一次函数之数形结合(一次函数)
一次函数求k取值范围数形结合
一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。
它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。
一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。
3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。
通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。
4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。
同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。
接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。
首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。
在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。
通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。
接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。
数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。
我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。
在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。
通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。
一次函数中的数形结合
像 ｎ图 ｌ ， 贝 ４ 下歹 ｑ结 论
① ＜ ０ ； ②ｎ ＞ ０ ； ③ 当ｘ ＜ ３ Ｄ ／ ／ ３＼ Ｙｌ ＝ ｋ ｘ ＋ｉ 时， Ｙ ＜ ｙ ２ 中， 正 确 的 个
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次 函数 中的数形结合
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华 罗庚 先 生 曾指 出 ： “ 数 与 形本 是 相 倚 Ｙ ， 在 两 个 函 数 图像 交 点 的 左 边 即 ｘ ＜ ３时 ，
依 ， 焉能分作 两边 飞 ； 数缺 形 时少直 觉 ， 形
Ｙ 的图像位于ｙ 图像的上方， 因 坳 ＞ Ｙ ２ ． 故
算 的 目的 ．
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【 典例精析 】
例 １ 一 次 函 数 ｙ ｌ ＝ ｋ ｘ＋ ｂ与 Ｙ２ ＝ ＋ ０的 图 ＼
Ｙ
【 解析 】 由ｋ ・ ｋ ２ ＜ Ｏ可得ｋ 。 与ｋ 异号 ， 故 有 一 条 直线 是 上 升 的 ， 一条直线是下降的 ，
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形” 可使 复 杂 问题 简单 化 ， 抽 象的数 学 问题 直观 化 、 生动 化 ， 能 够 变抽 象 思 维 为 形 象 思维 ， 有 助 于 把 握 数 学 问题 的 本 质 ． 另外，
由于 使 用 了数 形 结 合 的 方 法 ， 很 多 问题 便
迎 刃而 解 ， 且 解法 简捷 ， 从 而 起 到 优 化 计
～
一次函数中的数形结合思想
一次函数中的数形结合思想在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.一、面积型根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.所以交点C的坐标为（5，13）因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的解析式.【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：（1）x取何值时，x+3＞0；（2）x取何值时，x+3＜0；（3）x取何值时，x+3＞1；【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.（1）当x＞-3时，x+3＞0；（2）当x＜-3时，x+3＜0；（3）当x＞-2时，x+3＞1.【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数的解析式.【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.【解】对k的值分两种情况进行讨论；（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得y=﹣x+2.综合上述两种情况，符合条件的解析式为：y=x+8或y﹣x+2【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.三．实际应用型我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；（3）由图像可知：当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
一次函数几何综合题解题技巧
一次函数几何综合题解题技巧一次函数是初中数学的重点知识之一，同时也是中考的热点。
它与几何知识的综合应用在中考中主要体现在：利用一次函数求待定系数、一次函数图象与几何图形相结合、一次函数图象的应用等几个方面。
本文将结合实例谈谈一次函数与几何图形综合题的解题技巧。
一、利用一次函数求待定系数解决这类问题的关键是利用已知条件建立方程组，求出待定系数。
具体来说，一般先设出一次函数解析式，利用已知条件得到解析式中的系数，再得到一次函数解析式。
【例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C。
（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）根据图像，当C的横坐标在哪个取值范围内时，线段AB不经过第四象限？分析：（1）由点C在反比例函数图象上，可直接求得解析式；（2）由于点C在直线AB上，可设直线AB的解析式为，将点C 的坐标分别代入解析式，可求得A、B两点的坐标，进而可求得直线AB 的解析式；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
解：（1）设反比例函数的解析式为，将点C（3，4）代入得，所以该反比例函数的解析式为；（2）设直线AB的解析式为，因为点C（3，4）在直线AB上，所以，解得，所以直线AB与轴交于点D（6，0），又因为点A（－3，－4），所以直线AB的解析式为；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
二、一次函数图象与几何图形相结合此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。
解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。
【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），点D是边BC上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D的抛物线经过点A、C、E。
（1）求该抛物线的解析式；（2）当AC为何值时，四边形DEOB为平行四边形？请说明理由；（3）设点D的坐标为（x，y），①试求该抛物线的对称轴及点D 到直线AC的距离；②试探究在抛物线上是否存在点M，使四边形AMDE 的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
浅析一次函数中的数形结合
浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。
数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。
如结绳计数、符号计数等。
因此，数与形相伴而生，如影随形。
所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。
其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。
数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。
一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。
所以说，一次函数是数形结合的典型模型。
一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。
