初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题真题含解析
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
初三数学角的平分线练习题
初三数学角的平分线练习题1.已知角∠ABC的大小为80°，请绘制∠ABC的平分线。
解析：根据角的平分线定义，∠ABC的平分线将∠ABC分成两个相等的角，即∠ABD和∠CBD的大小相等。
所以我们需要找到∠ABD和∠CBD的大小。
首先，绘制∠ABC的角度为80°，然后在∠ABC内部任意取一点D，并连接BD，即可得到∠ABD和∠CBD。
2.已知角∠XYP的大小为120°，请绘制∠XYP的平分线。
解析：同样地，根据角的平分线定义，∠XYP的平分线将∠XYP分成两个相等的角，即∠XYQ和∠PYQ的大小相等。
我们需要找到∠XYQ和∠PYQ的大小。
首先，绘制∠XYP的角度为120°，然后在∠XYP内部任意取一点Q，并连接YQ，即可得到∠XYQ和∠PYQ。
3.已知∠ABC和∠DBC为相邻角，且∠ABC的大小为60°，请问∠CBD的度数为多少？解析：根据相邻角的定义，相邻角的两个角位于同一条直线上，且只有一个公共边。
所以∠ABC和∠DBC都位于线段BC上。
因为∠ABC和∠DBC为相邻角，所以它们的度数和为180°。
已知∠ABC的大小为60°，所以∠DBC的大小为180° - 60° = 120°。
4.已知平行线l和m被交线n所截，且∠1和∠2为顶角（即∠1和∠2的公共顶点为O），请问∠1和∠2的度数和为多少？解析：根据平行线和交线的性质，当平行线l和m被交线n所截时，所得到的顶角的度数和为180°。
所以∠1和∠2的度数和为180°。
5.已知∠XYZ和∠YZW为相邻角，且∠XYZ的大小为40°，请问∠YZW的度数为多少？解析：根据相邻角的定义，相邻角的两个角位于同一条直线上，且只有一个公共边。
所以∠XYZ和∠YZW都位于线段YZ上。
因为∠XYZ和∠YZW为相邻角，所以它们的度数和为180°。
初三数学中考复习 三角形的角平分线 专题练习及答案
三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。
2020中考数学总复习：角平分线问题-解题技巧总结精选全文
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,分别代入 C(0,9),D 2,0 ,
则
= 9,
= -2,
解得
∴直线 CD 的解析式为 y=-2x+9.
0 = + ,
=
9,
2
9
类型二 角平分线+角平分线的垂线
等腰三角形
如图T4-5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点B,
5
8
A.2
B.3
C.
D.
10
3
15
4
图T4-21
)
[答案] C
[解析]如图,过 E 作 ED⊥AB 于 D,EM⊥BC 于 M,EN⊥AC 于 N,
3
易得四边形 BMED 是正方形,AD=AN,CM=CN.由勾股定理得 AC=10,sin∠ACB= .
5
设 BD=BM=x,则 AD=AN=6-x,MC=NC=8-x.
∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案为8或3.
图②
13.如图T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若
AB=5,则DE=
[答案]
.
5
2
[解析]∵AC∥ED,AD 平分∠EAC,
∴∠CAD=∠ADE,∠CAD=∠EAD,
OD⊥BC于点D,若△ABC的面积为45 cm2,则OD= 17.5 cm ;若∠BOC=110°,则
∠A=
40
°.
图T4-20
18.如图 T4-21,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB 的平分线相
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
角的平分线的判定(分层作业)(解析版)
12.3.2角的平分线的判定夯实基础篇一、单选题：1．在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分ABC∠B ．AD DC =C ．BD 垂直平分ACD ．2AB AD=【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：如图.由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，∴BP 平分∠ABC ，∵AB =BC ，∴AD =DC ，BD ⊥AC ，即BD 垂直平分AC ，故A 、B 、C 三个选项正确，不符合题意；只有当△ABC 是等边三角形时，才能得出AB =2AD ，故选项D 错误，符合题意.故答案为：D.【分析】由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，根据角平分线的判定可得BP 平分∠ABC ，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD =DC ，BD 垂直AC ，据此判断即可.2．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA =P B.则对点P 位置的判断，正确的是（）A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点【答案】B【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定【解析】【解答】解： P 到∠A 的两边的距离相等，∴P 在∠A 的角平分线上，PA =PB ，∴P 在线段AB 的垂直平分线上，故P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点，故答案为：B.【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定进行解答即可.3．如图，已知BD AE ⊥于点B ，DC AF ⊥于点C ，且DB DC =，40BAC ︒∠=，130ADG ︒∠=，则CDG ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义【解析】【解答】∵BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB =DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC =40°，∴∠CAD =12∠BAC =20°，∴∠CDA =90°-20°=70°，∵130ADG ︒∠=，∴∠CDG =∠ADG -∠CDA =130°-70°=60°．故答案为：D ．【分析】根据角平分线的判定得出AD 是∠BAC 的平分线，得出∠CAD =12∠BAC =20°，从而求出∠CDA =70°，利用∠CDG =∠ADG -∠CDA ，即可求解.4．如图，在△AB C 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为()A ．60°B ．62°C ．64°D ．66°【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的判定【解析】【解答】∵∠B =42°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =48°，∵ED =EF ，AD ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠BAE =∠DAE =24°，∴∠AEC =∠B +∠BAE =66°，故答案为：D【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD =48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE 平分∠BAD ，根据角平分线的定义得出∠BAE =∠DAE =24°，根据三角形的外角定理即可算出答案。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
