新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)

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新材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件北师大版

增素能精准突破
考点一
函数的定义域
典例突破
例1.(1)(2021湖北荆州高三月考)定义域是一个函数的三要素之一,已知函
数g(x)定义域为[211,985],则函数f(x)=g(2 018x)+g(2 021x)的定义域为(
211 985
A. 2 018 , 2 021
211 985
B. 2 021 , 2 018
段函数解决简单的问题.
数学建模
强基础增分策略
知识梳理
1.函数的概念
给定实数集R中的两个
非空
数集A和B,如果存在一个对应关系f,使
对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么
就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中集合
A称为函数的定义域 ,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的
式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
2.求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定
义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连

(北京专用)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.2函数的基本性质课件

(x 1)2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
考点二函数的奇偶性与周期性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x
4
,
2
单调递增的是
(
)
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
答案 A 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解
能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.
对于选项A,作出f(x)=|cos
,
0
x
等.
2
8.(202X北京文,10,5分)函数f(x)= x (x≥2)的最大值为
.
x 1
答案 2
解析解法一:∵f(x)= x = x 11 =1+ 1 ,
x 1 x 1
x 1
∴f(x)的图象是将y= 1 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 1 在[2,+∞)上
x
x
单调递减,
任取x∈(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),
则f(x)是奇函数.
当x∈(0,1)时,
f
'(x)= 1
1
x
+1
1
x
=
1
2 x2
>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件

B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕西省高三教学质量检测 ( 四 )) 已知函数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称记法
称对应 f：A→B 为从集称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝（x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1）的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]

