一次函数之数形结合(一次函数)

第十三讲：一次函数之数形结合

一、 知识提要

1. 行程问题：用一次函数解决图表类问题，抓住两个关键点：

① 特殊点（两直线交点，与x ，y 轴的交点）的坐标所代表的含义； ② 一次函数的表达式.

2. 动点问题：通过在坐标系里找图形的几何特征，利用几何特征解决问题.

二、专项训练

1. （2011南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终

点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．

（1） 小亮行走的总路程是____________m ，他途中休息了________min ． （2） ①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；

②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间

为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； （3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

30 50 1950

3600 80 x /min

y /m

O

A B C

D O y /km

900

12 x/h

4

B

C

70 A 1.5 t x （时）

y （千米）

2 3. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的

时间为x （时），两车之间的距离为．．．．．．．．y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系

（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；

（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；

（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图象。

4. 如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直

线1l ，2l 交于点C ．

（1）求点D 的坐标及直线2l 的解析表达式；

（2）求ADC △的面积；

（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接写出点P 的坐标．（4）试证明：在直线CD 上有一点Q 1（1.6，-1.8）,能够使Q 1A=DA.在直线CD 上还有其它点Q ，能够使△QDA 是等腰三角形，请直接写出所有点Q 的坐标。

5. 如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），供应量y 2（万件）与价格x （元/件）

分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.

l 1 l 2

x

y D O 3

B C

A 32

- （4，0）

（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.

（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？

（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.

6. （2010桂林）如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3 交于点C ．平

行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；

（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

O

x (元/件) y(万件)

y 1=－x +70

y 2=2x －38

y

x

O B D C

A P E F l 83y =3x 8