初三数学角平分线试题
初三数学角平分线试题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等【答案】对【解析】根据角平分线的性质即可判断.角的平分线上的点到角的两边的距离相等，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.2.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=___.【答案】1【解析】由∠BAC=60°，AP平分∠BAC可得∠DAP=30°，即可得到AP=2DP，根据AD=可得PD的长，再根据角平分线的性质即可求得结果.∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC∴∠DAP=30°∵PD⊥AB∴AP=2DP∵AD=∴DP=1∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC∴PE=DP=1.【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质点评：含30°角的直角三角形的性质是平面图形中一个非常重要的性质，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般，需多加关注.3.已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.【答案】90【解析】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE可得OC平分∠AOB，即可求得结果.∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE∴OC平分∠AOB∵∠AOB=60°∴∠COD=30°∴∠COD+∠AOB=90°.【考点】角平分线的判定点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.4.下列命题中是真命题的是A．有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B．相等的角是对顶角C．余角相等的角互余D．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等【答案】A【解析】根据平面图形的基本概念依次分析各项即可判断.A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等，是真命题，本选项正确；B.直角都相等，但不一定是对顶角，C.余角相等的角相等，D.两直线平行，同位角相等，故错误，均不是真命题.【考点】平面图形的基本概念点评：此类题目综合性强，知识点多，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，难度不大，需多加关注.5.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个【答案】对【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，只有一个，故本题正确.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.6.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个【答案】错【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点可能是三角形三条内角平分线的交点，也可能是任两个外角平分线的交点，不止一个，故本题错误.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.7.三角形三条角平分线交于一点【答案】对【解析】根据三角形的角平分线的性质即可判断，若动手操作则更为直观.三角形三条角平分线交于一点，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.8.如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD________________PF.【答案】=，=【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PD=PE=PF.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.9.利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.【答案】三个内角平分线交点【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.△ABC内部距三边距离相等的点是三个内角平分线交点.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.10.在图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.【答案】如图所示：【解析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于D、E两点，（2）再分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F，连接BF，则BF即为∠B的平分线；同理作∠A的平分线，两平分线相交于点G1，则点G1即为所求；同理作出△ABC相邻外角的平分线分别交于G1，G2，G3，综上，满足题意的点有四个，如图所示：【考点】角平分线的性质的应用点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，是常见的作图题，在中考中比较常见，一般与垂直平分线同时出现，难度不大，需熟练掌握.。
中考数学模型角平分线专项
角平分线专项一、基础部分———双角平分线条件：在ΔABC 中，角平分线BD 、CE 相交于点O. 结论：（1）A BOC ∠+︒=∠2190 （2）BC CD BE A =+⇔︒=∠60 （3）OEOD A =⇒︒=∠60（4）AC AB A OE OD =︒=∠⇒=或60条件：在ΔABC 中，外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠-︒=∠2190条件：在ΔABC 中，内角平分线与外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠=∠21OACB OCBA条件：．在△ABC 中，∠ABC 的平分线BE 与∠BCA 的平分线CD 交于点O,∠A=90° 结论：S △BOC =21S 四边形BDEC练习1．在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O （1）如图1，求证：OB 平分∠ABC （2）如图1，求证：∠AOC ＝90°＋21∠ABC （3）如图2，当∠ABC ＝90°、且A0＝30D 时，连接DE,△DOE 的面积为6，求△AOC 面积，判断线段AE 、CD 与AC 之间的关系，加以证明，2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．模型1 角平分线性质——————角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作P A ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB =P A 。
