有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠有限单元法的基本原理，这可有意思啦！
你想啊，有限单元法就像是给一个复杂的大问题搭积木！把一个超级大的东西，拆分成好多好多小的部分，就像把一块大蛋糕切成好多小块一样。
每个小部分都相对简单，好处理。
咱平常生活中不也经常这样嘛，遇到难事儿了，咱就把它分成一个个小步骤，一个个去解决，这和有限单元法是不是很像呀！
它先把要研究的区域划分成好多小单元，这些小单元就像一个个小士兵，各自坚守自己的岗位。
然后呢，给每个小单元都建立一个数学模型，就像是给每个小士兵都配上了专属武器。
这时候，神奇的事情就发生啦！通过这些小单元和它们的数学模型，咱就能把整个复杂的问题给大概弄清楚啦！是不是很厉害？
你说这像不像一个大拼图呀，每个小单元就是一块拼图，把它们都拼起来，就呈现出了完整的画面。
而且哦，有限单元法特别灵活。
它不管你研究的是啥形状、啥材料，都能搞定。
就好像不管是方的、圆的、扁的东西，它都能有办法对付。
咱再想想，要是没有有限单元法，那遇到那些超级复杂的工程问题、科学问题，咱不得抓瞎呀！但有了它，咱就有了得力的助手。
比如说盖大楼吧，工程师们就得用有限单元法来分析大楼的结构，看看哪里受力大，哪里需要特别加固，这多重要啊！要是没整好，那大楼不就危险啦！
还有研究飞机的翅膀，那也得靠有限单元法呀，得让翅膀又轻又结实，还能在空中稳稳地飞。
总之呢，有限单元法就是咱解决复杂问题的一把好手，它让那些看似不可能的事情变得有可能啦！它就像一个神奇的魔法，让我们能更好地理解和处理这个世界上的各种难题。
怎么样，是不是觉得有限单元法超级厉害呀！。
有限元动力学分析知识点
有限元动⼒学分析知识点复习⽬录⼀、模型输⼊、建模A 输⼊⼏何模型1、两种⽅法：No defeaturing 和 defeaturing（Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项）2、产品接⼝。
输⼊IGES ⽂件的⽅法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转换.ANSYS 的产品接⼝直接读⼊“原始”的CAD ⽂件，解决了上⾯提到的问题.3、输⼊有限元模型。
除了实体⼏何模型外， ANSYS 也可输⼊由某些软件包⽣成的有限元单元模型数据（节点和单元）。
B 实体建模1、定义实体建模：建⽴实体模型的过程。
（两种途径）1）⾃上⽽下建模：⾸先建⽴体（或⾯）,对这些体或⾯按⼀定规则组合得到最终需要的形状.开始建⽴的体或⾯称为图元.⼯作平⾯⽤来定位并帮助⽣成图元.对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算1第1页总体直⾓坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1]总体球坐标系[csys,2] ⼯作平⾯ [csys,4]2）⾃下⽽上建模：按照从点到线，从线到⾯，从⾯到体的顺序建⽴模型。
B ⽹格划分1、⽹格划分三步骤:定义单元属性、指定⽹格的控制参数、⽣成⽹格2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性 (MAT)）3、单元类型单元类型是⼀个重要选项，它决定如下单元特性：⾃由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。
1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元）2）壳⽤来模拟平⾯或曲⾯。
3）⼆维实体⽤于模拟实体截⾯4）三维实体2第2页⽤于⼏何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，⽽⽆法采⽤更简单的单元进⾏建模的结构。
也⽤于从三维CAD系统转化⽽来的⼏何模型，⽽这些⼏何模型转化成⼆维模型或壳体会花费⼤量的时间和精⼒4、单元阶次与形函数单元阶次是指单元形函数的多项式阶次。
什么是形函数–形函数是指给出单元内结果形态的数值函数。
有限元第9讲动力学问题有限单元法
V
A
称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和 集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单 元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。
动力学有限元分析基本步骤如下：
（1）连续区域的离散化
（2）构造插值函数
由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表
示为:
Qe N T fdV N TTds
Ve
S
e
Me,Ce,Ke和Qe分别是单元的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵。14
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
算得单元的协调质量矩阵
1
2
0
0 1
1 4 0
0 1
1 4 0
0
1
2
4
4
1
Me
W 3
4 0
0 1
1 2 0
0 1
20
求解方法
求解运动方程
直接积分法
隐式积分
显式积分
模态叠加法
完整矩阵法 缩减矩阵法
完整矩阵法 缩减矩阵法
逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两 大类：
隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson —θ法。
（在V域内） （1.1） （在V域内） （1.2） （在V域内） （1.3） （在Su域内） （1.4） （在Sσ域内） （1.5）
（1.64 ）
动力学方程建立：
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元
内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
第9章有限单元法-
V1 2
0lEAux2EI2xw 2 2dx
1 l
V20
DNqeTE0A
E0IDNqedx
1 2
qe
TKe
qe
EA
l
0
0
K
e
EA
0
EI 12 l3
EI 6 l2
0
0 EA
0
l
0
EI 6 l2
0
EI 12 l3
EI 6 l2
4 EI l
0
EI 6 l2
2 EI
lห้องสมุดไป่ตู้
0
EA
局部坐标系与整体坐标系之间
的转动变换
u 1 u ˆ 1 c o s e w ˆ 1 s i n e , w 1 u ˆ 1 s i n e w ˆ 1 c o s e
qeReqˆe
M ˆeReTMeRe
K ˆeReTKeRe
一、基本思想 4、单元集合
q 3 n 1 q 1T q 2T Lq nT T
6 9.73 5.01
左右支臂扭曲
7
10.1
