2023人大附中初三数学试卷
2023年北京市人大附中初三三模数学
⼈⼤附三模1．下列图形中，不是中⼼对称图形的是（）A．圆B．菱形C．矩形D．等边三⻆形2．据国家环保总局通报，北京市是“⼗五”⽔污染防治计划完成最好的城市．预计今年年底，北京市污⽔处理能⼒可以达到每⽇1684000吨．将1684000吨⽤科学记数法表示为（）A．1.684×106吨B．1.684×105吨C．0.1684×107吨D．16.84×105吨3．下列运算中，正确的是（）A．＝2B．2﹣3＝﹣6C．（ab）2＝ab2D．3a+2a＝5a24．如图，在平⾏四边形ABCD中，E是AD上⼀点，连接CE并延⻓交BA的延⻓线于点F，则下列结论中错误的是（）A．∠AEF＝∠DEC B．FA：CD＝AE：BC C．FA：AB＝FE：EC D．AB＝DC5．⽤⼀块等边三⻆形的硬纸⽚（如图1）做⼀个底⾯为等边三⻆形且⾼相等的⽆盖的盒⼦（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉⼀个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．⼀家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费⽤（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员年卡，⼀年内游泳20次，消费50+25×20＝550（元）．若⼀年内在该游泳馆游泳45次～55次，则最省钱的⽅式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买B类会员卡D．不购买会员年卡7．已知O为圆锥的顶点，M为底⾯圆周上⼀点，点P在OM上，⼀只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧⾯爬⾏回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧⾯剪开并展平，所得侧⾯展开图是（）A B C D8．如图，在平⾏四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所⾛过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的⾯积为y，y 随x的变化⽽变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．9．如图是对称中⼼为点O的正六边形．如果⽤⼀个含30°⻆的直⻆三⻆板的⻆，借助点O（使⻆的顶点落在点O处），把这个正六边形的⾯积n等分，那么n的所有可能的值是．10．关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x-k＝0没有实数根，则k的取值范围为．11．若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝．12．已知圆锥的底⾯半径是2cm，⺟线⻓是3cm，则圆锥的侧⾯展开图的⾯积是．14.分解因式=．15．在右表中，我们把第i⾏第j列的数记为a i，j（其中i，j都是不⼤于5的正整数），对于表中的每个数a i，j，规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i＜j时，a i，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1，1•a i，1+a1，2•a i，2+a1，3•a i，3+a1，4•a i，4+a1，5•a i，5的值为．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1a4，2a4，3a4，4a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，516．如图，已知点A（，），AC⊥x轴，垂⾜为M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是直线y＝﹣x 上的⼀个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则当点P运动时，点B随之运动，则线段OB的最⼩值为．17.计算：18.解不等式组：，并写出它的所有⾮负整数解．．．．．.19.已知，求代数式的值.20.如图，在中，F是AD的中点，延⻓BC到点E，使CE=BC.连结DE,CF.（1）求证：四边形CEDF是平⾏四边形.（2）若AB=4，AD=6,B=60°，求DE的⻓.21.已知，在平⾯直⻆坐标系中，点A（-1,2）在函数的图象上.（1）求m的值.（2）过点A作轴的平⾏线，直线与直线交于点B，与函数的图象交于点C,与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值.②当BC<BD时，直接写出的取值范围.22.如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点.求作：线段DE,使得点E在线段AC上，且DE=BC.作法：①分别以点A,C为圆⼼，⼤于AC⻓为半径作弧，两弧相交于点M,N两点.②作直线MN,交AC于点E.③连接DE所以，线段DE即为所求的线段.（1）使⽤直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹．．．．．．）（2）完成下⾯的证明.证明：∵AM=CM,AN=CN.∴MN是AC的垂直平分线.（）（填推理的依据）∴点E是AC的中点，∵点D是AB的中点.∴DE=BC.（）（填推理的依据）23.甲、⼄两所学校组织了志愿服务团队选拔活动.经过初选，两所学校各400名学⽣进⼊综合素质展示环节.为了了解两所学校学⽣的整体情况，从两校进⼊综合素质展示环节的学⽣中分别随机抽取了50名学⽣的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进⾏整理、描述和分析.下⾯给出了部分信息..甲学校学⽣成绩的频数分步直⽅图如下（数据分成6组：，，，，，）.甲学校学⽣成绩在这⼀组的是80808181.582838384858686.5878888.58989.⼄学校学⽣成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846％根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学⽣A,⼄学校学⽣B的综合素质展示成绩同为83分，这两⼈在本校学⽣中的综合素质展示排名更考前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的⽔平更⾼，理由为（⾄少从两个不同的⻆度说明推断的合理性）；（3）若每所学校综合素质展示的前120名学⽣将被选⼊志愿服务团队，预估甲学校分数⾄少达到分的学⽣才可以⼊选.24．已知：如图．AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延⻓线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延⻓交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的⻓．25．⼴场俢建了⼀个圆形喷⽔池，在池中⼼竖直安装⼀根⽔管，⽔管的顶端安⼀个喷⽔头，记喷出的⽔与池中⼼的⽔平距离为x⽶，距地⾯的⾼度为y⽶．测量得到如表数值：⼩庆根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化⽽变化的规律进⾏了探究．下⾯是⼩庆的探究过程，请补充完整：x/⽶01234 4.4y/⽶ 2.5 3.3 3.3 2.50.90（1）在平⾯直⻆坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x，y），并画出函数图像；（2）结合函数图像，出⽔⼝距地⾯的⾼度为________⽶，⽔达到最⾼点时与池中⼼的⽔平距离约为________⽶；（3）若圆形喷⽔池半径为5⽶，为了使⽔柱落地点在池内且与⽔池边⽔平距离不⼩于1.5⽶，若只调整⽔管⾼度，其他条件不变，结合函数图像．估计出⽔⼝⾄少需要________（填“升⾼”或“降低”）________⽶（结果保留⼩数点后⼀位）．26．已知抛物线过点（－1，m）和点（2，n）．（1）抛物线的顶点坐标为____________（⽤含h的式⼦表示）；（2）抛物线过点（x0，n）（x0≠2），请⽤含h的式⼦表示x0；（3）在（2）的基础上，若m＜n，直接写出h和x0的取值范围．27．等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，若AD＝CF＝BE．（1）求∠DFE的度数；（2）若G是DE的中点，连接BG并延⻓交AC于点H，补全图形并探究BG与GH之间的数量关系；（3）若DE＝6，过B作BH⊥DE交DE于点H交AC于点G，请直接写出BG的⻓．备⽤图28．在平⾯直⻆坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点Q，使得四边形ABPQ为平⾏四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A（5，2），B（1，4）．（1）在P1（－3，3），P2（－2，4），P3（－1，5），P4（1，6）中，线段AB的“关联点”是____________；（2）若点P在第⼆象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP⻓度d的取值范围；（3）已知正⽅形CDEF边⻓为1．以T（t，3）为中⼼且各边与坐标轴垂直或平⾏，点M，N在线段AB 上（M在N的下⽅）．若正⽅形CDEF上的任意⼀点都存在线段，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的取值范围．。
北京市人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程2350+-=x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3，1，5B ．3，1，5-C ．3，1-，5D ．3，1-，5-2．将抛物线2y x =向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．2(1)y x =-D ．2(1)y x =+3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解方程2620x x -+=，配方后所得的方程是（）A ．()237x -=B ．()237x +=C ．()2311x -=D ．()2311x +=5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A ，以原点O 为圆心，5为半径作O ，则（）A ．点A 在O 上B ．点A 在O 内C ．点A 在O 外D ．点A 与O 的位置关系无法确定6．如图，在正方形网格中，将MNP △绕某一点旋转某一角度得到M N P '''△，则旋转中心是（）A ．点AB ．点7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图本图案以点O 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角转角α的值不可能是（）A ．36︒B ．8．已知抛物线(429y x =--结论中正确的是（）A ．若11x 2<，则10y <<C ．若11x 2<，则12y y <二、填空题9．点()1,2A -关于原点对称的点的坐标是10．方程29x =的解是11．若关于x 的一元二次方程12．请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式13．如图，A 、B 、C 是⊙O 14．在△ABC 中，BAC ∠=15．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x (2)-1-01…y…0466…据此我们可以推知一元二次方程16．在ABC 中，90ABC ∠=直线CB 与直线DE 交于点F 出下面四个结论：①BF 的值一直变大；BF EF -的值一直变小；④当所有正确结论的序号是三、解答题17．解方程：241x x x -=-．18．