这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。
利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。
（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。
反之亦然。
（2）、确定图象的位置。
具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。
我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。
但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。
下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。
一次函数中蕴含的数学思想方法
一次函数中蕴含的数学思想方法所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。
掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓，因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法，不是机械的传授。
下面我就在一次函数教学中用到哪些数学思想方法谈谈个人的一些做法：一、数形结合思想方法“数无形，太少直观，形无数，容易精微”。
“数形融合”就是数学中最重要的，也就是最基本的思想方法之一，就是化解许多数学问题的有效率思想。
利用“数形融合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简，并使抽象化显得直观。
例如：一次函数y=-x+5图象不经过哪一象限？数学分析一：根据图象性质，k＜0,b＞0过一二四，即为不过三象限。
数学分析二：若忘了一次函数图象性质，可以作出此函数的图象，问题就迎刃而解了。
这就是利用了数形融合思想方法。
三、分类思想方法当一个问题因为某种量的情况相同而有可能引发问题的结果不同时，须要对这个量的各种情况展开分类探讨，比如一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限，这时就要分后四类探讨：(1)当k＞0,b＞0时，图象经过一二三象限；(2)当k＞0,b＜0时，图象经过一三四象限；(3)当k＜0,b＞0时，图象经过一二四象限；(4)当k＜0,b＜0时，图象经过二三四象限。
四、整体思想方法整体思想从问题的整体性质启程，注重对问题的整体结构的分析和改建，辨认出问题的整体结构特征，擅于用“内置”的眼光，把某些式子或图形看作一个整体，把握住它们之间的关联，展开存有目的.的、有意识的整体处置。
整体思想方法在代数式的化简与表达式、解方程（组）、几何解证等方面都存有广为的应用领域，整体代入、共振砌乘坐处置、整体运算、整体设元、整体处置等都就是整体思想方法在求解数学问题中的具体内容运用。
数形结合在一次函数中的应用
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根 据 图 象 ， 答 下 列 问题 ： 解
析 式 ． 而利 用 函数 图 象 的性 质来 解 从
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分析 ： 由题 意 得 ： 刚 前 ４ ０米 时 与 甲地 的距 离 小 ５ 行 走 的 时 间 ｔ＝ １ ＝ ５ （ ）ｓ ｔ １ 分 ，随
分 析 ：１ 由 题 意 得 ： （） 线段 Ｏ 表 Ａ
例 题 ：小 刚 每天 从 家 去 学 校 ． 上 学 行 走 的路 程 为 ９ ０米 天 他 从 家 ０ 某
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Ｂ（ ． ２ ） Ｃ ５ ０ ， 入 得 ： ２ ，１ ０ 、 （ 、 ） 代 ５
例 题 ： 一 次 运 输 任 务 中 ． 辆 在 一
２ ： 数 关 系 ． 后 根 据 函象 ． 而 归 纳 出 函数 的 图 从
同。 ■髓圄咖 湖 育ｌ 教学 ４ 北教 教育 ５
实践
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是线段 Ｏ Ａ所 表 示 的正 比例 函数 ．＝ ｖ 评 注 ： 数 形 结 合 的 问题 时应 注 解
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（ ０ ，０ ０ ）Ｂ（５ ，４ ０ ） １ ０ １０ ０ 、 １０ １０ ０
强 解 决 问 题 的灵 活 性 ． 高 分 析 问 题 提
解决 问题 的 能力 数 学 中 渗透 数 形 在
当 ｘ １０时 ． ≥ ０ Ｙ与 ｘ的 函 数 关
一次函数数形结合(人教版)(含答案)
一次函数数形结合（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )A.y=2B.y=3C.x=2D.x=3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x<1时，y的取值范围是( )A.-2<y<0B.-4<y<0C.y<-2D.y<-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围3.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.当x＞0时，y＞-2B.当x<1时，y＞0C.当x<0时，-2<y<0D.当x≥1时，y≤0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围4.如图，若直线与直线的交点坐标是（2，-1），则当时，x的取值范围是( )A.x≤-1B.x≤2C.x≥-1D.x≥2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围5.如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，当直线y=ax+b在第四象限时，自变量x 的取值范围是( )A.0≤x≤2B.x＞2C.0<x<2D.-1<x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围6.如图，函数y=2x和y=ax+8的图象相交于点A（m，6），则不等式ax＞2x-8的解集为( )A.x<3B.x＞3C.x<6D.x＞6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围7.如图，直线y=kx+b经过A（3，1），B（-1，-3）两点，则不等式组的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围8.已知，，若对任意一个x，n都取中的较小值，则n的最大值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围9.已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，中的最小值，则y的最大值为( )A.2B.C. D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围。
一次函数中的数学思想
——一次函数中的数学思想数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．一次函数中包含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等．现例析如下，供同学们参考．一、数形结合思想直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合，使抽象的数形象化、直观化．化数为形，以形思数，是解决数学问题的关键．数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径．例1（2006年•陕西省）例甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地，21l l 、分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求2l 的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地？该车比另一辆车早多长时间到达B 地？析解：（1）设2l 的函数表达式是b x k y +=2，由图像知2l 经过两点（43，0）、（434，400），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 22419400430解之得75,1002-==b k ．∴2l 的函数表达式是75100-=x y ；（2）乙车先到达B 地；∵75100300-=x ，∴415=x ．设1l 的函数表达式是x k y 1=，∵图像过点（415，300），∴801=k ，即x y 80=．当400=y 时，x 80400=，∴5=x ．