球面调和函数
基于球面调和函数的人脸识别
对畸变不变性的物体识别提 出了动态链接模型， 用稀疏图形来描述物体 ， 其顶点用局部能量谱的多尺度描
述来 标记 ， 边用 几何 距离 来标 记 ， 并且 它表 示顶 点之 间 拓 扑连 接 关 系． 后 应 用 塑性 图形 匹配 技 术 来 寻找 然
最近 的 已知 图形． ３ 基 于概 率模 型 的方 法 ， 隐 马 尔 可夫 模 型 ， 本 作 为 信号 的一 种 统计 模 型 在语 音 信 （） 如 原
号处 理领 域得 到 了广泛 的应 用 ； ａ ｒ 等 人 研究 了采 用 ＨＭＭ 进行 人 脸 识别 取 得 了很 好 结果 ． ４ 基 于 Ｓ ｍａ ａ ｉ （） 外貌 的人 脸识 别方 法． 方法 所得 到 的识别 特征 是 由 图像本 身 的灰度 分布 所决 定 的 ， 描述 了图像 的 内在 此 它 消息 ， 而这 种 内在 消息对 增强 图像 的识 别能 力是 非常 重要 ． 常 把一 幅大小 为 ｍ ｘｈ的人脸 图像看 作 ＝ 通
Ｍａ ０ １ １ ｖ ２ ０８ Ｖｏ ． ８ Ｎｏ． ２
基 于 球 面 调 和 函 数 的 人 脸 识 别
胡 彭 勇
（ 安徽大学 ａ 智能计算与信号处理教 育部 重点实验室 ， ． ． ｂ 数学科学学院 ， 合肥 摘 ２０３ ） ３０ ９
要： 根据在任意光照下 朗伯 凸表 面的图像 可 以由一个低 维线性子 空 间近似这 一原 理 ， 出 了一种 新的人脸 提
般是 通 过提取 人 眼 、 鼻等 重要 特 征点 的位 置 和 眼 睛等 重要 器 官 的几 何 形状 作 为 分 类特 征 ， 献 ［ ］ 口、 文 ３ 实 验结 果表 明此 方法 的识 别率 对几 何特 征提 取 的精确 性 有 很 高 的要 求 ． ２ 基 于 弹性 模 型 的方 法 ． 献 ［ （） 文 ４］
一种基于球面调和函数的3D模型仿真方法
区 分 病 灶 等 。 但 由于 受 到 模 型 图像 数 据 量 庞 大 ， 算
法 复 杂 ， 以及 计 算 机 处 理 速 度 慢 等 因 素 的 限制 ， 导
１ 球 面调 和 函数 的数 学 原理
球 面 调 和 函数 是 一个 定 义 在 球 面 坐 标 系 下 的 一 组 函 数 ，并 且 构 成 球 面 上 的 一 组 标 准 正 交 基 ，通 常
是 球
收 稿 日期 ： ２ １－ ３ ０ ； 修 回 日期 ： ２ １ － ４ １ ０２０— ５ ０２０—９ 作 者 简 介 ： 张 斌 （９ ３ ） １ ８一 ，男 ， 河 南 人 ， 硕 士 研 究 生 ， 从 事 虚 拟 现 实 、三 维 图 像 建 模 、力 触 觉 反 馈 方 向的 研 究 。
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｄ ｓ ｒｂ ｓ ａ ｎ ｗ ｔ ｏ ｏ ｈ ｉｕ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ Ｄ ｍａ ｅ ｄ ｔ ｅ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ｎ ａ ｄ ｉｓｃ ｒ ｈ ｍ ｅ ｔａ ｔ ｉ ａ ｅ ｅ ｃ ｉ ｅ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｖ ｓ ａ ｉ ｔｏ ｆ３ ｉ ｇ ａ ａ ｒ ｃ ｎ ｔ ｕ ｔ ， ｎ ｔ ｏ ｅ ｔ ｅ ｚ ｏ ｉ ｈ ｔ ｄ ｃ ｍ ｐ ｓ Ｄ ｄ ｌｉ ｔ ｒ ｕ ｆ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ａ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｃ ｅ ｃ ｅ ｔｏｆｓ ｈ ｒｃ ｌｈ ｒ ｎ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ．Ｔｈ ｓｔ ａ ｅ ｏ ｏ ｅ ３ ｍｏ ｅ ｎ ｏ ａ ｇ ｏ ｐ ｏ ｒ ｈ ｇ ｎ ｌ ｂ ｓ ｓ ｅ ｔ ｎ ｅ ｏ ｆ ｉ ｎ ｐ ｅ ｉ ａ ａ ｍｏ ｉ ｕ ｃ ｉ ｎ ｉ ｅ ｐ ｐ ｒ ｕ ｉ ｇ ｌ ａ ｔ ｓ ｕ ｒ ｓ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｔａ ｓ ｏ ｍｉ ｇ ｔ ｅ ｏ ｉ ｉ ａ ｏ ｒ ｉ ａ ｅ ｉ ｔ ｒｈ ｇ ｎ ｌｂ ｓｓ ｅ ｔ ｎ ｅ ｏ ｆ ｃ ｅ ｔ ｏ ａ ｅ ｓｎ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｔ ｏ ｒ ｎ ｆ ｒ ｎ ｈ ｒｇ ｎ ｌ ｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｎ ｏ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ａ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｃ ｅ ｆ ｉ ｎ ｆ ｏ ｉ