练习：1. AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．2、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． (1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．NM OABP第7题图EB3.如图，以∆ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 与等边∆ACE ，连接BE 、CD 相交于点O ，连接OA ，求证：OA 平分∠DOE.4.已知，如图 1 在△ABC 中，点 D 在 AC 上，且 BD 平分∠ABC （1）求证：S △BAD:S △BDC=BA:BC（2）在（1）的条件下，如图 2，在△ABC 外取一点 E ，使∠EAB=∠BCA ，EA=DC ，连接 ED 交 AB 于点 F ，请你探究线段 EF 与 FD 的数量关系，并证明你的结论O ECBDA模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ，连接PB 。
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案
角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时 角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。
中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线
中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中∠B=∠C 。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。
2022中考数学专题21 角平分线的性质与判定(专项训练)(解析版)
专题21 角平分线的性质与判定一、单选题1．（2021·海南海口·九年级）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点；①分别以点M，N为圆心，大于1MN的长为半径作弧，两弧在平行四边形ABCD的内部交于点P；①连接2CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到BF，BA的长，进而得到AF的长．【详解】解：由作图可知，①FCD=①FCB，①四边形ABCD是平行四边形，①AB①CD，AB=CD=4，①①F=①FCD，①①F=①FCB，①BF=BC=6，①AF=BF-BA=6-4=2，故选：B．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2021·山东烟台市·九年级）如图，在AOB∠中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分∠别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧在AOBOC=，OE=C、D两点之间距离为（）的内部交于点E，作射线OE，若6A ．3B ．6C ．D ．8【答案】B 【分析】连接CE 、CD ，CD 交OE 于F ，如图，利用作法得到OC =OD =CE ，OE 平分①AOB ，根据等腰三角形的性质得到OF ①CD ，CF =DF ，OF =EF CF ，从而得到CD 的长． 【详解】解：连接CE 、CD ，CD 交OE 于F ，如图，由作法得OC =OD =CE ，OE 平分①AOB ， ①OF ①CD ，CF =DF ， ①CO =CE ，CF ①OE ，①OF =EF =12OE =12在Rt ①COF 中，CF 3=，①CD =2CF =6． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．正确的识别图形是解题的关键．3．（2021·河北）用尺规作已知①ABC 的角平分线，步骤如下：①以B 为圆心，以m 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；①分别以D ，E 为圆心，以n 为半径画弧，两弧在①ABC 内部交于点P ；①画射线BP ，射线BP 即为所求．对m ，n 的描述，正确的是（ ） A ．m >0，n >0B ．m >0，n <m ；C ．m >0，n <12DED ．m >0，n >12DE【分析】根据角平分线的画法判断即可．【详解】解：作①ABC的平分线的步骤如下：①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E，即m＞0；①分别以D，E为圆心，以大于12DE为半径画弧，两弧在①ABC内部交于点P，即n＞12DE；①画射线BP．射线BP即为所求．①m＞0，n＞12DE，故选：D．【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．4．（2021·贵州九年级）利用尺规作一个任意三角形的内心P，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】三角形三个内角的角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，这个点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等．【详解】解：根据内心定义，利用尺规作三角形三个内角的角平分线，即选项B符合题意，选项A、C、D均不符合题意，故选：B．本题考查尺规作图—角平分线，涉及三角形的内心，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·西安铁一中滨河学校九年级）在ABC 中，90C ∠=︒，16BC =cm ，A ∠的平分线AD 交BC 于D ，且:3:5CD DB =，则点D 到AB 的距离等于（ ） A ．6cm B ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A 【分析】根据比例求出CD 的长，再过点D 作DE AB ⊥于E ．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE CD =，即可得解． 【详解】解：16BC =，:3:5CD DB =，CD +BD =BC =16，316635CD ∴=⨯=+， 过点D 作DE AB ⊥于E ，AD 是BAC ∠的平分线，90C ∠=︒，6DE CD ∴==，即点D 到AB 的距离是6cm ． 故选：A ． 【点睛】本题考查线段的比，角平分线性质，掌握线段的比，角平分线性质是解题关键． 6．（2021·陕西）如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC 于点D ，DE ①AB 于点E ，BF ①AC 于点F ，DE ＝2，则BF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】A过点D作DH①AC于点H，由题意易得AD平分①CAB，则有DE=DH，然后根据等积法可进行求解．【详解】解：过点D作DH①AC于点H，如图所示：①AB＝AC，AD①BC，①AD平分①CAB，①DE①AB，DE＝2，①DE=DH=2，①111122222 ABC ADC ABDS S S AC DH AB DE AC DH AC BF =+=⋅+⋅=⋅=⋅，①2DH BF=，①4BF=；故选A．7．（2021·陕西）如图，已知ABC中，CD①AB，垂足为D，CE平分①ACD交AD于E，若CD＝12，BC＝13，且BCE的面积为48，则点E到AC的距离为（）A．5B．3C．4D．1【答案】B【分析】作EF①AC，根据勾股定理以及三角形的面积公式求出ED，再根据角平分线的性质得出EF=ED，从而得出结论．