2025版新教材高考数学复习特训卷单元过关检测二函数与基本初等函数

单元过关检测二函数与基本初等函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上为减函数的是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 3C ．y ＝3－xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2．[2024·黑龙江哈师大附中期末]已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋2，x ≤1，log 2（x 2－1），x >1，则f (f (0))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．24．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2024·福建宁德模拟]函数f (x )＝x －log 2(4x＋1)的部分图象大致为( )6．若a 、b 、c 都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( ) A ．ac ＋bc ＝2ab B ．ab ＋bc ＝ac C ．2c ＝2a ＋1b D ．1c ＝2b －1a7．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会渐渐失去簇新度．已知某种蔬菜失去的簇新度h与其采摘后时间t (小时)满意的函数关系式为h ＝m ·a t.若采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%.那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50%簇新度(参考数据lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满意f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A ．[4，6]B ．(4，6)C ．[－1，3]D ．(－1，3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，与函数y ＝x ＋2不是同一个函数的是( ) A ．y ＝(x ＋2)2B ．y ＝3x 3＋2C ．y ＝x 2x＋2 D ．y ＝x 2＋210．[2024·河北秦皇岛模拟]已知函数f (x )＝lg (x 2＋100－x )，g (x )＝21＋2x ，F (x )＝f (x )＋g (x )，则( )A ．f (x )的图象关于(0，1)对称B ．g (x )的图象没有对称中心C ．对随意的x ∈[－a ，a ](a >0)，F (x )的最大值与最小值之和为4D ．若F （x －3）＋x －3x －1<1，则实数x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)11．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若定义函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．函数f (x )在定义域上不具有单调性 C ．函数f (x )的值域为[0，1] D ．方程f (x )＝12 022存在多数个实数根 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0－|log 3x |，x >0，若g (x )＝f (f (x ))＋1，则下说法正确的是( )A ．当a >0时，g (x )有4个零点B ．当a >0时，g (x )有5个零点C ．当a <0时，g (x )有1个零点D ．当a <0时，g (x )有2个零点 [答题区] 题号 1 2 3 4 5 6 答案题号 7 8 9 10 11 12 答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝ln (ax )，若f (e)＝1，则a ＝________． 14．若函数y ＝a x(a >0，a ≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a 的值为________．15．[2024·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________． ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数．16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤23＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，当a ＝2时，f (4)＝________；若该函数的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f (x )＝a 2x－a x＋2a (a >0且a ≠1)的图象经过点A (1，6). (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的最小值．18．(12分)计算：(1)(4＋23)12－4×8－23－27×－32＋3a ·a －1÷3a －1·3a 2；(2)log 23·log 34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋12lg 16－19．(12分)已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间(1e ，1)内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f (e x＋1)＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．20．(12分)今年某城市一家图书生产企业安排出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷x (0<x ≤100)(万本)，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30x －x 22，0<x ≤5，61x ＋100x －3752，5<x ≤100，由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完．(1)求出今年的利润L (x )(万元)关于年产量x (万本)的函数关系式； (2)今年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润．21．(12分)[2024·河南郑州模拟]已知f(x)＝log2(1－a·2x＋4x)，其中a为常数．(1)当f(1)－f(0)＝2时，求a的值；(2)当x∈[1，＋∞)时，关于x的不等式f(x)≥x－1恒成立，试求a的取值范围．22．(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x4x＋a是偶函数．(1)求a的值；(2)推断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性并证明；(3)解不等式：f(－x2＋4x－7)<f(x2－x＋1).单元过关检测二函数与基本初等函数1．答案：A解析：对于A ：由幂函数的性质可知y ＝x －1是奇函数且在（0，＋∞）上为减函数，故A 正确；对于B ：由幂函数的性质可知y ＝x 3是奇函数且在（0，＋∞）上为增函数，故B 错误；对于C ：易知y ＝3－x 是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：易知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，故D 错误．2．答案：A解析：因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，因为25>16，所以2513>1613，即a <c ，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，因为13>15，所以1615<1613，所以b <a ，综上，b <a <c .故选A.3．答案：A解析：f （f （0））＝f （3）＝log 28＝3.故选A. 4．答案：B解析：解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13，得x <1，解不等式x 2<1，得－1<x <1，又（－1，1）⊆（－∞，1），所以不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的必要不充分条件．故选B.5．答案：A解析：f （0）＝0－log 2（40＋1）＝－1<0，解除C 选项.4x＋1>0，f （x ）的定义域为R ，f （－x ）＝－x －log 2（4－x＋1）＝－x －log 24x＋14x ＝－x －[log 2（4x ＋1）－log 24x ]＝－x ＋2x －log 2（4x ＋1）＝x －log 2（4x＋1）＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，解除D 选项．f （1）＝1－log 2（41＋1）＝1－log 25<1－log 24＝－1＝f （0），所以B 选项错误，故A 选项正确．故选A.6．答案：D解析：由于a ，b ，c 都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9.∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1a ＋1c ＝2b ，即1c ＝2b －1a .故选D.∵1a＋1c ＝2b，即bc ＋ab ＝2ac ，故A 、B 错误．7．答案：B解析：由题意，采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%，可得⎩⎪⎨⎪⎧h （20）＝ma 20＝0.2h （30）＝ma 30＝0.4，解得a ＝2110，m ＝0.05，所以h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t，令h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t＝0.5，可得2t10＝10，两边同时去对数，故t ＝10·lg 10lg 2＝100.3≈33小时．8．答案：B解析：因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，即f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x <06－2x ，0≤x ≤32x －6，x >3，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，x 1<x 2<x 3，作出函数f （x ）的图象如图所示：由图象可知，点（x 2，f （x 2））、（x 3，f （x 3））关于直线x ＝3对称，则x 2＋x 3＝6，由图可知，x 1∈（－2，0），因此，x 1＋x 2＋x 3＝x 1＋6∈（4，6）. 9．答案：ACD解析：y ＝x ＋2的定义域为R .对于A ，y ＝（x ＋2）2的定义域为[－2，＋∞），与y ＝x ＋2的定义域不同，不是同一函数；对于B ，y ＝3x 3＋2＝x ＋2定义域为R ，与y ＝x ＋2定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，y ＝x 2x＋2的定义域为{x |x ≠0}，与y ＝x＋2定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x 2＋2＝|x |＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥0－x ＋2，x <0，与y ＝x ＋2的对应关系不同，不是同一函数．故选ACD.10．答案：ACD解析：由题意知f （x ）的定义域为R ，因为f （x ）＋f （－x ）＝lg 100＝2，所以f （x ）的图象关于（0，1）对称，故A 正确；因为g （x ）的定义域为R ，且g （x ）＋g （－x ）＝2，所以g （x ）的图象关于（0，1）对称，故B 不正确；因为F （x ）＝f （x ）＋g （x ），所以F （x ）的图象关于（0，2）对称，所以对随意的x ∈[－a ，a ]（a >0），F （x ）最大值与最小值之和为4，故C 正确；由F （x －3）＋x －3x －1<1，得F （x －3）＋x －3x －1－1＝F （x －3）－2x －1<0，又F （x ）在R 上单调递减，且F （0）＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －3<0x －1<0，解得x >3或x <1，故D正确．故选ACD.11．答案：BD 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－[－12]＝－12－（－1）＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－[12]＝12－0＝12，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，故A 错误；∵函数f （x ）的定义域为R ，又∵f （x ＋1）＝（x ＋1）－[x ＋1]＝x －[x ]＝f （x ），∴函数f （x ）＝x －[x ]是周期为1的函数，当0≤x <1时，f （x ）＝x －[x ]＝x －0＝x ，则作出其图象如图所示，故函数f （x ）在定义域上不具有单调性，故B 正确；由图得其值域为[0，1），故C 错误；令y ＝12 022，依据其为周期为1的函数，可得到两函数有多数个交点，故方程f （x ）＝12 022存在多数个实数根，故D 正确．故选BD.12．答案：AC解析：当a >0时，令f （x ）＝t ，由f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a .作出函数f （x ）的图象，如图1所示，易得f （x ）＝t 有4个不同的实数解，即当a >0时，g （x ）有4个零点．故A 正确，B 错误；当a <0时，令f （x ）＝t ，所以f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a（舍）.作出函数f （x ）的图象，如图2所示，易得f （x ）＝t 有1个实数解，即当a <0时，g （x ）有1个零点．故C 正确，D 错误．故选AC.13．答案：－1e2解析：由f （x ）是奇函数，则f （－e ）＝－f （e ）＝－1，∴f （－e ）＝ln a （－e ）＝－1.则a ＝－1e 2.14．答案：2解析：由题意，函数y ＝a x（a >0，a ≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3， ①当a >1时，函数y ＝a x 单调递增，故y max ＝a 1＝a ，y min ＝a 0＝1，故a ＋1＝3，∴a ＝2； ②当1>a >0时，函数y ＝a x 单调递减，故y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a ，故a ＋1＝3，∴a ＝2（舍去），综上：a ＝2.15．答案：f （x ）＝x 4（答案不唯一，f （x ）＝x 2n（n ∈N *）均满意）解析：取f （x ）＝x 4，则f （x 1x 2）＝（x 1x 2）4＝x 41 x 42 ＝f （x 1）f （x 2），满意①，f ′（x ）＝4x 3，x >0时有f ′（x ）>0，满意②， f ′（x ）＝4x 3的定义域为R ，又f ′（－x ）＝－4x 3＝－f ′（x ），故f ′（x ）是奇函数，满意③. 16．答案：5 （1，2]解析：当a ＝2时，f （4）＝3＋log 24＝3＋2＝5；若函数的值域是[4，＋∞），故当x ≤2时，满意f （x ）＝6－x ≥4，当x >2时，由f （x ）＝3＋log a x ≥4，所以log a x ≥1，若0<a <1，当x >2时，log a x <0不成立；若a >1，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 2≥1⇔log a 2≥log a a ⇒1<a ≤2，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.17．解析：（1）将A （1，6）代入f （x ）得：a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3（舍），故f （x ）＝22x－2x＋4.（2）易知f （x ）＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋154≥154，当x ＝－1时取等号，故f （x ）的最小值为154.19．解析：（1）因为函数f （x ）＝ln x －m 与y ＝e x 在（1e ，1）都是增函数，所以函数g （x ）＝f （x ）＋e x ＝ln x ＋e x －m 在（1e，1）也是增函数，因为函数g （x ）在区间（1e，1）内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e ＋1－m <0，ln 1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为（0，e ）.（2）关于x 的方程f （e x＋1）＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln （e x＋1）－x有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln （e x＋1）2－ln e x＝ln （e x ＋1）2e x＝ln （e x＋1ex ＋2）成立．因为e x＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2（当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号），所以ln （e x＋1ex ＋2）≥ln （2＋2e x·1ex ）＝2ln 2，所以实数m 的取值范围是[ln 2，＋∞）.20．解析：（1）当0<x ≤5时，L （x ）＝60x －（30x －x 22）－30＝x 22＋30x －30；当5<x ≤100时，L （x ）＝60x －61x －100x ＋3752－30＝3152－（x ＋100x），综上所述，L （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋30x －30，0<x ≤5，3152－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，5<x ≤100.（2）当0<x ≤5时，L （x ）max ＝L （5）＝2652；当5<x ≤100时，L （x ）＝3152－（x ＋100x），L （x ）在（5，10）上单调递增，在（10，＋∞）上单调递减；此时L （x ）max ＝L （10）＝2752，所以当x ＝10，即今年年产量为10万本时，该企业所获利润最大，且最大利润为2752万元．21．解析：（1）f （1）－f （0）＝2得log 2（1－2a ＋4）－log 2（1－a ＋1）＝log 24⇒log 2（5－2a ）＝log 24（2－a ）⇒5－2a ＝8－4a ⇒a ＝32.11（2）log 2（1－a ·2x ＋4x ）≥x －1＝log 22x －1⇒1－a ·2x ＋4x ≥2x －1⇒a ≤2x ＋12x －12，令t ＝2x ，∵x ∈[1，＋∞），∴t ∈[2，＋∞），设h （t ）＝t ＋1t －12，则a ≤h （t ）min ，∵h （t ）在[2，＋∞）上为增函数⇒t ＝2时，h （t ）＝t ＋1t －12有最小值为2，∴a ≤2. 22．解析：（1）依题意，函数f （x ）＝12x ＋a ·2－x ，因f （x ）是R 上的偶函数，即∀x ∈R ，f （－x ）＝f （x ），因此，∀x ∈R ，2x ＋a ·2－x ＝2－x ＋a ·2x ⇔（2x －2－x ）a ＝2x －2－x，而当x ≠0时，2x －2－x ≠0，于是得a ＝1，所以a 的值是1.（3）依题意，f （－x 2＋4x －7）<f （x 2－x ＋1）⇔f （x 2－4x ＋7）<f （x 2－x ＋1），而x 2－4x ＋7＝（x －2）2＋3>0，x 2－x ＋1＝（x －12）2＋34>0，由（2）知，x 2－4x ＋7>x 2－x ＋1，解得x <2，所以原不等式的解集是（－∞，2）.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练9二次函数与幂函数北师大版