向量的复变函数和调和函数
向量的复变函数和调和函数复变函数和调和函数是数学中两个十分重要的概念。
它们的研究不仅有着深刻的意义，而且在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从向量的角度出发，介绍复变函数和调和函数的概念、性质以及应用，为读者提供一份简要而又全面的了解。
一、复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
如果一个函数f(z) 在某一点 z0 处的导数存在，那么我们可以定义这个函数在对应的点 z0 的复导数为：f'(z0) = lim_{z -> z0} [f(z) - f(z0)] / [z - z0]这个定义与实际函数的导数的定义相同，只不过这里的自变量和函数值都是复数。
复导数与实数导数的最大不同点在于，它存在方向性。
因此，在复平面上，我们经常使用向量来表示复导数的方向和大小。
特别地，如果一个复变函数满足某些额外的条件，例如全纯（在复平面上处处可导）或者调和（满足拉普拉斯方程），那么这个函数可能有着更多的特殊性质和应用。
二、调和函数调和函数是指满足拉普拉斯方程的复变函数。
对于复平面上任意一点 z，可以定义它的拉普拉斯算子为：Delta = ∂²/∂x² + ∂²/∂y²那么对于一个调和函数 u(x,y) 来说，它必须满足方程：Delta u = 0因此，调和函数一般被称为“不产生源或汇”的函数，因为它对应的标量场满足的方程与无源场的方程相同。
在物理学和工程学的很多领域中，调和函数都有着广泛的应用。
例如电动力学中的电势和磁场、流体力学中的速度场和压力场以及信号处理中的实数或复数时域信号与频域信号的转换等等。
此外，调和函数还有着一些特殊的性质。
例如，调和函数的极值一定出现在边界上；调和函数可以表示为一个球面调和函数与一系列的圆柱调和函数之和等等。
三、向量分析向量分析是一门研究向量（或矢量）的数学理论。
在物理学和工程学中，向量分析是研究场论、力学、电磁学、渗流等领域的重要工具。
基于球面调和函数和Fourier变换的三维模型刻画
基于球面调和 函数和 Ｆ 变换的三维模型刻画 ｒ ｏ ｒｅ ｕｉ
梅 春 亮 （ 丽水 学 院数理 学院 浙江 丽水 ３ ３ ０ ） ２ ０ ０ 摘 要 ： ＪＣ Ｄ 型的重 用里 ， －￣ Ａ 模 通过球 面调和分 析可 以将三 堆立体模 型 由时域 转换 到频域 ， 然后在频域 内基 于频谱 信息完成模 型的相似 性 评价 ， 而球 面调 和函数 的建 立 ， ｏ ｒｅ 变换 到 小波矩 变换是模 型 几何特 征刘 画精 致 化的基 础 。 Ｆ ｕ ｉｒ 关键 词 ： Ａ 重 用检 索 球 面调和函数 Ｆ ｕ ｉｒ Ｃ Ｄ ｏ ｒ 变换 小波 变换 ｅ 中 图分 类 号 ： Ｐ ９ Ｔ３１ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ２ ３ ９ （ ｏ １０ ｃ） ０ ２ —Ｏ １ ７ － ７ １ ２ １ ） ５ａ一 ０ ｌ ２
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其中 ：
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１ 基于球面调和 的层次化表征参数
球面 调和 分析 已经在 信 号分析 领域 应用 很广 。 过球 面调和 分析 通
４： ７
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∑ ∑ ／ ） （ｓ： （ Ｐ ， 九 ｃ ） ｏＯ
于文 本检 索的局 限 ， 接 从媒体 数据 的 内容及 上下 文抽 取语 义特征 信 直 息， 并以此 建立索 引和完 成检索 。 目前 已在声音 、 图像、 视频 等多媒 体数 据 的检索与 重用中获得 了广 泛的应 用。 中的最为 关键的基 础技 术是形 其 状描 述几 何特征 的刻 画与提取 。
极低 的严峻现 状 ， 成为一种 巨大的 挑战 ， 统的成组 技术 （ Ｔ 等文本 又 传 Ｇ ） 式的检索 方法 已远远 无法满足专业 人士的要求 。 基于 内容 的检索技术 自 ２ 世纪９ 年 代提 出后带 来了一场设计 技术的重 大变革 ， ０ Ｏ 它突破 了传 统基
球面调和函数
球面调和函数的应用—光照(1/2)
• 球谐光照用新的光照方程来替代通常所说的光照 方程，把方程中的信息使用球谐基函数投射到频 域空间中，在渲染的时候可以使用SH系数来对原 始光照方程还原渲染场景
球面调和函数的应用—光照(2/2)
谢谢！
n
G(x) ciBi (x)
i1
Storing a finite number of coefficients ci gives an approximation of G(x)
基函数的系数的求解(2/9)