如图，在ABC 中，AB AC =，80BAC ∠=︒，D 在BC 边上，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转80︒得到线段AE ，连接CE ．(1)依题意补全图形；(2)求证：BD CE =．21．如图，小明同学用一张长为无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，可（损耗不计）．求剪去的正方形的边长．22．已知关于x 的方程2x -(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，求23．已知二次函数2y ax =+(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系(2)当22x -<<时，对于x 的每一个值，函数()20y ax k a =+≠的值且不大于24．如图，AB 是O 的直径，点是等边三角形；(1)求证：ACD(2)若点F是 AC的中点，连接求线段CG的长．25．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是明站在距篮圈中心水平距离触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是小明进行了多次定点投篮练习，并做了记录：(1)第一次训练时，篮球的水平距离x0水平距离/my 2.0竖直距离/m①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求足的函数解析式；②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；(2)将小明第i次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为的取值范围．27．已知ABC 是等边三角形，点D 在ABC 内部，且120BDC ∠=︒．(1)如图1，设ABD α∠=，求ACD ∠的度数（用含α的式子表示）；(2)如图2，点E 是BC 的中点，连接AD ，DE ，用等式表示线段AD 与DE 之间的数量关系，并证明．28．对于C 和C 内一点P （P 与C 不重合）给出如下定义：过点P 可以作出无数条C 的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有k 条，则称点P 为C 的k 属相关点，k 为点P 关于C 的相关系数．在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为3．(1)若点M 的坐标为()2,0，则经过点M 的O 的所有弦中，最短的弦长为_______，点M 关于O 的相关系数为_______；(2)若点()3,4Q ，点N 为O 的4属相关点，求线段NQ 长的取值范围；(3)点T 是x 轴正半轴上一点，T e 的半径为2，点R ，S 分别在O 与T e 上，点R 关于T e 的相关系数记为r ，点S 关于O 的相关系数记为s ．当点T 在x 轴正半轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，且r s <．直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(原卷版)
2023-2024学年度第一学期初三年级数学练习1考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题；满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）A B. C. D. 2. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）A. B. C. D. 3. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定4. 如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积是( )A. 36B. 24C. 12D. 105. 实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A. B. C. D..的38.4438.410⨯53.8410⨯63.8410⨯60.38410⨯()3,A a -()1,B b 52y x =-a b a b >a b =a b <ABC 90C ∠=︒AD BAC ∠3CD =8AB =ABD ()0c a b ->()0b a c ->()0a b c +>()0a b c ->6. 如果，那么代数式的值为（ ）A. B. C. 3 D. 67. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān ），一宜有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宜，一宜半的角叫做欘……”．即：宜矩，欘宜（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，P 为边上一点（点P 不与点B ，C 重合），于G ，并交于点H ，交延长线于点F ．给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. 仅有②B. 仅有③C. ②③D. ①②③二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 把直线y=﹣2x+1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为_________11. 不等式组的解集为________3a b -=22b a a a a b ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭6-3-112=1112=190=︒1A ∠=1B ∠=C ∠15︒22.5︒30︒45︒ABCD BC AH DP ⊥CD CF AH ⊥AH PC AD AH +=FD <FD FB ->12x -12531x x x x-⎧>⎪⎨⎪-<+⎩12. 如图，在中，，，．若，分别为，的中点，则的长为________13. 如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，则点C 的坐标为______．14. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是_______15. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是________Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =D E AC BC DE 1y ax =212y x b =+P 0a >b a <12ax x b >+2x >-0x >120y y <1BD ABCD BCD 22a =1b =ABCD图1 图216. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．（1）要想使花费最少，需要________间两人间；（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要________间三人间．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17.．18. 解方程：．19.已知：．求作：边上的高．作法：如图，①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P （不同于点A ）；③作直线交于点D ．线段就是所求作的的边上的高．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；113-⎛⎫+ ⎪⎝⎭234x x +=ABC BC AD BC 12MN AP BC AD ABC BC（2）完成下面的证明．证明：连接．________，________，点A 、点P 均为线段垂直平分线上点（________）（填推理的依据），是线段的垂直平分线，于点D ．即线段就是所求作的的边上的高．20. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若是该方程的根，求代数式的值．21. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，中，，分别是的边，的中点．求证：，．方法一 证明：如图，延长到点，使，连接，，．方法二 证明：如图，过作交于点，过作交直线于点．的,,,AM AN PM PN AM = PM =∴MN AP ∴MN AD BC ∴⊥AD ABC BC 2240x mx m -+=1x =()223m -+ABC D E AB AC DE BC ∥12DE BC =DE F EF DE =FC DC AF E EF AB ∥BC F A AG BC EF G22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，．（1）求一次函数解析式；（2）若抛物线与轴存在交点，且当时，对于x 的每一个值，函数的值大于函数的值，请直接写出的值．23. 第届亚运会将于今年月日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，年级初选出名学生代表．将名学生代表米自由泳所用时间数据整理如下：a ．名学生代表米自由泳所用时间（单位：秒）：，，，，，，，，，b ．名学生代表米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；平均数中位数众数（1）写出表中，值；（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若次日常训练的平均用时低于名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．①甲乙两位同学次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）；第一次第二次第三次第四次第五次甲同学日常训练用时乙同学日常训练用时②丙同学前次训练的用时为，，，，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角的xOy y kx b =+2122y ax ax =-+()1,0A ()3,2B 22y ax ax n =-+x 3x >22y ax ax n =-+y kx b =+n 19923910102001020026025525525024824624624622020510200243.1m nm n 51052462552272662362462552392402504270255249240度考虑，则第次训练的用时的要求为：________．24. 如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，求的长．25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以米为一个单位长度，则点坐标为（2）求出下垂电缆的抛物线表达式（3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，且经过点，已知点横坐标为：．（1）当时，抛物线对称轴为________，顶点为________；（2）记二次函数图象在点、点之间的部分（包括、）为图形．当时，若图形与轴有且只有一个交点，求的取值范围；当时，记图形上点的纵坐标的最大值与最小值的差为，直接写出关于的函数解析式（用的5t ABC AB BC =A BC ABC ∠D CD ABCD AC BD O D DE BC ⊥BC E EO EO =4DE =CE BD 602727AB CD ==A x O ．40AO =12B D 1D 13.513.5GH x ⊥BD H G G GH xOy 2243y x mx m =-+-+y A B B 21m +2m =A B A B K ①0m >K x m ②0m <K h h m表示）．27. 在中，，，D 为上一点，连结．（1）如图1，点D 不与B 、C 重合，用等式表示之间的数量关系，并证明；（2）如图2，延长至E 使得，若，用等式表示与的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系中的点P 和矩形M ．给出如下定义：若矩形 M 各边分别与坐标轴平行，且在矩形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间距离小于1，则称P 为矩形M 的“近距点”．（1）如图，若矩形对角线交点与坐标原点O 重合，且顶点．①在点中，矩形的“近距点”是______；②点P 在直线上，若P 为矩形的“近距点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）将（1）中的矩形沿着x 轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围．m h ABC 90BAC ∠=︒AB AC =BC AD AD BD CD 、、CB BE BD =7.5BAD ∠=︒AD AE xOyABCD (A -()()()1230,1,2,0,4,2P P P -ABCD y x =ABCD ABCD A B C D ''''A B C D ''''(),0n y =+EF A B C D ''''。