课时规范练9　二次函数与幂函数基础巩固组1.(2021辽宁沈阳高三月考)若幂函数f(x)=(3m2-2m)x3m的图象不经过坐标原点,则实数m的值为( )A.1 3B.-13C.-1D.12.二次函数f(x)的图象经过(0,3),(2,3)两点,且f(x)的最大值是5,则该函数的解析式是( )A.f(x)=2x2-8x+11B.f(x)=-2x2+8x-1C.f(x)=2x2-4x+3D.f(x)=-2x2+4x+33.(2021辽宁锦州高三月考)设a>0,b>0,若a2+2a=b2+3b,则( )A.a<bB.a>bC.2a=3bD.3a<4b4.(2021山东临沂高三月考)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上单调递增.若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞)5.(2021浙江湖州高三期中)已知函数f(x)=(m2-m-5)x m2-6是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断6.(2021天津和平高三月考)已知函数f(x)=x4-x2,则下列结论错误的是( )A.f(x)的图象关于y轴对称B.方程f(x)=0的解的个数为2C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为-147.若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上( )A.既不是奇函数也不是偶函数B.是偶函数C.是增函数D.是减函数8.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),下列说法正确的是( )A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递减B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于x=1对称D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点9.(2021浙江台州高三期末)已知函数f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的值域是 .综合提升组10.(2021天津静海高三一模)已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln2),c=f(5-12),则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a11.若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上单调递增,则下列选项中不满足条件的实数a的值是(　)A.0B.2C.-2D.-312.(2021河南郑州高三月考)若函数f(x)=mx2+(n-1)x+2(m>0,n>0)的单调递增区间为1 2 ,+∞,则1m+1n的最小值为 .13.(2021四川宜宾高三月考)已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0).(1)若f(x)的值域为[0,+∞),求关于x的方程f(x)=4的解;(2)当a=2时,函数g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点,求实数m的取值范围.创新应用组14.(2021浙江丽水高三二模)已知f (x )=x 2-2x ,对任意的x 1,x 2∈[0,3],方程|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=m 在[0,3]上有解,则实数m 的取值范围是( )A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}课时规范练9　二次函数与幂函数1.B 解析:由题意得3m 2-2m=1,解得m=1或-13,①当m=1时,f (x )=x 3,函数图象经过原点,不合题意;②当m=-13时,f (x )=x -1,函数图象不经过原点,符合题意,故m=-13.2.D 解析:二次函数f (x )的图象经过(0,3),(2,3)两点,则图象的对称轴为直线x=1.又由函数的最大值是5,可设f (x )=a (x-1)2+5(a ≠0).于是3=a+5,解得a=-2.故f (x )=-2(x-1)2+5=-2x 2+4x+3,故选D .3.B 解析:因为a>0,所以a 2+3a>a 2+2a=b 2+3b ,所以a 2+3a>b 2+3b ,又因为函数f (x )=x 2+3x ,在(0,+∞)上单调递增,且a>0,b>0,所以a>b ,故选B .4.C 解析:由题意可知函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x=2(如图).若f (a )≥f (0),从图象观察可知0≤a ≤4.5.A 解析:因为函数f (x )=(m 2-m-5)x m 2-6是幂函数,所以m 2-m-5=1,解得m=-2或m=3.因为对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-6>0,所以m=3(m=-2舍去),所以f (x )=x 3.对任意的a ,b ∈R ,a+b>0,即a>-b ,所以f (a )>f (-b )=-f (b ),所以f (a )+f (b )>0,故选A .6.B 解析:因为f (x )=x 4-x 2的定义域为R ,显然关于原点对称,又因为f (-x )=(-x )4-(-x )2=x 4-x 2=f (x ),所以y=f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,故A 正确;令f (x )=0,即x 2(x+1)(x-1)=0,解得x=0,x=1或x=-1,方程f (x )=0的解的个数为3,故B 错误;令t=x 2,g (t )=t 2-t=t-122-14,当x>1时,函数t=x 2,g (t )=t 2-t 都单调递增,故f (x )在(1,+∞)单调递增,故C 正确;由当t=12时,g (t )取得最小值-14,故f (x )的最小值是-14,故D 正确,故选B .7.C 解析:因为y=f (x )是幂函数,设f (x )=x a ,因为其图象过点(27,3),即f (27)=27a =3,解得a=13,于是得f (x )=x 13,且f (x )的定义域为R ,显然f (x )在定义域R 上是增函数,C 正确;f (-x )=(-x )13=-x 13=-f (x ),则f (x )是奇函数,故选C .8.B 解析:对于选项A,若a 2-b ≤0,则f (x )=|(x-a )2+b-a 2|=(x-a )2+b-a 2在区间[a ,+∞)上单调递增,故A 错误;对于选项B,当a=0时,f (x )=|x 2+b|显然是偶函数,故B 正确;对于选项C,取a=0,b=-2,函数f (x )=|x 2-2ax+b|可化为f (x )=|x 2-2|,满足f (0)=f (2),但f (x )的图象不关于直线x=1对称,故C 错误;对于选项D,如图,a 2-b-2>0,即a 2-b>2,则h (x )=|(x-a )2+b-a 2|-2有4个零点,故D 错误.9.[-16,+∞)　解析:因为f (x )=(x 2-2x-3)(x 2+ax+b )是偶函数,所以{f (-3)=f (3)=0,f (1)=f (-1)=0,代入得{9-3a +b =0,1+a +b =0,解得{a =2,b =-3,所以f (x )=(x 2-2x-3)(x 2+2x-3)=(x 2-3)2-4x 2=x 4-10x 2+9=(x 2-5)2-16≥-16,故f (x )的值域为[-16,+∞).10.C 解析:由2f (2)=f (16)可得2·2α=24α,因为1+α=4α,所以α=13,即f (x )=x 13.由此可知函数f (x )在R 上单调递增.而log 42=lo g 22lo g 24=12,ln2=lo g 22lo g 2e ,5-12√因为1<log 2e <2,所以lo g 22lo g 24<lo g 22lo g 2e ,于是log 42<ln2,又因为1√12,所以5-12<log 42,故a ,b ,c 的大小关系是b>a>c ,故选C .11.C 解析:根据题意可知f (x )={x 2+(a -1)x -a ,x ≥-a ,-x 2-(a -1)x +a ,x <-a ,对于y=x 2+(a-1)x-a 及y=-x 2-(a-1)x+a ,其图象的对称轴均为直线x=1-a 2.当1-a 2≥-a ,即a ≥-1时,作出f (x )的大致图象(为方便说明,略去y 轴以及坐标原点,如图1).图1图2由图可知,此时要满足题意,只需使-a ≥2或1-a 2≤1,解得a ≤-2或a ≥-1,故a ≥-1;当1-a 2<-a ,即a<-1时,作出f (x )的大致图象(为方便说明,略去y 轴以及坐标原点,如图2).由图可知,此时要满足题意,只需使-a ≤1或1-a 2≥2,解得a ≥-1或a ≤-3,故a ≤-3.综上所述,a ≥-1或a ≤-3.故选C .12.4　解析:函数f (x )图象的对称轴为直线x=-n -12m =12,故m+n=1,所以1m +1n =1m +1n (m+n )=2+n m +m n ≥2+2√n m ·m n =4,当且仅当m=n=12时等号成立,从而1m +1n的最小值为4.13.解(1)因为f (x )的值域为[0,+∞),所以f (x )min =f -a 2=14a 2-12a 2+1=0.因为a>0,所以a=2,则f (x )=x 2+2x+1.因为f (x )=4,所以x 2+2x+1=4,即x 2+2x-3=0,解得x=-3或x=1.(2)g (x )=[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1在[-2,1]上有三个零点等价于方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根.因为[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0,所以f (x )=m+1或f (x )=m-1.因为a=2,所以f (x )=x 2+2x+1.结合f (x )在[-2,1]上的图象(图略)可知,要使方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根,则f (x )=m+1在[-2,1]上有一个实数根,f (x )=m-1在[-2,1]上有两个不等实数根,即{1<m +1≤4,0<m -1≤1,解得1<m ≤2.故m 的取值范围为(1,2].14.D 解析:因为f (x )=(x-1)2-1,x ∈[0,3],则f (x )min =-1,f (x )max =3.要对任意的x 1,x 2∈[0,3],方程|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=m 在[0,3]上有解,取f (x 1)=-1,f (x 2)=3,此时任意的x ∈[0,3],都有m=|f (x )-f (x 1)|+|f (x )-f (x 2)|=4,其他m 的取值,方程均无解,则m 的取值范围是{4},故选D .。

