数学分析复旦
数学分析复旦
数学分析复旦
复旦大学的数学分析课程主要包括以下内容：
1. 实数与数列：实数的完备性和有界性，极限的定义和性质，数列的收敛性和发散性，单调数列和子数列等。
2. 函数的连续性：连续函数的定义和性质，间断点的分类和性质，连续函数的运算和复合等。
3. 导数和微分：导数的定义，可导函数的性质，高阶导数和导数的运算，微分中值定理和Taylor公式等。
4. 不定积分：不定积分的定义和运算，定积分的定义和性质，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法等。
5. 定积分的应用：平均值定理，求曲线的弧长和面积，定积分的物理应用，反常积分等。
6. 数列和级数：数列的极限和收敛性，级数的收敛和发散判别法，绝对收敛和条件收敛等。
7. 函数的一致收敛：一致收敛的概念和性质，一致收敛函数列的运算和判别法，幂级数的一致收敛等。
8. Fourier级数：函数的Fourier级数展开，Fourier级数的收敛性和性质，函数的周期性和Fourier级数的应用等。
以上仅为数学分析课程的基本内容，具体的教学安排和课程进度会根据不同学校和教师的要求有所不同。
数学分析 复旦大学
第一章 集合
1．1 集合
1．2 数集及其确界
第二章 数列极限
2．1 数列极限
2．2 数列极限（续）
2．3 单调数列的极限
2．4 子列
第三章 映射Leabharlann 实函数 3．1 映射 3．2 一元实函数
3．3 函数的几何特性
第四章 函数极限和连续性
4．1 函数极限
4．2 函数极限的性质
4．3 无穷小量、无穷大量和有界量
第五章 连续函数和单调函数
5．1 区间上的连续函数
5．2 区间上连续函数的基本性质
5．3 单调函数的性质
第六章 导数和微分
6．1 导数概念
6．2 求导法则
6．3 高阶导数和其他求导法则
6．4 微分
第七章 微分学基本定理及应用
7．1 微分中值定理
7．2 Taylor展开式及应用
7．3 LHospital法则及应用
第八章 导数的应用
8．1 判别函数的单调性
8．2 寻求极值和最值
8．3 函数的凸性
8．4 函数作图
8．5 向量值函数
第九章 积分
9．1 不定积分
9．2 不定积分的换元法和分部积分法
9．3 定积分
9．4 可积函数类R［a，b］
第二十六章 Lebesgue积分
26．1 可测函数
26．2 若干预备定理
26．3 Lebesgue积分
26．4（L）积分存在的充分必要条件
26．5 三大极限定理
26．6 可测集及其测度
26．7 Fubini定理
练习及习题解答
数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)-名校考研真题-多变量微积分学【圣才出品】
由于对任意的 y∈[c，d]，有下式成立
所以有
即
．
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第 2 部分 多变量微分学
第 14 章 偏导数和全微分
解答题 1．已知
1 确定，且 h（x）具有所需的性质．求
所以对任意的 ε＞0，取 在（0，0）处连续．
，则当
时，有
，故 f（x，y）
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由于当（x，y）≠（0，0）时，
，故
4．讨论
在（0，0）点的连续性和可微性．[武汉大学研] 解：（1）连续性．可以令 x＝ζcosθ，y＝ζsinθ，因为
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故
12．
解：由
又由
得
[上海交通大学研] 得
，于是
13．设 z 由 求 [南京大学研]
解：由
得 ①式两端再对 x 求导得
定义为 x，y 的隐函数，其中 为二次连续可微，
两边对 x 求导 ①
所以 f（x，y）在（0，0）点连续． （2）可微性．由于 从而
选取特殊路径 y＝kx，有 为 1，所以 f（x，y）在（0，0）点不可微．
5． 解：由于
，求 dz．[华东师范大学研]
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，极限不
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故
．
6．函数 数．[天津大学研]
同时
，
．
5．若函数 f（x，y）在 上对 x 连续，且存在 L＞0，对任意的 x、y′有
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a中无最小元，或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)致密性定理：(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则：(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？n2闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
《复旦大学数学分析》PPT课件
§5 用多项式逼近连续函数
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15
目 录 （下册）