2023~2024学年北京人大附中丰台学校九年级下学期开学考试数学试题
2023~2024学年北京人大附中丰台学校九年级下学期开学考试数学试题1.故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．请将用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．2.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3.若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．B．C．D．4.已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（）A．B．C．D．5.如果，且，那么代数式的值为（）A．B．C．D．6.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．37.已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．③C．①②③D．①②③④8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是或；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．10.因式分解__________．11.如图，点A，B，C是上的三点．若，，则的度数为______．12.如图，在平行四边形中，E为的中点，，交于点F，则和的面积比为______．13.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的边长为________．14.已知，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为________．15.如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．16.有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．17.计算：．18.解不等式组：19.已知是方程的一个根，求的值．20.如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，，求的值．21.如图，在长为、宽的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，求两条道路的宽度各是多少？22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围．23.年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：；；；；）：b．乙校区的学生成绩数据在这一组的是：91919294c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.3m87.2根据上述信息，解答问题：(1)______；(2)对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；(3)抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．24.如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作使得，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．25.给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：(1)图象初探①列表如下12343请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．图①(2)性质再探请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；(3)学以致用某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为________千元；②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．(1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；(2)抛物线经过点．①当时，若，则a的值为_______；②若对于任意的都满足，求a的取值范围．27.如图，正方形中，点分别在上，交于点；(1)_______．(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．备用图(1)在，，中，点P的等和点有________；(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．BD，BC的中点，连接A．32B．25．用配方法解一元二次方程A．()223x+=A．ABC DEC△△≌C．2=AD AC8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程A．1个B．2个二、填空题9．若1是关于x的方程2x ax-10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则12．若关于x 的一元二次方程为．13．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为道的宽都相等．停车位总占地面积为为．14．点()()122A y B a y ，，，在二次函数22y x x =-合条件的a 的值．三、解答题15．解方程：(1)249x =；(2)2680x x -+=．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，点A 与点D 对应，点B 与点E 对应．(1)依题意补全图形；(2)直线AB 与直线DE 的位置关系为___________．17．已知m 是方程2240x x +-=的一个根，求代数式2(2)(3)(3)m m m +++-的值．18．如图，在ABC 中，90,20C B ∠=︒∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，AD 交BC 于点F ．若3AE =，求AF 的长．19．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()0,3A ，()1,0B ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象．(3)结合图象，直接写出不等式20x bx c ++<的解集．20．已知关于x 的一元二次方程2660x m x m --=＋（）．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个实数根小于2，求m 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为△ABC 的中线．BE DC ∥，BE DC =，连接CE ．(1)点F的坐标是___________(2)过点F的直线与抛物线交于射线AM射出，AM所在直线与①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线②BP所在直线与x轴的交点坐标为23．在平面直角坐标系xOy(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；P．(2)已知点(3,2)①当抛物线过点P时，求m的值；(1)①依题意补全图形；②分别求∠CEB 和∠(2)用等式表示线段25．在平面直角坐标系时，若实数k 满足y 有点关于点A 的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形(1)当点A 与点O 重合时，在()()()1232,22,14,4P P P --,,中，关于点是___________；(2)已知点()()2,1,1,1B C -，若线段BC 关于点(),1A m -的距离系数小于范围为___________；(3)已知点()()4,0,0,A T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为。
北京人大附中2023-2024九上12月月考数学试卷
初三上大作业92023.12.6班级：姓名：学号：一．选择题（每小题4分，共40分）1．若，则等于（）A．B．C．D．12．投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（）A．B．C．D．3．如果反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF ＝4，则DE的长为（）第4题图第5题图第6题图A．2B．3C．4D．5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．D．6．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC等于（）A．110°B．100°C．120°D．90°7．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）第7题图第8题图第9题图第10题图A．15°B．17.5°C．20°D．25°8．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣9．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．210．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于B．不小于C．小于D．小于二．填空题（每小题4分，共36分）11．若2=3=5（abc≠0），则rr Kr＝．12．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是度．13．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是．14．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．第14题图第15题图第16题图15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．17．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝_____．第17题图第18题图第19题图18．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是．19．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．三．解答题（每小问4分，共24分）20．如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，EF交BC于点D，如果＝，求．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．22．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．附加题：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．。