• sum of scaled basis functions
c1
c2
c3
n
ciBi x
m=-3
m=-2 m=-1 m=0
m=1 m=2 m=3
球面函数的分解(1/4)
Given a spherical function f, we can obtain a rotation invariant representation by expressing f in terms of its spherical harmonic decomposition:
-Compute its inverse B-1
• Given a function G(x) to approximate
-Compute dot products
G B1 G B2 G Bn T
-Compute coefficients as
c1
G B1
c2
B
1
G B2
f ( ,) fl ( ,) l 0
where each flVl:
l
调和函数是什么意思
调和函数是什么意思
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
扩展资料：
介值性质
设B(x,r)是一个以x为中心，以r为半径的完全在U中的球，那么调和函数f(x)球的边界上取值的平均值和f在球的内部的取值的平均值相同。
也就是说：
其中表示n维的单位球面。
二元的调和函数的例子有：
•任意全纯函数的实数部分和虚数部分。
•函数：f(x1,x2) =ln(x12+x22)
这个函数定义在R\ {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）
•函数：f(x1,x2) =exp(x1)sin(x2)。
•n元的调和函数的例子有：
（1）R所有的常数函数、线性函数和仿射函数（比如说两块均匀带电无限大平板之间的电势）。
（2）定义在R\ {0}上的函数f(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn)，其中n≥ 2。
在三元的调和函数的例子前，先定义
以简化形式。
下面表格中的函数在经过数乘（乘以一个常数）、旋转和相加后仍然会是调和函数。
调和函数是由其奇点决定的。
调和函数的奇点可以在电磁学中解释为电荷所在的点，因此相应的调和函数可以看作是某种电荷分布下的电势场。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学中，级数是由无穷多个数相加或相乘的表达式。
其中，收敛级数指的是其部分和序列逐渐趋于一个有限值，而发散级数则是其部分和序列无穷大或无穷小。
在本文中，我们将探讨50个常见的收敛与发散级数。
1. 调和级数（Harmonic series）是最简单的级数之一，其公式为1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
经过研究发现，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric series）是由等比数列构成的级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n。
当公比小于1时，几何级数收敛于有限值；当公比大于等于1时，则发散。
3. 幂级数（Power series）是由幂函数构成的级数。
例如，1 + x + x^2 +x^3 + ... + x^n。
幂级数的收敛半径与x的取值有关，超出收敛半径将发散。
4. 指数级数（Exponential series）是由指数函数构成的级数。
例如，1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n!。
指数级数在整个实数范围内都是收敛的。
5. 对数级数（Logarithmic series）是由对数函数构成的级数。
例如，1 + (x-1)/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n。
对数级数在-1<x<1范围内收敛。
6. 斯特林级数（Stirling series）是用于估算阶乘的级数。
它基于斯特林公式，其公式为n! ≈ √(2πn)*(n/e)^n。
7. 贝塞尔级数（Bessel series）是由贝塞尔函数构成的级数。
贝塞尔函数广泛应用于物理和工程学领域中的振动问题。
8. 超几何级数（Hypergeometric series）是由超几何函数构成的级数。
它在统计学和数论中有重要应用。
基于球面调和函数的3_D人脸识别方法_丁晓宇
文章编号:1004-9037(2009)05-0632-06基于球面调和函数的3-D 人脸识别方法丁晓宇1 邓 娜2 马争鸣2(1.华南农业大学工程学院,广州,510642; 2.中山大学电子与通信工程系,广州,510275)摘要:根据3-D 数据的优势,利用图像成像原理和球面调和函数理论,结合3-D 投影原理和P CA 技术建立了一个3-D 人脸模型。