【详解】如图所示，作EF①AC与F点，则EF的长度即为点E到AC的距离，①CD①AB，①①CDB =90°，则5BD ==， ①1482BCE S BE CD ==△， ①2488BE CD⨯==， ①3ED BE BD =-=，①CE 为①ACD 的角平分线，ED ①CD ，EF ①AC ， ①3EF ED ==，①点E 到AC 的距离为3， 故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理以及角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题关键．8．（2021·陕西西北工业大学附属中学）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．3【答案】A 【分析】作DE ①AC 于E ，作DF ①BC 于F ，根据勾股定理可求AC ，根据角平分线的性质可得DE =DF ，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作DE ①AC 于E ，作DF ①BC 于F ，在Rt ①ACB 中，4AC ==， ①CD 是角平分线， ①DE =DF ， ①111222AC DE BC DF AC BC ⋅+⋅=⋅，即1114343222DE DE ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯， 解得DE =127． 故点D 到AC 的距离是127． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9．（2021·河南九年级）如图所示，在平行四边形ABCD 中，243AB BC ==，以点B 为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交BA 、BC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF 的长度为（ ）．A ．43B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】证明6CF CB ==，4AB CD ==，可得结论． 【详解】解：由作图可知，BF 平分ABC ∠，ABE CBF ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，4AB CD ∴==，362BC AD AB ===，//AB CF ， F ABE ∴∠=∠，F CBF ∴∠=∠， 6CF CB ∴==，642DF CF CD ∴=-=-=，故选：B ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2021·陕西西安·）如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，30B ∠=︒，45C ∠=︒，BE =CD 长是（ ）A ．1BCD ．2【答案】B 【分析】根据30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE 的长，然后根据平分线的性质，可以得到DE ＝DF ，再根据①C ＝45°，即可得到CD 的长，本题得以解决． 【详解】解：①DE AB ⊥于点E ，BE =30B ∠=︒， ① BD=2DE ，设DE=x ，则BD=2DE=2x ， ① 222+BE DE BD =，① ()222+2x x =，解得：=1x作DF AC ⊥于点F ，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥DE DF ∴=，1DF ∴=，45C ∠=︒，① 1CF =，① 在Rt①CDF 中，222+CF DF DC =， ①CD =故选：B ． 【点睛】本题考查角平分线的性质、含30°角的直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题11．（2021·广东实验中学九年级）已知OC 是①AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD①OA ，PE①OB ，垂足分别为点D 、E ，PD=10，则PE 的长度为_______． 【答案】10 【详解】试题分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以PD=PE=10． 考点：角平分线的性质定理．12．（2021·四川九年级）如图，在①ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ；再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AР并延长交BC 于点E ，连接EF ，已知AD ＝8，EC ＝3，则四边形ABEF 的周长为___．【答案】20 【分析】利用基本作图得到AE 平分BAD ∠，再根据平行四边形的性质得到//BC AD ，8BC AD ==，则5BE =，接着证明BAE BEA ∠=∠得到5AB BE ==，然后计算四边形ABEF 的周长． 【详解】解：由作法得AE 平分BAD ∠，BAE DAE ∴∠=∠，四边形ABCD 为平行四边形，//BC AD ∴，8BC AD ==，835BE BC CE ∴=-=-=，//BE AF ，FAE BEA ∴∠=∠，BAE BEA ∴∠=∠，5AB BE ∴==，∴四边形ABEF 的周长()()225520AB BE =+=⨯+=．故答案为20． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．13．（2021·河南）如图，在ABCD 中，以A 为圆心，以AB 长为半径作弧，交AD 于点F ，连接BF ，再分别以B ，F 为圆心，以大于12BF 的长为半径作弧，两弧交于点G ，连接AG并延长，交BC 于点E ，交BF 于点M ，则AMB ∠的度数为___________．【答案】90° 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到①AMB =90°． 【详解】解：由作图可知：AB =AF ，AE 平分①BAD ， ①AE ①BF ， ①①AMB =90°． 故答案为：90°．14．（2021·四川成都·九年级）如图，直线//MN PQ ，直线AB 分别与MN ，PQ 交于点A ，B ，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AN 于点C ，交AB 于点D ，①分别以C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；①作射线AE 交PQ 于点F ，若①ABP =70°，则AFB ∠=______．【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义得①BF A =①BAF ，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：①MN //PQ ， ①①NAF =①BF A ，由题意得：AF 平分①NAB ， ①①NAF =①BAF ， ①①BF A =①BAF ， ①①ABP =①BF A +①BAF ， ①①ABP =2①BF A =70°， ①①AFB =70°÷2=35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．15．（2021·辽宁鞍山·九年级）如图，在ABC 中，AD 为ABC 的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，DF AC ⊥，垂足为F ，若5AB =，3AC =，2DF =，则ABC 的面积为___________．【答案】8 【分析】根据角平分线的性质得出DE =DF =2，再根据S △ABC =S △ABD +S △ADC 即可得出答案． 