2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案
2023北京人大附中初三3月月考数 学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（ ）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（ ）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点． 求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =． 证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4． （1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系． （2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点． 已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______． （2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱 故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ． 由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意． 故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，， 故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥， 故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ， 解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9． 故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110． 故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可． 【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>， 即240b ac −>， 移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度 【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数． 【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒． 故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析 【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==， 又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==． 在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】 解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长． 【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户） 【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可； （2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户） 【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+． 【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+， 即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析 （2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解； （2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论． 【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >； 【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ， 若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析 （2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】 解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =； 【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−， 又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解； （3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=， 设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+， 设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩， 整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是()A. B.C. D.2.在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.下列各组角中，互为余角的是()A.与B.与C.与D.与4.下列说法中错误的是()A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.关于某条直线对称的两个图形全等C.两个全等三角形的对应高相等D.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则的概率是()A. B. C. D.6.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是()A. B. C. D.7.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月天每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是()A.，B.，C.，D.，8.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：时间分钟0246810121620含药量毫克03643则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若有意义，则x的取值范围是__________.10.把多项式分解因式的结果是__________.11.若n为整数，且，则n的值为__________.12.分式方程的解__________.13.如图，点A，B，C，D在上，，，则__________.14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点若，的面积为4，则的面积为__________.15.如图，已知等腰三角形ABC，，，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则__________16.以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要__________分钟．用时种类准备时间分钟加工时间分钟米饭330炒菜156炒菜258汤56三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2023北京人大附中初三9月月考数学
2023北京人大附中初三9月月考数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．一元二次方程4x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，1，6B．4，6，1C．4，﹣6，1D．4，﹣6，﹣12．下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝﹣54．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（）A．3.58（1+x）＝5.27B．3.58（1+2x）＝5.27C．3.58（1+x）2＝5.27D．3.58（1﹣x）2＝5.275．如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF，则其旋转中心的坐标是（）A．（1，0）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（0，0）6．若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y27．如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠AOB＝2∠ACB D．∠ACB＝∠2+∠38．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（）①抛物线开口向上；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0．A．③④B．②③C．②④D．①②③④二、填空题（本题共24分，每题3分）9．点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是．10．如图，将一个含30°角的直角三角板△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与另一个直角三角板△EBD完全重合，且点C，B，E在一条直线上，则α＝．11．将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为．12．若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足如表：x…﹣2﹣1012…y…1510767…根据表中信息推断，方程ax2+bx+c＝10的根为．14．如图，A，B，C，D四点都在⊙O上．已知∠AOB＝70°，则∠ADB＝．15．如图，正方形的四个顶点坐标分别为（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）．若抛物线y＝ax2与正方形有两个公共点，则a的取值范围是．16．在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q'，则称点Q'为点Q关于线段AB的“旋平点”．⊙O 的半径为4，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，则m的最大值是．三、解答题（本题共52分，第17、21题，每题8分；第18、20题，每题5分；第19、22题，每17．解方程：（1）x2+2x＝8；（2）x2+x﹣1＝0，18．如图，圆形油槽装入油后，油深CD为16cm，油面宽度AB为48cm，求圆形油槽的直径．19．已知a是方程x2﹣x﹣9＝0的一个根，求（a﹣1）2+（a+3）（a﹣3）的值．20．如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．求证：BE⊥CE．21．