该模型用不受光线影响的低维线性子空间的基向量来表示,将结构和纹理两个3-D 信息作为整体进行考虑,使得模型只需要通过一组参数简单描述。
由于本文构建的3-D 模型只与人脸的内在属性有关,与光线无关,因此能够排除光线对人脸识别率的影响,本文在AR 人脸数据库上的识别实验证明了本文方法的有效性。
关键词:人脸识别;球面谐波;3-D 人脸模型;P CA 中图分类号:T P391.41 文献标识码:A 基金项目:广东省科技计划基金(2004B10101031)资助项目;珠海市科技计划基金(P C20051017)资助项目。
收稿日期:2008-01-08;修订日期:2008-04-073-D Face Recognition Method Based on Spherical HarmonicsDing X iao y u 1,Deng N a 2,M a Zhengming2(1.Schoo l o f Eng ineer ing ,South China A gr icultur e U niver sity ,G uang zho u ,510642,China ;2.Departm ent o f Electr o nics Engineer ing ,Sun Yat -sen U niver sity ,G uang zho u,510275,China)Abstract :The accuracy of 2-D face r ecognitio n methods is affected by lighting.A nov el m ethod is pr opo sed according to the ascendancy of 3-D face data.A 3-D face m odel is constructed by the imaging theor y and spherical harm onics ,com bining w ith the principle of 3-D projection and PCA .T he m odel co mbines tw o 3-D parameters of the shape and the texture as a w ho le .And the model is represented by harm onic vectors in lo w -dimensional linear subspaces.In this w ay,the model can be sim ply described by one set of parameters.T he 3-D mo del is invariant w ith the illum ination because it is only determined by phy sical characteristics of human faces .The exper im ent on AR face database show s that the m ethod is effective.Key words :face reco gnition;spherical harmonics;3-D face model;PCA引 言人脸识别技术作为模式识别领域的前沿课题,在公共安全、信息安全、人机交互、执法司法等领域有着十分广泛的应用前景[1]。
基于球面调和函数的3-D人脸识别方法
基于球面调和函数的3-D人脸识别方法
丁晓宇;邓娜;马争鸣
【期刊名称】《数据采集与处理》
【年(卷),期】2009(024)005
【摘要】根据3-D数据的优势,利用图像成像原理和球面调和函数理论,结合3-D 投影原理和PCA技术建立了一个3-D人脸模型.该模型用不受光线影响的低维线性子空间的基向量来表示,将结构和纹理两个3-D信息作为整体进行考虑,使得模型只需要通过一组参数简单描述.由于本文构建的3-D模型只与人脸的内在属性有关,与光线无关,因此能够排除光线对人脸识别率的影响,本文在AR人脸数据库上的识别实验证明了本文方法的有效性.
【总页数】6页(P632-637)
【作者】丁晓宇;邓娜;马争鸣
【作者单位】_华南农业大学工程学院,广州,510642;中山大学电子与通信工程系,广州,510275;中山大学电子与通信工程系,广州,510275
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.一种基于球面调和函数的3D模型仿真方法 [J], 张斌;吴斌
2.基于球面调和函数的柔性体力触觉建模研究 [J], 方艳红;吴斌;杨正宜
3.基于球面调和函数的人脸识别 [J], 胡彭勇
4.一种基于球面调和函数的柔性体建模方法实现 [J], 陈治国;吴斌;方艳红
5.基于球面调和函数和Fourier变换的三维模型刻画 [J], 梅春亮
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双轴球面函数