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§1 Euclid空间上的基本定理
§2 多元连续函数
§3 连续函数的性质
第十二章 多元函数的微分学
§1 偏导数与全微分
§2 多元复合函数的求导法则
§3 中值定理和Taylor公式
§4 隐函数
§5 偏导数在几何中的应用
§3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
§4 微分形式的外微分
§5 场论初步
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17
目 录 （下册）
第十五章 含参变量积分
§1 含参变量的常义积分 §2 含参变量的反常积分 §3 Euler积分
第十六章 Fourier级数
§1 函数的Fourier级数展开
§2 Fourier级数的收敛判别法 §3 Fourier级数的性质 §4 Fourier变换和Fourier积分 §5 快速Fourier变换
4
前言
任何一门学科的产生与发展，都离不开外部世界的 推动。任何科学技术的发展都与时代的发展密切相关。
牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
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5
前言
任何一门学科的产生与发展，都离不开外部世界的 推动。任何科学技术的发展都与时代的发展密切相关。
牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
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10
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
复旦版数学分析答案
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设f⎜⎛ ⎝xx −{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
《复旦大学数学分析》课件
5
数论
基本数论概念和定理，素数和因子分解。
微积分基本理论
导数和微分的概念，中值定理及其应用。
微分方程
常微分方程的基本概念和解法，常系数 线性微分方程。
教学方法
1 授课讲解
通过示例和解题过程进行 理论和概念讲解。
2 课堂互动
3 小组合作
鼓励学生参与讨论和提问， 激发学生的思考和独立思 考能力。
组织学生进行小组讨论和 合作解题，培养团队合作 和批判性思维能力。
《复旦大学数学分析》 PPT课件
欢迎来到《复旦大学数学分析》的PPT课件。本课程将带您深入了解数学分析 的重要概念和应用，了解其在现实生活和学术领域中的重要性。
课程概述
在这个部分，我们将简要介绍《复旦大学数学分析》的课程概述。我们将涵 盖的主题包括数论、函数极限和连续性、微积分基本理论、级数以及部分微 分方程。
课程目标
本课程的目标是使学生在数学分析领域拥有坚实的基础，并能够应用所学知 识解决实际问题。我们的目标是培养学生的逻辑思维能力、分析和证明能力， 以及数学建模的能力。
课程内容
1
函数极限和连续性
ห้องสมุดไป่ตู้
2
函数极限的概念、性质和计算方法，连
续函数的定义和性质。
3
级数
4
级数的概念，收敛性和发散性判定方法，
常见级数的性质。
考核方式
考试
期末考试将占总评成绩的 50%，重点考察学生对课程 知识的理解和应用能力。
作业
平时作业和小组项目将占总 评成绩的30%，鼓励学生在 课程中持续学习和实践。
参与度
学生在课堂讨论和小组活动 中的积极参与将占总评成绩 的20%。
结语
数学分析 复旦第三版 第二章
lim
an an a lim = = n→∞ . n →∞ b b lim bn n
n →∞
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则． 例： 例： 求 lim
am n m + am −1n m −1 + " + a1n + a0 ，其中 m ≤ k , am ≠ 0, bk ≠ 0 . n →∞ b n k + b n k −1 + " + b n + b k k −1 1 0
2-1
个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零. 本节我们用“ ε − N ”语言描述越来越接近 于零这一现象，并分析该现象背后蕴含的数学本质. 一 数列极限的定义 数列就是以正整数集为定义域的实函数 f (n) = an ，可写为： a1 , a2 , a3 ," ，简记为 {an } ．上 述例子就是一个特殊的数列，每天截后剩余部分长度为（单位尺）
1 1 1 1 ⎧1⎫ ， 2 ， 3 ，……， n ，……，或简记作数列： ⎨ n ⎬ 2 2 2 2 ⎩2 ⎭
⎧1⎫ 分析：1°、 ⎨ n ⎬ 随 n 增大而减小，且无限接近于常数 0； ⎩2 ⎭
2°数轴上描点，将其形象表示：
-1 0
1 22
1 2
1
χ
将其一般化，即引出“数列极限”概念 一般地说，对于数列 {an } ，若当 n 无限增大时， an 能无限地接近某一个常数 a ，则称此 数列为收敛数列，常数 a 称为它的极限．若数列 {an } 没有极限，则称 {an } 不收敛，或称 {an } 为 发散数列．
(−1) n +1 = 0. n →∞ n3