∴414195=-（小时）∴乙车比甲车早41小时到达B ． 二、转化思想利用直角坐标系，可以把数量问题转化为图形问题解决；或把求点的坐标转化为求线段的长；求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题．例2（2006年•邵阳市）百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛．如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象，请你根据图象回答下列问题：（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位；（2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点；（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先．析解：（1）1.8分钟时，甲龙舟队处于领先地位．（2）乙龙舟队先到达终点． （3）设甲龙舟队的解析式为y ＝kx ，则141000k =，2501=k ．∴甲龙舟队的解析式为y ＝250x ．设乙龙舟队 2.2分钟后的解析式b x k y +=2，则⎩⎨⎧+=+=b k b k 228.310002.2400，解得3752=k ，425-=b ， ∴乙龙舟队 2.2分钟后的解析式425375-=x y ．依题意有⎩⎨⎧-==425375250x y x y ，∴⎩⎨⎧==8504.3y x ．∴比赛开始3.4分钟后，乙龙舟队开始领先． 评注：数学中的符号语言、图形语言之间能互相转化．此题体现了从形到数，考查了识图、读图能力，从图象得到更多的与实际相联系的信息内容．三、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，不重复、不遗漏是分类的基本原则．例3（2006年•绍兴市）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：(1)根据图中信息，请你写出一个结论；(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．析解：（1）具有开放性，答案不唯一．锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升，2分钟前水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x ≤2时，设函数解析式为y=k 1x+b 1, 把x=0,y=96和x=2,y=80代入得，⎩⎨⎧=+=.802,96111b k b 解得⎩⎨⎧=-=.96,811b k ∴y=-8x+96(0≤x ≤2)； 当x>2时，设函数解析式为y=k 2x+b 2, 把x=2,y=80和x=4,y=72代入得，⎩⎨⎧=+=+.724,8022222b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.88,422b k ∴y=-4x+88(x>2)． 因为前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），所以66=-4x+88, 解得x=5.5． 答：前15位同学接完水需要5.5分钟.(3)①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷2=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水． 当0<t ≤2时，则8（2-t ）+4[3-(2-t)]=8×2, 16-8t+4+4t=16, ∴t=1(分) ∴（2-t ）+[3-(2-t)]=3(分),符合．当t>2时，则8×2÷4=4(分)，即8位同学接完水，需4分钟，与与接水时间恰好3分钟不符．所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．。
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。
在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。
大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。
那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。
在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。
并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。
上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。
另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。
如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。
如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。
但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。
一次函数的解题技巧
一次函数的解题技巧
1、待定系数法：用于确定一次函数的解析式，是方程思想的具体应用；
2、由函数解析式画其图像的一般步骤：列表、描点、连线；
3、一次函数解题常用公式：
求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2等等。
扩展资料
求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
一次函数的解题方法
在解决一次函数相关问题过程中，会运用到许多重要的数学思想方法：
1、数形结合思想：根据数和形之间的对应关系，将数字和图形结合起来以解决数学问题，兼备了直观性和严密性的特征。
2、方程思想：方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据已知条件或所给数量关系列出方程或方程组，通过解方程或对方程进行研究，从而解决问题。
3、转化和化归的.思想：转化和化归的核心是把没做过的题转化为经典的题型，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题顺利得解。
4、分类讨论思想：当面临的数学问题不能统一地进行解决时，可分情况来讨论，最后再组合到一起。
一次函数知识总结归纳
一次函数知识总结归纳一次函数知识总结归纳思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识点1一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=11x等都是一次函数，y=x，y=-x22都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比k例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②kO时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当kO，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点8用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．知识点9x=a和y=b的图象x=a的图象是经过点（a，0）且垂直于x轴的一条直线；y=b的图象是经过点（0，b）且垂直于y轴的一条直线。
《19.2一次函数图像性质》【数形结合】【含解析】