双轴球面函数双轴球面函数是一种在数学和物理学领域中常用的函数形式，它通常用来描述球面上的变化规律。
双轴球面函数的定义包括两个自变量和一个因变量，分别表示球面上的两个方向和某个属性的取值。
下面将介绍双轴球面函数的基本概念和应用。
双轴球面函数的基本形式是f(x, y) = z，其中x和y分别表示球面上的两个方向，z表示某个属性的取值。
这个函数描述了在球面上，不同方向上的坐标点对应的属性值。
具体来说，当给定x和y 的取值时，该函数可以计算出对应的属性值z。
双轴球面函数在物理学中有广泛的应用。
例如，在天文学中，双轴球面函数可以用来描述天体的形状和运动规律。
在地理学中，双轴球面函数可以用来描述地球的地形和地壳运动。
在材料科学中，双轴球面函数可以用来描述晶体的结构和性质。
双轴球面函数的具体形式取决于所研究的问题和应用领域。
常见的双轴球面函数包括球谐函数、调和函数和贝塞尔函数等。
这些函数在数学和物理学中都有重要的应用。
球谐函数是一类重要的双轴球面函数，它在物理学中有广泛的应用。
球谐函数的定义包括两个整数参数l和m，分别表示球面上的两个方向。
球谐函数的形式为Y l^m(θ, φ)，其中θ和φ分别表示球面上的两个坐标方向，Yl^m(θ, φ)表示球面上某个点的属性值。
球谐函数的具体形式是一个多项式乘以一个三角函数的乘积。
调和函数是另一类重要的双轴球面函数，它在物理学中也有广泛的应用。
调和函数的定义类似于球谐函数，也包括两个整数参数l和m。
调和函数的形式为Hl^m(θ, φ)，其中θ和φ分别表示球面上的两个坐标方向，Hl^m(θ, φ)表示球面上某个点的属性值。
调和函数的具体形式是一个多项式乘以一个三角函数的乘积。
贝塞尔函数是双轴球面函数的另一个重要类别，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数的定义包括一个实数参数ν和一个复数参数z。
贝塞尔函数的形式为Jν(z)，其中Jν(z)表示球面上某个点的属性值。
贝塞尔函数的具体形式是一个无穷级数的求和。
关于Spherical Harmonic
学习笔记--关于Spherical Harmonic xheartblue 2006-2-4关键字:Spherical Harmonic 球面调和函数 球面谐波函数 球形调和函数关联勒让德方程 勒让德多项式 正交多项式 正交函数系Spherical Harmonic 在图形学里,准确的说应该是高级光照技术里, 最近恐怕比较流行. 出于赶时髦的原因,我也在看,无奈数学基础太差了. 只好几乎把所有的时间全用在数学上了.从基本的数学分析看到泛函分析. 名词听的多了,渐渐也对Spherical harmonic 是什么玩意有了一点点了解. 了解而已, 不是理解..写出来, 整理整理思路而已. 望还不了解Spherical Harmonic 何物而来看本文的人自己能带着鄙视的眼光去理解. 否则如果本人理解错误而带坏了小孩概不负责 特此申明.Spherical harmonic 翻译成中文应该叫 球面调和函数, 是调和函数的一种. 所谓调和函数是一类函数(好像是废话). 满足Laplace 方程的的函数u 称为harmonic function. harmonic function 据说有一些很特殊的性质(偶还不了解是什么性质) , 于是有了harmonic analysis 这样的的数学分支.02=∇u 在极坐标系中把拉普拉斯方程表示成极坐标的形式,然后进行分离变量. (这个过程实在是太乱了,打个公式要半天, 具体见工程数学: 数学物理方程和特殊函数). 我们在求解这个方程的时候,会得到一个只和θ有关的方程0sin )1(cot 2222=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Θ+Θθθθθm n n d d d d 这个方程称为连带勒让德方程或者关联勒让德方程 – Associated Legendre Equation (恩,看来是个法国进口的方程.洋货啊, 看起来都复杂一些) . 给这个方程加一些条件,可以得到一些解. 其中有一些就叫勒让德多项式. 勒让德多项式是正交的.所谓正交的. 表示这个玩意满足 .)01(，其他都为是为j i P P j i j i ==•δ从实变函数和泛函分析的课程可以知道, 在L2空间中, 函数可以展开成关于一组完备的正交函数集, 典型的傅立叶级数就是个例子. 并且展开形式为i i B c f ∑= 其中ci 为系数,在傅立叶级数中,这个就是所谓的傅立叶系数, Bi 为正交函数中的一个.其中.也就是函数在Bi 这个基(向量空间中的基)上的投影, 也就是函数空间中的内积运算. 这样我们可以把任何一个函数都展开成级数.当然这个函数是要满足一定条件的.比如平方可积. ∫×=Bi f c i现在我们回到球面上来. 构造正交函数系ϕθπϕθim m l m l e P m l m l l Y )(cos )!()!(412),(+−+≡. 