n
例：
【2019年整理】复旦大学数学分析
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算 §2 反常积分的收敛判别法
目 录 （下册）
第九章 数项级数
§1 数项级数的收敛性 §2 上极限与下极限 §3 正项级数 §4 任意项级数 §5 无穷乘积
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
复旦大学数学分析
研制
前
言
“数学分析”是一门对数学系的学生讲授微积分的 课程。
前
言
“数学分析” 是一门对数学系的学生讲授微积分的 课程。 “数学分析”是数学系最重要的一门基础课，是许 多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函 数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必 备的基础。
目
第七章 定积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6
录 （上册）
定积分的概念和可积条件 定积分的基本性质 微积分基本定理 定积分在几何计算中的应用 微积分实际应用举例 定积分的数值计算
第八章
反常积分
§1 §2 反常积分的概念Fra bibliotek计算 反常积分的收敛判别法
目
第九章 数项级数
§1 §2
录 （下册）
数项级数的收敛性 上极限与下极限
通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
学好数学分析，必须做到： 通过系统的学习，全面掌握微积分的思想与原 理、微积分的核心内容与精髓； 加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
§3
§4 §5
正项级数
任意项级数 无穷乘积
第十章
函数项级数
§1 §2 §3 §4 §5 函数项级数的一致收敛性 一致收敛级数的判别与性质 幂级数 函数的幂级数展开 用多项式逼近连续函数
目
第十一章
§1 §2 多元连续函数
录 （下册）
Euclid空间上的极限和连续
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数学分析复旦
简介
数学分析是数学的一个重要分支，其主要研究实数域上的函数性质、极限、连
续性、可微性等。
在复旦大学，数学分析是数学专业的重要课程之一。
本文将介绍数学分析在复旦大学的教学内容、教学方法以及对学生的意义。
教学内容
数学分析在复旦大学的教学内容主要包括以下几个方面：
1.极限与连续：介绍实数域上的极限概念和连续性概念，包括函数极限、
数列极限、函数连续的定义和性质等。
2.导数与微分：讲解函数的导数及其性质，包括导数的定义、导数的计
算方法、导数的几何意义等。
同时介绍函数的微分概念和微分的应用。
3.积分与定积分：介绍积分的定义、不定积分及其计算方法、定积分的
概念和性质。
讲解积分在几何学和物理学中的应用。
4.级数与级数收敛性：讲解级数及其收敛性的概念和判别法，包括正项
级数的判别法、任意项级数的判别法等。
5.函数列与一致收敛性：介绍函数列及其收敛性的概念和判别法，包括
一致收敛性的定义和性质。
教学内容涵盖了数学分析的基本概念和重要定理，为学生进一步学习和研究高等数学打下坚实的基础。
教学方法
在复旦大学的数学分析课程中，教师采用了多种教学方法，以提高学生的学习兴趣和理解力。
1.授课与讲解：教师通过课堂上的讲授，结合具体的例子和图表，详细
阐述数学分析的原理和概念，帮助学生理解和掌握知识点。
2.练习与训练：教师会布置大量的作业和习题，鼓励学生积极参与练习
和讨论，提高解题能力和应用能力。
3.讨论和演示：教师会组织学生进行小组讨论，让学生之间相互交流和
分享经验。
同时，通过数学软件和仿真实验等方式进行演示，帮助学生直观地理解数学分析中的抽象概念和推理过程。
4.课外拓展：教师会引导学生进行课外拓展，包括参与数学竞赛、阅读
相关专业书籍等，提高学生对数学分析的兴趣和深度理解。
教学方法的多样性和灵活性能够满足不同学生的学习需求，提高教学效果和学习成果。
学习意义
数学分析作为数学专业的重要课程，对学生具有重要的学习意义和应用价值。
首先，数学分析培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。
通过学习数学分析，学生能够培养出严密的逻辑思维能力，学会分析和解决问题的方法和步骤。
其次，数学分析为后续学习高等数学、数值计算等课程打下了坚实的基础。
高
等数学、数值计算等课程都依赖于数学分析的基本理论和方法，因此，掌握了数学分析的学生能够更好地理解和应用后续课程中的知识。
最后，数学分析对于学生进行科学研究和从事相关领域的工作具有重要的理论
支撑和应用价值。
在科学研究和工程实践中，经常需要利用数学分析中的工具和方法对问题进行建模和求解，因此，数学分析的学习对于学生未来的发展和应用具有重要的意义。
结论
数学分析是复旦大学数学专业的重要课程之一，其教学内容包括极限与连续、
导数与微分、积分与定积分、级数与级数收敛性、函数列与一致收敛性等重要概念和定理。
通过多种教学方法，如授课与讲解、练习与训练、讨论和演示、课外拓展等，帮助学生理解和掌握数学分析相关知识。
数学分析的学习对于培养学生的逻辑思维能力、打下数学学科的基础、为未来的学习和研究提供理论支撑具有重要的意义。