5.58
左右支臂同时向内（ 外）弯曲
8
10.2
5.788
左右支臂同时向上（ 下）弯曲
混凝土搅拌站主站结构模态分析
阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 2.841 3.093 4.536 4.844 5.320 5.795 6.355 8.246 8.428 9.238
1、插值函数
x0,u(x,t)u1(t)
xl,u(x,t)u2(t)
u(x,t)a0a1x
轴向振动杆单元
a 0 u 1 ( t ) a 1 , u 2 ( t ) u 1 ( t ) l
有限元动力学问题有限单元法课件
03
动力学问题有限单元法
引言
有限单元法的起源和 发展
课程目标和主要内容
动力学问题有限单元 法的重要性
动力学问题的基本概念和方程
动力学问题的定义和分类 运动学方程和动力学方程的建立
经典力学理论和工程应用
动力学问题的有限单元法求解过程
01
02
03
04
有限单元法的原理和特点
动力学问题有限单元法的离散 化处理
动力学问题有限元建模的意义
有限元方法在动力学问题中具有广泛的应用价值，可以解决许多连续体力学问 题，如结构分析、流体动力学和热传导等。
动力学问题有限元建模的基本步骤和原则
确定研究目标和问题
明确所要研究的动力学问题， 确定其边界条件和约束条件。
建立连续体的离散化模型
将连续体离散化为由有限个单 元组成的模型，每个单元具有 一定的物理和几何性质。
有限元动力学方程的求解算法
02
采用时间积分法或隐式积分法等算法，对动力学方程进行求解
。
计算流程
03
建立有限元模型、划分网格、施加边界条件和载荷、进行计算
、后处理等步骤。
有限元动力学问题求解程序的实现和优化
求解程序的实现
采用编程语言（如Python、C等）实现有限元动力学方程的求解程序。
求解程序的优化
05
有限元动力学问题的求解算
法和程序实现
引言
有限元方法的基本思想
将连续的物理问题离散化，通过求解离散化的方程来逼近真实解。
有限元方法在动力学问题中的应用
在机械、航空、土木等领域中，有限元方法被广泛用于求解动力学问题。
有限元动力学问题的求解算法和计算流程
有限元动力学方程的建立
有限单元法的求解方法
有限单元法的求解方法
有限单元法是一种数值分析方法，用于求解工程和科学问题中的偏微分方程。
它将复杂的连续体分割成有限数量的小元素，每个元素拥有自己的特性和属性。
这种分割可以通过不同的方式实现，如三角形、四边形、六面体、四面体等等。
根据元素的形状和大小，有限单元法可以分为不同的类型，如线性有限元、非线性有限元、自适应有限元等。
有限单元法的求解过程可以分为以下步骤：建立有限元模型、应用边界条件、确定节点位移、计算应力应变和其他输出参数。
其中，建立有限元模型是整个求解过程中最为关键的一步，它需要对原始问题进行离散化处理，将其转化为有限元模型。
有限单元法求解的精度和准确性受到多种因素的影响，如元素类型、网格密度、边界条件、材料参数等等。
调整这些因素可以提高求解的准确性和可靠性。
有限单元法已经被广泛应用于各个领域，如结构力学、电磁学、热传导、流体力学等。
- 1 -。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。
它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。
首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。
这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。
然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。
最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。
在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。
在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。
在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。
在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。
此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。
通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。
这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。
总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。
随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。
以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。
有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法：探索结构和材料力学的工程分析方法
有限单元法和有限元法是结构工程和材料科学领域中常用的数值分析方法，用
于模拟和评估各种结构的力学行为和性能。
它们基于有限元理论，将连续体划分为有限数量的离散单元，通过求解线性或非线性方程组来近似描述结构的响应。
有限单元法是有限元法的基础，其核心概念是将结构划分为有限数量的单元，
每个单元具有特定的几何形状和材料特性。
每个单元内部的应力、应变和位移可以通过求解一组局部方程组得到，然后使用装配技术将这些局部方程组组装成整体方程组。
最后，通过求解整体方程组，可以得到结构的全局响应。
有限元法在有限单元法的基础上进一步发展，并引入了形状函数的概念。
形状
函数是用于描述单元内部的位移和应力分布的数学函数。
这些函数基于单元的几何形状和节点位置，以及在每个节点上施加的位移和力。
通过将形状函数与每个单元的位移场相乘，并将其积分求和，可以得到整个结构的位移和应力场。
有限元法的独特之处在于其灵活性和适应性。
通过选择不同类型和尺寸的单元，可以对各种材料和结构进行模拟。
此外，有限元法还可以处理非线性材料行为、大变形和挠度等复杂问题。
同时，该方法还可以考虑结构的动力响应，从而可以用于地震工程、风力工程以及其他动力载荷下的结构分析。
总而言之，有限单元法和有限元法在结构工程和材料科学中起着重要的作用。
它们为工程师和科学家提供了一种准确可靠的方法，用于模拟和分析各种结构的行为和性能。
通过应用这些方法，可以更好地理解结构的力学行为，并帮助设计和优化工程结构，从而推动工程技术的发展。
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限元课件ch9 结构动力学
K
(n)
K 1 0 0