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第4讲幂函数与二次函数课件

2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域值域
(－∞，＋∞) □02 4ac4－a b2，＋∞
(－∞，＋∞) □03 －∞，4ac4－a b2
单调性对称性
在 x∈－∞，－2ba上单调递减；在 x∈ □04 －2ba，＋∞
1.若幂函数 y＝x－1，y＝xm 与 y＝xn 在第一象限内的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为( )
A.d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
答案 B 解析由幂函数的图象可知在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越
接近 x 轴，由题图知 a>b>c>d，故选 B.
(2)(2021·荆州模拟)设 a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a 答案 B 解析由已知得 a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数 y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知 c＜a＜b.
幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 分的区域．根据 α<0，0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
4．二次函数的对称轴二次函数 y＝f(x)对定义域内的所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数).

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第9讲函数模型及其应用课件

第9讲函数模型及其应用
1
PART ONE
基础知识整合
1．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
“2156”，解密后得到的明文是( )
A．12 B．14 答案 A
C．2
D．18
解析由已知，可得当 x＝4 时，y＝2，所以 2＝k·43，解得 k＝423＝312，故 y＝312x3.令 y＝312x3＝2156，即 x3＝18，解得 x＝12.故选 A.
2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
4．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 10≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
答案 C
解析将 L＝4.9 代入 L＝5＋lg V，得 lg V＝－0.1＝－110，所以 V＝10－110
＝1 10
≈1.2159≈0.8，故选 C.
10
5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)＝1＋e－0K.23（t－53），其中 K 为最大确诊病例数．当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(参考数据：ln 19 ≈3)( )

