充电到v C =V ，那么v R = v(S 点)-v C =V -V =0。在理论分析时间0处，电压源的电压值突变到0，即v(S 点)=0，但电容上的电压不能突变（回顾电容的特性：电压有连续性）。为了区分突变时刻的前和后的状态，用0- 表示突变前，0+ 表示突变后。

即是说， v C (0+)= v C (0-)=V

那么， v R (0+)= 0-v C (0+)= -V

在随后的时间内，按KVL 定律， 电阻上的电压应为：

()()t RC

t C R Ve

Ve

t v t v ---=-=-=

当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。

在图9.3 中，看S 点突然改为接地后电容的放电过程。

以电阻的电压作求解变量。利用KCL 定律， 电路微分方程

R

v dt v d C

R R =

)

-0( 整理得

=+R

R dt dv

RC

v

由上面的分析知初值条件是：

()V v -=0+R

与上面对电容电压的演算过程类似，就可得到 ()

t -R C

t

--=-=Ve Ve t v R

对比用电容电压和用电阻电压作求解变量的两个微分方程，发现形式一样。最后 的解却不同，这是由于它们的初始条件不同。

由此可见，初始条件对于电路过程的求解是非常重要的。

9.2 RC 电路的非零起始态响应

图9.4 表示的是假定在考察的起始时间的“零”以前，电容上已经有电压V 1，在“零”时电源电压突变到V 2。在随后的时间里，电路中的电流、电容上电压、电阻上电压会怎样变化？

以电容上电压v C (t )作求解变量，

在t >0的时间里，电路的微分方程为：

2

1

=

1

+

V RC v RC dt dv

C C

初始值是：()()1-+=0=0V v v C C