初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题真题含解析

初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题
【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质：(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线
的夹角等于90。

与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90。

与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中孤、圆心角、圆周角之间的关系.
2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作边的垂线.
1.(2018 -黑龙江］如图F7-1,匕8=/C=90\羽是BC的中点平分ZADG且NAOC110。

,则NAM8的度数是( )
图F7 -1
A.30。

B.35。

C.450
D.6O0
2.(2018 -陕西］如图F7-2,在△A8C 中^4C=8,ZABC=60°,ZC=45°^4D±BG垂足为 D.ZABC 的平分线交 AD 于点E,则
AE的长为 ()
A•沌 B.2V2
D.3V2
3.(2018 •达州］如图F7-3,AABC的周长为19,点D.E在边BC上，匕A8C的平分线垂直于A氏垂足为N、/ACB的平分线
垂直于AD,垂足为M.若8C=7.则初V的长为( )
人3 A ・-
2 B.2
C
图
F7-3
D.3
4.如图F74在直角梯形AMD中,DC//A戏例8=90。

&丄8CM=BC,NA"的平分线分别交AZMC于点时则芸的
值是 (
A.\/2-l
B.2+V2
C./2+1
D.72
5.(2017 -滨州］如图F7-5,点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点，且/MPN与NAO8互补.若ZMPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA.OB相交于MJV两点，则以下结论:⑴PM=PN恒成立;⑵OM+ON的值不变;(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN的长不变.其中正确的个数为
A.4
B.3
C.2
D.1
6.(2016 -宁夏］如图F7-6,在平行四边形ABCD中,ZR4D的平分线AE交BC于点氏且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于
7.(2017 -十堰］如图F7-7,AABC内接于OO,ZACB=90°,ZACB的平分线交OO于点。

，若AC=6,8D=5克,则BC的长为
图F7-
7
8. 如图F7-8,在矩形ABCD中，/A8C的平分线BE与AD交于点E,/BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC t
则BC=.(结果保留根号)
图F7-8
9.如图F7-9,已知。

O的直径为弦，且AC=4«AC平分ZBAE,求AE的长.
图F7-9
10.(2017・盐城］如图F7-10,矩形ABCD中,ZABD,ZCDB的平分线BE,DF分别交边AD,B C于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.
⑵当ZABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.
图F7-10
11.[2017 -临沂]如图F7-11,ZBAC的平分线交△A8C的外接圆于点D.ZABC的平分线交AD于点E.
⑴求证:DE=D&
⑵若N8AC=90，BD=4,求△A8C外接圆的半径.
图F7-11
12.如图F7-12.BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交A B、BD、BC于点E,F.G,连结ED.DG.
⑴请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;
⑵若ZABC=30°,ZC=45°.ED=2V T0,点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.
图F7 -12
参考答案
1. B
2. C ［解析］・..8E平分匕招Z),匕MC=60。

、
・.・ ZABE=ZEBD=30。

.
.: AD 丄BC,：. ZBDA=9Q°.
:.DE 上BE.
2
V ZAW=90°-60°=30°,
・.・ ZBAD=ZABE=3。

,
：..1E=BE=2DE,
3
在RtZUCQ 中,sinC*,
c
.・..HCsinC=8 x—=4\/2,
2
.L、•££"=二X4V2=* ^2'
3 3
故选c.
3. C ［解析「.・dlBC的周长为19^C=7,
.L A5 +HC= 12.
... /.ISC的平分线垂直于HE,垂足为N,：.BEEN是AE的中点.
ZACB的平分线垂直于.10,垂足为M....4C=DCM是&)的中点，:.DE=AB+.4C-BC=5.
1 e
A/V是ZUDE的中位线,:.MN土DE=%故选C.
Z Z
4. C ［解析］如图，过点F作FGLS于点G.依题意可知^4BC是等腰直角三角形，・•・A-1FG也是等腰直角三角形.
,: BE 平令 ZABC,
匕必=22.5°.
...匕必=90。

-匕娅=67.5°,』AFE= ZC18+/ABE=67.5°.
Z.4EB=
AE=^AF=\[2., EG=\[^-1.
FG±.4D, ZD.1B=9O°,:,FG//.1B.
，•着噌=&=克+1.故选C.
EF EG V2-1
5.B ［解析］结论(1),如图，过点P分别作0丄。

8的垂线段，由于ZPEO=ZPFO=90°.因此ZAOB与ZEPF互补,由已钢Z MPN与匕互补”，可得/MPN=ZEPF.可得NMPE=ZNPF,根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证以=所、即可证得m/\PME#*4PNF,因此对于结论(1),“PM=FN”由全等即可证得是成立的;结论⑵，也可以由全等得到ME=NF、即可证得OM*ON=OE+OF,由于OE+OF 保持不变，因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由竺RtAPNF” 可得这两个三角形的而积相等，因此四边形RI/ON的面积与四边形户EOF的面积始终相等，因此结论(3)是正确的;结论(4), 如图，连结欣,对于切V与△丑EE这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等.所以的长是变化的.故选B.
6.2
7.8 ［解析］连结ZU,因为匕4C3=90。