n i
0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可 以 得 到 ： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标， 称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交 振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)
sin
i
t
1 M i
i
t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型
有限单元法
（i , j , m轮换） (3-10)
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
返回
u N i ui N j u j N m u m v N i vi N j v j N m v m
也可写成矩阵形式 (3-11)
u f Ni I v
e
T i
T j
T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm
T
(3-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
返回
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来 的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其 内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本 方程在每个单元内部同样适用。 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性 体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就 确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分 量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因 此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。 由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难 在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的 复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那 么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数 来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接 返回
, j , m轮换） (3-20)
返回
注意到（3-7）式，则有
Si i S j j S m m
(3-21)
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
有限单元法与有限元分析
有限单元法与有限元分析1.有限单元法在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。
求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。
它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。
类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。
它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
1.1.有限元法分析本质有限元法分析计算的本质是将物体离散化。
即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。
离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。
所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
1.2.特性分析1）选择位移模式：在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
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有限元第9讲动力学问题有限单元法
动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义
动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念
有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：
1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态
通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动
力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结
构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状
态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
有限单元法在动力学问题中的应用
由于在动力学问题中，结构往往是在变形和振动的状态下，因此需要将结构的
动力特性考虑进入计算过程中。
即需要构建结构的动力学方程，并计算其动力学特性，例如频率和模态。
有限单元法可以将结构离散化成若干小单元，并利用单元的动力学方程求解结
构的运动状态。
在求解过程中，需要考虑单元的刚度矩阵和质量矩阵，以及结构的边界条件。
有限单元法求解动力学问题的优点在于可以在数值计算过程中引入材料的非线性，并且可以考虑结构的动力学特性。
同时，有限单元法也可以考虑非线性约束、不稳定行为和失效分析等问题。
除了有限单元法外，还有其他求解动力学问题的方法，例如振动法和动力学数
值模拟方法。
使用不同的方法求解动力学问题，需要根据实际情况和要求进行选择。
动力学问题是结构工程学中的重要应用之一，在解决动力学问题中，有限单元
法是一种常用的方法。
通过离散化、建立单元的动力学方程、组装单元的方程、边界条件的处理、求解结构的运动状态和后处理等步骤，可以使用有限单元法解决结构在振动状态下的动力学问题。
在使用有限单元法求解动力学问题时，应根据实际情况和要求选择不同的方法，以获得合适的结果。