泛函分析期末复习提要

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泛函分析复习与总结

泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。

它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。

泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。

下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。

1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。

拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。

泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。

2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。

范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。

完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。

泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。

3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。

希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。

内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。

4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。

泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。

5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。

可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。

Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。

泛函分析总复习

泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。

求证T 在M 中存在唯一的不动点。

证明：因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。

再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。

由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。

因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。

如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。

今假设0),(00>Tx x ρ。

根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。

但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。

故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。

不动点的唯一性是显然的。

事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。

2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。

证明：考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。

上海市考研数学四十三复习资料泛函分析(统考)重点梳理与案例分析

上海市考研数学四十三复习资料泛函分析（统考）重点梳理与案例分析一、泛函分析概述泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的推广，即泛函。

泛函分析在数学理论和实际应用中都具有广泛的意义。

在上海市考研数学四十三中，泛函分析作为一门必修课程，对于考生来说是一个具有较高难度和重要性的知识点。

下面将从重点概念、定理与证明、重要案例等几个方面进行梳理与分析。

二、重点概念1. Banach空间与Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范向量空间，满足了度量空间的完备性和线性空间的结构特点。

Hilbert空间是一个内积空间，具有完备性和正交性的性质，是泛函分析中较为重要的空间。

根据Banach空间和Hilbert空间的特点，可以推导出许多重要的定理和结论。

2. 连续性与可测性在泛函分析中，连续性和可测性是两个重要概念。

连续性是指函数在某个点附近变化不大，可测性是指函数在某个测度空间上的可观测性。

这两个概念在泛函分析中应用广泛，对于理解和证明定理具有重要意义。

3. 紧算子与谱分析紧算子是泛函分析中一个重要的概念，它具有正规性和有界性。

谱分析是研究算子特征值和特征向量的理论，包括有界线性算子、紧算子和自伴算子等。

这些概念在泛函分析的定理与证明中具有重要作用。

三、定理与证明1. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的一大重要定理，它是推广了线性泛函的存在性和唯一性的定理。

定理的证明通常采用分离集和有限子集的方法，通过构造一个满足条件的线性泛函来证明存在性。

这个定理的应用十分广泛，是泛函分析中必须掌握的内容之一。

2. Banach-Steinhaus定理Banach-Steinhaus定理是推广了一致有界原理的定理。

在定理的证明中，一般采用Baire范畴定理和Baire范畴性质来证明。

这个定理的应用范围广泛，例如在泛函分析中的均一化原理和有界线性算子定理中都有应用。

3. 开放映射定理与闭图像定理开放映射定理和闭图像定理都是泛函分析中的重要定理，它们分别给出了开映射和闭图像的条件和性质。

泛函分析复习提要

泛函分析复习提要一、填空1. 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，如果 _______ ，那么称集M在集E中稠密。

如果X有一个可数的稠密子集，那么称X是_____ 空间。

2. 设X是度量空间，M是X中子集，假设________________ ，那么称M是第一纲集。

3. 设T为复Hilbert空间X上的有界线性算子，假设对任何x X，有T X T，那么T为_________ 算子。

(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是正常算子的充要条件是____________________ 。

)4. 假设复Hilbert空间X上有界线性算子T满足对一切X，::: Tx,x •是实数，那么T为________ 算子。

(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是自伴算子的充要条件是____________________ 。

)5. 设X是赋范线性空间，X ■是X的共轭空间，泛函列fn • X (n=1,2,||()，如果存在f • X '，使得对任意的X • X，都有______________ ，那么称｛ f n｝弱*收敛于f。

6•设X,Y是赋范线性空间，T n • B(X,Y)，n =1,2,川，假设存在「B(X,Y)使得对任意的x • X，有 ______________ ，那么称和强收敛于T。

7. 完备的赋范线性空间称为________ 空间，完备的内积空间称为_________ 空间8. 赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子T的范数T二____________9. 设X是内积空间，那么称________ 是由内积导出的范数。

