2016-2017学年高中数学人教A版必修3课件:3.2.1 第二课时 古典概型的综合问题
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(1)记“头两位数字都是 8”为事件 A,则若事件 A 发生,头 两位数码都只有一种选法,即只能选 8,后六位各有 10 种选法, 故事件 A 包含的基本事件数为 m1=106.所以由古典概型概率公 式,得 P(A)=mn1=110068=1010=0.01.
(2)记“头两位数字都不超过 8”为事件 B,则事件 B 的头两 位数码都有 9 种选法,即从 0~8 这 9 个数字中任选一个,后六 位各有 10 种选法,
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随 机取一个球,记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的有:(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个. 所以,满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1=136, 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1-136=1136.
[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5,大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有 可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6), (A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5), (A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所 有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 种. 所以 P(B)=135=15.
数字型问题
[例 2] 某城市的电话号码是 8 位数,如果从电话号码本中任 取一个电话号码,求:
(1)头两位数字都是 8 的概率; (2)头两位数字都不超过 8 的概率. [解] 电话号码每位上的数字都可以由 0,1,2,…,9 这十个 数字中的任意一个数字组成, 故试验基本事件总数为 n=108.
[解] (1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切 可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2),(a1,b),(a2, a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2).其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品.总的事件 个数为பைடு நூலகம்6,而且可以认为这些基本事件是等可能的.
[类题通法] 解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看做是有 顺序的,也可以看做是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论 选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为 先后顺序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一个基本事件.解题 的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每 一件产品被取出的机会都是均等的.
故事件 B 所包含的基本事件数为 m2=81×106. 所以由古典概型概率公式,得 P(B)=mn2=811×08106=0.81.
[类题通法] 解决数字型问题
(1)电话号码及密码问题中,每个数字在各个位置出现的机会 是相等的,且首位也可以为 0.
(2)由于此类问题的基本事件数目较大,且很难一一列举,常 借助整数的有关性质求解.
[活学活用] 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然 后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有: 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个.从袋中取出的两 个球的编号之和不大于 4 的事件有:1 和 2,1 和 3,共 2 个,因此 所求事件的概率为 P=26=13.
用 A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件, 所以 A=a1,b,a2,b,b,a1,b,a2. 因为事件 A 由 4 个基本事件组成, 所以 P(A)=46=23.
(2)有放回地连续取出两件,其所有可能的结果为(a1,a1), (a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b, a2),(b,b),共 9 个基本事件组成.由于每一件产品被取到的 机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用 B 表示“恰有一件次品”这一事件,则 B={(a1,b),(a2,b), (b,a1),(b,a2)}.事件 B 由 4 个基本事件组成,因而 P(B)=49.
概率与统计的综合问题
[例 3] 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分 层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率.
2016-2017学年高中数学人教A版必修 3课件:3.2.1 第二课时 古典概型的综
合问题
有序和无序型问题
[例 1] 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b 的三件产品中, 每次任取一件.
(1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有 一件次品的概率;
(2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一 件次品的概率.
[活学活用] 储蓄卡的密码是一种六位数字号码,每位上的数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取. (1)如果某人拾到储蓄卡一张,随意按下六位号码正好按对密码 的概率是多少? (2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字,随机按下两位数字 正好按对密码的概率是多少?
解:(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码,且每位上的数字都有 从 0 到 9 共 10 种取法,故这种号码共有 106 个.由于随意按下 一个六位号码,无论按下哪个号码的可能性都是均等的,故正 好按对密码的概率 P=1106. (2)按六位号码的后两位数字共有 10×10=100 种按法,随意按 下后两位数字,每一种按法机会均等,故按对的概率为 P=1100.