《19.2一次函数图像性质》【数形结合】1．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．2．一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是（）A．B．C．D．3．一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．5．若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．7．下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．8．点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．9．函数y=x﹣1的图象是（）A．B． C．D．10．在下列图象中，能作为一次函数y=﹣x+1的图象的是（）A．B．C． D．11．直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．12．已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．14．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C． D．15．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜016．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是．17．如图，已知函数y=﹣2x+4，观察图象回答下列问题（1）x时，y＞0；（2）x时，y＜0；（3）x时，y=0；（4）x时，y＞4．18．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．【15】【16】【17】【18】19．如图是y=kx+b的图象，则b=，与x轴的交点坐标为，y的值随x的增大而．20．如图是一次函数y1=ax+b，y2=kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围．21．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b＞0．22．已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是．【19】【20】【21】【22】23．一次函数y=mx+n的图象如图所示，则代数式|m+n|﹣|m﹣n|化简后的结果为．24．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是．25．直线y=mx+n，如图所示，化简：|m﹣n|﹣=．26．一次函数的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是．【23】【24】【25】【26】27．一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．28．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，1）（如图），当x时，y≥1．【27】【28】29．函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．与坐标轴围成的三角形为．30．作出直线y=﹣2x+3的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的值增大而．（2）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．（3）当x时，y＞0．一次函数基础达标1啊速度发送参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2016•陕西校级模拟）在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，故B正确．故选：B．2．（2015•屏山县校级模拟）一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解；设a＞0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于正半轴，设a＜0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于负半轴，设a＞0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于正半轴，设a＜0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于负半轴，故选B．3．（2014•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．4．（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，∴，解得k＞1，∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．故选C．5．（2016•河北）若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为b＜0时，直线与y轴交于负半轴，故选B6．（2016春•昌江县校级期末）一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y=mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y=mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次函数y=mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，一次函数y=mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，无符合项．故选C．7．（2000•辽宁）下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由函数图象可知，，解得，0＜m＜3；B、由函数图象可知，，解得，m=3；C、由函数图象可知，，解得，m＜0，m＞3，无解；D、由函数图象可知，解得，m＜0．故选C．8．（2016•齐齐哈尔）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为（4，0），∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），∴C符合．故选C．9．（2014•抚顺）函数y=x﹣1的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵一次函数解析式为y=x﹣1，∴令x=0，y=﹣1．令y=0，x=1，即该直线经过点（0，﹣1）和（1，0）．故选：D．10．（2016•大邑县模拟）在下列图象中，能作为一次函数y=﹣x+1的图象的是（）A．B．C． D．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣1＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故选A．11．（2015秋•西安校级期末）直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴﹣k＜0，∴直线y=bx﹣k经过第二、三、四象限．故选C．12．（2016•静安区二模）已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵函数y=kx+b中k＞0、b＜0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．13．（2014秋•李沧区期末）直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1=kx+b中，k＜0，b＜0，y2=bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C．14．（2011•张家界）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C． D．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y 轴的正半轴上．故选C．15．（2014•镇海区模拟）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜0【解答】解：当x＜0时，图象在y轴的左边，所以对应的y的取值范围为：y＞﹣2．故选C．二．填空题（共15小题）16．（2011•长春）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是x＞2．【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=2，故当y＜3时，x＞2．故答案为：x＞2．17．（2015春•会宁县校级月考）如图，已知函数y=﹣2x+4，观察图象回答下列问题（1）x＜2时，y＞0；（2）x＞2时，y＜0；（3）x=2时，y=0；（4）x＜0时，y＞4．【解答】解：（1）当x＜2时，y＞0；（2）当x＞2时，y＜0；（3）当x=2时，y=0；（4）当x＜0时，y＞4．故答案为＜2，＞2，=2，＜0．18．（2016•德惠市一模）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是x＜2．【解答】解：由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，3）．∴可列出方程组，解得，∴该一次函数的解析式为y=，∵＜0，∴当y＞0时，x的取值范围是：x＜2．故答案为：x＜2．19．（2016秋•西安期末）如图是y=kx+b的图象，则b=﹣2，与x轴的交点坐标为，y的值随x的增大而增大．【解答】解：把（1，2），（0，﹣2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数的表达式为y=4x﹣2，令y=0，得4x﹣2=0，解得x=，所以x轴的交点坐标为（，0）y的值随x的增大而增大．