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，它的图象顶点为A，并且与y轴交于点B．（1）直接写出A，B的坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．（4）若直线y＝kx+b也经过A，B两点，直接写出关于x的不等式kx+b＜x2﹣4x+2的解集．22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B 顺时针旋转60°得到线段BQ连接CQ．（1）请补全图形；（2）直接写出在点P运动过程中，线段CQ的最大值为，线段CQ的最小值为．23．已知关于x的一元二次方程x﹣4x﹣m（m+4）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若点F恰为AC中点，补全图形并求GC的长．25．2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某跳水运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m00.20.40.60.8 1.62竖直高度y/m10.0010.4510.6010.4510.00 5.20 1.00①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣4.16（x﹣0.38）2+10.60．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域AB内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练达到要求（填“能”或“不能”）．四、附加题（本题10分）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y＝x2﹣4mx+2m2﹣1的顶点为D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）将抛物线T沿直线y＝1翻折，得到的新抛物线顶点为C，若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（k，﹣2），B（﹣1，﹣）（k≠﹣1）在（2）的条件下，当线段AB与抛物线T恰有有一个公共点时，直接写出k的取值范围．。
2022-2023学年北京市海淀人民大学附属中学九年级上学期10月月考数学试卷和答案
2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-12.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+ B.221y x =- C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．87.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN∠ D.MN AC⊥8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③B.②③C.②④D.②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．11.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．是等边三角形；（1）求证：BOC（2）若O⊙的半径为2，求CD的长．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0.501.00 1.50 2.00 2.50h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27.点E 为正方形ABCD 的边AB 延长线上一点．（1）如图1，当2AB BE ==时，连接CE ，DE ，则BEC ∠=____________°，DE=_____________．（2）如图2，将射线AE 绕着点A 逆时针旋转()0°<<40°αα得到射线AF ，作DH AF ⊥于点H ，在射线AF 取点M 使得2AM DH =，连接CM ．①依题意补全图形；②猜想AMC ∠的度数，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，对于点P ，直线l 和O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在O 上或O 的内部，则称点P 为O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为3x =，①在点()14,0P ，()24,1P ，()35,1P 中，是O 关于l 的反射点有_______________________；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为________________．（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线72x =上的动点，且点P 为O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是___________________；②点()2,2B ，)C ，若线段BC 的任意一点都为O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是_____________．2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-1【答案】B 【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于t 的方程，再求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，∴21210t +⨯-=解得：t =3．故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形围绕旋转中心旋转180°后，与原来一样的特点判断．【详解】A 项正确；B 、C 、D 项旋转180°后，与原图位置不同，所以错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，准确理解概念是解决问题的关键．3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=【答案】D 【解析】【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．【详解】解：移项，得264x x +=．两边同时加9，得26913x x ++=．∴()2313x +=．故选：D ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+B.221y x =-C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝2x 2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y ＝2x 2﹣1，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B ∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，∴90ACB ∠=︒，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130ADC ∠=︒，∴50B ∠=︒，∴905040BAC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．8【答案】D 【解析】【分析】根据根据勾股定理分别求出OA ，OC ，OB ，并将最小数值与各选项比较即可得出答案．【详解】解∶由题意可知，OA =2，OB =OC =∴OB >OC >OA ，2，32＞2，1.82＜，∴当半径r =1.8时，可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树，故选∶D ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，熟练运用勾股定理计算是解本题的关键．7.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN ∠D.MN AC⊥【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴AB =AC ，∠ACN =∠B ，AM =AN ，故选项A 不符合题意；∴AMN ANM Ð=Ð，故选项B 不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠ACB ，∵∠ACN =∠B ，∴∠ACN =∠ACB ，∴CA 平分BCN Ð，故选项C 不符合题意；∵CN 与CM 不一定相等，∴MN AC ^不一成立，故故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③ B.②③C.②④D.②③④【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，可得到①错误；由120x x +=，可得点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，从而得到②正确；③错误；再由121x x -=，可得12y y -=()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y轴右侧，可得1214<0x x -≤⋅，可得④正确，即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象的对称轴为y 轴，开口向上，∴当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，∴当120<<x x 时．都有12<y y ，故①错误；∵120x x +=，∴12x x =-，∴点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，∴12y y =，故②正确；∵120x x +=，∴12x x =-，∵12x x ≠，∴120x x =-≠，∴221212+=+>0y y x x ，故③错误；∵121x x -=，∴221212121212y y x x x x x x x x -=-=-×+=+=，当点()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y 轴右侧，∵121x x -=，∴121<<0,0<<1x x -，∴12<0x x ⋅，即1214<0x x -≤⋅，∴0≤，∴120<1y y ≤-，即对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12=y y t-，故④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．【答案】()2,3-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点()2,3-关于原点对称的点的坐标是()2,3-故答案为：()2,3-【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ）．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．【答案】14【解析】【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，∴方程根的判别式于0，∴由△=1﹣4m =0解得：m =14．故答案为：1411.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．【答案】2y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则0a <；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴0a <，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．