2025版新教材高考数学全程一轮总复习第二章函数与基本初等函数第八节函数与方程学生用书

第八节函数与方程【课标标准】 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合详细连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．必备学问·夯实双基学问梳理1．函数的零点(1)函数零点的概念对于一般的函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：(3)零点存在性定理：假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得________．2．二分法对于在区间上图象连绵不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步靠近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]1．若连绵不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．图象连绵不断的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．3．连绵不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连绵不断)，则f(a)f(b)＜0.( )(4)若f(x)在区间[a，b]上连绵不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )2．(教材改编)x 1234 5f(x)－4－2147在下列区间中，函数()必有零点的区间为( )A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)3．(教材改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是________．4．(易错)(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连绵不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是( ) A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内D．函数f(x)的两个零点不行能同时在区间(1，2)内5．(易错)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．关键实力·题型突破题型一函数零点所在区间的判定例 1 (1)[2024·安徽安庆一中月考]函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为( ) A． B．C． D．(2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点(3)[2024·河南南阳模拟]已知函数f(x)＝81ln x－－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝( )A．1 B．2 C．3 D．4题后师说判定函数零点所在区间的2种方法巩固训练1(1)[2024·河北唐山模拟]在下列区间中，函数f(x)＝e x＋2x－3的零点所在的区间为( )A． B．C． D．(2)设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点肯定位于下列哪个区间( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，3)题型二零点个数的判定例 2 (1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)[2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(3)已知函数f(x)＝则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3题后师说判定函数零点个数的3种方法巩固训练2(1)[2024·山东济宁模拟]函数f(x)＝的零点个数为( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数为________．题型三函数零点的应用角度一依据函数零点的个数求参数例 3[2024·安徽巢湖一中月考]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k(x－1)有4个零点，则实数k的取值范围为________．题后师说已知函数零点个数求参数范围，常利用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，精确画出两个函数的图象，利用图象写出满意条件的参数范围．巩固训练3[2024·河北沧州模拟]已知f(x)＝，若函数y＝f(x)－kx－没有零点，则实数k的取值范围是( )A． B．C． D．[1，＋∞)角度二依据函数零点所在的区间求参数例 4(1)[2024·河南焦作模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为( )A．(1，e2) B．(1，2)C．(1，e2＋1) D．(2)若函数f(x)＝4x－2x－a在区间[－1，1]上有零点，则实数a的取值范围是________．题后师说依据函数零点所在区间求参数范围的常用方法巩固训练4[2024·黑龙江双鸭山一中月考]设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在上有零点，则实数k的取值范围为________．第八节函数与方程必备学问·夯实双基学问梳理1．(1)f(x)＝0 (2)实根x轴零点(3)f(a)·f(b)<0 f(x0)＝02．f(a)·f(b)<0 一分为二零点夯实双基1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.答案：B3．解析：因为y＝2x，y＝x3是增函数，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增．又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0，所以f(0)f(2)<0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一的零点．故选B.答案：14．解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连绵不断的，所以零点两侧函数值异号，又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确．若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．综上两种状况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.答案：ABD5．解析：若a＝0，则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0，得x＝－1，故符合题意；若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数．故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，综合所述a＝0或a＝－.答案：0或－关键实力·题型突破例1 解析：(1)由已知得f(x)＝x＋log2x为(0，＋∞)上的递增函数，f＝＋log2＝－log23<0，f＝＋log2＝－<0，f＝＋log2＝－log23＝(5－log227)>0，f(1)＝1>0，由零点存在定理可知，f(x)在区间存在零点，故选C.(2)(图象法)令f(x)＝0，得x＝ln x，作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，明显y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．故选D.(3)因为函数y＝81ln x与y＝－－80在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2.故选B.答案：(1)C (2)D (3)B巩固训练1 解析：(1)函数f(x)＝e x＋2x－3的定义域为R.因为函数y＝e x，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝e x＋2x－3为R上的增函数．又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，f＝＝<0，f＝＋2×－3＝－2<0，f＝＋2×－3＝>>0.由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为.故选C.(2)(图象法)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)．故选A.答案：(1)C (2)A例2 解析：(1)由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，故函数在(1，3)上有唯一零点，也即在(0，＋∞)上有唯一零点．故选B.(2)当x<1时，y＝|x|＋2－|x|＝2，所以不存在零点；当x≥1时，t＝x＋－|x|＝>0，也不存在零点，所以函数y＝f(x)－|x|的零点个数为0.故选A.(3)由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则函数f(x)－2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y ＝2|x|的交点个数．作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2.故选C.答案：(1)B (2)A (3)C巩固训练2 解析：(1)因为f(x)＝，令f(x)＝0，当，解得x＝－2；当，解得x＝3，f(x)的零点有－2和3共2个．故选B.(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数即为－log2x－1＝0⇒＝log2x＋1的解的个数，即为y＝，y＝log2x＋1两个函数的交点个数，画图可知有1个交点．答案：(1)B (2)1例3 解析：因为g(x)＝f(x)－k(x－1)有4个零点，所以方程f(x)＝k(x－1)有4个实数根，画出f(x)＝的图象，以及y＝k(x－1)，则两函数的图象有4个公共点．其中直线y＝k(x－1)经过定点(1，0)，斜率为k.当直线与f(x)相切时，联立，Δ＝(1－2k)2－4k2＝0，可求出k＝，由图可知，当0<k<时，方程f(x)＝k(x－1)有4个交点，故k的取值范围为.答案：巩固训练3 解析：令y＝f(x)－kx－＝0，可得f(x)＝与y＝kx＋，若要使函数y＝f(x)－kx－没有零点，则两函数的图象没有交点，在同始终角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，函数y＝kx＋过定点，由图象可得实数k的取值范围是k≥.故选B.答案：B例4 解析：(1)∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，∴f(x)在(1，e)上单调递增．又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．故选C.(2)∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－)2－，∵x∈[－1，1]，∴2x∈，∴(2x－)2－∈，∴实数a的取值范围是.答案：(1)C (2)巩固训练4 解析：因为f(x)＝2x＋x2－k在上单调递增，且有零点．所以，解得1≤k≤3.答案：。

高考数学一轮总复习函数与基本初等函数阶段性测试题二北师大版(1)

