2020-2021学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(A卷)

2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A 卷）

试题数：20，总分：100

1.（单选题，4分）设i 是虚数单位，则复数z=1+3i 的共轭复数是（ ）

A.1+3i

B.1-3i

C.-1+3i

D.-1-3i

2.（单选题，4分）函数f （x ）=cos2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）

A.2π

B.π

C. π2

D. π4 3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b

⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π

4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）

A.g （x ）=sin2x

B. g (x )=sin (2x +π4)

C. g (x )=sin (2x −π4)

D. g (x )=sin (2x +3π4) 5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

（ ）

A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56

AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）

A.a

B.b

C.c

D.d

7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π

2 ）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）

A.- √3

B.- √32

C. √32

D. √3

9.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分

别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF

⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0

B. 14

C. 18

D. 58

10.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45 ，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）

A. 5

2

B. 25

C. 53

D. 35

11.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．

12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b

⃗⃗ 的夹角为___ ．

13.（填空题，4分）在△ABC 中，a= √2 b ，b= √3c ，则最大角的余弦值为___ ．

14.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是单位向量， a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为120°，则（ a ⃗ + b

⃗⃗ ）⋅ b ⃗⃗ =___ ，| a ⃗ +2 b

⃗⃗ |=___ ． 15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．

16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．

（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．

（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；

（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；

（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．

18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．

（Ⅰ）求 f (π3) 的值；

（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；

（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．

19.（问答题，9分）在△ABC中，sinA+√3cosA=0，a=√19，b=2．

（Ⅰ）求A的大小及边c的值；

（Ⅱ）若D是BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．

（Ⅰ）求C的值；

（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．