,所以AB为。

的直径，所以匕£08=90。

.因为CD平分/.1C8,所以BD=AD,在左 ABD 中^4B=y/AD2 + BD2 =J(5\/2)2 + (5\/2)2=10,在&4BC 中^C=\［AB2-AC2 =/102-62 =8.
8.6控+3 ［解析］如图，延长EF和BC,交于点G矩形ABCD中，匕1BC的平分线BE与AD交于点E,所以厶1BE=/ GBE=45°,所以在Rt △ABE中，Z ABE= Z .必=45。

,所以AB=AE=9.在Rt △ABE中，根据勾股定理，得
BEK A B： +AEZ=y/92,92=9克.又因、为之BED的平分线欣与以？相交于点F所以ZBEG=ZDEF.因为.1D//BC,所以
ZG= ZDEF.所以Z BEG= Z G,所以 BG=BE=9 血.由 Z G=匕 DEF, Z EFD= Z GFC,可得△ EFD^AGFC,所以
—=—=—=土 .设 CG=xDE=2x,则.1D=9+2.Y=5C因为 BG=BC+CG、所以 9 克=9+2x+x,解得 x=3 \/2 -3,所以
DE DF 2CF 2
8C=9+2x=9+2（3 扼-3）=671+3.
9. 解:如图，连結BC3EQC OC交BE于点G.
因为 ZBAE=2 ABAC-匕3OC,且ZA1E'+ Z.45£=90°,
所以Z065=90°,即 OCIBE,所以 BG=EGAE=2OG.
设OG=x，则CG=2-qC=3,由勾股定理可得。

必-OGMU-CG2,即丄解得x=2故.4£=2x=-.
2 42 10 5
10. 解:⑴证明二.四边形如CQ是矩形，
:.AB〃CDBC〃AD,:. ZABD=ZCDB.
..•欧•平分ZABDJ)F平分ZCDB、
:./EBD丄ABD.ZFDB=%ZCDB. 22
・・・ ZEBD=ZFDB.:.BE//DF.
又,:BCHAD、：,四边形BEDF是平行四边形.
(2)当匕必=30。

时,四边形BEDF是菱形.
理由如下：
.:BE 平分ZABD^.4BE=3Q°,
•.・Z.4BD=60°,ZDBE=30°.
•/四边形是矩形,...匕4=90。

，
匕如=90。

-匕13。

=90。

-60。

=30。

.
・.. /DBE= ZADB、：, DE=BE.
..•四边形BEDF是平行四边形，
.•・四边形8EDF是菱形.
11. 解:⑴证明:二1D 平分ZBAC,：. ZBADNCAD.
又V/CBD=ZCAD,：. /BADNCBD,
BE 平分 /ABC, .I Z CBE= ZABE,
:,ZDBE= /CBE+ ZCBD= ZABE+ /BAD,
又V ZBED=ZABE+ /BAD,
/DBE=ZBED、；,DE=BD.
A
(2)如图，连结CD.
V Z5JC=90°,:.BC 是直径,
... ZBDC=90°.
平分ZB.4C£D=*
:.BD=CD=4,
:,BC=4B D2 + CD—4V2,
...&4BC外接圆的半径为2V1
12. 解:⑴四边形幽GQ是菱形.
理由:EG 垂直平分 BD、：,EB=ED、GB=GD、
・•・ ZEBD=ZEDB.
,:BD 平分/ABC,：. /EBDNDBC,：.』EDF= /GBF,
在和△GF5中，
Z.EDF = LGBF,
DF = BF,
£EFD = EGFB、:.△EFD^MFB、
:・ED=BG,
:.BE=ED=DG=GB.
..•四边形蹄GQ是菱形.
A
在RtA£BM 中,Z£^£B=90°,ZEBM=3Q°, 蹄=訪=2面,.I EM=：BE=^.
,/ DE // BC 皿丄 BCQN 丄 BC,
・•・ EM// DNEM=DN=^MN=DE=2 丽.
在RtADA r C 中,ZDNC=9Q\ZDCN=45°,
・.・ ZNDC=ZNCD=45。

,
:.DN=NC=y/10, AA/C=3V10.在RtA£；VC 中，
ZEMC=9Q°£M=y/10MC=3>/T0.
.L EC=J E M 2 + MC 2= J（面沪 + （3面）2=10.
V HG+HC=EH+HC=EC,
:,HG+HC的最小值为10.。