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2014·周口期中试题)函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R[答案] C[解析] 函数的定义域就是使函数式有意义的自变量x 的取值范围，本题中要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，所以x ≥－1且x ≠0，故选C. (理)(2014·南阳市一中月考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，得－13<x <1，所以选B.2．(文) (2011·南京月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝1xC ．y ＝－(12)xD ．y ＝[答案] B[解析] 由对数函数和幂函数的单调性可知，A ，D 在(0，＋∞)递增；由指数函数的单调性可知y ＝(12)x 在R 内单调递减，故y ＝－(12)x 递增；由反比例函数y ＝1x 的图像可知，函数在(0,1)上是减函数，故选B.(理)(2014·河南质量调研)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2x D ．f (x )＝－tan x[答案] C[解析] f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调．f (x )＝－x 为非奇非偶函数．f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.3．(文)(2014·太原调研) 已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0(x >0)π(x ＝0)π2＋1(x <0)，则f (f (f (－1)))的值等于( ) A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．π D ．0[答案] C[解析] f (－1)＝π2＋1，所以f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π，选C.(理)(2014·太原调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4[答案] B[解析] 本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，43>0，∴f (43)＝2×43＝83.－43<0，∴f (－43)＝f (－43＋1) ＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝2×23＝43，∴f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4. 4．(文)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.36C.33D.24[答案] D[解析] 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24，选D.(理)(2014·汕头一模) 已知集合A ＝{x ∈R|2x <e }，B ＝{x ∈R|1x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ∈R|0<x <log 2e }B ．{x ∈R|0<x <1}C ．{x ∈R|1<x <log 2e }D ．{x ∈R|x <log 2e }[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x ∈R|2x <e }＝{x ∈R|x <log 2e }． B ＝{x ∈R|1x >1}＝{x ∈R|0<x <1}，所以A ∩B ＝{x ∈R|0<x <1}．5．(2014·河北省高阳中学高三上学期第一次月考)已知函数f (x )＝ln(21－x ＋a )(a 为常数)是奇函数，则实数a 为( )A ．1B ．－3C ．3D ．－1[答案] D[解析] 函数在x ＝0处有意义，所以f (0)＝ln(2＋a )＝0，得a ＝－1.6．(2014·大同一中上学期期中考试)设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．Q <R <P B ．R <Q <P C ．Q <P <R D ．R <P <Q [答案] B[解析] 题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，它们都是增函数，从而知0<log 32<1，log 23>1，log 2(log 32)<0，因此选B.7．(2014·南昌调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中abc <0，则函数图像可能是( )[答案] C[解析] a <0时，开口向下，因为abc <0，所以b ，c 同号，对于A 、由图像可知c >0，则b >0，∴－b 2a >0，选项A 不符合题意，由B 图可知c <0，故b <0，∴－b2a <0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项B 不符合题意，当a >0时，因为abc <0，所以b ，c 异号，由C ，D 图可知c <0，故b >0，∴－b2a<0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项D 不符合题意，C 符合，故选C.8．(2014·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥01，x <0，若f (4)＝f (0)，f (2)＝2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 因为f (4)＝f (0)，f (2)＝2，所以16＋4b ＋c ＝c 且4＋2b ＋c ＝2，解得b ＝－4，c ＝6，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥01，x <0.当x ≥0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得x 2－4x ＋6－x ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.当x <0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得1－x ＝0，解得x ＝1，不成立，舍去．所以函数的零点个数为2个，选C.9．(2014·湘西州联考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞)[答案] B[解析] 令g (x )＝6－ax ，∵对数的底数a >0，∴g (x )在[0,2]上为减函数，又∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴a >1且6－2a >0，即1<a <3.10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆O x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是( )A ．f (x )＝e x ＋e －x B ．f (x )＝ln 5－x5＋xC ．f (x )＝tan x 2D ．f (x )＝4x 3＋x[答案] A[解析] 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A 中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图像不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不为“和谐函数”；B 中，f (0)＝ln 5－05＋0ln1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；C 中f (0)＝tan0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；D 中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”；故选A.(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．γ>α>βB ．β>α>γC ．α>β>γD ．β>γ>α[答案] A[解析] g ′(x )＝1，所以由g (α)＝g ′(α)得α＝1.h ′(x )＝1x ＋1，所以由h (β)＝h ′(β)得ln(β＋1)＝1β＋1，由图像可知0<β<1，φ′(x )＝3x 2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)计算3log 32＋lg 12－lg5的结果为________．[答案] 1[解析] 由对数恒等式知3log 32＝2，根据对数运算法则知lg 12－lg5＝lg(12÷5)＝lg 110＝－1，∴3log 32＋lg 12－lg5＝2－1＝1.(理)(2014·苏北四市高三调研)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．[答案] x ＝log 34[解析] 两边同乘以3(3x －1)，整理得： 13·(3x )2－43·3x －8＝0，解得x ＝log 34.12．(文)(2014·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值为________．[答案] 0或3[解析] 当a >0时，f (a )＝log 3a ＝1，解得a ＝3；当a ≤0时，f (a )＝(13)a ＝1，解得a ＝0.综上a ＝0或3.(理)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 本题是分段函数，1－a 与1＋a 哪个大于1，哪个小于1不确定，因此分类讨论，a >0时，1－a <1,1＋a >1，f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a,2－a ＝－1－3a ，a ＝－32<0，不合题意，舍去；同理a <0时，得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a＝－34，符合题意．故a ＝－34.13．(文)(2014·东莞市一模)已知方程x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－7，－1)[解析] 由x 2＋2x ＋2a －1＝0，参变量分离得 2a ＝－(x ＋1)2＋2，记f (x )＝－(x ＋1)2＋2，且x ∈(1,3]，所以－14≤f (x )≤－2，即－14≤2a <－2. 故实数a 的取值范围为[－7，－1)．(理)(2014·唐山市摸底考试)若存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] a >0[解析] ∵存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，∴a >(4x －2x )min ，∴令y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14，∵x >0，∴2x >1，∴y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14>0，∴a >0.14．(2014·山西省大同一中期中考试)对于函数f (x )定义域中任意的x 1, x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2) ，②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2，当f (x )＝ln x 时，上述结论中正确结论的序号是________． [答案] ②④[解析] 把函数f (x )＝ln x 代入结论①②：ln(x 1＋x 2)＝ln x 1ln x 2，ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0说明x 1<x 1时，f (x 1)>f (x 2)从而f (x )为减函数，但函数f (x )＝ln x 是增函数，故③错误；④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2等价于ln x 1＋x 22>ln x 1＋ln x 22⇔ln x 1＋x 22>ln(x 1x 2)12⇔x 1＋x 22>x 1x 2，当x 1，x 2>0且x 1≠x 2时，上式显然成立．故④也是正确的．15．(文)(2014·南京调研)定义在R 上的函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |，满足f (2x －1)>f (x ＋1)，则x 的取值范围是________．[答案] x >2或x <0[解析] 因为函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f (2x －1)>f (x ＋1)，得|x ＋1|<|2x －1|，解得x >2或x <0.(理)已知函数f (x )＝lg(x ＋x 2＋1)＋x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则a 的取值范围是________．[答案] {a |a >1，或a <－2} [解析] f (－x )＝lg(x 2＋1－x )－x＝lg(1x 2＋1＋x)－x ＝－lg(x 2＋1＋x )－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )递增，故x ∈R 时，f (x )递增，所以 f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)， ∴1－a 2<a －1，解得a >1，或a <－2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)用定义证明函数f (x )＝x 2＋2x－1在(0,1]上是减函数．[解析] 证明一个函数为单调函数，根据定义设x 1，x 2为所给区间上的任意两个实数，且x 1<x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，但一定要注意的是，对差f (x 1)－f (x 2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差f (x 1)－f (x 2)是正是负．证明：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0,1]，则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<1，x 1＋x 2<2，2x 1x 2－(x 1＋x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋2x －11－x 22－2x －12＝(x 21－x 22)＋2(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)[2x 1x 2－(x 1＋x 2)]>0.∴函数f (x )＝x 2＋2x －1在(0,1]上是减函数．17．(本小题满分12分)(文) (2014·洛阳部分重点中学教学检测) 已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数， ∴当x >0时，－x <0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2，故当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2. ∴当x ∈[1，32]时，f (x )是增函数；当x ∈[32，3]时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f (32)＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.(理)(2014·长沙调研)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a >0，a ≠1)． (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．[解析] (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝4 ①(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ②由②得log 2a ＝0或log 2a ＝1，解得a ＝1(舍去)或a ＝2，由a ＝2得k ＝2.(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.18．(本小题满分12分)(文)(2014·合肥第一次质检)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.所以m 的取值范围为m ∈(－∞，－1)．(理)(2014·山东潍坊模拟) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >00，x ＝0x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值．(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解析] (1)设x <0，则－x >0,∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2) 根据(1)中所求m ＝2，利用函数的图像，可知函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)单调递减，在(－1,1)单调递增，又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )图像可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1，∴1<a ≤3. 从而实数a 的取值范围是(1,3]．19．(本小题满分12分)(文)(2014·南昌市月考)已知f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，g (x )＝λf (x )，(1)求实数a 的值；(2)若g (x )≤x log 2x 在x ∈[2,3]上恒成立，求λ的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝ln(e 0＋a )＝0，解得a ＝0.(2)由(1)f (x )＝x ，不等式g (x )≤x log 2x 为λx ≤x log 2x ，∵x∈[2,3]，∴λ≤log2x.在x∈[2,3]时，log2x的最小值为log22＝1，故λ≤1.∴λ的取值范围是(－∞，1]．(理) (2014·南通市调研)设函数f(x)＝a x－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围．[解析](1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，当k＝2时f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)，f(－x)＝－f(x)成立，函数f(x)是奇函数，∴k＝2.另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)a x＝－a x＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(a x＋a－x)＝0，又∵a x＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵a x单调递减，a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.20．(本小题满分13分)(2014·吉安一中上学期期中考试) 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)若关于x的方程F(x)－m＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．[解析] (1)F (x )＝2f (x )＋g (x )＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a >0且a ≠1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，所以函数F (x )的定义域为(－1,1)．令F (x )＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0(*)方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x )，(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.经检验x ＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0，所以函数F (x )的零点为0.(2)m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(0≤x <1) m ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)， a m ＝1－x ＋41－x－4，设1－x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝t ＋4t在区间(0,1]上是减函数，当t ＝1时，此时x ＝1，y min ＝5，所以a m ≥1.①若a >1，则m ≥0，方程有解；②若0<a <1，则m ≤0，方程有解．21．(本小题满分14分)(文)某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低3x 4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)，(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．[解析] (1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x 4元，年销售量为1－2x万件纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x ＝198.5－400x －x 4(万元) (2)f (x )＝198.5－400x －x 4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5 等号当且仅当400x ＝x 4此时x ＝40(万元)即f (x )的最大值是178.5万元，以及f (x )取得最大值时x 的值40万元．(理)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)．所以L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000 此时，x ＝10000x，即x ＝100时L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练5二次函数与一元二次方程不等式北师大版