故答案为：﹣2，，增大．20．（2006•西岗区）如图是一次函数y1=ax+b，y2=kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围﹣2≤x≤1．【解答】解：根据图象和图中数据可知，同时满足y1≥0，y2≥0时，x的取值范围﹣2≤x≤1．21．（2016•杨浦区三模）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是x＜2时，能使kx+b＞0．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．22．（2010•龙岩）已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是y＜﹣2．【解答】解：根据图象和数据可知，当x＜0即图象在y轴左侧时，y的取值范围是y＜﹣2．23．（2011•河东区一模）一次函数y=mx+n的图象如图所示，则代数式|m+n|﹣|m﹣n|化简后的结果为2n．【解答】解：由一次函数的性质可知，m＞0，n＞0，即m+n＞0；且当x=﹣1时，y＜0，即﹣m+n＜0，∴m﹣n＞0．所以|m+n|﹣|m﹣n|=m+n﹣（m﹣n）=2n．24．（2013秋•长丰县校级期末）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是x＞0．【解答】解：由函数图象可知，当y＜5时，x＞0．故答案为：x＞0．25．（2005•山西）直线y=mx+n，如图所示，化简：|m﹣n|﹣=n．【解答】解：根据一次函数的图象，可知m＜0，n＞0所以m﹣n＜0则|m﹣n|﹣=﹣（m﹣n）+m=n．26．（2009春•市南区期中）一次函数的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4．【解答】解：根据图象知，当y=3时，x=0；当y=﹣3时，x=4；∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4．故答案是：0＜x＜4．27．（2007春•贵阳期末）一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是x＜2．【解答】解：根据图示及数据可知，当y＜0即直线在x轴下方时，x的取值范围是x＜2．28．（2011•梅列区质检）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，1）（如图），当x≤2时，y≥1．【解答】解：根据题意和图示可知，当y≥1即直线在点A的上方时，x≤2．29．函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，6）．与坐标轴围成的三角形为直角三角形．【解答】解：令y=0，则﹣3x+6=0，解得x=2，即函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为（2，0），令x=0，则y=6，即函数y=﹣3x+6的图象与y轴的交点坐标为（0，6）．∵x轴⊥y轴，∴函数y=﹣3x+6的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形．故答案是：（2，0）；（0，6）；直角三角形．30．作出直线y=﹣2x+3的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的值增大而减小．（2）图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），与y轴的交点坐标是（0，3）．（3）当x＜1.5时，y＞0．【解答】解：（1）y的值随x的值增大而减小；（2）图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），与y轴的交点坐标是（0，3）；（3）当x＜1.5时，y＞0．故答案为：（1）减小；（2）（1.5，0），（0，3）；（3）＜1.5．。
一次函数应用题中的“数形结合”
一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。
例析数形结合思想在一次函数中的应用
例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。
数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。
它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。
一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。
本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。
以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。
例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。
但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。
其余阴影部分的面积亦同理可得。
因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。
,故选A。
解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。
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第十三讲：一次函数之数形结合
一、 知识提要
1. 行程问题：用一次函数解决图表类问题，抓住两个关键点：
① 特殊点（两直线交点，与x ，y 轴的交点）的坐标所代表的含义； ② 一次函数的表达式.
2. 动点问题：通过在坐标系里找图形的几何特征，利用几何特征解决问题.
二、专项训练
1. （2011南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终
点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．
（1） 小亮行走的总路程是____________m ，他途中休息了________min ． （2） ①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？
2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间
为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； （3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
30 50 1950
3600 80 x /min
y /m
O
A B C
D O y /km
900
12 x/h
4
B
C
70 A 1.5 t x （时）
y （千米）
2 3. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的
时间为x （时），两车之间的距离为．．．．．．．．y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系
（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图象。
4. 如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直
线1l ，2l 交于点C ．
（1）求点D 的坐标及直线2l 的解析表达式；
（2）求ADC △的面积；
（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接写出点P 的坐标．（4）试证明：在直线CD 上有一点Q 1（1.6，-1.8）,能够使Q 1A=DA.在直线CD 上还有其它点Q ，能够使△QDA 是等腰三角形，请直接写出所有点Q 的坐标。
5. 如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），供应量y 2（万件）与价格x （元/件）
分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.
l 1 l 2
x
y D O 3
B C
A 32
- （4，0）
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.
6. （2010桂林）如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3 交于点C ．平
行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；
（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
O
x (元/件) y(万件)
y 1=－x +70
y 2=2x －38
y
x
O B D C
A P E F l 83y =3x 8。