平面平面的基本性质及应用

平面、平面的基本性质和应用

一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：

（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；

2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b和直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线

的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A

与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理和推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）

∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。分析由a//b可确定一个平面α；由

b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。

（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。

证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）

∵b//c（已知）∴b,c确定一个平面β（推论3）∵A∈a,B∈b, ∴A∈α, B∈α, ∴直线AB

α即dα（公理1）

同理可证：dβ, ∴α，β都经过b和d，∵b∩d=B ∴α与β重合（推论2）。

三、证明三线共点，三点共线的方法

1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上；

2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。

例3：已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A.求证：A∈l（或者a,b,l共点）分析：只需证明

A为α，β的公共点。

证明：∵a∩b=A, aα, bβ, ∴A∈aα,A∈bβ, 即A为α，β的一个公共点，

∵l是α和β的交线，∴A∈l.

例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。求证：D，E，F共线。

证明：∵ΔABC顶点不共线，∴A，B，C可确定平面β,

∵D∈α且D∈ABβ, ∴D是α，β的公共点。

同理可证：E，F也是α，β的公共点，

∴D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。

典型例题

一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.已知:直线AB、BC、CA两

两相交,交点分别为A、B、C。求证:直线AB、BC、CA共面。证明:∵直线AB和AC相

交于点A, ∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2).

∵B∈AB,C∈AC, ∴BCα(公理1). 因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面.

说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3和它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明.

二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内.已知:直线

a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C.求证:a、b、c、l共面。证明:∵a∥b. ∴a与b

确定一个平面(推论3).

∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α, ∴直线AB,即lα.

也就是a、b、l共面于α。同法可证明b、c、l共面于β.

这就是说b、l既在平面α内又在平面β内.

而l∩b=B. 由公理3的推论2可知α,β是同一个平面. ∴a、b、c、l在同一平面内.

说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用“间接法”证明.本题采用了“同一法”,也可采用“反证法”来证明.

三．已知:延长△ABC三边.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.求证:P、Q、R共线。证明:∵△ABC

三顶点为不共线的三点. ∴A、B、C三点可以确定一个平面β.

∵P∈AB,ABβ, ∴P∈β.

又∵AB∩α=P,即P∈α。∴P∈αβ=l.

同理可证Q∈l, R∈l,即P、Q、R共线。

说明:在空间几何中,证明几点共线.往往要用到公理2.

四.证明:三个平面两两相交得到三条直线.(1)如果其中两条直线交于一点,那么第三条直线也过这

点.(2)如果其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行.已知: α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c。(1)若

a∩b=0,求证:0∈c. (2)若a∥b,求证:a∥c, b∥c。证明:(1)∵α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0。∴0∈β，0∈γ。

而β∩γ=c. ∴0∈c(公理2)。

(2)∵α∩β=a,β∩γ=c，∴aβ,cβ,即a、c共面于β。∴a或c成平行或相交.

假设a∩c=P,则由(1)的结论可知P∈b.

即a∩b=P,这与a∥b矛盾,∴假设不成立，故a∥c,

同理可知b∥c。

说明:本题的结论是对三个平面两两相交,交线的位置关系的判定,它对今后的画图有着很重要的作用.应给予重视.

[习题]：

1．a,b,c交于同一点O，直线d与a,b,c分别交于A，B，C三点。求证：a,b,c,d共面。

2．已知：平面α，β，γ，α∩β=a, α∩γ=b, β∩γ=c,且a//b=M。求证：a,b,c三线共点。

3.已知:α∩β=l, aα,bβ,a∩b=A. 求证:A∈l.

4.如图:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.试在β内找一点D.使A、B、C、D四点为一梯形的四个顶点,这样的点D共有几个？