课时规范练5　二次函数与一元二次方程、不等式基础巩固组1.(2021山东烟台高三月考)已知集合A={x|(-x+3)(x+2)<0},B={x|(x+4)(x-2)>0},则A ∩B=( )A.{x|x<-4或x>3}B.{x|x>3}C.{x|x<-4}D.{x|-3<x<-2}2.(2021湖南长沙高三月考)若a<0,则关于x 的不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为( )A.x 2<x<1aB.x 1a<x<2C.x x<1a 或x>2 D.x x<2或x>1a3.(2021河北唐山高三期中)集合A={x||x|<2},B={x|x 2-2x-m ≥0}.若A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},则实数m=( )A.-4B.4C.8D.-84.(2021浙江余姚高三检测)关于x 的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为x 1m <x<2,则实数m 的取值范围为( )A.(0,+∞)B.(0,2)C.12,+∞ D.(-∞,0)5.(2021广东深圳高三期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c (ac ≠0),若f (x )<0的解集为(-1,m ),则下列说法正确的是( )A.f (m-1)<0B.f (m-1)>0C.f (m-1)必与m 同号D.f (m-1)必与m 异号6.(2021安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则实数a 的取值范围是( )A.(-3,5)B.(-2,4)C.[-3,5]D.[-2,4]7.(2021甘肃兰州高三月考)对于任意实数x ,不等式(a-2)x 2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.{a|a<2}B.{a|a ≤2}C.{a|-2<a<2}D.{a|-2<a ≤2}8.函数y=√lo g 13(4x 2-3x )的定义域为 .9.(2021湖南衡阳高三期末)对于实数x ,当n ≤x<n+1(n ∈Z )时,规定[x ]=n ,则不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为 .综合提升组10.(2021湖北荆州高三月考)已知集合A=x -12≤x<2,集合B={x|x 2-(a+2)x+2a<0},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-12B.-∞,-12C.-12,2 D.-12,211.(2021浙江余姚高三期中)已知关于x 的不等式组{x 2-2x -8>0,2x 2+(2k +7)x +7k <0整数解仅有一个,则实数k 的取值范围为( )A.(-5,3)∪(4,5)B.[-5,3)∪(4,5]C.(-5,3]∪[4,5)D.[-5,3]∪[4,5]12.(2021河北石家庄高三期中)若关于x 的不等式1ax 2+bx+c<0(ab>1)的解集为空集,则T=12(ab -1)+a (b +2c )ab -1的最小值为( )A.√2 B.2 C.2√2 D.413.(2021湖北武汉高三期中)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,∀x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.√5-12,+∞ B.[2,+∞)C.[-1,+∞)D.[3,+∞)创新应用组14.(2021重庆八中高三模拟)已知函数f(x)=12x+1+e x-e-x,若不等式f(ax2)+f(1-2ax)≥1对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(0,e]B.[0,e]C.(0,1]D.[0,1]15.(2021江苏泰州高三月考)在脱贫攻坚过程中,某地干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户养羊,每万元可创造利润0.15万元.进行技术指导后,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.课时规范练5　二次函数与一元二次方程、不等式1.A　解析:由题意A={x|x<-2或x>3},B={x|x<-4或x>2},所以A∩B={x|x<-4或x>3},故选A.2.B　解析:方程(ax-1)(x-2)=0的两个根为x=2和x=1a ,因为a<0,所以1a<2,故不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为x 1a<x<2.3.C 解析:因为集合B={x|x 2-2x-m ≥0},所以∁R B={x|x 2-2x-m<0}.又A={x|-2<x<2},A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},所以4是方程x 2-2x-m=0的一个根,即42-2×4-m=0,解得m=8.当m=8时,∁R B={x|-2<x<4},此时A ∪(∁R B )={x|-2<x<4},符合题意,所以m=8,故选C .4.D 解析:不等式可化为m x-1m (x-2)>0,因为此不等式的解集为x 1m<x<2,所以必有m<0且1m<2,即m<0.5.D 解析:因为f (x )<0的解集为(-1,m ),所以-1,m 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个实数根,且a>0,m ≠0,因此f (x )=a (x+1)(x-m ).所以f (m-1)=-am 与m 必异号,且无法判定-am 的符号,故选D .6.D 解析:关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a )<0,当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a };当a=1时,不等式的解集为⌀;当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是[-2,4],故选D .7.D 解析:当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立,符合题意;当a-2≠0时,由题意知{a -2<0,4(a -2)2+16(a -2)<0,解得-2<a<2.综上,-2<a ≤2,故选D .8.-14,0∪34,1　解析:函数y=√lo g 13(4x 2-3x )的定义域应满足0<4x 2-3x ≤1,解得-14≤x<0或34<x ≤1.9.{x|2≤x<8}　解析:令t=[x ],则不等式化为4t 2-36t+45<0,解得32<t<152,而t=[x ],所以32<[x ]<152,由[x ]的定义可知x 的取值范围是2≤x<8,即不等式的解集为{x|2≤x<8}.10.A 解析:由题意可知A ⫋B.又B={x|x 2-(a+2)x+2a<0}={x|(x-a )(x-2)<0},①当a<2时,B={x|a<x<2},若A ⫋B ,则a<-12;②当a>2时,B={x|2<x<a },此时A ⫋B 不成立;③当a=2时,B=⌀,A ⫋B 不成立.综上所述,a<-12,故选A .11.B 解析:{x 2-2x -8>0,2x 2+(2k +7)x +7k <0⇒{(x -4)(x +2)>0,(x +k )(2x +7)<0⇒{x <-2或x >4,(x +k )(2x +7)<0.①当-k<-72,即k>72时,{x <-2或x >4,-k <x <-72⇒-k<x<-72.∵不等式组整数解仅有一个,-k 在[-5,-4)之间时不等式组整数解只有-4一个,∴-5≤-k<-4,∴4<k ≤5.②当-k=-72,即k=72时,(x+k )(2x+7)=x+72·(2x+7)=2x+722≥0恒成立,∴不等式组解集为⌀,不满足题意.③当-k>-72,即k<72时,{x <-2或x >4,-72<x <-k .∵不等式组整数解仅有一个,-k 在(-3,5]之间时,不等式组整数解只有-3一个,∴-3<-k ≤5,∴-5≤k<3.综上,实数k 的取值范围为[-5,3)∪(4,5].12.D 解析:依题意有1a >0,b 2-4c a ≤0,得c ≥a b 24,则T=12(ab -1)+a (b +2c )ab -1≥1+2ab +a 2b 22(ab -1),令ab-1=m ,则m>0,故T ≥1+2(m +1)+(m +1)22m =m 2+2m+2≥4,当且仅当m=2时,等号成立,故选D .13.B 解析:f (x )=x 2+4x+1+a=(x+2)2+a-3≥a-3,令t=f (x ),则t ≥a-3,则原问题转化为f (t )=t 2+4t+1+a ≥0在t ≥a-3时恒成立.易知函数f (t )的图象关于直线t=-2对称,当-2<a-3,即a>1时,函数f (t )在[a-3,+∞)上单调递增,所以只需f (a-3)≥0,即a 2-a-2≥0,解得a ≤-1(舍去)或a ≥2;当a-3≤-2,即a ≤1时,只需f (-2)≥0,即a-3≥0,无解.综上所述,实数a 的取值范围是[2,+∞),故选B .14.D 解析:∵f (x )=12x +1+e x -e -x ,∴f (x )+f (-x )=12x +1+e x -e -x +12-x +1+e -x -e x =12x +1+12-x +1=1.令g (x )=f (x )-12,则g (x )+g (-x )=0,可得g (x )是奇函数.又g'(x )=12x +1'+(e x -e -x )'=e x +e -x -2x ln2(2x +1)2=e x +1e x −ln22x +12x +2,利用基本不等式知e x +1e x ≥2,当且仅当e x=1e x ,即x=0时,等号成立,ln 22x +12x +2≤ln 24,当且仅当2x =12x ,即x=0时,等号成立,故g'(x )>0,可得g (x )是增函数.由f (ax 2)+f (1-2ax )≥1得f (ax 2)-12≥-f (1-2ax )+12=-f (1-2ax )-12,即g (ax 2)≥-g (1-2ax )=g (2ax-1),即ax 2-2ax+1≥0对∀x ∈R 恒成立.当a=0时,显然成立;当a ≠0时,需{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,得0<a ≤1.综上可得0≤a ≤1,故选D .15.解(1)由题意,得0.15(1+0.25x )(10-x )≥0.15×10,整理得x 2-6x ≤0,解得0≤x ≤6,又x>0,∴0<x ≤6.故x 的取值范围为(0,6].(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a-0.875x )x 万元,技术指导后,养羊的利润为0.15(1+0.25x )(10-x )万元,则0.15(a-0.875x )x ≤0.15(1+0.25x )(10-x )恒成立.又0<x<10,∴a≤5x8+10x+1.5恒成立.又5x8+10x≥5,当且仅当x=4时,等号成立,∴0<a≤6.5,即a的最大值为6.5.。

