9.4抛物线-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)

第9章解析几何

9.4 抛物线

抛物线的定义、方程与性质是每年高考的必考热点，选择题、填空题、解答题中均有考查，着重考查抛物线的几何性质与标准方程求法，难度中档.

1．（2022·乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）

A．2B．2√2C．3D．3√2

（多选）2．（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F 的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2√6B．|OB|＝|OF|

C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°

题型一.抛物线的定义及应用

1．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为√2，则p＝（）

A．1B．2C．2√2D．4

2．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x2

3p +

y2

p

=1的一个焦点，则

p＝（）

A．2B．3C．4D．8 3．（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）

A．2B．3C．6D．9 4．（2021•北京）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若|MF|＝6，则点M的横坐标是；△MNF的面积为．5．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）

A ．经过点O

B ．经过点P

C ．平行于直线OP

D ．垂直于直线OP

6．（2017•新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |＝ ．

题型二.抛物线的几何性质及应用

1．（2020•新课标Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）

A ．（14，0）

B ．（12，0）

C ．（1，0）

D ．（2，0）

2．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ．若|FQ |＝6，则C 的准线方程为 ．

3．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）

A ．√5

B ．2√2

C ．2√3

D ．3√3

4．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝4√2，|DE |＝2√5，则C 的焦点到准线的距离为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 5．（2015•新课标Ⅰ）已知椭圆

E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：

y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．（2018•新课标Ⅲ）已知点M （﹣1，1）和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝ ．

7．（2016•四川）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）

A ．√33

B ．23

C ．√22

D ．1

题型三.抛物线焦点弦的经典结论

1．（2007•全国卷Ⅱ）设F 为抛物线y 2

＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →+FB →+FC →=0→，则|FA →|+|FB →|+|FC →|的值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．6

D ．9

2．（2020•海南）斜率为√3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．

3．（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

4．（2012•安徽）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为（ ）

A ．√22

B ．√2

C ．3√22

D ．2√2

5．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）

A ．y 2＝4x 或y 2＝8x

B ．y 2＝2x 或y 2＝8x

C ．y 2＝4x 或y 2＝16x

D ．y 2＝2x 或y 2＝16x

6．（2013•大纲版）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M （﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →•MB →=0，则k ＝（ ）

A ．√2

B ．√22

C ．12

D ．2

7．（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）

A ．12

B ．23

C ．34

D ．43

1．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点P （x 0，12）在C 上，且|PF|=34，则P ＝（ ）

A ．14

B ．12

C ．34

D ．1

2．过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于1的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则1的倾斜角为（ ）

A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

3．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x ﹣3y +11＝0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．√5

D ．√7