这玩意就是前面那个Laplace 方程一个解,也就是传说中的spherical harmonic. 那个P 呢,就是勒让德多项式了. 可以验证.他是一个正交的函数系. 而且是完备的. 用它.我们可以把球面上任何一个函数展开成以ϕθπϕθim m l m l e P m l m l l Y )(cos )!()!(412),(+−+≡为基的级数.. 当然,在球面上的遮挡关系也是可以这样的函数 , 球面上各个方向的辐射强度也是这个这样的函数, 同样次表面散射的能力也是个这样的函数, 理论上我们可以把这些函数用spherical harmonic 精确的还原出来. 而我们只需要记录那个Ci就可以了… 不过Ci是无穷多个. 出于人道主义,在一般的real-time rendering中,似乎Ci的个数是16 . 这也就是spherical harmonic 光照,不能模拟高频场景的一个原因了. 同时Ci的计算是比较复杂的. 这样很容易理解为什么DX9里的那几个demo的预处理跟乌龟一样.其实Ci的计算除了慢以外, 还很有技巧, 具体见<Advanced.Lighting.and.Materials.With.Shaders>的相关章节, 准确说是第8章.而关于spherical harmonic则见….. 偶还没有这样的书.不过<数学物理方程和特殊函数>中,有关于勒让德多项式的详细章节了.同样作为工程数学, 它还教你怎么用这个东西来近似球面上的一些函数,,, 比如电荷分布之类的. 类推到图形学上 …. 呵呵, 不说了. 实在没怎么看明白.参考书籍和资料/SphericalHarmonic.html关于spherical harmonic的.<工程数学: 数学物理方程和特殊函数> 高等教育出版社南京工学院编著关于Legendre Polynomial的.<函数论和泛函分析初步> 关于L2空间和L2空间上的傅立叶变换和傅立叶级数<Advanced Lighting and Materials With Shaders > 专门介绍高级光照的(又是废话,看书名就知道) 有人说这本书不好. 不过我觉得似乎这本书里讲SH是讲的最清楚的. 本着厚道的原则,顶一下.。
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
球面调和分析与函数逼近
球面调和分析与函数逼近
球面调和分析（Spherical Harmonic Analysis）和函数逼近（Function Approximation）是分析拟合球面数据最基本方法之一，在高等教育领域有着广泛
的应用。
球面调和分析是以球面函数（Spherical Function）为基础进行计算的。
以指
示函数（Indicator Function）为基础，能够预先检测数据结构特定拟合最佳函数，确定最佳解和模型参数；而函数逼近则是采用非线性最小二乘法来拟合球面数据，并且建立函数近似系数，以解答多项式函数。
球面调和分析和函数逼近最终被用来提取球面数据的空间特征。
例如，基于全
球地形数据、月球礁石，以及地球洞穴数据等，就可以求出地球表面表现出来的模型。
同样，基于月球表面数据，也可以求出月球的拟合函数。
在高等教育中，球面调和分析和函数逼近经常被用来在球面空间上分析和处理
大量的空间数据。
例如，借助球面调和分析和函数逼近，对于城市的规划制定、社会状况的统计分析、各种资源分配建模等问题都可以得到较好的解决。
因此，球面调和分析和函数逼近在高等教育中具有重要的意义，可以帮助学生
更好、更深入地学习如何处理球面数据，以及如何用数据来模拟和推导空间系统，为研究学习提供新的指导思路和新的视角。
基于球面调和函数的柔性体力触觉建模研究
要 有 两 种 ： 根 据 胡 克 定律 建 立 力 和 变 形 的对 应 关 系 ， 弹 簧 ① 如 质 点模 型 ， 物 体 看 作 是 由弹 簧 连 接 的 质 点 的 结合 体 ， 单 元 把 各 服 从 Ｆ＝ｋ 力 一 形 关 系 。 这 种 方 法 网络 构 建 简 单 直 观 ， ｘ的 变 计 算 量 小 ， 由 于 弹 簧 系 数 设 定 的任 意 性 ， 致 所 仿 真 物 体 行 为 但 导 特 性 的 优 劣 较 难 定 量 地 鉴 别 ，对 于 不 可 压 缩 性 的 常 见 物 质 特 性 难 以 实 现 ［［ 有 限 元 模 型 ， 能 量 角 度 分 析 各 个 单 元 的 ５。② － ７ 从 力 与变 形 ， 连 续 的 求 解 区域 离 散 为 一 组 有 限 个 单 元 的 组 合 将 体 。 种 方法通 过调整边 界条件 ， 保证模 型的伸缩 性， 由 这 能 但
摘 要 ： 了提 高虚 拟柔 性体 力触 觉 交互 中物体 形 变与 力的 准确描 述及 计 算效率 ， 出一种基 于球 面调 和 函数 表 达的柔 性 为 提
体 力触 觉建 模 方法 。利用球 面调 和 函数 的 多尺 度 性进行 物体碰 撞检 测 实现 ， 变形体 的 密度 、 氏模量 、 在 杨 泊松 比等参 数 已知
基于球面调和函数和Fourier变换的三维模型刻画