【答案】120°##120度【解析】【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解∶∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，∵∠AOC =2∠ABC ，∴∠AOC =120°．故答案为：120°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．【答案】11x =，23x =-【解析】【分析】把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，从而得抛物线的对称轴为直线=1x -，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，根据抛物线的对称性解题即可．【详解】解：∵把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，∴抛物线的对称轴为直线=1x -，∵抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，设抛物线与x 轴的另一个交点为(m ，0)∴−3+m =−1×2，∴m =1，∴关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．【答案】【解析】【分析】根据正方形性质确定△CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【详解】解∶如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴90D ∠=︒，CD =DE ，∴CE 为直径，∠ECD =45°，∵AB =5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，∴CE =5-0.5×2=4，∵90D ∠=︒，∠ECD =45°，∴cos ∠ECD =CDCE，∴cos 42CD ECD CE =∠=⨯= ，故答案为∶【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．【答案】2m <【解析】【分析】根据12y y >列出关于m 的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上，∴221(21)(3)y m n m n =--+=-+，22(1)y m n =-+，∵12y y >，∴22(3)(1)m n m n -+>-+，∴69210m m -++->，即2m <，∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【解析】【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA ∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA ∠=∠∴'sin ''sin 'A P BCB OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．【答案】19x =，21x =-【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2890x x --=()()910x x -+=解得19x =，21x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．【答案】8【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，可得2247m m -=，再把原式化简，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 是方程22470x x --=的一个根，∴22470m m --=，即2247m m -=，()()()2324m m m -+-+2269248m m m m m =-++-+-2241m m =-+∵2247m m -=，∴原式718=+=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE ．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．【答案】（1）见解析（2）四边形AFCE 的面积为4．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，求得∠ABF =90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到△ABF 与△ADE 的面积相等，得到四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积，于是得到结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =90°，∴∠ABF =90°，在△ABF 与△ADE 中，===90°=AB AD ABF D BF DE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△ADE （SAS ），∴AF =AE ；【小问2详解】解：由（1）知，△ABF ≌△ADE ，∴△ABF 与△ADE 的面积相等，∴四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积=2×2=4．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABF ≌△ADE 是解题的关键．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．【答案】证明见解析．【解析】【分析】情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB =∠B +∠C ，再由∠B =∠C 即可得证结论成立；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，从而有∠ACB =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠AOB ．【详解】证明∶情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1∵∠AOB 是△BOC 的一个外角，∴∠AOB =∠B +∠C ，∵OB =OC ，∴∠B =∠C ，∴∠AOB =2∠C ，∴∠C =12∠AOB ；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =12∠AOD +12∠BOD =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，连接CO 并延长交00于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠BOD −12∠AOD =12∠AOB ；【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）1或3-【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式24b ac ∆=-，可得出2(1)k D =+，由偶次方的非负性可得出0∆≥，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．【小问1详解】证明：∵222(5)4(62)21(1)0k k k k k D =+-+=++=+³，∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：由（1）知，2(1)k D =+，∴(5)(5)(1)22k k k x ++±+==，∴13x k =+，22x =，∵若此方程的两根的差为2，∴322k +-=或2(3)2k -+=，解得：1k =或3k =-；∴k 的值为1或3-．【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当0∆≥时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：2b x a-=．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接DF ，可证得四边形ABDF 为平行四边形，=BD AF ，BC AF ∥，再根据等腰三角形的性质可得BD =DC =AF ，AD BC ⊥，即可证得四边形ADCF 是矩形；(2)设AD =x ，则12BD x =，根据勾股定理即可求得AD 、BC 的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得BF 的长．【小问1详解】证明：如图：连接DF ，点E 为AD 的中点，点B 与点F 关于点E 对称，=AE DE ∴，BE =FE ，∴四边形ABDF 为平行四边形，∴=BD AF ，BC AF ∥，AB AC = ，ABC ∴△是等腰三角形，又 AD 为BC 边上的中线，=BD CD ∴，AD BC ⊥，=90ADC ∠︒∴CD =AF ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为矩形；【小问2详解】解：设AD =BC =x ，则12BD x =，在Rt ABD △中，222=AB AD BD +，得(22212x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得4x =或4x =-(舍去)，∴AD =BC =4，四边形ADCF 为矩形，==4CF AD ∴，在Rt BCF △中，BF 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）C （0，3），D (2，3)；（2）m >32．【解析】【分析】（1）令二次函数223y x x =-++中x =0，则y =3，从而求得C （0，3），再令二次函数223y x x =-++中y =0，即可求解点D 的坐标；（2）先求得，当2x >时，223y x x =-++的值小于3，又由当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠过点（2，2m ），从而有2m ≥3，进而即可求解．【小问1详解】解∶∵二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，∴令x =0，则y =0+0+3=3，∴C （0，3），∵过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ，∴二次函数223y x x =-++，令y =3，得2323x x =++，解得x =0，或x =2，∴D (2，3)；【小问2详解】解：∵当x =2时，2233y x x =-++=，则m =32∴当2x >时，223y x x =-++的值小于3，∵当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠，∴m 32≥【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．（1）求证：BOC 是等边三角形；（2）若O ⊙的半径为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设O ⊙的半径为r ，取OC 的中点G ，连接EG ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得1122GE CO GO r ===，根据E 为OB 的中点，则12OE r =，可得GEO 是等边三角形，得出60COB ∠=︒，即可得证；（2）根据勾股定理求得CE 的长，根据垂径定理即可求解．【小问1详解】证明：如图，取OC 的中点G ，连接EG ，设O ⊙的半径为r ，∵AB CD ⊥，∴1122GE CO GO r ===，∵AB 为O ⊙的直径，∴BO r=∵E 为OB 的中点，∴12OE r =，∴OG GE OE==∴GEO 是等边三角形，∴60COB ∠=︒∵OC OB=∴COB 是等边三角形，【小问2详解】解：∵O ⊙的半径为2，∴1OE =，∴CE ，∵AB 为O ⊙的直径，CD AB ⊥，∴2CD CE ==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米．