【详解】①AD 为ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥， ①DE =DF =2，①S △ABC =S △ABD +S △ADC =12AB ·DE +12AC ·DF =12×5×2+12×3×2=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，得到DE =DF 是解题关键．16．（2021·广东实验中学九年级）如图，O为正ABC的外接圆．∠的角平分线O于点D；（1）尺规作图：作ABC（2）过点D作O的切线DE，交AB的延长线于点M．AC DE；①求证：//①连接OM，若2AM=，求O的半径．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①【分析】（1）按尺规作图作角平分线的方法进行即可；（2）①利用等边三角形三线合一的性质及切线的性质即可证明；①设BD与AC交于点F，连接OA，设①O的半径为r，利用含30度角直角三角形的性质可得OF的长，从而可得BF 的长，在Rt ABF中由余弦的三角函数可得AB的长，再在Rt BDM中，由余弦的三角函数建立方程即可求得半径r．【详解】（1）作图如下（2）①①①ABC是等边三角形，BD平分①ABC①BD①AC①BD过圆心O①DE是①O的切线①BD①DE①设BD 与AC 交于点F ，连接OA ，如图 设①O 的半径为r ，则OA =OB =r ①①OBA =①OAB ①BD 平分①ABC ①①OBA =①OAB =30゜ ①①OAF =60゜-30゜=30゜ ①OF =1122OA r =①1322BF OB OF r r r =+=+=在Rt ABF 中，cos30AB BF =÷︒=①+2BM AB AM =+=在Rt BDM 中，BD =2r ，且cos30BD BM =︒①2)2r += 解方程得：r =即①O 的半径为【点睛】本题考查了尺规作图，圆的切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，关键是运用三角函数建立方程．17．（2021·福建省福州屏东中学九年级）已知O 为ABC 的外心、D 为弧BC 的中点，连接BD ，点E 在线段AD 上，且DB DE =，（1）如图1，若23AE DE =． ①求证：BE 平分ABC ∠； ①求AB ACBC+的值； （2）如图2，连接OE ，ABC 的外角平分线交O 于点F ，若60BAC ∠=︒，求证BF OE =． 【答案】（1）见解析；（2）53；（3）见解析【分析】（1）①由圆周角定理得到①CBD =①BAD ，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得①CBE =①ABE ，从而得证；①连接CD ，CE ，过点E 作EG ①CD 交AC 于G ，根据角平分线的性质定理得到AB ACBF FC=从而得到AB FCAB AB AC AB AC BF BF FCBF CF BF CF+++===++，然后根据根据23AE DE =，得到53AE DE AD DE DE +==，通过证明①EFC ①①EGC ，得到CF =CG ，利用平行线分线段成比例定理得到53AC AD CG DE ==，即可求解. （2）连接OB ，OF ，OD ，OC ，AF ，FD ，则OF =OB =OD =OC ，利用①BAC =60°，可以证明三角形OBD 为等边三角形，于是得到DE =OD =OB =OF ，再证明①OFB ①DOE 即可得到答案. 【详解】解：（1）①①D 为弧BC 的中点， ①BD CD =， ①①BAD =①CAD ， ①①CBD =①CAD ， ①①CBD =①BAD ， ①DB =DE ，①①DBE =①DEB ，①①DBE =①CBE +①DBC ，①BED =①BAD +①ABE ， ①①CBE =①ABE ， ①BE 平分①ABC ；①连接CD ，CE ，过点E 作EG ①CD 交AC 于G ， ①①BAD =①CAD ， ①AB ACBF FC=（角平分线性质定理）， ①AB FCAC BF=， ①AB FCAB AB ACAB AC BF BF FC BF CF BF CF+++===++， ①23AE DE =， ①53AE DE AD DE DE +==， ①BE 平分①ABC ，AD 平分①BAC ， ①E 为①ABC 的内心， ①CE 平分①ACB ， ①①ACE =①BCE ， ①EG ①DC ， ①①AEG =①ADC ， ①BD CD =， ①①BCD =①CAD ，①①EFC =①EDC +①BCD ，①EGC =①CAD +①AEG ， ①①EFC =①EGC ， 在①EFC 和①EGC 中=EFC EGC ECF ECG CE CE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩①①EFC ①①EGC （AAS ）， ①CF =CG ， ①EG ①DC ， ①53AC AD CG DE ==①53AC CF =， ①5=3AB AC AB AC AC BF FC BC CF ++==+；（3）连接OB ，OF ，OD ，OC ，AF ，FD ，则OF =OB =OD =OC ， ①①BAC =60°，①①BOC =2①BAC =120°， ①D 为弧BC 的中点，①①BAD =①CAD =30°，①BOD =①COD =60°， ①①OBD 是等边三角形， ①OB =OD ，①ODB =60°， ①DB =DE ， ①DE =OD =OD =OF ，①①GBA =①BAC +①ACB ，BF 平分①GBA ， ①()12GBF BAC ACB =+∠∠∠=30°+12ACB ∠，①①FBG 为圆内接四边形FBCA 的外角， ①①GBF =①F AC =①CAD +①F AD =30°+①F AD ， ①①F AD =12ACB ∠，①①F AD =12AOD ∠①①FOD =①ACB ， ①①ACB =①ADB ， ①①ADB =①FOD ，①①ADB =①ODB +①ODE =60°+①ODE ，①FOD =①BOD +①FOB =60°+①FOB ， ①①FOB =①ODE ， 在①OFB 和①DOE 中=OF DO FOB ODE OB DE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩①①OFB ①DOE （SAS ）， ①BF =OE .【点睛】本题主要考查了圆的综合题，等比性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18．（2021·陕西西安·交大附中分校）问题提出：（1）如图1，P 是半径为5的①O 上一点，直线l 与①O 交于A 、B 两点，AB ＝8，则点P 到直线l 的距离的最大值为 ．问题探究：（2）如图2，在等腰①ABC 中，BA ＝BC ，①ABC ＝45°，F 是高AD 和高BE 的交点，求S ①ABF ：S ①BFD 的值． 问题解决：（3）如图3，四边形ABCD 是某区的一处景观示意图，AD ①BC ，①ABC ＝60°，①BCD ＝90°，AB ＝60m ，BC ＝80m ，M 是AB 上一点，且AM ＝20m ．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N ，修建花坛①AMN 和草坪①BCN ，且需DN ＝25m ．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？ 【答案】（1）8；（2）S ①ABF ：S ①BFD（3）修好花坛和草坪预算最少需要元． 【分析】（1）直接过圆心向直线作垂线,则可利用垂径定理及勾股定理求解； （2）根据角平分线性质，得到FG ＝FD ，则12ABFS AB FG =⋅，12BDFS BD FD =⋅，因为FG =FD ，则面积比等于ABBD，又因为①ABD为等腰直角三角形，所以ABF BDFS ABS BD== （3）因为AM ＝20m ，BM ＝40m ，所以2S ①AMN ＝S ①BMN ，总费用为200S ①AMN +100S ①BNC ，即总费用可转化为100S ①BMN +100S ①BNC ，所以当S ①BMN +S ①BNC 最小时，费用最小，又因为S ①BMN +S ①BNC ＝S ①BMC +S ①CMN ，且S ①BMC 为定值所以当S ①CMN 最小时，费用最小，即MC 边上的高最小时，S ①CMN 最小． 