泛函分析期末复习提要
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泛函分析期末复习提要
一、距离空间与拓扑空间
(一)教学内容
1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求
1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间
(一)教学内容
1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p
：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
(二)教学基本要求
1.理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
2.熟练掌握Holder 不等式与Minkowski 不等式。
三、有界线性算子
(一)教学内容
1. 有界线性算子与有界线性泛函：定义与例、有界线性算子空间。
2. Steinhaus Banach -定理及其某些应用。
3. 开映射定理与闭图像定理：逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。
4．Banach Hahn -定理及其推论：Banach Hahn -定理、共轭空间与共轭算子。
5．某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式：空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<
上的有界线性泛函、空间c 上的有界线性泛函。
6．自反性与弱收敛：自反性、弱收敛。
7．紧算子：定义、紧算子的基本性质。
重点 有界线性算子空间、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理、空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<
难点 Banach Hahn -定理、共轭空间与共轭算子。
(二)教学基本要求
1.了解定义与例、有界线性算子空间。
2.理解Steinhaus Banach -定理、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。
3.理解空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<
4.了解自反性、弱收敛。
四、Hilbert 空间
(一)教学内容
1. 内积空间的基本性质。
2. 正交性，正交系：正交性、正交系、可分空间的同构。
3. Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间：Riesz 表示定理、空间的共轭空间。
4. Hilbert 空间中的自共轭紧算子。
重点 内积空间的基本性质、正交性、正交系、可分空间的同构、Riesz 表示定理、空间的共轭空间、Hilbert 空间中的自共轭紧算子。
难点Riesz表示定理、空间的共轭空间。
(二)教学基本要求
1. 了解内积空间的基本性质、正交性、正交系。
2. 理解可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轭空间。
3. 理解Hilbert空间中的自共轭紧算子。
五、拓扑线性空间
(一)教学内容
1. 拓扑线性空间的基本性质：定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。
2. 半范数、局部凸空间：半范数、局部凸空间。
3. 弱拓扑：分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
重点拓扑线性空间的基本性质、半范数、局部凸空间、分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
难点分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
(二)教学基本要求
1.了解定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。
2.理解半范数、局部凸空间。
3.理解分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的
端点。
六Banach代数
(一)教学内容
1. Banach定义与例。
2. 正则点与谱：定义、谱的性质。
3. 极大理想与商代数：极大理想、商代数。
4．交换Banach代数的基本定理：连续线性可乘泛函、对合
重点B a n a c定义与例、正则点与谱、极大理想、商代数、连续线性可乘泛函、对合。
难点谱的性质、极大理想、商代数。
(二)教学基本要求
1.了解定义、谱的性质。
2.理解极大理想、商代数。
3.理解连续线性可乘泛函、对合。