数理方程模拟试题1X

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分

一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）

1、34233

(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题

200

,0,0

|0,|0|()t x x x x x

l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪

==⎨⎪=⎩

时，得到的固有函数系为( )

A 、,...2,1,sin

=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos

=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧n x l n π C 、(21)cos

,1,2,...2n x n l π-⎧

⎫

=⎨⎬⎩

⎭

D 、 (21)sin

,1,2,...2n x n l π-⎧⎫

=⎨⎬⎩

⎭

4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22(

)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y

抖+=抖 C 2

2(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z

∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22

[sin ](Re 0)

L t p p w

w w =

>+

B []2[][]L f g L f L g p *=?

C 0[()]()

(Re )p L f t e F p p t

t g -

-=>

D 0000[()]()

(Re Re )

p t L e f t F p p p p g =->+

6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1

()()(0)

||

ax x a a d d =

? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-

7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。

A 、一

B 、二

C 、三

D 、四

二、 填空题(每小题4分，共24分)

1、求Laplace 变换

-2t -2t [e sin6t-5e ]L = 2、0

|(,,)u u x y z ϕ∂Ω=⎧⎨=⎩ 的Green 函数满足的定解问题为

3、泛函1

20()[(')24],(0)0,(1)2J y y xy dx y y =+==⎰的极值函数为

4、p93 6(2)

5、一个定解问题，如果解存在、 、稳定，则此定解问题称为适定的。

6、方程160

x x y

y

u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为 。

三、（7分---基础）用行波法求定解问题 200,,0|0,|4

tt xx t t t u a u x t u u ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩

四、（14分---难） （用分离变量法或者本征函数展开法求解）

200

0,0,0|0,|0

|cos ,|0

tt xx x x x x t t t u a u x t u u u x u ππ====⎧=<<>⎪

==⎨⎪==⎩

五、（14分---中等）试确定方程03103=++yy xy xx u u u 是什么类型的方程，并将它化为标准形式。

六、（13分---中等）用laplace 变换法求解定解问题

22

120,01

|cos |x y u x y y x x y u y u x ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎪⎩

，

模拟试题1答案

一、1、D 2、B 3、C 4、A 5、 B 6、B 7、A

二、1、 2c o s a

t ω 2、 4()

|0G P Q G πδ∂Ω∆=--⎧⎨=⎩ ，或

000()

|0

G

M M G ∂Ω∆=≠⎧⎨

=⎩（M,M ）

3、 32x

4、 1

5、 唯一

6、4,4y x y x ξη=+=- 三、解：由D ’Alembert 公式有

11(,)[()()]()22x at

x at

u x t x at x at s ds

a ϕϕψ+-=++-+⎰ （3分） 1442x at

x at

ds t a +-=

=⎰ （4分）

四、设解为)()(),(t T x X t x u =， （1分） 代入方程并化简得 2

''()''()

()()

T t X x a T t X x λ==- （1分） 于是

2''()()0''()()0

T t a T t X x X x λλ+=+= （1分）

由齐次边界条件得固有值问题 ''(

)()'(0)'()0X x X x X X λπ+=⎧⎨==⎩

（1分）

于是得到固有值为2,0,1,2,...n n n λ==，固有函数系为{cos },0,1,2...nx n = （1分）

将2n n λ=代入关于)(t T 的方程得 2''()()()0n n T t na T t += （1分） 解得 000()()cos sin ,1,2,...

n n n T t A B t

T t A nat B nat n =+⎧⎨

=+=⎩（2分）

利用叠加原理得

001

(,)(cos sin )cos n n n u x t A B t A nat B nat nx ∞

==+++∑ （1分）