【详解】（1）点P 到直线l 距离的最大值，即过圆心O 向直线l 作垂交圆O 于点P ，连接OA ，①AB ＝8，OC ①AB ， ①AC ＝4，由勾股定理得：OC ＝3， ①PC ＝8， 故答案为：8；（2）过点F 作FG ①AB ，①①ABC ＝45°，AD ①BC ， ①①ABD 为等腰直角三角形， ①ABBD ，又①①ABC 为等腰三角形，且AB ＝BC ，BE ①AC ， ①BE 平分①ABC ， 又①FD ①BC ，FG ①AB ， ①FG ＝FD ， ①12ABFS AB FG =⋅，12BDFS BD FD =⋅①ABF BDFS ABSBD== （3）连接MC ，过点A 作AP ①BC ，①①ABC ＝60°，AB ＝60，①BP ＝cos①ABC ˙AB ＝30，AP ＝sin①ABC ˙AB ＝ ①AD△BC ，①BCD ＝90°， ①CD ＝AP ＝设总费用为W ，① W ＝200S ①AMN +100S ①BNC ， ①W ＝100（2S ①AMN +S ①BNC ），①当2S ①AMN +S ①BNC 最小时，总费用最小， 又①AM ＝20m ，BM ＝40m ， ①2S ①AMN ＝S ①BMN ，①当S ①BMN +S ①BNC 最小时，费用最小， 即S 四边形BMNC 最小时，费用最小， 又①S 四边形BMNC ＝S ①BMC +S ①CMN ， 过点M 作MH ①BC ，垂足为H ， ①①ABC ＝60°，BM ＝40，① BH ＝20m ，MH ＝，MC ＝， ①①BCM ＝30°， ①①DCM ＝60°，①118022BMCSBC MH =⋅=⨯⨯2)， ①当S ①CMN 最小时，费用最小，①1122CMNSMC NQ NQ =⋅=⨯=， ①当NQ 最小时，费用最小， ①ND ＝25m ，①N 点在以D 为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D 向MC 作垂线交①D 于N 点，交MC 于Q ，即此时NQ 最小，①CQ ＝，DQ ＝45m ， ①NQ ＝45﹣25＝20m ，①S ①MNC 最小值＝1202⨯=2)，①S四边形BMNC 最小值＝2)，①W 最小值＝100×元)，①修好花坛和草坪预算最少需要 【点睛】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，属于压轴题，难度较大，综合性强，借助辅助圆是解决问题的关键．19．（2021·黑龙江九年级）如图，平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线交AD 于E ，ABC ∠的平分线交ED 于点F ．（1）求证：AE DF =；（2）若120A ∠=︒，BF =3EF =，求BC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）13． 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得①ABF ＝①AFB ，①DEC ＝①DCE ．即可得到AB ＝AF ，DE ＝DC ．即可求证结论．（2）过点A 作AH ①BF ，垂足为H ，利用①BAF ＝120°，BF ＝AB 的长度，结合（1）即可求出 BC 长度． 【详解】解：（1）①四边形ABCD 是平行四边形． ①AD ①BC ．AB ＝DC ．AD ＝BC ． ①①AFB ＝①FBC ，①DEC ＝①ECB ．①CE 是①BCD 的平分线，BF 是①ABC 的平分线． ①①ABF ＝①FBC ，①DCE ＝①ECB ． ①①ABF ＝①AFB ，①DEC ＝①DCE ． ①AB ＝AF ，DE ＝DC ． ①AF ＝DE ．①AF ﹣EF ＝DE ﹣EF ． ①AE ＝DF ．（2）过点A 作AH ①BF ，垂足为H ，如图：①①BAF ＝120°，BF ＝①①BAH ＝60°，BH ＝12BF =①sin BHAB BAH=∠8． ①AF ＝DE ＝AB ＝8．①AE ＝AF ﹣EF ＝5． ①AD ＝AE +ED ＝13． ①BC ＝AD ＝13． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质知识，关键在于得到①ABF ＝①AFB ，①DEC ＝①DCE ，从而利用等腰三角形形的性质求解． 20．（2021·福建）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．（1）在边BC 上求作一点D ，使45BAD ∠=︒；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）37CD = 【分析】（1）首先作ACB ∠的角平分线，可得到45︒的角，然后作 BAD ∠等于已知角即可； （2）首先利用勾股定理求出AB ，然后根据相似三角形对应边成比例得到16455DE CD =-， 9455AE CD =+，最后根据等腰三角形的性质得到关于 CD 的方程，求解即可得到CD 的长． 【详解】解：（1）如下图，点D 即为所求；（2）如下图，在确定点D 的条件下，过点D 作DE AB ⊥于点E ，①90C ∠=︒，3AC =，4BC =，①AB 5．①90DEB C ∠=∠=︒． ①B B ∠=∠， ①DEB ACB △∽△， ①DE BE BD AC BC BA ==，即345DE BE BD==． ①4BD BC CD CD =-=-，①3123555DE BD CD ==-，4164555BE BD CD ==-，①1649455555AE AB BE CD CD ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭．①45BAD ∠=︒，90DEA ∠=︒，①ADE 为等腰直角三角形，AE DE =， ①941235555CD CD +=-，解得37CD =．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、勾股定理、三角形相似判定及性质，掌握相关作图方法，运用相似三角形性质得到关于CD 的方程是解题的关键．21．（2021·湖北九年级）在ABC 中，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，F ，E 是AC 上两点，连接BE 、DF 交于ABC 内的一点G ，且①EGF ＝45°．（1）如图1，若AE ＝3CE ＝3，求BG 的长；（2）如图2，若E 为AC 上任意一点，连接AG ，求EAG ABE ∠=∠； （3）若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．【答案】（1）BG ＝165；（2）165；（3）【分析】（1）首先求出AB、AE，由①ABG①①EBA即可解决问题；（2）如图，连接AD，证明A、B、D、G四点共圆，即可解决问题；（3）如图，连接DE；证明AF＝2EF＝2λ；证明DE＝3λ；证明①DEF＝90°，求出DF=，即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，连接AD，AG，①①A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点①①ADB＝90°，DA＝DB；①①DAB＝①ABD＝45°；①①BGD＝①EGF＝45°，①A、B、D、G四点共圆，①①AGB＝①ADB＝90°，即AG①BE；①①ABE+①BAG＝①BAG+①EAG，①①EAG＝①ABE，①①BAG＝①AEB，①AE＝3EC＝3，①EC＝1，AE＝3，AB=4，BE5=，①①ABG＝①ABE，①AGB＝①BAE，①①ABG①①EBA，①ABBE＝BGAB，①BG＝165．