第四节 分式方程及应用-学而思培优

第四节分式方程及应用-学而思培优第四节分式方程及应用

一、课标导航

本节内容主要包括分式方程的定义、解法和应用。

二、核心纲要

1.分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程。

2.解分式方程的基本思想

将分式方程转化为整式方程。

3.解分式方程的一般步骤

1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

2) 解这个整式方程。

3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零。如果最简公分母等于零的根是原方程的增根，则必须舍去。但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

4.分式方程无解的原因

1) 将分式方程化为整式方程后，整式方程无解。

2) 解出的整式方程的根是增根。

5.用换元法解分式方程的一般步骤

1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式。

2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值。

3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值。

4) 检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意。

本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用（列分式方程解应用题）。

三、全能突破

基础演练

1.下列各式中，不是分式方程的是(。)。

A。1/(x-1) + 1/(1-x) = 1

B。(x-1) + x = 1

C。x/(x+1) + (x^2-x)/3 = 2

D。[(x-1)-1] = 1

2.分式方程 (11/(4x-12)) + (1/(x+3)) = 2 的解是(。)。A。x = 2

B。x = -2

C。x = 3

D。无解

3.关于 x 的方程 (1/5) + (2/x) = (3/x-3) 的解是(。)。A。3

B。-3

C。±3

D。无法确定

4.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米/时，则可列方程(。)。

A。100/(x+30) + 60/(30-x) = 4

B。100/(30-x) + 60/(x+30) = 4

C。100/(x-30) + 60/(30+x) = 4

D。100/(30+x) + 60/(x-30) = 4

5.一辆汽车往返于相距 a 千米的甲、乙两地，去时每小时

行 m 千米，返回时每小时行 n 千米，则往返一次所用的时间

是 h。

6.解方程。

1) (5x+3)/(23x-3) = 2;

2) (2x-1)/(x^2-x-1) - (2x+1)/(x^2+x-1) = 1.

7.一个实际问题，根据题意列出的方程是：（需要自己编写）

本节内容主要讲解分式方程的定义、解法和应用。解分式方程的基本思想是将其转化为整式方程，解法包括一般步骤和换元法。对于含有字母系数的分式方程，一般不要求验根。分式方程无解的原因可能是将其化为整式方程后，整式方程无解，或者解出的整式方程的根是增根。基础演练包括不是分式方程、解分式方程、列方程解应用题、解方程等类型的题目。

1.某商场有一部自动扶梯以匀速度v1运行，人上楼梯的步行平均速度为v

2.若物体由扶梯从一层到二层的时间为t，则人带着物体由一层到二层由扶梯走着上去的时间为

t1=t*(v1+v2)/v1.

2.解关于x的方程x-1/(x-2)=m+2无解，则m的值为-1.

3.解关于x的方程3-2x^2+mx/(x-3)-x=-1无解，则m的值为2.

4.若方程x-ac/(b-xd)=1有解，则必须满足条件b≠xd。

5.解关于x的方程a-2/(x-2)=a-2/(2-x)有无穷多个解，则a 的值有无穷多个。

6.解关于x的方程2x+a/(x-1)=1的解是正数，则a的取值范围是a>-1.

7.解下列分式方程：

1) (6y+12y^2-4)/(y+4)(y-4)=2；

2) (2/x^2-2)+(2/x+2)+(2/x-5)+(2/x+3)=1111；

3) (1/x^2-2)+(1/x+7)+(1/x-3)+(1/x+6)=1；

4) (1/a)+(1/b)=(1/a+b)x。

8.若ab≠0，且有种运算ab=113，则根据上述运算解方程1(x-1)=(a/b)^2(x-2)。

9.根据已知规律，关于x的方程x+1=5+的解是x5=5，关于x的方程x+=n+的解是xn=n，关于x的方程x-=m-的解是xm=m。

10.解甲、乙两个工程队共同完成一项工程的时间问题：乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2倍。设乙队单独完成工程所需的天数为x，则甲队单独完成工程所需的天数为2x，由此可列出方程：1/x+2/(2x+x/2)=1，解得x=4，即乙队单独完成工程需要4天，甲队单独完成工程需要8天，两队合作完成工程需要2天。

3.一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了

7小时；另一次航行中，顺流航行40千米，逆流航行70千米，用相同的时间。求轮船在静水中的速度和水流速度。

解析：设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度

为y千米/小时。根据题意，可以列出如下方程组：

80/(x+y) + 42/(x-y) = 7

40/(x+y) + 70/(x-y) = 7

将两个方程相减，消去y，得到：

40/x - 42/(x^2 - y^2) = 0

化简得到：

x^2 - y^2 = 1056