10. 设X是赋范空间，X的范数是由内积引出的充要条件是 ______________ 。

11. 设Y是Hilbert空间的闭子空间，贝U Y与Y--满足_______________ 。

12. 设X是赋范空间，T：D(T) X > X的线性算子，当T满足__________________ 时，那么T是闭算子。

《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结

《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子，算子范数等1、设[,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。

求证：T 有界，并求||||T 。

2、设0[,],[,]X C a b t a b =∈。

定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。

求证：f 有界，并求||||f 。

3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。

二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间四、变分引理极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ?lder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式十五、稠密，可分，完备，柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。

泛函分析知识点

泛函分析知识点 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得∀x,y,z∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0,ε)＝{x∈X|d(x,x0)<ε}为x0的以ε为半径的开球，亦称为x0的ε一领域.2. 极限定义若{x n }⊂X,∃x ∈X,s.t.()lim ,0n n d x x →∞=则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在0x 连续.2.定理1设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。

应用泛函分析复习

泛函分析复习1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。

求证T 在M 中存在唯一的不动点。

证明：因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。

再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。

由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M上连续。

因为M是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。

如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。

今假设0),(00>Tx x ρ。

根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。

但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。

故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。

不动点的唯一性是显然的。

事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。

2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。

证明：考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。

应用泛函分析复习小结精讲

应用泛函分析复习小结精讲第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。

这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。

第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数1第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1）A∪A=A,A∩A=A;2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ；3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；4) 设X为基本集，则A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \B = A ∩ B C又若A?B，则A C?B C。

集合的运算法则：2交换律A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n1）渐缩性，即[a1,b1]?[a2,b2]?L?[a n,b n]?L;2) 区间长度数列{b n?a n }趋于零，即lim(b n?a n)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L)，即ξ∈ ∩[a n,b n]，并且n=1lim a n= lim b n=ξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。

解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。

⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。

注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。

这个经常被⽤来证明。

例如，开映射定理、闭图像定理等。

2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。

导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。

所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。

3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。

不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。

5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。

e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。

然后再除以对应范数，进⾏单位化。

6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。

（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。

7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。

泛函分析复习与总结

《泛函分析》复习与总结第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

（2）赋范线性空间（线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间（线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立，则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。

x 中的元素称为点。

2、常见的度量空间（1）离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点，令称为离散的度量空间。

（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令称为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及由于，所以这是X 上的可积函数。

令（5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设是（X ，d ）中点列，如果存在，使则称点列是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列的极限。

收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为中的点列，即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令表示M 的闭包，如果，那么称集M 在集E 中稠密。

泛函分析部分知识总结

泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。

例：1、nn x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。

2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒（依测度）稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

泛函分析知识点范文

泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。

泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。

泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。

1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。

线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。

线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。

2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。

拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。

拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。

3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。

连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。

连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。

4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。

线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。

泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。

泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。

5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。

该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。

6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。

可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。

7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。

反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。

8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。

泛函分析复习(大字体原简化1)

为 x0 的以为半径的开球，亦称为 x0 的邻域. 于是可定义：内点、外点、边界点、聚点，以及导集、闭包、开集、闭集等概念.
二、距离空间中的稠密集、可分空间定义 2.4 设 X 是度量空间，N 和 M 是 X 的两个子集，令 M 表示 M 的闭包，若N M ，则称集 M 在集 N 中稠密，当 N X 时，称 M 为 X 的一个稠密子集. 定义 2.5 若 X 有一个可列的稠密子集，
2.
连续函数空间 Ca, b

设 xn n1 C[a, b] ， x C a, b ，
xn t x t 0 n 则 d ( xm , x) max at b
xt . x n n 1 在 a, b 一致收敛于
n 1 2
因此对 R 按上述距离是一个距离空间. 2.
C a, b 空间
2
n
续函数的全体.对 Ca, b 中任意两点 x, y ，定义
d ( x, y ) max x t y t . a t b
C a, b 表闭区间 a, b 上实值(或复值)连
3. l p 空间
x, y B ( A) ，定义
d ( x, y ) sup x t y t . tA
例 4 可测函数空间 M X 设 M X 为 X 上实值(或复值)的 Lebesgue 可测函数的全体， m 为 Lebesgue 测度，若 m X ，对任意两个可测函数 f t
m
n
中的
n x x , x , , x R 1 2 n 点列，，
d(xm, x) x1 x1 x2 x2 xn xn .

泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册

故Ax=z,A是闭算子，同理，B也是闭算子
25.P1,P2均为可换投影算子，则P=P1+P2-P1P2也是投影算子，且P>=P1,P>=P2,当任意投影算子Q，Q>=P1,Q>=P2时必有Q>=P
证：
P1,P2,P1P2均为投影算子，故（PX,Y）=…=(X,PY)，即P自伴
又P2=…=P，故P为投影算子
知：闭集F E,ST,mF>0&& |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0在F一致成立
mF>0 点s0 F,ST, U(s0),m(U(s0)∩F)>0又s0 F E
|K(s0,t)|dt>α-ε, U(s0),N,ST, s U(s0)∩F,有：
|K(s,t)-K(s0,t)|dt≤ |K(s,t)-KN(s,t)|+|KN(s,t)-KN(s0,t)|+
ε,令E={s [a,b]: |K(s,t)|dt>α-ε}，mE>0
|K(s,t)|dt关于s本性有界 |K(s,t)|dtdt<∞
连续函数Kn(s,t),ST, |Kn(s,t)-K(s,t)|dt→0(n→∞)
由里斯定理，子列nk,ST,上式对n=nk几乎处处收敛于0
不妨设 |Kn(s,t)-K(s,t)|dt 0(n→∞),则由叶果洛夫定理
｛ Ln(t)｝张成的空间在L2[0,∞)稠密
P232
4.K(s,t)是a≤t≤b,a≤s≤b的可测函数， |K(s,t)|dt对[a,b]几乎所有s存在，且作为s的函数本性有界，令y=Tx:y(t)= K(s,t)x(s)ds,则T是L[a,b]到L[a,b]的有界线性算子，且||T||=vraisup |K(s,t)|dt.

泛函分析知识点汇总

泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。

泛函分析复习

由ε的任意性，有 inf(A + B ) ≤ inf A + inf B (4)
(3)(4)一起表明inf(A + B ) = inf A + inf B 。□ ■P15-8 对于点列{xn } ⊂ R，若 1 , n = 1, 2, · · · 2n 求证{xn }是Cauchy列。又若 |xn+1 − xn | ≤
n +p ∑ k=n+1
1 2，
nx nx 1 nx < 2 = ≤1 = 2 2 1+n x 1+n x n x n nx 而且 lim 1+ = 0 由 Lebesgue 控制收敛定理可得 2 n x
n→+∞
p 1 1 ≥ = = ε0 k n+p 2
0 = ( L) = = □ ■P37-10 求极限 lim [解] 记
n−1 n→∞ 2
子区间[a,b]上连续即可，其中0 < a < b < +∞，由正 ∞ ∑ n 项级数收敛性判别法中的比较原则可知 ena 收敛，又因为∀x ∈ [a, b]
n=1
|ne−nx | ≤ ne−na ∞ ∑ n 故由Weierstrancs M判别法可知 ena 在[a,b]上是一致收敛的。显然 ∞ ∑ e−nx =
■P40-5 设f, g 在(0, 1)为非负可测函数，f 2 , g 2 ∈ L2 (0, 1)，且在(0, 1)内几乎处处成立x−1 ≤ f (x)g (x)， ∫1 ∫1 求证4 ≤ 0 f (x)dx 0 g (x)dx。 1 1 [证] 由于f, g 为(0, 1)内非负可测函数，且f 2 , g 2 ∈ L2 (0, 1)，故由Holder不等式知 ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 1 1 1 1 f 2 (x)g 2 (x)dm ≤ ( f (x)dm) 2 ( g (x)dm) 2