（2）证明：如图2中，连接AD；①①A＝90°，AB＝AC，D为BC中点；①①ADB＝90°，DA＝DB；①①DAB＝①ABD＝45°；①①BGD＝①EGF＝45°；①A、B、D、G四点共圆；①①AGB＝①ADB＝90°；即AG①BE；①①ABE+①BAG＝①BAG+①EAG；①①EAG＝①ABE（3）解：如图2中，连接DE；①①AGE＝90°，①EGF＝45°，①①AGF＝①EGF＝45°，①AF：EF＝AG：EG；①①BAE＝①AGE＝90°，①EAG＝①ABE，①①ABE①①GAE，①AB：AE＝AG：GE＝2：1，①AF＝2EF（设EF为λ）（角平分线的性质定理），①点E为AC的中点，①AB＝AC＝6λ；①点D、E分别为BC、AC的中点①DE①AB，132DE ABλ==①①DEF＝90°；由勾股定理得：DF2＝EF2+DE2＝10λ2，①DF=①:EF DFλ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质的应用问题、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理及解答，对综合分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2021·甘肃庆阳市·九年级）如图，已知锐角三角形ABC，60A∠=︒．（1）尺规作图： ①作BC 的垂直平分线l ；①作B 的平分线BM ，且BM 交AC 于点M ．（2）若l 与BM 交于点P ，32BCP ∠=︒，求CMP ∠的度数． 【答案】（1）①作图见解析，①作图见解析，（2）92︒ 【分析】（1）①根据尺规作图作BC 的垂直平分线l 即可；①根据尺规作图作①B 的平分线BM 即可； （2）根据垂直平分线和角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）①如图直线l 为所求作的图形；①射线BM 为所求作图形． （2）①BC 的垂直平分线为l ， ①PB ＝PC ，①①PBC ＝①PCB ＝32°， ①BM 平分①ABC ， ①ABP ＝①CBP ＝32°， ①①A ＝60°，①92CMP A ABP ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法和线段垂直平分线、角平分线的性质．23．（2021·湖北孝感·）已知ON OM ⊥，ABC 的顶点A 在ON 上，顶点B 在OM 上，且CA CB =，CA CB ⊥．连接OC ，与AB 交于点D ．（1）如图1，若CA ON ⊥，求证：OC 平分MON ∠；（2）如图2，若CA 与ON 不垂直，OC 是否仍平分MON ∠?请作出结论，并说明理由 （3）如图3，若12OD CD =，6BC =，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）OC 仍平分MON ∠．理由见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质进行证明即可；（2）证明ACF BCE ≌△△，再根据角平分线的性质证明； （3）作CH AB ⊥，垂足为H ．由BCD OCB ∽△△求得CD ，再解Rt CHD 即可． 【详解】（1）证明：ON OM ⊥，CA CB ⊥，CA ON ⊥，90AOB OAC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90OBC ∴∠=︒，CB OM ∴⊥．又CA ON ⊥，CA CB =，OC ∴平分MON ∠．（2）OC 仍平分MON ∠．理由如下：如图1，作CE OM ⊥，CF ON ⊥．90CEO CFO ∴∠=∠=︒， 90ECF ∴∠=︒．又90ACB ∠=︒，ACF BCE ∴∠=∠．又CA CB =，(AAS)ACF BCE ∴△≌△． CF CE ∴=．又CE OM ⊥，CF ON ⊥，OC ∴平分MON ∠．（3）解：如图2，作CH AB ⊥，垂足为H ． 由（2）知，OC 平分MON ∠，1452BOC AOB ∴∠=∠=︒．CA CB ⊥，CA CB =， 45CBA CAB ∴∠=∠=︒．CBA BOC ∴∠=∠．又BCD OCB ∠=∠，BCD OCB ∴△∽△．BC CDOC BC ∴=． 12OD CD =， ∴设OD k =，则2CD k =，3OC k =6236k k ∴=，k ∴=CD ∴=在Rt ACB △中，AB =CA CB =，CH AB ⊥，AH BH ∴==12CH AB ==在Rt CHD 中，DHAD AH DH ∴=-=【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键．。
角平分线知识点+经典例题
第四讲 角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．例3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ， ∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定例4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF=PG ，DF=EG ．求证：OC 是∠AOB 的平分线．【答案】证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD=PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线．。
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初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质：(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90。
与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90。
与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中孤、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作边的垂线.1.(2018 -黑龙江］如图F7-1,匕8=/C=90\羽是BC的中点平分ZADG且NAOC110。
,则NAM8的度数是( )图F7 -1A.30。
B.35。
C.450D.6O02.(2018 -陕西］如图F7-2,在△A8C 中^4C=8,ZABC=60°,ZC=45°^4D±BG垂足为 D.ZABC 的平分线交 AD 于点E,则AE的长为 ()A•沌 B.2V2D.3V23.(2018 •达州］如图F7-3,AABC的周长为19,点D.E在边BC上，匕A8C的平分线垂直于A氏垂足为N、/ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若8C=7.则初V的长为( )人3 A ・-2 B.2C图F7-3D.34.如图F74在直角梯形AMD中,DC//A戏例8=90。
&丄8CM=BC,NA"的平分线分别交AZMC于点时则芸的值是 (A.\/2-lB.2+V2C./2+1D.725.(2017 -滨州］如图F7-5,点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点，且/MPN与NAO8互补.若ZMPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA.OB相交于MJV两点，则以下结论:⑴PM=PN恒成立;⑵OM+ON的值不变;(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN的长不变.其中正确的个数为A.4B.3C.2D.16.(2016 -宁夏］如图F7-6,在平行四边形ABCD中,ZR4D的平分线AE交BC于点氏且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于7.(2017 -十堰］如图F7-7,AABC内接于OO,ZACB=90°,ZACB的平分线交OO于点。
