北航研究生数值分析上机作业 三 (报告+所有程序大全)

数值分析上机作业3——求解非线性方程组

以及二元函数的插值拟合

1. 算法设计

对于全部的插值节点(,),0,1,...,10,0,1,...,20i j x y i j ==，带入非线性方程组中，用Newton 迭代法解非线性方程组，得到(,),0,1,...,10,0,1,...,20i j t u i j ==。对(,)i j t u ，在二维数表中进行插值，采用分片双二次插值法。插值过程中，先选择分片区域的中心节点，在数表中的列记为(0:5)tt ，行记为(0:5)uu ，中心节点记为(,)a b ，生成向量_(0:2)t temp ，

_(0)(())((1))/(((1)())((1)(1)))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =--+----+， _(1)((1))((1))/((()(1))(()(1)))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =---+---+， _(2)((1))(())/(((1)(1))((1)()))i i t temp t tt a t tt a tt a tt a tt a tt a =---+--+-，

同理，生成向量_(0:2)u temp ，

_(0)(())((1))/(((1)())((1)(1)))_(1)((1))((1))/((()(1))(()(1)))_(2)((1))(())/(((1)(1))((1)())j j j j j j u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a u temp u uu a u uu a uu a uu a uu a uu a =--+----+=---+---+=---+--+-)

记数表中以分片区域中心节点为中心的3×3的矩阵为T , 对于(,)i j t u 插值结果为

(_)()(_)T t temp T u temp 。

在拟合,0

(,)k

r s rs

r s p x y c

x y ==

∑时，需要计算11()()T T T C B B B UG G G --=，令

,T T W B B M G G ==，计算,W M 时，根据对称性只需要计算对角线元素和对角线以上元

素即可，节省运算时间。于是T

WCM B UG E ==，用选主元的LU 分解法求解WF E =，再计算T

T

MC F =，这里,C F 只需要按行取元素进行运算即可，故不需要进行转置运算。

k 从1到9依次增加，计算σ的值，当710σ-≤时，得到达到精度的最小的k 。

2.打印输出结果

f(x,y):

4.46504018480e-001 3.24683262927e-001 2.10159686683e-001 1.03043608316e-001

3.40189556266e-003 -8.87358136384e-002

6.38015226510e-001 5.0661*******e-001 3.82176369277e-001 2.64863491154e-001

1.54780200285e-001 5.199********e-002

8.40081395765e-001 6.99764165673e-001 5.66061442351e-001 4.39171608118e-001

3.19242138041e-001 2.06376192387e-001

1.0515*******e+000 9.029********e-001 7.60580266859e-001 6.24715198145e-001

4.95519756001e-001 3.73134042774e-001

1.27124675148e+000 1.11500201815e+000 9.64607727215e-001 8.20347369475e-001

6.82447678179e-001 5.51085208597e-001

1.49832105248e+000 1.33499863207e+000 1.177********e+000 1.025********e+000

8.78960023174e-001 7.39145108703e-001

1.73189274038e+000 1.56203457721e+000 1.39721691821e+000 1.23780100674e+000

1.0840*******e+000 9.36322772315e-001

1.97122178640e+000 1.79532959950e+000 1.62406711323e+000 1.45783058271e+000

1.29695464975e+000 1.14171810545e+000

k=1, sigma=3.22090897363e+000

k=2, sigma=4.65996003320e-003

k=3, sigma=1.72117537926e-004

k=4, sigma=3.30953430190e-006

k=5, sigma=2.54137773513e-008

C_rs:

2.021********e+000 -

3.66842591519e+000 7.09246688452e-001 8.48607444215e-001

-4.158********e-001 6.74322022261e-002

3.19192646165e+000 -7.41209812962e-001 -2.69690653026e+000 1.63095275395e+000

-4.84601977266e-001 6.05908514261e-002

2.56706343343e-001 1.58096413206e+000 -4.65701259544e-001 -7.89186706497e-002

1.00853116187e-001 -

2.0768*******e-002

-2.68608304872e-001 -7.33963449843e-001 1.08429601112e+000 -8.156********e-001

3.0728*******e-001 -

4.68489486618e-002

2.16521800059e-001 -1.73026852965e-001 -8.41324310602e-002 2.55736987891e-001

-1.47683427939e-001 2.77711894906e-002

-5.54328606191e-002 1.40518220408e-001 -1.30388672239e-001 3.44966421960e-002