函数的性态分析

高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。

思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。

例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。

例3、若方程22sin02x x x a π-+=有且仅有一个实数根，试求出实数a 的值。

解：令()F x =22sin2x x x a π-+，又()()F x F x -=，()F x ∴为偶函数。

要使方程22sin02x x x a π-+=有且仅有一个实数根，只有0x =是它唯一的实根。

将0x =代入得0a =，又当0a =时，原方程为：22sin 02x x x π-=，即(2sin)002x x x x π-=∴=或2sin2x x π=，由图像可知2sin2x x π=只有一个交点(0,0)。

∴满足题意实数a 的值为0a =。

点评：找到了所构造的函数具有偶函数的特征，从而可利用数形结合的方法揭示其本质。

例题4 已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围． 解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x <≤，22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，1212()16x x x x ∴+>．a ∴的取值范围是(16]-∞，．例题5、已知函数23)(bx ax x f +=的图像在点)2,1(-处恰好与03=-y x 垂直，又)(x f 在[]1,+m m 上单调递增，则m 的取值范围是 .解：()∴+=',23)2bx ax x f ⎩⎨⎧-=-'=-3)1(2)1(f f ，即⎩⎨⎧-=-=+-3232b a b a ，233)(31x x x f b a +=∴⎩⎨⎧==∴，)(),2(363)(2x f x x x x x f ∴+=+='∴在()2,-∞-与()+∞,0上是增函数，21-≤+m 或0≥m ，得3-≤m 或0≥m 。

(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。

故选D要点小结：本题主要是考查了导数的几何意义、直线与直线的位置关系，以及用导数方法研究函数单调性等知识点。

例题6（2009全国试题）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )。

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数思路点拨：本题是对抽象函数的奇偶性、对称性和周期性的综合考查。

解这类题要用到代换转化思想。

解法一: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),∴-+=-+ f x f x ①(1)(1)--=-- f x f x ②，对于①式用2x +替换x 可得[(2)1](21),-++=-++f x f x (1)(3)--=-+f x f x 即，(1)(3)∴-=+f x f x ，可见()f x 周期为4，(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。

故选D解法二： (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),∴-+=-+ f x f x ①(1)(1)--=-- f x f x ②，所以()f x 的图像分别关于点（1，0）和（－1，0）中心对称，则周期是2|1(1)|4--=。

(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。

故选D例题7 设y = f （x ）为R 上的奇函数，且对于R x ∈都有f （x+2）= －f （x ）. (1)证明：f (x)为周期函数; (2)证明:x =1为对称轴;(3)若当11≤≤-x 时,x x f sin )(=,写出51≤≤x 时，f (x)的解析式; (4)对于(3)中的f (x),若{}()A x f x a =>非空,求实数a 的取值范围.解：(1)),())(()2()22()4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+所以,f (x)是以4为周期的周期函数;(2) )1(]2)1[()1(--=+-=+x f x f x f又f(x)为奇函数,则)1()1()1(x f x f x f -=--=+,所以,x=1是函数f (x )的对称轴.(3)因为 f (x)关于x=1对称,所以,当31≤≤x 时,)2sin()(x x f -=,又f (x )是周期为4的周期函数,所以,当53≤≤x 时,).4sin()(-=x x f综上,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤≤-=时当时当时当53),4sin(31),2sin(11,sin )(x x x x x x x f(4)因为()f x 的最大值为sin1,所以当a<sin1时,集合{}a x f x A >=)(非空. 思考：注意问题中的要求，恒成立怎么做，有解怎么做。

例题8、已知函数),20,0,0)((sin )(2πϕϕ<<>>+=w A wx A x f 且)(x f y =最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. (1) 若图象过点（1，2）求ϕ;（2）计算).2008()2()1(f f f +++解:)(sin 2ϕ+=wx A y )22cos(22ϕ+-=wx AA )(x f y = 的最大值是2，w>0，.4,2)(21ππ==∴w w22()cos(2)1cos(2).2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+由)(x f y =过(1,2)点, 得1)22cos(-=+ϕπ22,,,.24k k Z k k Z ππϕππϕπ∴+=+∈∴=+∈又,20πϕ<<故.4πϕ=(2) 计算).2008()2()1(f f f +++解:由),4(sin 2)(2ϕπ+=x x f 得22223(1)(3)2sin ()2sin ()2,(2)(4)2sin ()2sin () 2.442(1)(2)(3)(4) 4.f f f f f f f f πππϕϕϕπϕ+=+++=+=+++=∴+++=又)(x f y =的周期为4,,50242008⨯=故.20085024)2008()2()1(=⨯=+++f f f 总结：求三角结构式中的多项和问题，不妨可以寻找出相关的周期规律后再求和。

练习题：1．设集合{}{}221,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则集合A B = ． 2．设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f的值为3．已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}R x x y y B ∈==,，则=B A .4. 已知1a ≤时，集合[],2a a -有且只有3个整数，则a 的取值范围是___________.5.函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是_ __。

6.设f (x)是定义在R 上的奇函数,且y =f (x)的图像关于直线21=x 对称，则 )5()4()3()2()1(f f f f f ++++=______.7. 已知定义在R 上的奇函数f (x)满足)2(+x f =)(x f -,则(6)f 的值是______. 8. 函数f (x)对于任意实数x 满足条件,)(1)2(x f x f =+若,5)1(-=f 则=))5((f f __. 9.函数x x y arcsin sin +=的值域是 10.若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数,则a=______. 11.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数,那么a 的取值范围是______.12.设定义于域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=),1(1),1(11)(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解,,,321x x x 则232221x x x ++的值为_____ 13.已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 14．已知函数()1).f x a =≠ （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ;(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .15．对于定义域为D 的函数()f x 同时满足条件：（1）常数,a b 满足a b <，区间[],a b D ⊆，（2）使()f x 在[],a b 上的值域为[],,(),ka kb k N *∈那么我们把()f x 叫做[],a b 上的“k 级矩形”函数。