d （米）0.50 1.00 1.50 2.00 2.50h （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析；（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）214h d =--+（）；（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．【小问1详解】如图，【小问2详解】由图象可得，顶点（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；【小问3详解】由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为214h a d =-+（），把（2，3）代入可得a =-1，所以214h d =--+（）；【小问4详解】当h =0时，即2140d -+=-()，解得d =-1（舍去）或d =3，∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），∴公园至少需要准备32米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）32（2）()2,4a a -（3）0≤a ≤2或a <-1【解析】【分析】（1）把()2,2A 代入224y x ax =-+即可求出a 的值；（2）化为顶点式求解即可；（3）分a ≥0和a <0两种情况求解即可．【小问1详解】解：把()2,2A 代入224y x ax =-+，得2444a =-+，∴a =32．【小问2详解】解：224y x ax =-+=22224x ax a a -+-+=()224x a a --+，。
2023-2024学年北京市人大附中丰台校区九年级(上)月考数学试卷(12月份)+答案解析
2023-2024学年北京市人大附中丰台校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是()A. B.C.D.3.如图，圆心角，则的度数是()A. B. C. D.4.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是()A. B.C. D.5.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是()A.B.C.D.6.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是()A.5B.6C.7D.87.抛物线上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……0123……y……11……则下列结论正确的有()①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，A.1个B.2个C.3个D.4个8.下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长x m与它的面积；③正方形边框的边长x cm与面积；其中，变量y与x之间的函数关系不考虑自变量取值范围可用如图所示的函数图象表示的有()A.①B.②C.③D.②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.方程的解是______.10.一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为______，此扇形的面积为______.11.如图，AB是半径为4的的弦，于点C，交于点D，若，则弦AB为______.12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.13.写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为______步.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点、，的半径为为坐标原点，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.三、计算题：本大题共1小题，共5分。
中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题(原卷版)
2023－2024学年度第二学期初三年级数学练习1考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．1. 2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）A. 471.110×B. 57.1110×C. 47.1110×D. 371110× 2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）A. B. C. D.3. 若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. －14. 已知1x −>−，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 1x >B. 1x <C. 1x >−D. 1x <− 5. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）在A. 14B. 13C. 23D. 126. 已知点()()()1233,,1,,1,y y y −−在下列某一函数图像上，且312y y y <<那么这个函数是( )A. 3y x =B. 23y x =C. 3y x =D. 3y x=− 7. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43°，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35°，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9°≈，sin 430.7°≈，cos 350.8°≈，tan 350.7°≈，结果保留整数）（ ）A. 188mB. 269mC. 286mD. 312m8. 如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接,AF EF AF 、交BD 于G ．给出下面四个结论：①2222AB BF AP +<；②BF DE EF +>；③2PB PD BF −<；④FC EC +>． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 五边形的内角和等于___________度．11. 已知反比例函数的图像经过点()2,3−，则该函数的解析式为______．12. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为__________米．13. 如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，且5AB =，4AC =．则tan ADC ∠=______．14 如图，ABC 中，CD 平分ACB ∠，DE AC ∥交BC 于点E ．若5AC =，3DE =，则BE =__________．15. 已知()1,3是反比例函数11k y x=图象和正比例函数22y k x =图象的交点．若12y y >，则x 的取值范围是______． 16. 甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分．.三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17.计算：112sin452− + ．18. 解不等式组：243172x x x x+ ≤ +>− 19. 已知230x xy +−=，求代数式222xy y x y x x x +++÷的值． 20. 如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，点E 为AD 中点，过点A 作AF BC ∥，交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若36,sin 5BC BAD =∠=，求EF 的长． 21. 电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,B m的（1）若2m =，求该函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数1y mx =−的值大于()0y kx b k =+≠的，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．23. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中,m n 的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对 的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）； （3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为 （填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为 （填“甲”或“乙”）．24. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为,H E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点,F G ．连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：FEP FPE ∠=∠；（2）连接AD ，若AD FG ∥4,4,cos 5CD F ==，求EG 的长． 25. 酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．（1）根据表格中数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积y 和A 种酶添加量x 之间的关系， 当020x ≤≤时，y 与x 满足 关系：当2060x ≤≤时，y 与x 满足 关系；（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）（2）当面粉拉伸面积不小于2112.5cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式，并写出达到效果较好时的x 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()00,x y 是抛物线()230y ax bx a ++>上任意一点．（1）若0023x y =−=，，求该拋物线的对称轴； （2）已知点()()()1231,1,3,y y y −，，在该抛物线上．若存在x <<034，恰好使03y =．比较123,,y y y 大小，并说明理由．的的27. 在ABC 中，,,BAC AB AC D α∠==为BC 上一动点，连结AD ．将AD 绕点A 逆时针旋转()180α°−得到线段AE ，连接BE ，取BE 中点G ．（1）如图1，点D 不与B 、C 重合，用等式表示线段CD 与AG 的数量关系，并证明；（2）若120α=°，且AD BE ⊥，连接,DG CE ，当BD CD ∠>，150AEC ∠=°，依题意补全图2，并直接写出BD DG CE−的值． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和点C 给出如下定义；若直线CA 经过点O ，线段CB 与O 只有一个公共点B ，且30ACB ∠= ，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,1,02A B −− ．在点(()()12341,,,,1,02C C C C − 中，弦AB 的“关联点”是 ；（2）若点()1,0,A B ，且点C 是弦AB 的“关联点”，求线段OC 的长；（3）已知直线y +与x 轴、y 轴分别交于点,M N ．对于线段MN 上一点P ，存在O 的弦AB ，使得点P 是弦AB 的“关联点”．记AB 的长为t ，当点P 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题(二卷)