，若AC=6,8D=5克,则BC的长为图F7-78. 如图F7-8,在矩形ABCD中，/A8C的平分线BE与AD交于点E,/BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC t则BC=.(结果保留根号)图F7-89.如图F7-9,已知。
O的直径为弦，且AC=4«AC平分ZBAE,求AE的长.图F7-910.(2017・盐城］如图F7-10,矩形ABCD中,ZABD,ZCDB的平分线BE,DF分别交边AD,B C于点E,F.(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.⑵当ZABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.图F7-1011.[2017 -临沂]如图F7-11,ZBAC的平分线交△A8C的外接圆于点D.ZABC的平分线交AD于点E.⑴求证:DE=D&⑵若N8AC=90，BD=4,求△A8C外接圆的半径.图F7-1112.如图F7-12.BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交A B、BD、BC于点E,F.G,连结ED.DG.⑴请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;⑵若ZABC=30°,ZC=45°.ED=2V T0,点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.图F7 -12参考答案1. B2. C ［解析］・..8E平分匕招Z),匕MC=60。
、・.・ ZABE=ZEBD=30。
..: AD 丄BC,：. ZBDA=9Q°.:.DE 上BE.2V ZAW=90°-60°=30°,・.・ ZBAD=ZABE=3。
,：..1E=BE=2DE,3在RtZUCQ 中,sinC*,c.・..HCsinC=8 x—=4\/2,2.L、•££"=二X4V2=* ^2'3 3故选c.3. C ［解析「.・dlBC的周长为19^C=7,.L A5 +HC= 12.... /.ISC的平分线垂直于HE,垂足为N,：.BEEN是AE的中点.ZACB的平分线垂直于.10,垂足为M....4C=DCM是&)的中点，:.DE=AB+.4C-BC=5.1 eA/V是ZUDE的中位线,:.MN土DE=%故选C.Z Z4. C ［解析］如图，过点F作FGLS于点G.依题意可知^4BC是等腰直角三角形，・•・A-1FG也是等腰直角三角形.,: BE 平令 ZABC,匕必=22.5°....匕必=90。
-匕娅=67.5°,』AFE= ZC18+/ABE=67.5°.Z.4EB=AE=^AF=\[2., EG=\[^-1.FG±.4D, ZD.1B=9O°,:,FG//.1B.，•着噌=&=克+1.故选C.EF EG V2-15.B ［解析］结论(1),如图，过点P分别作0丄。
8的垂线段，由于ZPEO=ZPFO=90°.因此ZAOB与ZEPF互补,由已钢Z MPN与匕互补”，可得/MPN=ZEPF.可得NMPE=ZNPF,根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证以=所、即可证得m/\PME#*4PNF,因此对于结论(1),“PM=FN”由全等即可证得是成立的;结论⑵，也可以由全等得到ME=NF、即可证得OM*ON=OE+OF,由于OE+OF 保持不变，因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由竺RtAPNF” 可得这两个三角形的而积相等，因此四边形RI/ON的面积与四边形户EOF的面积始终相等，因此结论(3)是正确的;结论(4), 如图，连结欣,对于切V与△丑EE这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等.所以的长是变化的.故选B.6.27.8 ［解析］连结ZU,因为匕4C3=90。
,所以AB为。
的直径，所以匕£08=90。
.因为CD平分/.1C8,所以BD=AD,在左 ABD 中^4B=y/AD2 + BD2 =J(5\/2)2 + (5\/2)2=10,在&4BC 中^C=\［AB2-AC2 =/102-62 =8.8.6控+3 ［解析］如图，延长EF和BC,交于点G矩形ABCD中，匕1BC的平分线BE与AD交于点E,所以厶1BE=/ GBE=45°,所以在Rt △ABE中，Z ABE= Z .必=45。
,所以AB=AE=9.在Rt △ABE中，根据勾股定理，得BEK A B： +AEZ=y/92,92=9克.又因、为之BED的平分线欣与以？相交于点F所以ZBEG=ZDEF.因为.1D//BC,所以ZG= ZDEF.所以Z BEG= Z G,所以 BG=BE=9 血.由 Z G=匕 DEF, Z EFD= Z GFC,可得△ EFD^AGFC,所以—=—=—=土 .设 CG=xDE=2x,则.1D=9+2.Y=5C因为 BG=BC+CG、所以 9 克=9+2x+x,解得 x=3 \/2 -3,所以DE DF 2CF 28C=9+2x=9+2（3 扼-3）=671+3.9. 解:如图，连結BC3EQC OC交BE于点G.因为 ZBAE=2 ABAC-匕3OC,且ZA1E'+ Z.45£=90°,所以Z065=90°,即 OCIBE,所以 BG=EGAE=2OG.设OG=x，则CG=2-qC=3,由勾股定理可得。
必-OGMU-CG2,即丄解得x=2故.4£=2x=-.2 42 10 510. 解:⑴证明二.四边形如CQ是矩形，:.AB〃CDBC〃AD,:. ZABD=ZCDB...•欧•平分ZABDJ)F平分ZCDB、:./EBD丄ABD.ZFDB=%ZCDB. 22・・・ ZEBD=ZFDB.:.BE//DF.又,:BCHAD、：,四边形BEDF是平行四边形.(2)当匕必=30。
时,四边形BEDF是菱形.理由如下：.:BE 平分ZABD^.4BE=3Q°,•.・Z.4BD=60°,ZDBE=30°.•/四边形是矩形,...匕4=90。
，匕如=90。
-匕13。
=90。
-60。
=30。
.・.. /DBE= ZADB、：, DE=BE...•四边形BEDF是平行四边形，.•・四边形8EDF是菱形.11. 解:⑴证明:二1D 平分ZBAC,：. ZBADNCAD.又V/CBD=ZCAD,：. /BADNCBD,BE 平分 /ABC, .I Z CBE= ZABE,:,ZDBE= /CBE+ ZCBD= ZABE+ /BAD,又V ZBED=ZABE+ /BAD,/DBE=ZBED、；,DE=BD.A(2)如图，连结CD.V Z5JC=90°,:.BC 是直径,... ZBDC=90°.平分ZB.4C£D=*:.BD=CD=4,:,BC=4B D2 + CD—4V2,...&4BC外接圆的半径为2V112. 解:⑴四边形幽GQ是菱形.理由:EG 垂直平分 BD、：,EB=ED、GB=GD、・•・ ZEBD=ZEDB.,:BD 平分/ABC,：. /EBDNDBC,：.』EDF= /GBF,在和△GF5中，Z.EDF = LGBF,DF = BF,£EFD = EGFB、:.△EFD^MFB、:・ED=BG,:.BE=ED=DG=GB...•四边形蹄GQ是菱形.A在RtA£BM 中,Z£^£B=90°,ZEBM=3Q°, 蹄=訪=2面,.I EM=：BE=^.,/ DE // BC 皿丄 BCQN 丄 BC,・•・ EM// DNEM=DN=^MN=DE=2 丽.在RtADA r C 中,ZDNC=9Q\ZDCN=45°,・.・ ZNDC=ZNCD=45。
,:.DN=NC=y/10, AA/C=3V10.在RtA£；VC 中，ZEMC=9Q°£M=y/10MC=3>/T0..L EC=J E M 2 + MC 2= J（面沪 + （3面）2=10.V HG+HC=EH+HC=EC,:,HG+HC的最小值为10.。