21科技资讯 S CI EN CE & T EC HNO LO GY I NF OR MA TI ON 信 息 技 术三维模型提高变动设计能力已成为提高产品创新能力和新产品开发速度的一个最重要和最可行的途径。
变动设计的关键在于能够找出与新产品最相近的已有设计并加以重用,而有经验的设计者在进行产品设计的过程中60％以上的时间都是用在查找可重用的已有产品上。
目前,随着CAD/CAM系统的广泛应用,三维CAD模型正以指数爆炸式的速度增长,相应的传统资源图纸正在被三维CAD模型等资源所取代。
据保守估计,目前已有多达上千亿个CAD模型出现,而PTC公司一家就有一百多万个三维CAD模型可供网络在线使用,并正以每月新增六万个左右的速度迅速增长。
再加上,三维模型扫描设备在工业设计、文物保护、影视动画、医学仿真等领域中得到了广泛应用,随之而来在这些应用中产生了大量的三维模型。
三维CAD资源取代相应的传统资源对于资源重新利用而言,既是难得的机会又是很大的挑战。
一方面,数字化三维CAD资源能够在网络上被共享,可以用计算机适当处理,从而为资源共享和重用展现了巨大的潜在空间,这是个好机会;但另一方面,由于数学基础的原因,目前海量的三维CAD资源存在着难以支持重用、其重用率极低的严峻现状,又成为一种巨大的挑战,传统的成组技术(GT)等文本式的检索方法已远远无法满足专业人士的要求。
基于内容的检索技术自20世纪90年代提出后带来了一场设计技术的重大变革,它突破了传统基于文本检索的局限,直接从媒体数据的内容及上下文抽取语义特征信息,并以此建立索引和完成检索。
目前已在声音、图像、视频等多媒体数据的检索与重用中获得了广泛的应用。
其中的最为关键的基础技术是形状描述几何特征的刻画与提取。
1 基于球面调和的层次化表征参数球面调和分析已经在信号分析领域应用很广。
通过球面调和分析可以将三维立体模型由时域转换到频域,然后在频域内基于频谱信息完成模型的相似性评价。
球面调和函数的空间表示及其应用
球面调和函数的空间表示及其应用高海峰;黄有度【摘要】文章通过讨论球面调和函数的相关理论与性质,由几种角度直观展示出球面调和基函数在空间中的几何结构及特征,并将其作为线性基的一种形式应用于光传输过程的预计算处理过程中,通过优化相关算法的性能,在一定程度上改进了模型的渲染效果,在保证足够渲染速度的同时,实现对光照环境的实时控制.%In this paper, the theories of spherical harmonics(SH) and its properties are studied, and the spatial geometric structures and characteristics of SH are displayed in several ways intuitively. As a kind of linear basis, the SH function is applied to the pre-computed process of the light transport. The rendering effects can be improved by optimizing the properties of the existing algorithms. And the real-time controlling of certain illumination environment can be realized with the required rendering speed.【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)010【总页数】5页(P1588-1592)【关键词】球面调和函数;线性基;预计算处理【作者】高海峰;黄有度【作者单位】合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009;合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009【正文语种】中文【中图分类】O242.1球面调和函数（Spherical Harmonics，简称SH）也称球面谐波函数，简称球谐函数，是一种特殊函数，通常出现在物理问题（如量子力学领域）［1］与化学问题（如蛋白质组织结构领域）［2－3］中。
球面调和函数
球面调和函数球面调和函数是一类在球面上定义的特殊函数，具有许多重要的数学和物理应用。
在数学上，球面调和函数是一种满足拉普拉斯方程的函数，而在物理上，它们可以描述许多自然现象，如声波传播、热传导和电磁场分布等。
让我们来看一下球面调和函数在数学上的定义和性质。
球面调和函数是定义在单位球面上的实数函数，满足拉普拉斯方程，即在球面上的某点处函数值的梯度的散度等于零。
球面调和函数在球面上具有类似于二维平面上调和函数的性质，例如在球面上的最大值原理和平均值性质等。
球面调和函数的展开可以用球谐函数表示，这些球谐函数是球面上的正交基函数，可以用于解决球面上的偏微分方程问题。
