高一数学 三角函数大题训练

三角函数大题训练
1.已知函数1()2sin(),.3
6
f x x x R π
=-
∈
（1）求5()4f π的值；（2）设106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．
2.已知函数()tan(2),4
f x x π
=+
（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．
3．已知77(0)cos 2,sin()2299
ππαβπβαβ∈∈=-+=，，（，），．（1）求βcos 的值；（2）求αsin 的值．
4.已知函数()
cos sin()2424x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若将()f x 的图象向右平移6
π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0π， 上的
最大值和最小值。

5．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于
2
π
． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．
6．在ABC ∆中，已知向量=2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭, 1-=⋅.
(1) 求cos A 的值; (2) 若a =2b =, 求c 的值.
7．已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，
其中ω>0，若f (x )相邻两对称轴间的距离不小于π
2
.
(1)求ω的取值范围； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．
1、解：（1）515(
)2sin()4346
f ππ
π=⨯-
2sin 4π=-=；
（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5
362f ππβπβπ
ββ⎛⎫⎛
⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
53sin ,cos ,135αβ∴=
=
12cos ,13α∴=== 4sin ,5β===
故3125456cos()cos cos sin sin .51313565
αβαβαβ+=+=⨯-⨯=
2、（I ）解：由2,4
2
x k k Z π
π
π+
≠
+∈， 得,8
2
k x k Z π
π
≠
+
∈. 所以()f x 的定义域为{|,}8
2k x R x k Z π
π∈≠
+
∈ ()f x 的最小正周期为.2
π （II ）解：由()2cos 2,2a f a = 得tan()2cos 2,4
a a π+=
22sin()
42(cos sin ),cos()
4
a a a a π
π+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a +=+-- 因为(0,)4
a π∈，所以sin cos 0.a a +≠
因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即 由(0,)4a π∈，得2(0,)2
a π
∈. 所以
2,.612
a a ππ
==
即 3、解：(Ⅰ) ∵cos 22cos 12ββ+= =
9
12)
97(1=-+ 又∵(,)2πβπ∈ ∴cos β=31- (Ⅱ)由(Ⅰ)知：sin β＝3
2
2)31
(1cos 122=--=-β 由(0,
)2π
α∈、(,)2πβπ∈ 得 βα+∈（2
3,2π
π） cos （βα+）=－9
24)97(1)(sin 122
-=--=+-βα
sin α=sin(βα+-β)＝sin(βα+)cos β－cos(βα+)sin β ＝
97×-()31－)9
2
4(-
×3
22=31
4、解:（1）x x x f sin )2sin(3)(++
=π
x x sin cos 3+=)cos 2
3
sin 21(2x x +=)3sin(2π+=x ．
所以)(x f 的最小正周期为π2． （2） 将)(x f 的图象向右平移
6
π
个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-=-=3)6
(sin 2)6
()(πππx x f x g )6sin(2π
+=x ． [0,]x π∈时，]6
7,6[6πππ∈+x ， ∴当2
6π
π
=
+
x ，即3
π
=
x 时，sin()16
x π
+
=，)(x g 取得最大值2．
当766x π
π+
=
，即x π=时，1
sin()62
x π+=-，)(x g 取得最小值1-．
5.（Ⅰ）()sin 2cos 21)14
f x x x x ωωωπ
=--=--．
因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． 所以 ())14
f x x π
=--．所以 ()04f π=
（Ⅱ）())14f x x π=
-- 当 0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，
即8x 3π=
时，max ()1f x ， 当244
x ππ
-=-，即0x =时，min ()2f x =-． 6． (1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭, 1=-m n , ∴ 2
22cos
2sin 122
A A
-=-. ∴ 1cos 2A =-.
(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<, ∴ 23
A π
=.
∵a =,2b =, 由正弦定理得
sin sin a b
A B =,2sin sin
3
B
=, ∴1sin 2B =
. ∵0,B B A π<<<,∴6B π=.∴6
C A B π
π=--=. ∴2c b ==.
7、解：(1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6
)．
∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω， 由题意可知T 2≥π
2
，即T ≥π，
解得0<ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}．
(2)由(1)可知ω的最大值为1， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)， ∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝1
2
. 、
而π6<2A ＋π6<136π， ∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3. 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，
∴b 2
＋c 2
－bc ＝3，又b ＋c ＝3， 联立解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2
c ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝1
c ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3
2
.。