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（二卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．三棱柱C ．圆锥D ．圆柱2．2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ） A ．239510⨯B ．43.9510⨯C ．33.9510⨯D ．50.39510⨯3．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A ．23B ．34C ．25D ．354．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．40︒C ．20︒D ．10︒5．正六边形的外角和是（ ） A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．37．如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二、填空题9x 的取值范围是． 10．分解因式：3a 2﹣12=． 11．方程322x x=+的解为． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=．13．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是米．14．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=°．15．用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则m a m b >”是错误的，这组数可以是=a ，b =，m =．16．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题17．计算：06cos455(2)--π-°． 18．解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值． 20．如图，在ABC V 中， AB AC =．(1)使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）； (2)以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ． ①BEC ∠=°；②写出图中一个与CBE ∠相等的角．21．如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形； （2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长． 22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围． 23．列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24．如图，AB 是O e 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．(1)求证：ACD V 是等边三角形；(2)若点F 是AC n的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O e 的半径为2，求CG 的长．25．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：(1)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；(2)进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b =，c =，k =；(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）． 26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．(1)直接写出抛物线的对称轴；(2)若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；(3)若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围． 27．如图，在ABC V 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形； ②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为1，P 是O e 外一点，给出如下的定义：若在O e 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O e 上，则称Q 为点P 关于O e 的关联点． (1)当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O e 的关联点是______；②若P 关于O e 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；(2)已知点32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O e 的关联点N 存在，直接写出MN的取值范围．。
北京市中国人民大学附属中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
北京市中国人民大学附属中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题7．小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x ，根据题意列出方程得()A ．2234(1)345x +=B ．234(12)345x -=C ．234(12)345x +=D ．2234(1)345x -=8．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若38CDE ∠=︒，则BFC ∠的度数为()A ．71︒B ．72︒C ．81︒D ．82︒二、填空题14．已知关于x 的一元二次方程16．如图，线段AD 为ABC 的中线，点PE AD ⊥于点E ，PF BD ⊥于点17．已知二次函数2y ax bx c =++与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：()34,E y 均在二次函数图像上，则号是．三、解答题18．计算：4|23|18+-+．19．解方程：2420x x +-=．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC 使12CF BC =，连接DE 、CD 、21．已知点(),2A a 为二次函数224y x x =--图像上的点，求代数式23(2)(1)a a a -+-的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的对称轴为1x =，且它经过点()3,0A ，求该二次函数的解析式和顶点坐标．23．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k +--=≠．(1)求证：不论k 为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k 的值，24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(),4A a 在直线12:l y x =上，过点A 的直线2l 与x 轴交于点()6,0B -．与y 轴交于点C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)已知点P 的坐标为()0,n ，过点P 的作y 轴的垂线与1l ，2l 分别交于点D 、E （点D 和点E 不重合），当DE OC =时，则n 的值是_________．25．如图，ABC 中，AB BC =，过A 点作BC 的平行线与ABC ∠的平分线交于点D ，连接CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)过点D 作AC 的平行线交直线BC 于点E ，连接DE ，CE ，点P 是线段BD 上的动点，(1)求点A 的坐标以及抛物线的对称轴；(2)抛物线与直线2y =交于点()11,B x y ，C ①当4BC =时，求抛物线的表达式；②当123512x x +≤时，请直接写出a 的取值范围．27．如图1，点E 为正方形ABCD 边AB 上的一点，连接动点（不与点E ，C 重合），直线DF 交直线(1)如图1，当DG EC ⊥时，用等式表示BE (2)如图2，当CF CD =时，①补全图形；②用等式表示BE ，EC ，CG 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 右（a ≥0）或向左（a ＜0）平移|a |个单位长度，再向上（个单位长度，得到点P '，点P '与点M 的中点为中点”．已知M （a ，b ），P （c ，d ），点Q 为点P(1)①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为______；②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为______（用含a的代数式表示）．(2)已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．①当点Q在y轴上时，点P的坐标为______；②当点Q在第一象限时，c的取值范围是______．(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P （c，d）为正方形ABCD上的动点．①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______；②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是______．。
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选择题：
1. 若a:b = 2:3，且b:c = 4:5，那么a:c 的比值是：
a) 8:20
b) 10:12
c) 6:8
d) 4:5
e) 2:3
2. 下列哪个数是质数？
a) 12
b) 15
c) 23
d) 35
e) 44
3. 几何中，相对于锐角的另一角叫做：
a) 顶角
b) 直角
c) 钝角
d) 锐角
e) 邻角
4. 若正方形的边长为2a cm，那么它的面积是多少平方厘米？
a) 2a
b) a^2
c) 2a^2
d) a^2/2
e) 4a^2
5. 若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，那么它的体积是多少立方厘米？
a) 12
b) 20
c) 60
d) 100
e) 120
填空题：
1. 在二元一次方程组2x - 3y = 7 和4x + 5y = 1 中，解得y = ________。
2. 若两个角的和为180°，那么这两个角一定是________。
3. 一辆汽车以每小时40km的速度行驶，行驶2小时后，已经行驶了远________ 公里。
4. 若正方形的面积为81平方厘米，那么它的边长是________ 厘米。
5. 若抛物线y = -x² + 2x + 3，那么它的顶点坐标是________。
应用题：
1. 甲、乙两人的年龄之比为4:7，现在乙比甲大10岁，请计算甲乙两人的年龄。
2. 一个直角三角形的一边长为3cm，斜边长为5cm，请计算另一直角边的长度。
3. 已知一个长方体的长为8cm，宽为6cm，高为4cm，求其表面积。
4. 一个有4个顶点和6条边的图形是什么图形？
5. 若一块正方形的面积是25平方厘米，另一块长方形的长、宽分别是前者的2倍和3倍，求第二块长方形的面积。