在物理学中，球面调和函数也有着重要的应用。
例如，在声学中，球面调和函数可以用来描述声波在球面上的传播和散射问题。
在热传导中，球面调和函数可以用来描述热量在球面上的分布和传导过程。
在电磁学中，球面调和函数可以用来描述电磁场在球面上的辐射和散射现象。
这些应用使得球面调和函数成为了研究自然现象中旋转对称性问题的重要工具。
除了数学和物理学领域，球面调和函数还在计算机图形学和地球物理学等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，球面调和函数可以用来对三维物体进行表面建模和变形。
在地球物理学中，球面调和函数可以用来描述地球重力场和磁场的分布。
这些应用使得球面调和函数成为了跨学科研究的重要工具，促进了不同学科之间的交流和合作。
总的来说，球面调和函数作为一种特殊的函数类别，在数学、物理、计算机科学和地球科学等领域都有着重要的应用价值。
它们不仅可以用来解决各种实际问题，还可以帮助人们更好地理解自然现象背后的数学规律。
因此，对球面调和函数的研究不仅有着理论上的重要性，也具有着广泛的实际应用前景。
希望未来能够有更多的研究者投入到球面调和函数的研究中，为人类的发展和进步做出更大的贡献。
嵌入式系统实验 调和函数
嵌入式系统实验: 调和函数引言在嵌入式系统实验中，调和函数是一种常见且重要的数学工具。
调和函数广泛应用于信号处理、通信系统、音频处理和图像处理等领域。
本文将深入探讨调和函数的概念、性质和应用。
什么是调和函数？调和函数是一种满足拉普拉斯方程的函数。
在二维情况下，调和函数可表示为：∇2f(x,y)=∂2f(x,y)∂x2+∂2f(x,y)∂y2=0而在三维情况下，调和函数可表示为：∇2f(x,y,z)=∂2f(x,y,z)∂x2+∂2f(x,y,z)∂y2+∂2f(x,y,z)∂z2=0调和函数的性质调和函数具有许多重要性质，下面我们将介绍其中的一些。
1. 平均值性质调和函数的平均值性质是指在一个球体内部，调和函数在球心处的值等于球体表面上的平均值。
具体表达式为：f(x0)=1σn∫f∂B(x)dσ其中，f(x0)是球心处的函数值，B是以x0为球心的半径为r的球体，∂B是球体表面，σn是球面的面积。
2. 最大模定理最大模定理指出，调和函数的绝对值在区域的边界上取得最大值，而不在区域内部取得。
这一性质有助于理解调和函数的局部行为。
3. 调和函数的解析性质调和函数是解析函数的实部或虚部。
这意味着调和函数可以展开为幂级数，并具有唯一性。
这一性质使得调和函数具有良好的数学性质和计算机求解能力。
4. 调和函数的奇偶性调和函数具有一些特殊的奇偶性质。
例如，若f(x,y)是调和函数，则f x(x,y)和f y(x,y)也是调和函数，其中f x和f y表示f对x和y的偏导数。
这些性质在实践中经常被用于简化问题和加速计算。
调和函数的应用调和函数在各个领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。
1. 信号处理调和函数在信号处理领域中被用于分析和合成信号。
通过将信号分解为调和函数的组合，我们可以更好地理解信号的频谱特性，从而实现滤波、降噪和频谱分析等任务。
2. 通信系统调和函数在通信系统中被用于分析和设计调制和解调算法。
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球面调和函数
球面调和函数是一种在球面上定义的函数，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
球面调和函数是一种特殊的调和函数，它们在球面上的性质与平面调和函数在平面上的性质非常相似。
球面调和函数的定义是在单位球面上定义的调和函数。
它们是球面上的标量函数，可以用来描述球面上的物理量，如电势、温度、压力等。
球面调和函数的定义是通过勒让德多项式和球谐函数来实现的。
球面调和函数的一般形式可以表示为：
Y(l,m)(θ,φ) = (-1)^m √[ (2l+1)/(4π) (l-m)!/(l+m)! ] P(l,m)(cosθ) e^(imφ)
其中，l和m是整数，θ和φ是球面上的极角和方位角，P(l,m)是勒让德多项式，e^(imφ)是复指数函数。
球面调和函数具有许多重要的性质。
它们是正交的，即对于不同的l和m，它们之间的积分为零。
此外，它们也是归一化的，即它们的平方积分为1。
这些性质使得球面调和函数在物理学和数学中有广泛的应用。
球面调和函数在物理学中的应用非常广泛。
它们可以用来描述电势、磁场、声波、光波等物理量在球面上的分布。
在天文学中，球面调和函数也被用来描述天体的形状和引力场。
在地球物理学中，球面调和函数被用来描述地球的引力场和地球表面的形状。
球面调和函数是一种非常重要的数学工具，它们在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
球面调和函数的定义和性质使得它们成为了描述球面上物理量分布的重要工具。