函数与基本初等函数综合测试卷(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

函数与基本初等函数综合测试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2024·湖南·二模）已知函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能为（）A ．f (x )=―2x 2|x |―1B ．f (x )=―2x 2|x |+1C ．f (x )=―2x|x |―1D ．f (x )=―2|x |x 2―12．（5分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x 2―2ax,x ≥1a 2x ―1,x <1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,45)B ．(0,45]C ．(0,1)D ．(0,1]3．（5分）（2024·天津南开·二模）已知a =，b =logc=）.A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >c >a4．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v km s 和燃料的质量M (kg)、火箭（除燃料外）的质量m (kg)的函数关系是v =2000ln 11000M =8m 时，火箭的最大速度为v 1；当1000M =4m 时，火箭的最大速度为v 2．则v 1―v 2≈（参考数据：ln 252251≈0.004）（）A ．8.0km/sB ．8.4km/sC ．8.8km/sD ．9.0km/s5．（5分）（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数f (x )定义域为R ，且函数f (x )与f (x +1)均为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )是减函数，设a =b =c =f log a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c6．（5分）（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且f (x )=x,0≤x <1―x +2,1≤x ≤2，则不等式xf(x ―1)<0在(―2,2)上的解集为（）A ．(―2,―1)B ．(―2,―1)∪(0,1)C ．(―1,0)∪(0,1)D ．(―1,0)∪(1,2)7．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x )=e x ,x ≤0,ln x,x >0,g (x )=x ―3,方程f (g (x ))=―3―g (x )有两个不同的根，分别是x 1,x 2,则 x 1+x 2=（）A ．0B ．3C ．6D ．98．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )=f ′(x )，函数f (2x +3)的图象关于点(―1,1)对称．若对任意x ∈R ，有f (x +3)=x +f (3―x )，则下列说法正确的是（）A ．g (x )不为周期函数B ．f (x )的图象不关于点(1,1)对称C ．g (211)=12D ．f (985)=1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2024·福建泉州·模拟预测）已知a >0，b >0，且a +b =4，则（）A ．a +2b >4B ．(a ―1)(b ―1)>1C ．log 2a +log 2b ≥2D ．2a +≥810．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x )=e x +2x ―2,g (x )=2ln x +x ―2的零点分别为x 1,x 2，则（）A ．2x 1+x 2=2B ．x 1x 2=e x 1+ln x 2C ．x1+x 2>43D ．2x 1x 2<11．（5分）（2024·新疆·三模）已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足f (x +y )―f (x ―y )=2g (x )f (y )，f (2)+f (1)=0且f (2)⋅f (1)≠0，则下列结论正确的是A ．f (0)=0B ．g (1)=―12C ．f (x )为奇函数D ．2024n =1f (n )=202412．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )对任意x,y ∈R 恒有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x <0时，f (x )<0,f (2)=3，则下列结论中正确的是（）A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )在R 上单调递增C ．|f (x )|≤3的解集为[―2,2]D ．若f (x )―4<3m 2+am 对∀x ∈[―2,2],a ∈[―4,4]恒成立，则实数m 的取值范围为―13第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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